如何分解基金收益

基金
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(iQuant) #1

文将介绍基于持仓数据的归因分析模型:单期Brinson模型、多期Brinson模型。

根据得到的数据的不同,归因分析主要有两种方法:第一种是采用多因子模型进行回归,需要的数据是基金的净值曲线,回归法回答的是基金收益主要来自哪些风险因子,采用的模型可以是CAPM 模型、Fama French 三因子模型、 Carhart 的四因子模型、Fama French五因子模型等等。第二种方法是Brinson模型,其基本思想是将基金收益与基准收益比较,将超额收益分解为资产配置贡献、择股能力贡献、交互贡献,这种方法需要在给定时刻基金的持仓数据(包括持有的证券及数目),如果能够得到的横截面持仓数据越多,数据越完备,则归因分析越准确。Brinson 模型分为单期Brinson 模型和多期Brinson模型,单期Brinson模型可以很好的展示模型的基本思想,但在实际操作中,由于基金存在调仓行为,多期Brinson模型应用更广泛。

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Brinson模型采用基金的持仓数据做归因分析,与回归法相比,其包含的信息更全面、可以对超额收益进行更深入的分解,但在实际中基金只是定期披露其持仓信息(一般每个季度披露一次持仓信息),其信息优势在实践中被弱化。

单期Brinson 模型

例子

基金绩效归因分析的理论基础始于 Brinson et al.(1986)、Brinson 和 Fachler(1985)所作的两篇文章,即众所周知的 Brinson 模型,将基金组合的实际收益和市场基准的收益进行比较,差额为超额收益,并将超额收益分解为资产配置贡献、个股选择贡献和交互贡献。下面先通过一个简单例子来说明这三项贡献。

某一个基金经理在月末进行了资产配置,将资金的90%投资于股票市场,购买了一批股票,10%投资于债券市场,购买了一批债券,假设在下个月,这个基金经理买的股票收益为30%,债券的收益为3%。总收益为:

$$R=90\% \times30\%+10\%\times3\%=27.3\%$$

如何对基金进行业绩归因分析呢?首先要选取一个基准进行比较,一般而言,股市好坏的基准为沪深300指数的收益,债券的基准为国债指数收益,基准的配置比例为:沪深300指数配80%,国债指数收益配20%。假设在下个月沪深300的收益为20%,国债指数的收益为5%。则基准的收益为:$$R_m=80\%\times20\%\times20\%\times5\%=17\%$$

则该基金在下个月的超额收益(用TR表示)为:$$TR=R-R_M=27.3\%-17\%=10.3\%$$

按照 Brinson 模型,这个超额收益可以分解为资产配置贡献、个股选择贡献和交互贡献。

资产配置贡献(用AR表示)可以理解为这个基金经理能够看清楚大类资产的强弱走势,能够判断出哪类资产将来收益会比较高,因此资产配置能力的计算公式为:

基金的资金分配比例×市场基准的收益-基准资金分配比例×市场基准的收

在上面的例子中
$$AR=(90\%-80\%)\times20\%+(10\%-20\%)\times5\%=1$$

AR大于零的含义为:该基金经理看准了市场大方向,并且高配了好的资产。如果基金经理看错了市场大方向,即沪深300指数收益小于债券市场收益,可以预计AR将会小于零。

个股选择贡献(用SR表示)可以理解为在股票市场和债券市场上能否选出高于市场基准收益的资产,即在相同资金分配比例下,能否获得更高的收益,因此个股选择能力的计算方法为:
基准资金分配比例×基金购买股票收益-基准资金分配比例×市场基准的收益
在上面的例子中$$SR=(30\%-20\%)\times80\%+(3\%-5\%)\times20\%=7.6\%$$
剩下的收益即为交互贡献(用IR表示):$$IR=TR-AR-SR=1.2\%$$

理论模型

以上通过一个例子说明了 Brinson 模型对基金业绩归因的逻辑。下面用具体的符号来对说明 Brinson 模型。首先基准资产的收益为rib,基准资产的权重为wib。基金经理对资金的分配权重为wip,所购买的资产的收益为rip,则
$$TR=\sum_{i=1}^n\omega_{i,p}r_{i,p}-\sum_{i=1}^n\omega_{i,r}r_{i,r}$$
$$AR=\sum_{i=1}^n(\omega_{i,p}-\omega_{i,b})r_{i,p}$$
$$SR=\sum_{i=1}^n(r_{i,p}-r_{i,b})\omega_{i,r}$$
$$IR=\sum_{i=1}^n(\omega_{i,p}-\omega_{i,r})(r_{i,p}-r_{i,b})$$
可以证明:
$$TR=AR+SR=IR$$
图1为Brinson 模型的绩效归因框架。

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多期Brinson 模型

单期Brinson模型可以对基金每个时段的业绩进行分析,将其分解成资产配置贡献、个股选择贡献和交互贡献。但基金经理会不停的调仓,假如每个月调一次仓,一年调仓12次,到年底需要评价此基金的超额收益的来源,这时单期的Brinson 模型不再适用。现在需要评价这一年则可以根据多期Brinson模型。但是资产配置贡献、个股选择贡献和交互贡献不能将每一个月的资产配置贡献进行简单相加。原因是对于多期而言基金的总收益为:
$$R_p=(1+R_{p1})(1+R_{p2})…(1+R_{pt})-1$$
而基准的总收益为:
$$R_b=(1+R_{b1})(1+R_{b2})…(1+R_{bt})-1$$
我们发现
$$R_p-R_b\neq(R_{p1}-R_{b1})+(R_{p2}-R_{b2})…(R_{pt}-R_{bt})$$
David(1999)提出了一种算术归因法来解决此问题,其核心思想是将多期收益用对数形式展开,然后做差可得:
$$\ln(1+R_p)-\ln(1+R_b)=\sum_{t=1}^n(\ln(1+R{pt})-\ln(1+R_{bt}))$$
对于单期而言,前面已经证明:
$$R_{pt}-R_{bt}=AR_t+SR_t+IR_t$$
所以:
$$\ln(1+R_{pt})-\ln(1+R_{bt})=\frac{\ln(1+R_{pt})-\ln(1+R_{bt})}{R_{pt}-R_{bt}}(AR_t+SR_t+IR_t)$$

$$K_t=\frac{\ln(1+R_{pt})-\ln(1+R_{bt})}{R_{pt}-R_{bt}}$$

$$\ln(1+R_{pt})-\ln(1+R_{bt})=K_t(AR_t+SR_t+IR_t)$$
因此
$$\ln(1+R_p)-\ln(1+R_b)=\sum_{t=1}^nk_t(AR_t+SR_t+IR_t)$$
所以:
$$R_p-R_b=\frac{R_p-R_b}{\ln(1+R_p)-\ln(1+R_b)}[\sum_{t=1}^nk_t(AR_t+SR_t+IR_t)]$$

$$k=\frac{\ln(1+R_p)-\ln(1+R_b)}{R_p-R_b}$$
则整个期间资产配置贡献、择股贡献、交互贡献可以表示为:
$$R_p-R_b=TR=AR+SR+IR$$
其中
$$AR=\sum_{t=1}^Tk_tAR_t/k$$
$$SR=\sum_{t=1}^Tk_tSR_t/k$$
$$IR=\sum_{t=1}^Tk_tIR_t/k$$
表达式与单期模型一致,实现了多期分解。

归因分析算例

持仓信息完整的情况

当持仓信息完整时,多期Brinson模型可以正确评价超额收益的来源。

假设有三个指数A,B,C,基准权重为

CodeCogsEqn

在期2的时候依然保持该权重(即有一个再平衡过程)。期1、期2基准的收益向量为

CodeCogsEqn (2)CodeCogsEqn (3)

则期1、期2的基准收益分别为:
$$r_{b1}=12\%,r_{b2}=8.5\%$$
两期基准的总收益为:
$$R_b=(1+12\%)\times(1+8.5\%)-1=21.52\%$$
基金在期1、期2的持仓权重和持仓收益分别为:

CodeCogsEqn (4)CodeCogsEqn (6)

CodeCogsEqn (5)CodeCogsEqn (7)

则期1、期2的基金收益分别为:
$$r_{p1}=20\%,r_{p2}=20\%$$
两期基金的总收益为:
$$R_p=(1+20\%)\times(1+20\%)-1=44\%$$

$$k_1=\frac{\ln(1+20\%)-\ln(1+12\%)}{20\%-12\%}=0.8624$$
$$k_2=\frac{\ln(1+20\%)-\ln(1+8.5\%)}{20\%-8.5\%}=0.8760$$
$$k=\frac{\ln(1+44\%)-\ln(1+21.52\%)}{44\%-21.52\%}=0.7550$$
根据公式计算可得资产配置贡献为:
$$AR=\frac{[0.8624*(AR_1)+0.8760*(AR_2)]}{0.7550}=13.87\%$$

择股贡献为:
$$SR=\frac{[0.8624*(SR_1)+0.8760*(SR_2)]}{0.7550}=4.59\%$$

交互项贡献为:
$$IR=\frac{[0.8624*(IR_1)+0.8760*(IR_2)]}{0.7550}=4.02\%$$

总贡献为:
$$TR=\frac{[0.8624*(TR_1)+0.8760*(TR_2)]}{0.7550}=22.48\%$$

持仓信息不完整VS完整

但在实践中,由于基金每个季度披露一次持仓信息,因此很多调仓的信息不能被观测到,这就会对资产配置贡献、择股贡献产生错误的评价,这些偏差最后会被交叉贡献吸收。例如,基金经理在操作过程中做了一次成功的短线,买入了表现好的大类资产,等披露信息时又回复到起始的大类资产配比,则Brinson模型无法探测到此资产配置的贡献,这种情况下交叉项的贡献会被高估。图2为某基金日持仓数据完整的情况下归因分析的结果,图3为同一基金同一时期仅有季度持仓数据的情况下归因分析的结果。对比可知,在此次分析中,持仓数据不完整的情况下,归因分析高估了行业配置的贡献,低估了个股选择的贡献。
图2 某基金日持仓数据归因分析
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图3 某基金季度持仓数据归因分析
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(user5921) #4

image 请问这个公式怎么算出是1。。。


(user5921) #5

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这中间应该是加号,不是乘号。。


(vivianluo) #6

这里写错了叭TR=IR+AR+SR


(w198) #7

你好,请问下面的图是怎么来的