量化投资
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导语
1989年发表的论文《The Fundamental Law of Active Management》及其随后的相关论文揭示了寻求主动投资的$\alpha$收益的数量化关系，这为主动组合投资管理带来一套令人信服的分析框架，这个数量化关系很好揭示了数量化技术(量化投资)可以如何或者应该如何切入投资管理领域。
和被动组合管理(passive porfolio management)相比,主动组合管理(active porfolio management)更显投资水平的能力，或者说运气。被动投资力求完全复制相应的基准成分股及其权重，所以每当某指数做成分股的调整时，新入选的股票会走稍微强，被剔除的股票会走弱，源于追踪该指数的被动型基金需要做仓位调整。主动投资积极发挥投资管理人的主观判断力，选股(stock selecting)和择时(market timing)：选股在理论和实践上都是可行的；择时，包括市场择时和因子择时。
什么是$\alpha$与$\beta$
资本资产定价模型(CAPM模型)强调证券市场组合是唯一的风险来源，个股的特别风险(specific risk)可以通过组合分散化，故不会有风险补偿。个股的期望超额收益仅与市场组合收益相关，且其关系为简单的线性关系：
$E(R_i)-R_f =\beta_i(E(R_M)-R_f)$
这里的，即个股和大盘的关联强度，$ R_f $为无风险利率。
多因子模型进一步补充到个股的收益由$K$个共同风险因子的风险补偿决定，而且和其对各个因子的暴露程度成线性关系：
$ E(R_i)=R_f+\sum_{factor_j=1}^K{\beta_i*E(R_{factor_j}) }$
投资组合中源于这些风险因子带来的收益称为$ \beta $收益，不可被这些风险因子解释的收益称为$ \alpha $收益。
信仰主动投资的人即使承认上述的理论，也认为现实世界市场不是一直以均衡或无套利状态下运行，故而他们相信，股票的收益率存在着
$ R_i=\alpha_i+R_f+\sum_{factor_j=1}^K{\beta_i*R_{factor_j}}$
对于某些股票是严格为正的，有些是严格为负的。他们致力于找到那些具有正的$\alpha$的股票。$\alpha$收益即为独立于其它具体风险的收益。某基金收益比之业绩基准收益存在显著的$\alpha$的话即为下面关系中$a_{fund}$显著不为0:
$ R_{fund}-R_f =\alpha_{fund}+\beta_i*(R_{benchmark}-R_f)$
故$\alpha$收益率即为上述回归残差收益率$ a_{fund}$(residual return)。
寻找$\alpha$有什么用
$\alpha$收益是独立于其它具体风险的收益，寻找$\alpha$收益可以在你不增加额外风险情况下获得额外收益。组合通过超配具有正$\alpha$的股票，低配负$\alpha$的股票，同时保持各风险因子的暴露程度与指数基准一致（各$\beta$不变）可以做到“战胜”指数基准。
同时，当存在稳定且可观的$\alpha$时，可以通过对冲策略来对冲掉具体风险（比如做多股票通过做空股指期货对冲市场风险），而获得低风险、小回撤但稳健的回报。
主动投资策略如何寻找$\alpha$
衡量一个主动投资策略的绩效最核心的指标是所谓的信息比例(IR,Information Ratio ),主动投资的$\alpha$收益与该$\alpha$波动程度的比值。它本质是一个风险调整后收益的衡量。IR越大，说明该策略越有吸引力。
$ IR = \frac{\alpha_A}{\sigma(\alpha_A)} $
IC是另外一个重要的指标，其衡量的是一个因子的预测收益率与其真实收益率的相关性，由通过计算股票的预测收益率（在$t-1$期末预测$t$期收益率）和真实收益率的横截面相关(cross- section correlation)得到：
$IC = CORR( \hat{r}_t|t-1,r_t) $
在一系列的简化假设下，存在如下的所谓主动管理基本定律(The Fundamental Law of Active Management)： hat $ IR = IC*\sqrt{N}$
N代表独立的投资决策次数。
大体意思是：如果你的策略基于某个因子值进行预测，则因子预测有效性高（即IC越大越好），同时预测的标的资产越多、预测的独立性越大越好（即N越大越好），IR就越高。
故性价比高的策略需要兼顾因子的预测能力及预测范围，如果某个有效的因子只能局限于预测少数的资产标的，则该策略IR不会高，同时明显限制了该策略可容纳的资产规模。
实务中确实存在这种情况，追求可靠性高的买卖信号时，它发出买卖信息的频率或标的总是比较地低和少，而频率高的策略，胜率却总是比较低。
$\alpha$的来源
在一些简化的假设下(各股票相同收益率分布等)，对于用单因子预测股票收益率，可以得到如下的$\alpha$来源：
$ \alpha_i =\sigma(r_i)* IC*Z_{score}(i) $
$Z_{score}(i)$ 为股票$i$在该因子值的标准化得分。该公式表达的思想是：
$\alpha $ (残差收益率) = 波动率 * IC * 预测得分 =机会 * 预测能力* 预测得分置信程度
比如，盈利超预期因子，该因子通常与随后的股票超额收益（$\alpha $ ，实际收益率-预期收益率）存在强相关关系，假设IC值为0.8，代表该因子的预测能力相当高，股票A和B在该因子的标准化得分分别为1.2,1.8,相同波动情况下，则B的$\alpha $ 会更高，因为1.8意味着股票B比A更超预期，故其超原先预期收益的程度会更大。
该公式虽过于严苛的假设，实际应用受很大局限，但它提供了如下非常有意义的洞见：
1)波动率，即机会。没有波动的资产，或者波动低的资产，难以从中得到大的$\alpha $
2）IC，即预测能力，投资不过是一种预测，挖掘更多信息，寻找具有预测能力的因子，是获得更多$\alpha $ 的前提，这是决定主动投资战胜指数基准的根本因素。
3）预测得分，将IC的预测能力转为对各标的资产的打分，进而做到了正、负$\alpha $ 的区分。
IC，是所有主动投资策略的核心能力，尤其以量化投资的角度看，无非是运用更多更全的数据、更优化更先进的数学模型，挖掘出更有预测能力的高IC因子，当你具备高IC的因子时，上述公式告诉你，你可以获得高的$\alpha $ 。内幕消息就是那一类具有非常高IC，而普通人又无法拿到的因子。
现实世界
遗憾的是，现实世界，任何因子的预测能力是动态变化的，即IC不是常数，一段时期该因子预测能力强，一段时期弱，甚至完全不相关。筛选因子不难，利用各种回测平台，可以很快计算各个因子在过去的预测能力，你可以筛选各时间段平均IC绝对值大于某个阈值的因子作为有效因子。但因子择时仍然很困难，决定当下哪些有效因子在起作用，以及其有效性将会维持多久不是简单的事，因子择时仍有“艺术”成分，仍需投资者“拍脑袋”决定。国内券商的因子研究报告引用因子半衰期的概念，按某因子预测收益率排序筛选出来的前N个股票若超过一半的股票不在真实收益率排序top N时，说明该因子在当前开始失效，需要谨慎使用。
IC的波动性如此重要，以至于通过一些其他的简化条件，有：
$ IR = \frac {\bar {IC}}{\sigma(IC)} $
即IR为IC的均值比其标准差，IC波动性被认为是投资策略的模型风险，如果投资策略IC方差大，意味着该策略在历史回测上表现良好，在未来可能遭遇滑铁卢。
寻找高IC的因子和机器学习中寻找有解释力的特征变量一样，属于特征工程的苦力活，可以用暴力的方法，搭一套大集群测试成千上万的的因子及其组合，力求找到最佳因子组合，也可以结合人的先验知识来自我定制。
结束语
$\alpha$ = 波动率 * IC * 预测得分 =机会 * 预测能力* 预测得分置信程度
虽然推导该公式相当复杂和些许牵强的假设，但不妨碍其给出了有力的洞见，相当于给出了主动投资管理的框架，对于使用大数据技术来助力主动投资策略的开发，更是相当有指导意义。实际中，可以不必直接预测股票的收益率，只需计算因子秩值及其收益率相关性（或者直接使用秩相关系数），或者自定义一种距离来衡量因子值和收益率之间的关系，当我们获得了高IC的因子时，我们按因子排序取top N的股票即可以作为我们的投资组合了。
参考文献
- Grinold, Richard. "The Fundamental Law of Active Management."journal of Portfolio Management, vol. 15, no. 3, 1989, pp. 30–37.
- Grinold, Richard C. "Alpha Is Volatility Times IC Times Score, or Real Alphas Don't Get Eaten."Journal of Portfolio Management, vol. 20, no. 4, 1994, pp. 9–16.
- Active Portfolio Management(2ed.Grinold,Kahn)
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