波动率交易中的Delta hedging
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很多MFE或者MF的课程里，在衍生品对冲或Black Scholes推导中都会介绍一种叫Delta hedging的对冲方式。在这些课程或者书籍里，大家都知道Delta就是期权关于标的资产价格的偏导数，然后做Delta hedging是为了消除掉来自于标的价格的风险。非常多的学生会很浅显的把Delta hedging就当作是个消除标的风险的过程，然后用之来推导BS等formula。
然而在实际的trading里，Delta hedging又是怎么用的呢？今天，我带着大家了解一下很多朋友既熟悉又陌生的Delta hedging。
首先，在我之前的文章讲过，期权区别于一般交易的显著特征就是它的因素维度很高，从标的到波动率以及时间等等因素。所以我们确定一个很重要的公式：
Option P&L = Delta P&L + Gamma P&L + Vega P&L + Theta P&L + ...
也就是说，一个期权的P&L最终是由整体因素P&L的加总来决定的。所以，我们如果做Delta hedging，其实就是消除掉Delta P&L，只暴露在其他P&L之中。
我们先画一个Call option在Delta hedge前后的图像进行对比。首先，假设我们只买入一个Call；然后我们通过卖空Delta份额的股票来完成Delta hedging，这样，我们整个portfolio的价值关于股价的图像变化是：
不难发现，经过了Delta hedging之后，不论股价增加还是下跌，我们的Delta hedged portfolio value应该都不会因为股价的波动而下跌。而且如果jump发生，我们的portfolio会产生价值的增长。这其实是因为我们买入了期权，等同于买了Gamma，而买入的Gamma保证了凸性的存在。对于买入期权的头寸，其实就相当于买入了Gamma，因为不论Call还是Put，它们的Gamma都是正的。反过来，卖出期权其实就是卖出Gamma。
所以有一种策略叫作Gamma scalping。这种策略就是在完成一次Delta hedging之后，在股价变化之后再做下一次Delta hedging，这种持续的Delta hedging就叫做Gamma scalping。我们可以从下图了解这种策略
对于这个策略，如果我们处于买入期权的头寸：我们做完第一次Delta hedging之后，不论价格增长或下跌，我们portfolio的价值都会增加；在价格波动之后，如果我们进行第二次Delta hedging，我们可以将portfolio价值的下界锁定（忽略Theta等维度的影响）。值得注意的一点是，在Delta hedging之后：如果股票价格上涨，我们再做Delta hedging其实就是在原有基础上卖出股票；如果股票价格是下跌，我们再做Delta hedging其实就是在原有基础上买入股票。这个现象其实也告诉了我们，如果我们处于Long Gamma position，Gamma Scalping其实是在股票下跌时买入股票，在股票上涨时卖出股票，同时不断提升并锁定期权的价值与收益。而反过来，如果我们处于卖出期权的头寸：我们此时处于short Gamma position，Gamma Scalping实际上是是在股票下跌时卖出股票，而股票上涨时买入股票。
所以，我们做Delta hedging的时候，实际上是得到了这样的公式：
Delta-hedged Option P&L = Gamma P&L + Vega P&L + Theta P&L + ...
而且，如果我们的期权头寸是买入，那么delta-hedging之后的Gamma会给我们带来正向利润；如果期权头寸是卖空，那么delta-hedging之后的Gamma其实是一种损耗。
通过Delta hedging，期权交易员可以把标的价格的波动给对冲掉，也就是Delta P&L那一项。但是如果这个对冲不是连续进行的，你还是会暴露在标的价格的风险之中，因为Gamma给了函数凹凸性。
最后，说点别的。上一次有位朋友给我留言，想了解一下关于期权临近到期日的特征，我也觉得这个话题确实值得一起探讨一下，所以我的下一篇文章会和各位一起探讨这个话题。也希望对其他话题有兴趣的朋友们给我留言。最近事情开始繁多了起来，所以更新速度或许会有所下降，所以也请朋友们海涵！
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