时间序列因子择时与横截面因子配权的新方法
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Dichtl H , Drobetz W , Lohre H , et al. Optimal Timing and Tilting of Equity Factors[J]. Financial Analysts Journal.
推荐原因
为了更好地获取全球权益因子溢价收益，我们构建了基于时间序列变量进行因子择时和根据截面因子特征进行因子配置的多因子模型。研究发现，因子如预期的与基本面和技术面时间序列指标以及因子动量和拥挤等截面特征相关。而且，这种可预测性在扣除交易成本后很难从交易中受益。进一步平滑因子配置的换手率后，因子择时与配置策略可以稍微改善因子择时收益，但不能改善因子配置的收益。
引言
自2008-2009年的金融危机以来，因子投资在资产管理行业中获得了关注。一个重要的里程碑是Ang，Goetzmann和Schaefer（2009）对挪威政府养老基金的研究，该研究表明，该基金有效收益的很大一部分可以用众所周知的因子风险溢价来解释。作者得出的结论是，该基金应直接参与系统的因子投资。
鉴于因子多元化的好处（Ilmanen和Kizer 2012；Bass，Gladstone和Ang，2017），一个悬而未决的问题是，基于预测的因子配置是否可以增加多样化被动因子分配的收益。值得注意的是，对因子回报进行预测的要求几乎与因子文献一样悠久。然而，迄今为止，研究人员分为怀疑论者:Asness 2016; Asness，Chandra，Ilmanen和Israel 2017; Lee 2017和乐观主义者(Arnott, Beck, Kalesnik, and West 2016; Bender, Sun, Thomas, and dorovtsov 2018; Hodges, Hogan, Peterson, and Ang 2017).
怀疑论者认为，因子择时比较困难，因为因子多元化很容易胜过因子择时的潜力。因子择时策略被认为与潜在因子策略过度相关，以至于对策略性因子分配没有实质性影响。此外，因子择时相当昂贵，因为再平衡基本因子涉及交易大量的多头和空头头寸。
乐观主义者承认，基于市场，情绪和宏观经济指标的因子预测是困难的。但是，他们认为，具有远见卓识并充分了解因子收益背后的投资原理的投资者将能够克服这些障碍。
我们研究的主要贡献是探索主动因子分配的好处，通常将其称为“因子择时”。然而，我们的分析区分了试图利用时间序列信息的因子择时和试图利用横截面信息的“因子配权”。具体来说，因子择时尝试根据基本的宏观经济环境或特定因子的技术预测指标来建立因子收益的可预测性。相反，在基于诸如估值和动量之类的因子特征解释因子收益的横截面时，因子配权本质上是在使用“因子中的因子”。
为了获得有意义的因子择时和因子配权策略，我们采用了Brandt和Santa-Clara（2006）以及Brandt，Santa-Clara和Valkanov（2009）的参数化投资组合（PPP）框架，可以分别应用到因子择时和因子配权。
两种方法都避免估计因子回报的联合分布，而是根据一组信息变量直接确定因子分配权重。因此，我们的分析通过估计指标或特征与投资组合收益的联合相关性（而不是简单地将变量的重要性与其预测因子回报的准确性联系起来），从而对动态因子分配有了新的认识。参数化因子择时和配权策略有利于基于均值方差的投资者，但也有助于减少整体投资组合波动。
PPP方法已经在股票市场进行了研究。Brandt（2009年）涵盖了传统的规模，价值和动量因素。
Ammann，Coqueret和Schade（2016）模仿经典的量化多因子选股方法，在杠杆约束下使用均值-方差PPP来开发12种公司特征。文献中已经提出了许多股票因子来解释股票的截面收益，但是通过使用PPP可以有效地解决这种不断增加的“因素动物园”。DeMiguel，Martin-Utrera，Nogales和Uppal调查了多达100个公司特征，其中只有少数被证明是相关的。PPP的这种应用主要是为了共同利用多元化股票投资组合中的许多因子。从这个意义上讲，我们在因子上对PPP的创新应用可能会帮助我们在时间序列和横截面上发现新的因子收益可预测性来源。
考虑到围绕因子择时和配权的可行性的争论，考虑所有可能抑制任何信息优势资本化的交易成本至关重要。因此，我们的研究并非基于纯粹的学术因子。相反，我们编制了一组具有代表性的20种可投资的全球多空股票因子投资组合，并计算了扣除交易成本后的回报。当然，在这些因子之间进行动态分配会产生额外的成本，但是使用参数因子择时和配权策略使我们能够最佳地管理潜在因素分配的alpha值与实施成本。
总的来说，我们的文章提供了有关动态因子分配的使用的警示。当忽略交易成本时，具有基本面和技术面时间序列预测变量的最优因子择时所产生的收益在统计上比从简单地持有同等加权的因子投资组合产生的收益具有更高。同样，最佳因子配权有利于短期动量为正的因子，但避免出现拥挤的因子。然而，在这两种情况下，最终的营业额都很高，并且交易成本往往会侵蚀因因子可预测性而增加的大部分价值。因此，在我们优化参数化时序和配权时，动态因子分配的alpha与交易成本之间的权衡非常重要。
通过使用权重约束，Black-Litterman（1992）收缩和交易成本惩罚，在因子择时上能够节省部分交易成本的影响，而在因子配权上不能。
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建立可投资的全球股票因子
在本节中，我们讨论我们的标的范围并构建股票因子。然后，我们研究如何衡量交易成本，因为它们对于主动策略的最终绩效至关重要。
为了对因子择时和配权进行整体研究，我们收集了一组具有代表性且可投资的全球股票因子。这些因子来自全球范围，其中包括MSCI，FTSE，S＆P和STOXX的全球和区域股票指数的成分。公司特定的数据（例如财务报表数据）来自Worldscope数据库。为了获得一个足够的样本长度，我们于1997年1月开始计算每月因子收益。该样本于2016年12月结束，为我们提供了二十年的全球股票因子收益。1996年12月，整个可投资领域包括大约4,500只股票；到2016年12月，这一数字已增至5,000只。简而言之，我们的分析是建立在全球大型和中型股票领域的基础上的，该领域具有足够的区域多元化和可投资性。
我们基于在学术研究中被广泛使用和充分记录的因子。这些因子可以大致分为以下类别：
•价值：现金流量收益率（CFY），股息收益率（DY），市净率（BTM），市盈率（EY），和盈利能力（PROF）
•动量：12个月价格动量( MOM12），短期反转（STR）和长期反转（LTR）
•质量：资产周转率（AT），长期债务变动（DLTD），流通股变动（DSO），资产增长（AG），现金生产率（CP），利润率（PMA），杠杆（LEV），资产回报率（ROA），销售现金流比率（STC），销售库存比率（STI）和应计费用（ACC）
•规模类: 市值（Size）
为了构建股票因子，我们根据因子特征按月对全球股票分类，以每个五分位数随后一个月本地收益的平均值来计算五个分组投资组合收益。多头-空头因子收益是前五分之一投资组合的收益与后五分之一投资组合的收益之间的差额。相关图显示，这组全球权益因子相当不同。尽管试图收获价值溢价的因子显示出更高的相关性，但平均权益因子的相关性却是0.21。CFY，DY，BTM和EY之间的两两相关性介于0.7到0.9之间。规模因子和ACC因子与大多数其他因子呈负相关关系，从而为该因子集增加了多元化的潜力。表1给出了股权因子的描述性统计数据。表现最佳的因子是价格动量MOM12，平均年化回报率为12.05％，但它也是波动最大的。ACC，STR和STI的年收益率不高。在抽样期间，所有因素均提供正溢价。ACC，AT和STI的波动最小。因子的夏普比率从ACC的0.05到PROF的1.15。
在评估主动因子调配策略的绩效时，必须考虑实施这些策略所产生的任何交易成本。在我们的分析中，每个股票因子策略都需要每月重新调整以符合潜在因子特征。在计算表1中显示的权益因子回报时，我们考虑了这些特定于因子的交易成本。
我们假设多头交易的100％交易成本为75个基点。在短期方面，我们增加了40个基点作为做空成本。因此，我们假设100％换手的成本为115个基点。此外，要获得多头和空头股票因子的均衡投资，股票互换是典型的选择工具。我们假设12×8 bps = 96 bps是持有此类互换的年度成本。最后，改变因子权重是有成本的，也是利用因子分配alpha的主要障碍。
因此，正如Miller，Li，Zhou和Giamouridis（2015）所做的那样，我们假设交易成本为20个基点，以实现100％的因子分配。总而言之，我们编制了一系列广泛的全球股票因子，所有这些因子均基于强大的经济原理，并在文献中有广泛记载。一个众所周知的现象是
因子策略发布后，因子收益趋于减弱。
对于大多数因子，我们的样本期与发布后时期相对应，但是我们避免了进一步的采摘因子，而是在实证分析中考虑了整个因素集。甚至弱因子也会在某些阶段表现出色，这可以通过主动管理因子暴露来成功地解决。
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因子择时(Factor Timing)
为了在同等加权的因子分配基准上提高绩效，我们通过将因子收益与通常用于预测股本风险溢价的各种基本变量和技术指标相关联来实施因子择时。想法是，确定给定因子的好时与坏时有助于改善同等加权基准策略的风险-收益状况。从方法上讲，我们在Brandt and
Santa-Clara（2006）的PPP框架中实现了时间序列预测变量的潜在预测能力。
预测变量
我们已经将对预测变量的讨论分为基本面变量和技术面指标。在本小节中，我们还将考虑如何减少预测变量的数量。
基本面变量。我们使用的基本面变量包含有关未来经济状况的信息（请参阅Neely，Rapach，Tu和Zhou，2014年）。特别是，我们使用了Welch和Goyal（2008）的以下变量：10股息/价格比率（dp），股息收益率（dy），收益/价格比率（ep），股息支付比率（de）， 股票差异（svar），市净率（bm），净资产扩展（ntis），美国国库券（tbl），长期收益率（lty），长期收益率（ltr），期限利差（ tms），信用利差（dfy），信用收益差（dfr）和通货膨胀（infl）。
为了避免由于高自相关而导致的伪回归，一种有用的措施是降低变量的趋势（请参阅Ferson，Sarkissian和Simin 2003）。我们通过减去其算术平均值并除以其标准偏差，在时间t对任何预测变量X进行标准化。为了计算平均值和标准偏差，我们使用了覆盖t之前12个月的滚动窗口。省略了对X的当前观察，这允许在标准化预测变量中进行更强大的创新。此外，由于某些标准化的基本变量可能会达到极限值，因此我们将变量上下限定为±5。
技术面指标
除了反映经济状况的基本变量之外，我们还遵循Neely（2014）的观点，使用过去特定因子收益得出的特定因子技术指标和交易规则。与Hammerschmid和Lohre（2018）相似，我们基于两组与动量和移动平均线的一般概念相关的交易规则，纳入了11个技术指标。这些交易规则捕捉了技术分析中遵循趋势的思想，并且代表了文献中分析的典型规则（参见Brock，Lakonishok和LeBaron 1992；Sullivan，Timmermann和White 1999）。
动量（MOMm）。如果时间t的价格 高于时间t-m的价格，动量指标会给出买入信号，否则，会给出卖出信号，我们计算了五个回溯期的动量指标：m = 1、3、6、9和12个月。
移动平均线。移动平均指标基于短期和长期移动平均线的比较，计算方法如下：
其中s和l是短期和长期移动平均值的回顾期的月长度，其中s = 1、2、3; l = 9、12。如果短期移动均线大于长期移动均线，则指标会发出买入信号：
为我们提供了六个移动平均指标。长期移动平均线从下方（上方）到短期移动平均线的交叉被认为是趋势的向上（向下）移动。
鉴于技术指标使用了长达12个月的价格数据，因此所有技术预测指标只能从1998年1月开始使用。因此，后续分析适用于1998年1月至2016年12月的采样期。
减少预测变量的数量
无论使用哪种模型从先前的预测变量生成信号，处理大量预测变量和相关的多重共线性都是一个难题。我们在两组预测变量之间发现了高度相关性，但没有发现这两者之间具有高度相关性，这充其量表明了技术和基本预测变量的互补预测能力。因此，我们试图减少独立预测变量的数量，同时保留其嵌入信息。为此，本着Neely等人（2014）的精神，分别将主成分分析（PCA）应用于基本变量和技术指标。，Ludvigson和Ng（2007，2009）以及Hammerschmid和Lohre（2018）。
目的是发现减少预测因素的数量，这些因素综合了25个预测变量的相关信息，并消除了预测变量内的噪声。PCA还生成正交预测变量，因此我们可以避免多重共线性问题。在我们的主要分析中，我们使用了基本变量的第一个主成分（表示为FUN1）和技术指标的第一个主成分（表示为TECH1）。两者都捕获了基本变量和指标的很大一部分差异（分别为27％和93％）
最优化因子择时
接下来，风险厌恶投资者能否从我们研究了基于基本面和技术面指标的股票因子中获利。为此，我们使用了Brandt和Santa-Clara（2006）的PPP，它在投资组合理论框架中将预测变量和投资者效用联系在一起。他们的方法直接将嵌入PCA因素中的任何预测能力转化为最佳投资组合权重。Brandt和Santa-Clara（2006）根据风险厌恶系数g考虑了均值方差风险厌恶的投资者的动态最大化问题，并求解：
其中 是N股权的未来超额收益的向量factor和 表示因子投资组合权重的向量。Brandt和Santa-Clara方法的关键要素是假设最佳投资组合策略 在K个条件变量的向量 中是线性的（其中第一个元素只是一个常数）：
其中θ是参数的N×K矩阵。将线性投资组合策略（等式5）插入等式4，Brandt和Santa-Clara（2006）表明，最初的优化问题等效于运行以下优化：
因此，原始的动态优化问题可以作为静态的（无条件的）Markowitz优化来重新应用，该优化应用于已扩大的权益因子，不仅包括原始权益因子，而且还包括综合或“管理”的权益因子。根据条件变量之一的实现，这些管理资产因子中的每一个都投资于单个资产因子。
在我们的案例中，条件变量是第一个基本PCA因子和第一个技术PCA因子。我们在60个月的时间范围内计算了第一个最佳投资组合权重，该权重随时间扩展，因此我们获得了2003年1月的第一个投资组合。在控制二次效用函数的风险规避参数γ中，我们选择值为5，这意味着中等风险规避。与原始权益因子有关的θ系数受到限制，使得它们等于权重相等的基准投资组合的权重。因此，我们实施了基准相对投资组合分配，其中与均等加权基准的偏差仅由条件变量的变化引起。为避免极端分配，我们重新调整了随后的定时投资组合权重，以使它们服从2.5％的事前年度最大跟踪误差。
实证結果
表2显示了因子时序的θ系数的估计值和显著性水平。统计学意义根据置信度进行评估，置信度计算为θi±1.96×SE，其中SE表示标准误差，i介于1到40（即20个因子×2个条件变量）。
因为PPP在估算框架中表示投资组合问题，所以我们遵循Brandt和Santa-Clara（2006）并从w的协方差矩阵计算标准误，如下所示：
表2显示了代表因子定时策略的40个θ系数中，只有11个在5％的水平上具有统计学意义，基本指标（6）和技术指标（5）的比例均匀。
尽管θ系数的总体统计意义是中等的，但我们评估了该证据如何转化为经济绩效。
通过检查相应的因子分配，我们发现样本期内CFY（12.0％），PROF（11.0％），AT（11.0％）和MOM12（7.4％）的平均权重最大，而最低的平均重量为ROA（2.0％），BTM（0.1％）和STC（–0.1％）。遵循这些权重的因素时机分配可能会提高绩效。特别是，PROF和MOM12的权重过高以及ACC和BTM的权重过低将对积极表现产生积极影响，而AG的权重过低和CP的权重过高将有望降低主动表现。
表3证实了这一观点，证明了在抽样期间，因素择时策略的总回报（每年4.17％）超过了同等加权基准的总回报95个基点。考虑到事后跟踪误差为1.13％，这种异常回报等于0.84的总信息率（IR）。这些平均表现数字必须要花一点儿时间，因为双向平均换手率相当高：每年480％。如简介部分所述，考虑到交易成本，每年将1 / N基准性能从3.22％降低到2.21％。假设将基准保持在股权因子互换中的成本为96 bps，并且每月重新分配给1 / N基准权重的费用为每年5 bps。考虑到因子择时策略的高周转率，交易成本对性能的拖累是巨大的；这些成本侵蚀了大多数因素选择阿尔法，每年超过1 / N基准的净数字仅为4个基点（2.25％– 2.21％）。尽管这些结果最初看起来很令人震惊，但我们将在“平滑均值-方差因子分配”部分中重新讨论针对均值-方差分配结果的潜在补救措施。
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因子配权(Factor Tilting)
股权因子投资的一种补充方法是通过根据因子特征的配权系数来分配因子特征的横截面差异。使用Brandt等人开发的横截面PPP（2009），我们利用诸如估值和动量之类的横截面要素特征来得出最优因子分配。
橫截面因子特征
在本小节中，我们讨论了横截面PPP的因子特征。价值策略投资于相对便宜的资产，同时避免（甚至卖空）相对昂贵的证券。
在因子层面上应用此原理，我们将重点放在权益因子的总估值水平上，即相对便宜的超重因子和相对昂贵的那些偏低权重。我们通过将因子的最高五分位和最低五分位的平均估值（按帐面市价比衡量）之间的差值确定因子的相对价值。
鉴于股票中普遍存在价值溢价，人们会期望估值水平在因子水平上同样起作用（Arnott等人，2016年）。但是请记住，任何因子都将按照自己的规范进行交易。根据定义，与增长因素相比，价值类型的因子将是廉价的。此外，当使用帐面市值比率作为估值的代理时，当整体权益因子分配模型包含帐面市价时，使用估值指标进行因子配权是否具有先验优势尚不清楚。
因子价差
因子价差度量顶部和底部五分位数之间的特征差异。如果前五分位数和后五分位数之间的平均因子分布大，则该因子在因子定义特性方面相对便宜，并且可以轻松地区分有吸引力的股票和没有吸引力的股票。从这个意义上讲，因子利差可以替代要素潜在的未来收益分散：如果给定因子利差较大，则相应的因子收益机会预计会很大（Huang，Liu，Ma和Osiol，2010年）。考虑到因子定义特征的多样性，我们在每个因子历史的不断扩大的窗口中标准化了因子分布。
因子动量
我们使用一个月的价格动量来捕捉短期因子动量。Avramov，Cheng，Schreiber和Shemer（2017）记录到，一套适用于15个股本因子的活跃的单月活跃度因子动量策略始终优于1 / N基础策略。给定权益因子的动量度量简单地计算为其上个月的回报。
因子波动率
早在1970年代，经风险调整后，发现低波动性股票的表现优于高波动性股票（Haugen和Heins 1975；Jensen，Black和Scholes 1972；Haugen和Baker 1991）。我们测试了股票因子之间的波动率影响，并根据两条多空中基础股票的日收益计算了给定月份每个股票因素的因子波动率。
因子拥挤度
拥挤度是衡量不同投资者优于申购相同证券而受到冲击的风险。同样，基于相同因子构建的投资组合容易出现拥挤，使用 Gustafson 和 Halper[2010]、Cahan 和 Luo[2013]、Lou 和 Polk[2012]提出的配对相关性捕捉因子拥挤。同时由于许多投资者只能做多，我们认为因子多头和空头的拥挤程度是不同的，因此我们在多头和空头中分别计算因子拥挤度。
方法论
我们将横截面特征纳入Brandt等人（2009年）的PPP中，这使我们能够在基于效用的投资组合优化中利用信息内容。
Markowitz（1952）的均值-方差方法的应用要求估计所有资产收益的一阶矩和二阶矩，但是Brandt等人（2009）提出了一个更为简约的优化问题，该问题导致了维数的极大降低。具体来说，他们考虑了一个寻求在投资组合收益 上最大化条件预期效用的投资者：
其中 ，t表示资产i的投资组合权重， 表示在时间t的资产数量。将投资组合权重建模为资产特征 ，t的线性函数：
其中 表示基准权重，φ是通过效用最大化估计的系数矢量， 表示标准化因子特征。公式9中的参数化隐式假定这些特征完全捕获了资产收益率的联合分布。
这些特性在所有因素的时间t处进行了截面标准化，从而使截面分布随时间保持不变。由于每个标准化特征的横截面均值为零，因此与基准的偏差等于零投资组合。
结果，最终投资组合的权重总和为100％。优化问题被进一步简化，因为在特定时间t最大化投资者的有条件预期效用的系数在时间上是恒定的，并且交叉资产，使得可以根据φ系数来写出优化问题。参数投资组合收益
由基准投资组合收益和特征收益（均在时间t +1处）驱动。对于均方差效用函数，原始优化问题（方程式8）可以写为
可以重述为
其中 是样本协方差矩阵， µ 是特征收益向量的均值，而 是基准投资组合收益和特征收益向量之间的协方差的样本向量。
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实证結果
下表中的面板B展示了基于单变量PPP的六个因子倾斜分配的估计结果和效果统计数据。在单变量模型中，唯一的显著系数表明股票因素之间存在短期价格动量效应。
因此，相对于基准，价格动量为正的因子将被超配，而价格动量为负的因子将被低配。基于动量的相应PPP的年化总回报率比同等加权基准高65个基点（即3.87％– 3.22％），但波动率增加了27个基点（即2.99％– 2.72％）。这些数字对应于动量的总IR为0.90。尽管在单变量情况下其余因子的特征要弱于动量，但有些因子的总IR也很积极，尤其是波动性和拥挤（空头）。
面板C不仅考虑动量，还考虑了多变量PPP中的所有六个特征。在多变量框架中，动量系数在统计上仍然很重要；拥挤（长）和拥挤（短）的那些现在也变得很重要。与单变量情况一样，动量仍然具有正系数，导致价格动量为正的因子的权重过高，而价格动量为负的因子的权重过低。拥挤（长）和拥挤（短）呈现负系数，从而导致拥挤因子的权重不足。
相对于单变量动量策略，多变量案例的总收益降低了10个基点，因子倾斜法的总alpha值为55个基点（即3.77％– 3.22％），而波动率则增加了27个基点。（即2.99％– 2.72％）与基准相比。该策略的总IR为0.70，证实了所选特征对因子配权的有用性。然而，这种积极的组合每年的双向换手率为399％，这表明因子配权调整频繁。
计入交易成本后，该策略的净回报率仅为2.01％，而同等权重基准的净回报率为2.21％。由于交易成本而导致的收益减少导致夏普比率为0.67，负IR为–0.23。
因为交易成本完全消耗了全部配权因子的好处，所以您可能想知道，精心挑选的一组因子配权是否会带来更好的结果。
但是，当我们关注在整个样本期间内被证明具有统计学意义的三个特征时，扣除交易成本后，因子配权政策的效果仅比1 / N基准高7个基点（即2.28％– 2.21％）。
尽管有事后偏见的好处，人们的净IR仍将低至0.09。因此，考虑到交易成本时，因子择时和配权的PPP分配很少保留任何增值。
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平滑均值-方差因子分配
因为我们的分析方法根于均值-方差框架，所以我们研究了三种平滑PPP分配的方法，这些方法用于因子择时和因子配权，这可能会导致在扣除交易成本后提高绩效。第一种补救措施在优化过程中增加了限制条件，以避免投资组合过于集中，并限制了均值-方差框架中误差最大化的影响。第二种补救方法是将Black–Litterman（1992）收缩应用于优化输入，这将导致更稳定的因子分配。第三种补救措施是施加交易成本罚款，以减缓投资组合权重从一种优化到另一种优化的变化。
约束条件
引入投资组合约束是减少投入的抽样误差的有效手段（Jagannathan和Ma 2003）。在我们的上下文中，我们应用了仅长期约束以及对因子权重设置10％的上限。
Black-Litterman压缩
为了减轻经典均值-方差优化对输入数据的敏感性，Black-Litterman方法将投资组合资产的原始主观观点与与某些先前的市场均衡有关的客观观点相结合（Black and Litterman 1990，1992; He and Litterman 2002 ）。根据主观观点的置信度，最终的Black-Litterman均值-方差分配控制着市场均衡观点的偏离量。
将该概念转换为PPP框架很简单。我们仅使用标准的Black–Litterman主公式来估计收益和方差－协方差矩阵。我们将所有关联的θ和φ项（参见公式5和公式9）设置为零，以将投资组合优化锚定在同等加权的基准因子分配中。
关于θ和φ的主观观点是相应的（综合）因子投资组合收益（用于因子择时）或特征收益（用于因子倾斜）的历史均值。Black-Litterman方法中的隐式收缩不仅将原始均值-方差分配缩小到较低的跟踪误差水平，而且还会影响θ和φ的相对大小。尤其是，收缩方法重新评估了时间序列指标和横截面特征的相对重要性，最终导致最优要素分配组合的去极端化。
交易成本惩罚项
考虑到PPP的均方差目标函数的二次性质，我们考虑添加一个二次交易成本惩罚项，该项在择时和倾斜因子分配的水平上将是有效的：
其中，Γ表示交易成本矩阵，而∆w = w-w0是相对于初始要素分配权重 的权重变化。重新排列条件产生
在这里，我们在因子水平m上设置期望收益，该期望收益等于当前因子定时或倾斜分配的隐含收益。
添加交易成本损失有两个作用，使优化器不太愿意偏离当前分配。首先，交易成本损失隐含地导致当前投资组合持有的预期收益增加。其次，交易成本的惩罚人为地增加了组合的波动性，从而降低了任何因子在风险方面的总体吸引力。这两种影响的程度最终取决于基础交易成本矩阵的选择：具有很高交易成本的约束最终导致制约因子动态分配。
平滑对因子择时和配权的影响
平滑因子择时和配权分配降低了因子分配的换手率和交易成本，但是投资组合分配的结果变化可能不利于原始动态均值-方差因子权重的总alpha潜力。
实际上，如面板A所示，从普通的均值方差优化（MVO）到结合使用所有三种平滑方法的平滑分配，因子时序的总alpha潜力减去了15 bps。
这种下降与以下事实相吻合：高换手因子（例如一个月因子动量）正在推动大部分PPP总表现。
但是，总alpha潜力的减少可以通过观察到的换手率减少来弥补。因子择时的双向换手通过平滑从480％降低到176％，而因子配权的比例从399％降低到138％。
的确，即使采用了所有三种平滑方法，如上表中的面板B所示，因子择时仍然提供了比1 / N基准高50 bps的净超额收益（即2.71％– 2.21％）。对于因子配权，因子分配的平滑使净策略收益仅增加至1 / N基准水平，净有效收益为–2个基点（即2.19％– 2.21％）。因子择时的跟踪误差为1.07％，对应于IR交易成本净额0.47。对于因子倾斜，平滑处理导致跟踪误差为0.52％，净IR仅为–0.04。
最后，尽管基于全面特征集的因子配权策略可以从均值-方差因子分配中略微受益，其7 bps的净活跃回报（MVO）略有降低，由5 bps降至2 bps（即每年2.23％–2.21％），因此其IR从0.09降至0.06。
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总结
本文为有关基于预测的因子分配是否可以在多样化的被动因子分配之上增加价值的持续辩论提供了帮助。考虑到经典Markowitz模型的众所周知的弊端，我们应用了Brandt和Santa-Clara（2006）以及Brandt等人（2009）引入的参数组合策略（ppp）。
通过使用一组全面的全球股票因子，我们将时间序列和横截面信息纳入模型，并测试了是否可以通过使用PPP模型来改善同等加权因子分配的样本外性能。
忽略与因子分配换手相关的交易成本，我们发现使用基本和技术时间序列预测因子进行因子择时产生了统计上的显着性和经济性相关结果。
同样，利用横截面信息的因素配权策略有利于短期动量为正的因子，而避免出现拥挤的因子。由此产生的高投资组合换手率需要相当可观的交易成本，但是，这往往会侵蚀组合收益。通过施加交易成本惩罚項和Black-Litterman压缩来限制投资组合的分配，有助于保留基于时间序列的因子择时方法交易成本之后的部分绩效，但因子配权则不能。从从业者的角度来看，本文讲述了一个警告性的故事，说明动态因子分配相对于简单持有同等加权的因子投资组合所带来的多元化收益的收益。尽管如此，用于最佳因子择时和配权的参数化方法仍为投资者提供了一种有效的基础方法，以测试其他洞察力或信息的相关性。我们的研究为在交易成本扣除后在较高的动态水平上增加动态因子分配的可能性提供了可能性。