股票型分级基金定价


(smartpig) #1

证券能够在二级市场交易形成价格,是因为未来有现金流的产生。定价就是将未来的现金流折现到当前时刻。对于股票型分级基金而言,相对来说A级份额有比较明确的现金流产生,因此定价主要是针对A级份额。

在讨论具体实际中的分级模型定价之前,我们先讨论一个理想的分级基金模型定价问题,然后再将理想模型的定价推广到实际模型中去。

理想模型设计与定价

条款设计

1. 定期折算

从上次发生折算到一年后的对应工作日,如果期间未发生不定期折算,则对应工作日为定期折算日。定期折算的对象为A级份额、B级份额和母基金份额。

1.1 当B级份额净值不小于1时:将A级份额净值超过1的部分折算成母基金份额;B级份额净值超过1的部分折算成母基金份额。保持A、B级份额配比不变。

1.2 当B级份额净值小于1时:将B级份额净值折算为1,份额相应缩减;A级份额净值折算为1,并保持与B级份额的配比不变,剩余资金折算成母基金份额。

2. 不定期折算

当母基金净值达到2.000元或者B级份额净值达到0.250元时,进行不定期折算。不定期折算的对象为A级份额、B级份额和母基金份额。

2.1 当母基金净值达到2.000元时:将A级份额净值超过1的部分折算成母基金份额;B级份额净值超过1的部分折算成母基金份额。保持A、B级份额配比不变。

2.2 当B级份额净值达到0.250元时:将B级份额净值折算为1,份额相应缩减;A级份额净值折算为1,并保持与B级份额的配比不变,剩余资金折算成母基金份额。

3. 分级期限

永续分级

模型假设

1. 假设标的指数服从几何布朗运动

dS_t=S_t \mu dt+S_t \sigma dZ_t

2. 假定A级份额的未来约定收益率保持不变

A****级份额价格决定因素

对于给定的分级基金产品,A级份额价格由以下决定因素

1. 距上次折算的时间长度(t

2. A级份额的净值(NAVa

3. B级份额的净值(NAVb

4. 跟踪指数的价格过程(S_{\tau }

因此,A级份额价格可表示为

P=P(t,NAVa,NAVb,S_{\tau } )

若发生折算,折算后,A级份额、B级份额净值为1,A级份额价格可表示为

P_0=P(0,1,1,S_{\tau } )

因此,在每个折算点,发生折算后,A级份额价格相等。

折算情形及现金流分析

根据折算条款的设计,理想模型折算有四种可能,如下图:(1)触发定期折算,B级份额价值不小于1,(2)触发定期折算,B级份额净值小于1,(3)触发向上不定期折算,(4)触发向下不定期折算。

![](data:image/svg+xml;utf8,<svg%20xmlns=‘http://www.w3.org/2000/svg’%20width=‘554’%20height='360’>)

针对四种可能的折算情形,分别分析折算发生时A级份额的现金流。

现金流分析:定期折算1.1

1.1当B级份额净值不小于1时:将A级份额净值超过1 的部分折算成母基金份额;B级份额净值超过1的部分折算成母基金份额。保持A、B级份额配比不变。

![](data:image/svg+xml;utf8,<svg%20xmlns=‘http://www.w3.org/2000/svg’%20width=‘554’%20height='355’>)

折算前:

低风险份额净值:NAVa=1+R

高风险份额净值:NAVb\geq 1

折算后:

低风险份额:折算前的1份低风险份额折算后成为1份低风险份额和R现金。折现值为

c_{1,i}=R\cdot exp(-r\cdot t)+1\cdot P_0\cdot exp(-r\cdot t)=a_{1,i}+b_{1,i}\cdot P_0

高风险份额:折算前的1份高风险份额折算后成为1份高风险份额和(NAVb-1)现金。

现金流分析:定期折算1.2

1.2当B级份额净值小于1时:将B级份额净值折算为1,份额相应缩减;A级份额净值折算为1,并保持与B级份额的配比不变,剩余资金折算成母基金份额。

![](data:image/svg+xml;utf8,<svg%20xmlns=‘http://www.w3.org/2000/svg’%20width=‘554’%20height='302’>)

折算前:

低风险份额净值:NAVa=1+R

高风险份额净值:NAVb<1

折算后:

低风险份额:折算前的1份低风险份额折算后成为NAVb份低风险份额和(NAVa-NAVb)现金。折现值为

c_{2,j}=(NAVa-NAVb)\cdot exp(-r\cdot t)+NAVb\cdot P_0\cdot exp(-r\cdot t)=a_{2,j}+b_{2,j}\cdot P_0

高风险份额:折算前的1份高风险份额折算后成为NAVb份高风险份额。

现金流分析:定期折算2.1

2.1当母基金净值达到2.000元时:将A级份额净值超过1 的部分折算成母基金份额;B级份额净值超过1的部分折算成母基金份额。保持A、B级份额配比不变。

![](data:image/svg+xml;utf8,<svg%20xmlns=‘http://www.w3.org/2000/svg’%20width=‘554’%20height='331’>)

折算前:

低风险份额净值:NAVa=1+Rt_u

母基金份额净值:NAVm\geq 2.000

折算后:

低风险份额:折算前的1份低风险份额折算后成为1份低风险份额和R\cdot t现金。折现值为

c_{3,k}=R\cdot t_u\cdot exp(-r\cdot t)+1\cdot P_0\cdot exp(-r\cdot t)=a_{3,k}+b_{3,k}\cdot P_0

高风险份额:折算前的1份高风险份额折算后成为1份高风险份额和(NAVb-1)现金。

现金流分析:定期折算2.2

2.2当B级份额净值达到0.250元时:将B级份额净值折算为1,份额相应缩减;A级份额净值折算为1,并保持与B级份额的配比不变,剩余资金折算成母基金份额。

![](data:image/svg+xml;utf8,<svg%20xmlns=‘http://www.w3.org/2000/svg’%20width=‘554’%20height='306’>)

折算前:

低风险份额净值:NAVa=1+Rt_u

高风险份额净值:NAVb\leq 0.250

折算后:

低风险份额:折算前的1份低风险份额折算后成为NAVb份低风险份额
(NAVa-NAVb)现金。折现值为

c_{4,l}=(NAVa-NAVb)\cdot exp(-r\cdot t)+NAVb\cdot P_0\cdot exp(-r\cdot t)=a_{4,l}+b_{4,l}\cdot P_0

高风险份额:折算前的1份高风险份额折算后成为NAVb份高风险份额。

总结下,以上四种折算发生时,A类份额共有四种现金流发生:

1.1 c_{1,i}=a_{1,i}+b_{1,i}\cdot P_0

1.2 c_{2,j}=a_{2,j}+b_{2,j}\cdot P_0

2.1 c_{3,k}=a_{3,k}+b_{3,k}\cdot P_0

2.2 c_{4,l}=a_{4,l}+b_{4,l}\cdot P_0

P_{t}的计算

下面要讨论的就是运用蒙特卡罗模拟方法模拟母基金的路径,分析不同路径下A级份额的现金流。假设共进行N次模拟,发生定期折算1.1共I次,发生定期折算1.2共J次,发生不定期折算2.1共K次,发生不定期折算2.2共L次。则A级份额价格可表示为

P_t=\frac{\sum_{1}^{I}{c_{1,i} } +\sum_{1}^{J}{c_{2,j}} +\sum_{1}^{K}{c_{3,k}} +\sum_{1}^{L}{c_{4,l}} }{N}=\frac{\sum_{1}^{I}{a_{1,i} } +\sum_{1}^{J}{a_{2,j}} +\sum_{1}^{K}{a_{3,k}} +\sum_{1}^{L}{a_{4,l}} }{N} +\frac{\sum_{1}^{I}{b_{1,i} } +\sum_{1}^{J}{b_{2,j}} +\sum_{1}^{K}{b_{3,k}} +\sum_{1}^{L}{b_{4,l}} }{N} \cdot P_0
=a+b\cdot P_0

P_t由折算时低风险份额的价格决定,在发生折算时低风险份额的价格可以表示为

P_0=P(0,1,1,S_\tau )

P_0由标的指数的价格过程S_\tau决定,在给定S_\tau后,P_0即确定。

P_0的计算

现在剩下的问题就是:在给定标的指数价格预期的情况下,如何计算发生在折算后的A级份额价格P_0=P(0,1,1,S_\tau )

同样,分析折算发生后的A级份额现金流的四种发生可能,如下图:

![](data:image/svg+xml;utf8,<svg%20xmlns=‘http://www.w3.org/2000/svg’%20width=‘554’%20height='308’>)

同上面的分析一样,应用蒙特卡罗模拟的方法计算P_0。假设共进行N次模拟,发生定期折算1.1共I次,发生定期折算1.2共J次,发生不定期折算2.1共K次,发生不定期折算2.2共L次,

N=I+J+K+L

将A级份额四种现金流折现值记为:

1.1 c_{1,i}=a_{1,i}+b_{1,i}\cdot P_0

1.2 c_{2,j}=a_{2,j}+b_{2,j}\cdot P_0

2.1 c_{3,k}=a_{3,k}+b_{3,k}\cdot P_0

2.2 c_{4,l}=a_{4,l}+b_{4,l}\cdot P_0

则A级份额价格P_0可表示为

P_0=\frac{\sum_{1}^{I}{c_{1,i} } +\sum_{1}^{J}{c_{2,j}} +\sum_{1}^{K}{c_{3,k}} +\sum_{1}^{L}{c_{4,l}} }{N}=\frac{\sum_{1}^{I}{a_{1,i} } +\sum_{1}^{J}{a_{2,j}} +\sum_{1}^{K}{a_{3,k}} +\sum_{1}^{L}{a_{4,l}} }{N} +\frac{\sum_{1}^{I}{b_{1,i} } +\sum_{1}^{J}{b_{2,j}} +\sum_{1}^{K}{b_{3,k}} +\sum_{1}^{L}{b_{4,l}} }{N} \cdot P_0
=a+b\cdot P_0

根据上面结果可得出

P_0=\frac{a}{1-b}

回到P_t的计算

现在回到开始讨论的,计算A级份额在t时刻的价格P_t

P_t=a+b\cdot P_0

P_0已经求出,P_t自然可以得出了。

对计算A级份额价格的过程简单总结下。蒙特卡罗模拟t时刻A级份额的价格步骤如下:

1 计算t=0时刻的A级份额价格P_0

2 根据P_0计算t时刻A级份额价格P_t

实际模型定价

定期折算:

将A级份额净值超过1的部分折算成母基金份额;B级份额不参与折算。保持A、B级份额配比不变。

不定期折算:

1. 当母基金净值达到2.000元时:将A级份额净值超过1的部分折算成母基金份额;B级份额净值超过1的部分折算成母基金份额。保持A、B级份额配比不变。

2. 当B级份额净值达到0.250元时:将B级份额净值折算为1,份额相应缩减;A级份额净值折算为1,并保持与B级份额的配比不变,剩余资金折算成母基金份额。

分级期限

永续分级

首先分析定期折算和不定期折算发生后A级份额价格是否相同。

定期折算发生时,折算后的A级份额价格可表示为

P=P(0,1,NAVb,S_\tau )

由于折算时母基金净值差异,NAVb会有差异,从而折算后形成的新的A级份额的价格会有差异。

不定期折算发生时,折算后的A级份额价格可表示为

P=P_T (0, 1,1,S_\tau  )

通过以上定期折算和不定期折算后A级份额价格的分析,我们发现在实际模型中,只有在不定期折算发生时,才会出现理想模型分析中的折算后A级份额价格为P_0的情况。因此实际模型与理想模型的定价差别在:理想模型定价时将模拟路径上折算发生的现金流折现可以得到A级份额的价格,但是在实际模型中,只有在模拟路径上发生不定期折算时,才能将现金流折现得到A级份额的价格。由于我们假设母基金服从几何布朗运动,因此理论上任何一条母基金的模拟路径上都会出现不定期折算。这样我们就解决的了实际模型的A级份额的定价问题。

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