Smart beta与多因子组合的最优混合
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摘要
文献来源：Dopfel, Frederick E., and Ashley Lester. "Optimal blending of smart beta and multifactor portfolios." The Journal of Portfolio Management 44.4 (2018): 93-105. 推荐原因：随着机构投资者增加对smart beta基金的配置，以及多因子投资方法带来的复杂性提升，投资者们需要一个smart beta产品组合的配置指引。在设计一个多样化和高效的投资组合时，需考虑到因子的偶发性敞口和特殊敞口。因此，本文开发了一个标准框架，以供投资者们在投资组合中对单因子和多因子smart beta进行混合。本文还提供了一个案例，用于演示如何应用该方法来获取一个更好的投资组合。
评估smart beta和advanced beta的投资组合
Smart beta是指基于规则的做多市场敞口，期望获得的风险调整后收益能超过市值加权指数。Advanced beta又称多因子组合，是由一些smart beta或其它因子自下而上构建的。与其它的主动投资组合类似，在任何时期，一个独立的smart beta或者advanced beta策略可能相对于基准来说会超预期或者低预期。基于这些变化以及对smart beta择时的挑战，一个混合smart beta组合具有意义并且受大多数分析师推荐。但是，这并不意味着我们应该将每一个新的smart beta都加入到我们的投资组合中。 我们需要一个标准去测试新的smart beta是否有可能为投资组合带来附加价值。满足附加价值的标准需考虑两个问题。第一，我们能否通过现有的策略来解释候选策略的表现？ 第二，如果候选策略并没有重复已有的策略，那么额外的(残差的)敞口是否具有吸引力？严格来说，我们要问的问题是，在控制一般投资组合的风险敞口后，候选策略是否显示出正alpha。 基于ESBs的因子模型：本文首先定义了一个基于ESBs（elementary smart betas）的因子模型用于回答上述问题。 ESBs：是一个具有代表性的Smart beta集合（该集合中的因子数量较少），具备可投资性。 ESB因子：一个smart beta关联指数的超额收益。 基于ESBs定义的因子模型为：
选择ESBs：由于价值、规模和动量因子（来自Fama-French-Carhart）已经被研究和实践了数十年，因此我们将其定义为ESBs的初始因子。本文中使用的价值、规模和动量指数均为MSCI全球指数（ACWI）版本，因为该版本的指数具有成本低，跟踪误差小和可投资性。此外，我们从过去的研究中确认了价值、规模和动量的主动收益之间无相关性，价值和动量之间为负相关。 选择标准：该因子模型具有两个关键特性，一是用于评估新的smart beta 策略，二是为混合策略提供基础。该模型强调新策略提供的敞口应超出现有一般组合，其它细节将在下文的案例研究部分进一步探索。 模型假设：设置假设将会涉及到为ESB建立预期收益和协方差估计。对于候选策略，我们还需估计因子权重和残差风险及收益。后者涉及主观估计，类似于评估基金经理的预期alpha。基于ESBs的因子模型提供了一个框架，该框架可以帮助理解叠加smart beta和多因子策略的方式，以及组合权重的改变将如何改善整体的业绩。在下文的案例研究部分将给出一个完整的示例用于展示一些合理假设，以供参考。当然，本文对因子权重的估计有可能是错误的（模型有不确定性），对残差收益的估计也可能是错误的（参数的不确定性）；尽管如此，ESBs因子模型依然有助于减少候选策略的模糊性，并可能使得结论具备潜在的稳健性。
混合Advanced betas
投资于Smart betas、多因子策略和其它的advanced betas的目的是改善投资组合的业绩。本部分我们对框架进行简化，只考虑一种资产类别，仅在ESBs中添加一个advanced beta。本部分假设ESBs是不相关的，并且Advanced beta残差是与ESBs不相关的，并忽略对预算的限制。组合的总收益为：
总收益由基准收益（公式中的第一项）、ESBs的直接敞口（公式中的第二项），以及advanced beta带来的附加敞口（公式中的第三项，来自公式（1））构成。配置advanced beta修饰了敞口，为ESBs带来了附加的偶然敞口，也为advanced beta残差带来了敞口。期望收益和方差在重新排列之后为：
$\alpha_a$_b$： advanced beta的残差收益
$\omega^2_a$_b$: advanced beta的方差
最优配置：总回报
我们假设投资策略是固定的，但是我们对持有ESBs和advanced beta是不受约束的。最优持有由一阶导决定：
从公式（5）来看，ESBs的最佳配置是由ESBs的收益/方差的比值（公式（5）的第一项）推动的，并且对最佳持有的advanced beta（公式（5）的第二项）所导致的意外风险敞口进行了调整。同样的，从公式（6）中也可以观察到最优advanced beta的驱动因素。这里需要考虑杠杆/去杠杆效应对投资策略的影响。实际上，我们选择对advanced beta的最优配置，并且ESB配置提供了一个完成版组合去确保对ESBs的配置是最优的。
最优配置：主动收益
前面集中讨论了关于总收益空间中的资产配置问题。一个相关的问题是优化主动收益的期望效用去最大化 $U_A$=$ r_A$-1/2 $\lambda^2_A$。在这个问题上，我们关注的是主动收益（超越策略基准）和主动风险（跟踪误差）。基于公式（2），我们移除了第一部分（policy），并做一阶导来寻找最优配置。对主动问题的无限制最优持有为：
公式（7）结果与ESBs最优持有公式（5）的关系相同，公式（8）结果则是advanced beta最优持有的简化关系，并未提及杠杆/去杠杆化对投资策略的影响。 通过不同投资者的风险偏好（λ），我们可以生成一系列有效的投资组合，并比较不同投资组合的有效集。图1演示了一个例子，该例子在限制看多和总持有数量的基础上展示了在主动有效边界空间中advanced betas和ESBs的关系和区别。在这个例子中，组合0是一只没有主动收益和风险的指数基金，并未配置ESBs或advanced betas。组合5获得了最高的期望主动收益，主动风险预算为3%。可以将组合1选为最终投资组合，因为有最佳advanced beta敞口；组合3，偶然地去杠杆化影响了敞口；组合4，最佳ESBs组合，对组合3中的偶然性敞口有所调整；组合2，配置advanced betas得到偶然性的ESB敞口；组合4和组合2的区别表明，组合5相对于完成版组合有改善。 投资者根据各自的风险偏好（λ）可以选择主动风险预算，既可以高于组合5的主动风险预算也可以低于组合5的主动风险预算；在实践中，为每一个资产类别设置一个主动风险预算是很常见的。如果选择偏低的风险预算，那么最优投资组合则是组合0和组合5的结合，并且该组合将落在组合0和组合5所在的直线上。如果选择偏高的风险预算，那么最优投资组合位于组合5右侧的主动有效边界上，在该边界上，对持有和看多是具有约束力的。组合5右侧的投资组合没有配置指数，预期收益高于组合5，但随着主动风险的增加，信息比逐渐降低。
杠杆化和去杠杆化对advanced beta的影响
如公式（1），advanced betas和许多著名的smart betas常常被发现具有相对于基准指数的因子权重。例如，低波动smart beta——和建立在其之上的advanced beta——通常对股票指数有很大的负向权重（ <0），并且可能降低相关advanced beta的吸引力。配置具有该特征的smart betas消耗了大量的主动风险预算；在整个投资环境中，它们有效地改变了投资策略设定的风险敞口。如果对该类型的风险敞口有充分了解，那么可以通过补偿来调整战略资产配置或按指定无杠杆策略方式以低成本逆转这种影响。中和杠杆问题的进一步好处是，在这个案例中，对主动betas进行优化配置能够简化为主动案例。
案例研究
一个案例将有助于展示混合advanced beta和smart beta的原则和实用性。我们考虑到一个机构投资者正在寻找可以改善投资组合业绩的advanced beta，已有的一个投资策略是配置70%的股票和30%的债券（为简单考虑，忽略其它资产类别）。我们将列出假设，然后如前一节所述，展示股票投资组合中advanced beta的最优持有量。
假设
我们需要构建一个关于资产类别、ESB以及advanced beta的收益和协方差的假设。图2展示了在不同资产类别下，ESBs的历史收益和风险，以及假设的前瞻性估计。预测风险数据是基于历史数据得到的，预测收益是基于假设的前瞻性夏普比率。假设ESBs的夏普比在smart beta中相等，但是低于资产类别的夏普比。这些估计值是偏保守的；除了价值因子有溢价，其它预测数据均低于历史经验数据。在图2中，除价值和动量之间的相关性外，其它数据均不具备统计学意义。我们的前瞻性假设中价值—动量的相关性是-0.5，债券和股票的相关性是0.2。其它ESBs之间的相关性设置在0.2，以保守的提供更高的投资组合风险估计。
Advanced beta策略的假设是基于拟合公式（1）中的因子模型和分析师判断。我们研究了四种假设的候选advanced beta策略，表现如图4所示。这些样本中的因子权重是我们基于回报的风格选择的，可以代表一些可用的商业策略，并反映我们对每个因子的了解。例如，第一个候选方案是价值策略的变化，小市值敞口大于MSCI ACWI Value Index；第二个候选方案是更极端的向小盘股倾斜，并试图捕获未包含在ESB中的因子暴露。第三个候选方案是更直接的质量方法；第四个候选方案是低波动方法的代表。
基于我们的例子给出了合理的异质风险假设，残差是不相关的，每个advanced beta的信息比相等。因此，我们将通过信息比乘以残差风险来获得预期残差收益的前瞻性估计。
最优持仓和业绩
对于配置smart beta和advanced beta带来的敞口，我们假设其主动风险预算为3.0%。图5显示了从优化处理器中得到的最优（均值-方差-有效）持有情况和业绩。仅使用ESB（列1）时，该投资组合的预期主动收益率为1.4%。投资组合侧重于价值，其次是动量，最后是规模。该配置主要是由风险驱动的。由于价值和动量是负相关，因此具有更好的多元化收益。平衡价值和动量，价值应该被给予更高的配置比重，因为价值的风险小于动量。规模在组合中也有一席之地，因为该因子与价值和动量无相关性，并且风险处于价值和动量之间。由于多元化收益， smart beta-only组合的期望信息比为0.48，而smart betas成份的信息比仅为0.25。 只有advanced beta-only的投资组合（列2）对四种策略进行了配置。Advanced betas的配置由残差收益和风险的吸引力驱动，但也受到了有效资产组合的驱动，包括（在advanced betas3和4中）一些去杠杆化。在我们的框架中，去杠杆化消耗了一些主动风险预算，但也降低了总投资组合中的风险。基于我们对advanced betas和偶发性ESBs的选择（不允许直接调整ESBs），Advanced beta-only组合的业绩略微高于smart beta-only组合（Advanced beta-only组合的期望主动收益为1.5%，smart beta-only组合的期望主动收益为1.4%）。 图5也展示了smart beta和advanced beta合并后的结果。“无杠杆调整（列3）”中的结果表示，advanced beta中隐含的累积杠杆/去杠杆在整个投资组合中是被允许的。在这种情况下，持有advanced beta使整个投资组合远离了投资策略，为投资人带来了管理问题。在“有杠杆调整（列4）”的情况下，杠杆/去杠杆隐含在修正advanced beta中，以确保组合的整体配置与投资策略一致。可以通过不同的方式实现杠杆调整——投资者通过衍生品或调整资产配置来精确抵消，或者通过基金经理交付基准产品但不进行任何调整来实现。在smart和advanced beta组合中，期望收益提高至1.8%（无杠杆调整）或2.1%（有杠杆调整）。预期的主动收益/风险比为0.61（无杠杆调整）或0.68%（有杠杆调整），相比之下，只有smart beta-only组合为0.48，advanced beta-only组合为0.51。对比“无杠杆调整（列3）”和“有杠杆调整（列4）”中对advanced beta3和advanced beta4的配置权重，“有杠杆调整（列4）”的组合中对其的配置比例更高，这是因为与“去杠杆”相关的惩罚被抵消了。但无论是在哪种情况下，在混合advanced beta后，我们都能够从advanced beta的残差收益中获得附加收益和多元化收益，并且我们能够通过完成版组合调整ESBs的配置。配置advanced beta增加了对价值和规模的附加风险敞口，但对动量没有影响；因此，在完成版组合中增加对动量的直接配置是具备吸引力的。从结果来看，smart betas和advanced beta的混合组合提高了业绩。
对总投资组合的影响
图5中显示了三个投资组合的总收益和总风险，当与策略组合相结合时，该股票组合基于3%的主动风险预算。正如前一节讨论的，可以增加或减少主动风险的预算。投资者的决定应该权衡其需要达到的结果（总收益和风险）和其对自身选取具有超额收益的投资组合的信心。 图6显示了在不同的主动风险预算下投资者可能获得的均值-方差有效投资组合的范围。在普通有效边界上（对于传统资产类别），我们放置了一个主动有效边界（上一节中有介绍）衍生出的主动尾部。尾部代表了一个完全指数化的投资策略（配置70%的股票，30%的债券）。在股票这一资产类别中，主动尾部的点代表了最佳投资组合（这些组合的风险预算在0%-3%之间）。当我们增加主动风险水平时，预期收益沿着尾部增加，因为smart beta和advanced beta的收益均是正增长的。组合A（无杠杆调整）和组合B（有杠杆调整）是最优advanced beta和 smart beta组合（如图5所示）。 在无杠杆调整的情况下，advanced beta尾部的一个特征是，在开始时向左弯曲，这表明在本案例中，包含advanced beta尾部降低了总风险。降低风险是由于配置了advanced betas 3和4。由于这些策略中隐含的去杠杆化，我们实际上正在减少投资组合中的股票配置比例。使用杠杆调整，总风险总是会随着主动风险预算的增加而增加。尽管如此，在任何主动风险预算范围内，所有的有杠杆调整组合（主动尾部B）在有效边界上相对于无杠杆调整组合（主动尾部A）有更高的总收益。例如，在主动风险为3%的情况下，组合B的预期收益高于组合A。我们假设存在一个主动风险预算的约束，有效地惩罚advanced beta策略对市场收益去杠杆化。当使用主动风险预算去杠杆时会产生负的期望收益，主动尾部B相对于主动尾部A更可取。忽略主动预算的限制，我们能够以更低的风险从主动尾部A中获得与主动尾部B相同的收益。但是我们的主动预算向投资者暗示了主动风险和总风险，所以这样比较并不公平。另一种观点是，smart beta或advanced deta的使用者需仔细考虑这些策略的市场风险；否则，一些策略可能会间接地改变投资策略产生令人意想不到的效果。 本案例研究表明，在总收益环境中优化advanced betas和smart betas的敞口是可行的，并且基于我们的假设，投资组合的结果可能为投资者带来福利。
总结
这篇文章站在投资者的角度提出了一个可以将smart beta 和多因子策略（Advanced beta）进行最优化配置的方法，以设定明确的前瞻性回报预期作为构建投资组合的基本原理。一个关键创新是在开始时对每一个Advanced beta使用一个简单的因子模型，包括对投资策略因子的暴露，一个有限的基础smart beta集合，和该策略独有的残差收益。 两个关于最优混合的主要发现。第一个，配置基础smart beta主要基于期望超额收益与期望方差之比，根据投资组合中其他类似因子的隐含持有情况进行调整。第二，配置多因子Advanced beta应该采用类似的方式，用杠杆/去杠杆进行调整，但不调整组合中嵌入的基本smart beta。除了优化smart beta和多因子混合策略，该过程也使我们知道了advanced beta策略的加入对投资者是有利的。另外，嵌入对市场有明显去杠杆化作用的策略，例如低波动策略，应当谨慎对待。