解决规模效应的问题
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摘要
文献来源：Blitz, David. Hanauer, Matthias. Settling the Size Matter: The Journal of Portfolio Management Quantitative Special Issue 2021, 47 (2) 99-112.
推荐原因：规模溢价自被发现已有近四十年，然而规模因子的alpha一直很微弱，但是当控制质量因子(quality-versus-junk)暴露时，因子似乎又恢复了活力。本文发现，在美国市场，规模因子对质量因子回归后呈现出非常显著的alpha，然而超额收益主要由质量因子的空头端驱动，因而该alpha可以事后以回归模型估计，却难以在事前通过控制质量因子暴露来捕获。虽然规模因子难以贡献实质性的alpha，但本文发现常见的选股因子在小盘股中拥有更高的风险调整后收益，小市值暴露对于释放价值、动量等因子全部潜力至关重要。规模因子作为单独的选股指标很弱，但是对于其他因子而言它将是一个强有力的催化剂。
介绍
Banz(1981)发现小公司比大公司有更高的风险调整收益，这是对资本资产定价模型(CAPM: Capital Asset Pricing Model)和一般市场效率的重大挑战之一。然而，在20世纪剩余的时间里，规模溢价未能实现，随着时间的推移，规模效应在发现后似乎已经慢慢的消失。在千禧年的第一个十年(2000-2009年)期间，小盘股强势回归，van Dijk(2011)提醒说，"规模效应已经消失的结论为时过早"。不过这种复兴结果是短暂的，因为在随后的十年（2010-2019）中，规模溢价再次未能实现。总的来说，规模因子自近四十年前首次公布以来，活跃时间短暂，表现不显著。基于对规模效应的长期研究，Alquist、Israel和Moskowitz（2018）得出结论："规模溢价表现显著这个观点，既没有强有力的经验证据，也缺乏强有力的理论支持。"他们确实承认，规模可能是解释共同基金回报的一个重要因素，而其他因子，如价值，往往在小型股票中更有力量，这可能是在只受制于长期投资组合中超配小型股票的一个原因。但 "简单且大面积向小盘股倾斜，不太可能提供过多的溢价"。
这些发现与Asness等人（2018）的发现形成了鲜明的对比，他们发现，如果关键因素是控制企业的“绩优与垃圾”的特征，那么从同样的数据中就会出现强烈而明显的规模溢价。他们的方法包括对“小-减-大（SMB: Small-Minus-Big）”（即市值小的公司组成的投资组合回报与市值大的公司组成的投资组合回报之差）投资组合回报率进行各种控制因子的时间序列回归，包括Asness、Frazzini和Pedersen（2019）的“质量-减-垃圾（QMJ: Quality-minus-junk）”因素。SMB组合原来对QMJ因子有很强的负向影响，说明平均小盘股的质量特征比大盘股差得多。时间序列回归中的α意味着，如果考虑到小盘股和大盘股之间的质量差异，美国股市中则明显存在着高度显著的小盘股溢价。Esakia等（2019）在控制Fama-French（2015）的五因子模型中的因子时，也发现了类似的结果。特别是在规模因子对Fama-French盈利能力（RMW）因子表现出较大的负向影响的前提下，当调整该风险敞口时，规模溢价也变得显著。Asness等人（2018）和Esakia（2019）的结果相似也并不令人感到奇怪，因为QMJ和RMW因子高度相关，Hou和van Dijk（2019）也将规模溢价的重要性与盈利效应的相互作用联系起来。
本文探讨了关于规模溢价最新的实际意义。我们证实了这样一个结果，即在美国SMB投资组合收益率对质量（-类）因子的时间序列回归中出现了明显的规模溢价。而对于国际股票市场，我们发现规模对质量因子也是负向影响，但在控制了这些关系后，规模溢价在经济上仍然很小，在统计上也无法与零区分，无法被证实。因此，规模溢价大且显著的存在仅限于美国市场，并不延续到国际市场。
接下来我们将更仔细地研究美国市场的规模溢价。在时间序列回归模型中观察到的显著的规模溢价是事后的结果，而这种α如何用可投资的策略去实施还没有找到完美的答案。我们发现，替代性的中小板因子，即事前控制QMJ风险的因子，表现出与标准中小板因子相似的表现。因此，在时间序列回归中观察到的α似乎超出了投资者的实际能力。美国市场的回归结果确实意味着，即使是一个简单的中小板投资组合，在与优质投资组合相结合时，也能够带来显著的增值。由于实践中的因子投资策略通常只遵循多头的方式，因此我们将因子进行细分，将其分为多头和空头，进一步检验这一结果。我们的检验表明，在时间序列回归中，中小板的附加值完全被优质因子的短边驱动，在控制优质因子的长边时，不存在规模溢价。换句话说，只做多因子策略并不能从增加通用小盘股风险中获益。
总而言之，规模的附加值似乎仅限于专门做空美国垃圾股的投资者。然而，这一结果并不意味着投资者在只做多因子策略方面，应该被鼓励追求规模中立。正如Alquist、Israel和Moskowitz（2018）认为，在小盘股领域，价值等其他因子往往更强，这可能是结构性超配小盘股的理由，即使规模溢价本身为零。我们为这一论点提供了更多的经验支持，表明Fama-French因子给予市场中小盘股50%的权重，与没有给予小盘股如此高权重的相同因子相比，其α值非常显著。综上所述，在只做多因子策略中，如果采取向小盘股倾斜这一行为，可以成为释放其他因子全部潜力的强大催化剂。
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数据和方法论
我们的大部分数据都来自于公开资料，特别是Kenneth French、AQR4和q-factor5数据库。从Kenneth French数据库中，我们收集了超过无风险利率（Mkt）的市场回报率，以及经典的规模因子（SMB）、价值因子（HML）和动量因子（WML）。此外，我们还获得了Fama和French（2015）最近引入的盈利能力因子（RMW）和投资因子（CMA）。从AQR数据库中，我们得到Asness、Frazzini和Pedersen（2019）的绩优减垃圾（QMJ）因子。从q库中我们得到了Hou、Xue和Zhang（2015）q因子模型中的投资（IA）和股本回报率（ROE）因子，以及Hou等人（2020）中描述的最近增加的预期增长因子（EG）。
HML、WML、RMW和CMA因子均采用2x3独立排序的投资组合构建。在规模维度上，以纽约证券交易所（NYSE）市值中位数为分界点，将整个市场划分为大股与小股，并以纽约证券交易所第30和第70百分位数为分界点，创建各种因子标准的顶、中、底标准，进行组合。HML采用账面市值比，WML为过去12个月的回报率（不包括最近一个月），RMW为经营利润率，CMA为总资产增长率。最后的系数是通过在两个资本加权的顶级投资组合中采取五五开的多头组合和在两个资本加权的底部投资组合中采取五五开的空头仓位来计算的。QMJ因子是基于与盈利性、成长性、安全性和报酬率相关的约20个变量的组合，并使用2x3条件排序（先是规模，然后是质量）构建。网上可查的QMJ系列采用前一种方法，即条件排序。IA和ROE因子来自于2x3x3独立排序，而EG因子则采用标准的2x3独立排序。
规模因子SMB的构建方式不同。一个直接的办法是，简单地取高于纽约证券交易所中间市值的股票与低于纽约证券交易所中间市值的股票的价值，并计算其加权收益率之差(SMBraw)。然而，Fama和French(1993)认为，这种方法可能会带来价值的二次暴露，因为小盘股的平均账面市值比可能与大盘股不同。为了将SMB因子正交于价值，他们通过取三个小盘股投资组合的平均数减去三个大盘股投资组合的平均数来计算，这三个大盘股投资组合来自于同样的2x3规模和价值排序，用于构建HML价值因子（SMB3F）。与Asness等人（2018）类似，我们将使用这个经典的规模因子作为我们分析的基础案例。
我们还考虑了各种可供选择的规模因子，它们都试图以不同的方式来控制事前的质量因子。我们的第一个替代方案是Fama和French（2015）的新规模因子（SMB5F），它取代了他们的经典规模因子（SMB3F）。在三因子模型扩展到五因子模型后，增加了盈利能力因子和投资因子，如果只将规模因子正交于价值因子，就有些武断了，所以Fama和French（2015）重新定义了SMB因子，不仅考虑了2x3规模/价值排序，还考虑了2x3规模/盈利能力和2x3规模/投资排序，并取9个小盘股组合的平均值减去9个大盘股组合的平均值。由于在时间序列回归中，盈利能力（RMW）因子的载荷是驱动规模显著α的主要因子，我们还考虑了单纯基于2x3规模/盈利能力排序的规模因子（SMBRMW）。除此以外，我们还考虑了基于AQR数据库中提供的2x3规模/质量排序（SMBQMJ）的规模因子，以及基于2x3规模的独立排序和股票对QMJ因子的事前β值（SMBbeta_QMJ）的自建规模因子。 最后，我们考虑基于规模、投资（IA）和股本回报率（ROE）的2x3独立排序的规模因子，取9个小盘股组合的平均值减去9个大盘股组合的平均值（SMBIA-ROE），以及基于规模和预期成长性的2x3独立排序的规模因子（SMBEG）。
对于美国，我们的样本涵盖了1963年7月至2019年12月（Fama-French/AQR数据）或1967年1月至2019年12月（q-factor数据），这是所有可以接触到的数据系列中最长的时期。我们还考虑国际样本，数据时间为1990年7月至2019年12月（Fama-French数据）或1993年7月至2019年12月（AQR数据）。所有投资组合均为资本加权，所有回报率单位均为美元。
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美国市场与国际市场对比结果
美国规模因子（SMB3F）的时间序列回归结果见表1。原始规模溢价为每月0.19%，t统计量为1.68，在10%的置信水平下微弱显著。然而，在调整了市场β风险后，该规模溢价降至0.08%，并不显著。另外调整滞后的市场β风险敞口以考虑小股票的非同步交易，如Asness等（2018），规模溢价进一步下降到非常微不足道的0.02%。当另外控制经典的价值和动量因子时，规模溢价仍然不存在，但当加入两个新的Fama-French因子时，规模溢价跃升至0.22%。相关的t统计量为2.05，略高于统计学意义的5%标准置信度。这种提升的主要驱动力是盈利能力因子RMW的高度显著的负载荷。这一结果与Esakia等人（2019）的研究结果一致。
当我们插入Asness、Frazzini和Pedersen（2019）的QMJ因子代替两个新的Fama-French因子时，规模溢价跃升至每月0.42%，t统计量为3.98，高度显著，这是由QMJ因子的强负向影响所驱动的。这一发现与Asness等人（2018）的结果完全一致，并证实了他们的结论，即控制绩优与垃圾风险敞口后，可以证实美国股市存在强烈而明显的规模溢价。使用扩展q模型代替Fama-French/AQR模型，我们发现规模溢价更强，每月达到0.60%，t统计量为4.90。在这种情况下，α是由IA、ROE和EG因子的高度显著的负载荷所驱动的。这似乎是同一现象的另一种表现形式，因为ROE和EG也是与质量相关的因子。
我们接着研究美国的调查结果是否适用于国际市场。表2和表3显示了国际地区类似的时间序列回归结果，前者包含基于Kenneth French数据的结果，后者包含完全基于AQR数据的结果。在所有情况下，我们都观察到原始规模溢价基本不存在，甚至会给人错误的信号，而且在控制了市场风险敞口和传统的价值和动量因子后，这种情况并没有改变。另外控制两个新的Fama-French因子，即盈利能力因子和投资因子，几乎不会改变结果。改用QMJ作为控制因子，我们发现该因子的载荷始终为负，其中许多因子高度显著，导致估计的α值较高。这一结果再次与Asness等人（2018）一致。然而，至关重要的是，我们还发现在所有情况下，规模溢价在统计上仍然不显著。
表4根据AQR数据库的数据，提供了其他国家层面的结果。我们观察到，美国市场是唯一一个在控制了QMJ因子后，规模溢价的t统计量高于2的市场。在其他23个国家中，只有3个国家的规模溢价在10%的水平上非常显著。对于其他20个国家，规模溢价在经济上仍然微弱，且在统计上表现不显著。总而言之，尽管控制绩优与垃圾风险持续增加规模溢价的估计幅度，但美国是唯一市场，其效应强到可以获得无可争议的显著规模溢价，对于国际市场来说，即使控制了重要的绩优与垃圾风险，其规模溢价在统计上仍与零无异。
深入研究美国市场
时间序列的结果表明，只要控制了绩优与垃圾股的风险，美国市场上存在着显著的规模溢价。然而，这是一个事后回归的结果，问题在于如何用实际的投资策略来体现这种溢价。控制绩优与垃圾股的事前风险似乎是一个可行的方法。这种调整可以通过多种方式进行。如方法论部分所述，我们将考虑Fama-French 五因子模型的新规模因子(SMB5F)、基于2x3规模/盈利能力排序的规模因子(SMBRMW)、基于2x3规模/质量排序的规模因子(SMBQMJ)。一个基于2x3规模排序的规模因子和股票过去36个月的β朝向QMJ因子（SMBbeta_QMJ），一个基于2x3规模/IA/ROE排序的规模因子（SMBIA-ROE），以及一个基于2x3规模/预期增长排序的规模因子（SMBEG）。将规模因子按构建的质量因子作为条件，可以预测到会导致较高的原始溢价，而在时间序列回归中，质量因子的事后载荷为中性，或至少低得多。
表5显示了各种质量条件下的美国市场规模因子的影响结果。我们发现，其他规模因子的原始回报率相似或更高，但所有这些回报率都远远低于在表1中观察到的α。此外，当控制同期和滞后市场风险时，我们发现t统计量在0.17和1.19之间变化，因此在控制基本市场风险后，没有一个替代性的规模因子能够去试着接近统计意义。诚然，在控制了质量风险敞口的回归中，α又完全回来了，但问题的关键是如何通过中和这种风险敞口的规模因子，将这种α转化为实际收益。然而，质量条件下的规模因子在事后仍然都表现出巨大的质量缺陷。总而言之，在时间序列回归中事后清晰可见的规模溢价似乎是投资者所无法企及的，因为以事前控制质量为目的的可投资策略也是无法提取α的。
虽然很难尝试的隔离出和捕捉到美国规模因子的α，但回归结果确实意味着，当与质量因子一起使用时，中小板会带来显著的价值。换句话说，拥有优质风险敞口的投资者可以通过在投资组合中增加规模风险敞口来扩大边界有效效益。然而，因子投资的实施通常只采用多头投资组合，而不是QMJ因子等多空策略。只做多的投资者希望收获质量溢价，会做多优质股票，但不会做空垃圾股。因此，我们考察小盘股的附加值在多大程度上是由质量因子的做多和做空驱动的。我们按照Blitz、Baltussen和van Vliet(2020)的方法来做，他们将每个因子分解为各自的做多头和做空头。他们使用同样的2x3排序来构建标准因子。其中标准长空头系数是由两个顶级投资组合中的50-50多头和两个底层投资组合中的50-50空头仓位构成的，多边的定义为两个顶级投资组合中的50-50多头和两个中间投资组合中的50-50空头仓位，空边定义为两个中间投资组合中的50-50多头和两个底层投资组合中的50-50空头。这边需要注意的是，多边和空边的总和是原始系数。
小盘股是强大的催化剂
如果不存在规模溢价，那么人们可能会得出这样的结论：投资者应该努力做到规模中等的投资组合。然而，这样的结论忽略了强大的交互效应的存在，比如规模与价值等其他因子之间的关系。众所周知，因子溢价往往在小盘股中比在大盘股中更大，见Fama和French（2012，2015）。Fama-French因子构建方法利用了这种现象，对市场中小盘股的因子表现给予了过高的权重。例如，即使是大盘股约占总市值的90%，HML价值因子对大盘股领域和小盘股领域的估值低增长的多空组合给予同等的权重。学术界的多空因子对大盘股和小盘股保持净值为零，但多头投资者只想从小盘股领域因子的较强表现中获益。在他们的投资组合中，除了接受小盘股的超重仓位外，几乎别无选择。造成这种现状的原因是，在只做多的投资组合中，股票的权重下限不能超过它们的基准权重，对于小盘股来说，其权重甚至可以忽略不计。因此，在小盘股中超配仓位的因子投资组合不能用类似规模的股票来抵消。低配小股票的仓位，这些股票属于因子组合的做空投资。就像是Alquist、Israel和Moskowitz（2018）所说："其他因子在小盘股中影响显著，可以成为一个即使没有纯粹的规模效应，也可以超配小盘股的原因。"
正确评价小盘股相对于大盘股的因子溢价的吸引力，不应以原始收益为基础，而应以风险调整后的收益为基础。例如，如果小盘股的价值溢价会比大盘股高50%，但所涉及的风险却比大盘股高100%，那么在风险调整后的基础上，小盘股的价值溢价实际上会变弱。我们通过将标准学术因子回归到调整后的因子上，正式研究在针对其他因子时给予小盘股更多权重的附加价值，调整后的因子不会给予小盘股过大的权重。我们用90%和10%的权重代替50%和50%的权重来定义调整后的因子。例如，调整后的HML因子按照大盘股和小盘股的实际市值，对大盘股估值与成长性股票采取90%的多空仓位，对小盘股价值与成长性股票采取10%的多空仓位。
结果见表7，其中调整后的因子用星号（*）表示。我们发现，标准的学术因子对其调整后的版本有很大的影响，但其α一直为正。此外，这些α在每个例子中都有统计学意义（美国RMW中的α除外）。这些结果意味着，在确定因子溢价时，给予市场中小盘股不成比例的高权重可提供独特的额外α，而小盘股在市场组合中的作用仅限于其权重的因子则无法获得。对于只做多头的投资者来说，这意味着即使没有规模溢价，超配小盘股也可能是可取的，因为小盘股可以作为一种强大的催化剂，充分释放其他因子的潜力，如作为价值和动量。在小盘股领域寻找其他因子所带来的较高预期收益，必须与小盘股带来的系统性风险相平衡，特别是小盘股总体上大幅或长期落后于资本化加权指数的风险。
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结论
规模溢价在被发现后的四十年里未能被证实，但最近的研究表明，在控制绩优与垃圾风险的时间序列回归模型中，确实可以证实出现了非常显著的规模溢价。如果存在着表现显著的规模溢价，那么在理论方面有助于资产定价，在现实方面也具有重要的实际投资意义。本文的目标是拨开规模溢价的迷雾。
我们证实了在时间序列回归模型中控制绩优与垃圾股会导致美国市场出现显著的规模溢价的结果。然而，对于国际市场，我们发现，尽管规模对绩优与垃圾股也有负向影响，但这种关系并不强烈，不足以获得统计学上显著的规模溢价，这使得美国成为例外。深挖美国这种结果背后的原因，我们发现，在事前控制绩优与垃圾股风险的多种尝试，都无法捕捉到在时间序列回归模型中事后显示的规模溢价。因此，这种α似乎是投资者无法企及的。虽然很难分离出美国规模因子的α，但回归结果确实意味着，当规模与质量结合使用时，会带来显著的价值。仔细观察这一结果，我们发现，它完全是由优质投资组合的短线驱动的，而对于长线来说，则是不可行的。总而言之，规模的附加价值似乎仅限于做空美国垃圾股的投资者。
在没有规模溢价的情况下，人们可能会得出这样的结论：投资者应努力实现规模中性的投资组合。然而，这忽略了规模与价值等其他因子之间存在强大的交互效应。尤其是小盘股的因子溢价往往大于大盘股。我们表明，标准因子组合的特点是小盘股的权重过高，与没有这一特点的因子组合相比，标准因子组合的α大且非常显著。这意味着规模因子可以作为催化剂，帮助释放价值和动量等其他因子的全部潜力，从而增加更多的价值。规模因子与其他因子之间的这种互动关系可能已经成为只做多的投资者系统性超配小盘股的充分理由，而不管规模因子这一特征本身是否获得溢价回报。