随机变量的概率分布
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文章主要介绍随机变量的两类概率分布：离散概率分布和**连续概率分布。**从以下三个部分进行介绍：
- 随机变量和概率分布相关概念和用途
- 四种离散概率分布
- 两种连续概率分布
一、随机变量和概率分布相关概念和用途
1、随机变量
- 是一个量化随机事件的函数，它将随机事件每一个可能出现的试验结果赋予一个数字；
- 分离散随机变量（数值间有间隔）和连续随机变量（有无数个结果）；
- 一般用 X 表示。
2、概率分布
- 用统计图来表示随机变量所有结果和对应结果发生的概率；
- 概率分布=随机变量+概率+分布（在统计图中的形状）；
- 可用Python中科学计算包Scipy的stats模块来实现。
3、概率分布的作用
- 正态分布和幂律分布对个人未来商业模式的选择有很大帮助；
- 概率分布对数据分析所做决策起重要作用，一些常用的分布可生成万能模版反复使用；
- 在机器学习中，概率分布对查看数据集的规律和建模都起到重要作用。
二、离散概率分布
伯努利分布
1、检验条件：
- 每次试验有两种可能结果，成功或失败；
- 每次成功的概率都相同，用p表示，则失败的概率也相同，为1-p;
- 每次试验都是独立的。
2、计算概率
概率质量函数（PMF）:
成功的概率：p(k)=p
失败的概率：p(k)=1-p
3、伯努利分布的 python 实现
首先导入要用到的包和模块
定义随机变量X
计算分布概率
绘制分布图形
二项分布
1、检验条件：
- 试验由一个包括n次相同的试验的序列组成，其中每次试验是相互独立的；
- 每次试验都有两个可能的结果，成功或失败；
- 每次成功的概率都相等，成功的概率用p表示，则失败概率为1-p；
- 适用于“想知道成功k次的概率是多少”的问题。
2、计算概率
- n次试验成功x次的概率：
P(X=k) =
n：试验的次数
p：每次试验成功的概率
k：成功次数
- 二项分布的期望（预期成功多少次）
E(X)=np
- 二项分布的方差（数据波动大小
Var(X)=np(1-p)
3、二项分布的 python 实现
定义随机变量X
计算分布概率
绘制分布图
几何分布
1、检验条件
- 试验次数固定，用n表示，其中每次试验是相互独立的；
- 每次试验都有两种可能结果，成功或失败；
- 每次成功的概率都相等，成功概率用p表示；
- 适用于“想知道第k次试验时才取得第一次成功的概率是多少”的问题。
2、计算概率
- 第k次试验时才取得第一次成功的概率：
P(X=k)=
- 几何分布的期望
E（X）=
- 几何分布的方差
Var（X）=
3、二项分布的 python 实现
定义随机变量X
计算分布概率
绘制分布图
泊松分布
1、检验条件
- 事件是独立事件；
- 在任意相同的时间范围内，事件发生的概率相同；
- 适用于“想知道某个时间范围内发生某件事情k次的概率是多大”的问题。
2、计算概率
- 在某个时间范围内发生某件事k次的概率：
P(X=k)=
u：给定时间范围内某件事发生的平均次数
k：事件发生的次数
- 泊松分布的期望和方差都是 u。
3、泊松分布的Python实现
定义随机变量X
计算分布概率
绘制分布图
三、连续概率分布
1、正态分布
- 又名高斯分布，是具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布；
- 它的形状是中间高两边低 ，图像是一条位于x 轴上方的钟形曲线；
- 服从正态分布的商业模式：
1）考试成绩
2）员工绩效（员工活力曲线）
3）产品质量（6个标准差排除不合格产品）
4）人的身高和智商
- 计算正态分布方法：
1）确定概率范围
2）求标准分z（标准分z= ）
3）查找标准正态分布表
2、幂律分布（长尾分布）
- 对一件事情起决定作用的，往往是少数几个因素，其他大部分的因素都无关紧要。
- 服从幂律分布的商业模式：
1）社会的财富分布理论上服从正态分布，实际服从幂律分布
2）网络效应（边际成本低，最后达到赢家通吃）
3、个人商业模式的选择
从以上正态分布和幂律分布的特点来看，个人尽可能选择幂律分布的商业模式经营自己，将很有可能获得很大成功。因幂律分布的商业模式边际成本低，如培养自己的影响力，通过网络效应将其变现（如开付费专栏、投资等）。