“学海拾珠”系列之四十六：收益的季节性是由于风险还是错误定价？
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报告摘要
主要观点
本篇是“学海拾珠”系列第四十六篇，本期推荐的海外文献研究了收益的季节性的产生原因。主要考虑了两种潜在解释：风险和错误定价。作者发现不仅存在收益的季节性，同时存在收益的季节性反转，因此一只股票在某个月的高季节性收益被其他月份的低季节性收益所抵消，支持了收益的季节性是由于错误定价产生的猜想。回到A股市场，可以通过类似的方法来研究个股月度上甚至日度上的季节性和季节性反转，利用季节性来增强因子组合的收益。
- 收益的季节性是由于风险还是错误定价
收益的季节性可能来自于风险或错误定价。一项资产如果在某一时期比其他时期有更具风险，那么该资产在该时期就可以获得风险溢价。但如果投资者对风险资产的需求从一个时期到另一个时期的有系统性的变化，可能使资产价格与基本价值脱节。例如，一些股票由于需求过剩，投资者在1月份显著地获得5%的额外收益。然而，错误的定价不会永远持续下去，后续资产价格会收敛到基本价值。因此，如果一些股票的1月收益率是5%的“过高”，那么非1月份的累计收益率应该是5%的“过低”，这就是季节性反转。作者在美股市场中验证了季节性反转存在的显著性，从而佐证了收益的季节性是由于错误定价产生的假设。
- 季节性广泛存在于国际股票市场、股票指数以及大宗商品中
收益的季节性不仅存在美国股票，也或多或少存在于国际股票市场、股票市场指数和大宗商品中。不管季节性的强弱，但季节性与季节性往往同时出现，似乎收益率季节性存在的地方，季节性反转的抵消效应就会存在。
- 季节性与传统因子的相关性
季节性和季节性反转因子与短期反转，一年期动量和长期反转交织在一起，且与市场、价值和长期反转因子有不同的相关性。季节性因子与市场正相关，与价值和长期反转因子负相关，但季节性和季节性反转因子包含了传统模型中所没有的信息。
风险提示
本文结论基于历史数据、海外文献进行总结；不构成任何投资建议。
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简介
在特定月份上涨的股票往往在下一个同样的月份继续跑赢当月下跌的的股票，（Heaton and Sadka 2008）。例如，如果一只股票已经在3月份相对于其他股票的表现良好（差），我们预计它在下一个3月份也会相对于其他股票有高（低）的收益。收益的季节性并不局限于股票或月度频率。它们也存在于商品、国家指数中，并且这种异常收益在每日和日内的频率上也会存在。在本文中，我们记录了预期收益横截面的一种新现象：季节性反转。这些反转的存在表明，收益的季节性可能来自于错误定价。
收益的季节性可能来自于风险或错误定价。一项资产如果在某一时期比其他时期有更具系统性风险，那么该资产在该时期就可以获得不成比例的风险溢价。另外，投资者对风险资产的需求从一个时期到另一个时期的系统性变化可能使资产价格与基本价值脱节。例如，如果投资者在年初倾向于青睐小股票而不是大股票，那么他们的超额需求将可以预见地推动小股票的估值在每年1月上升。
我们提出以下测试以区分对收益率季节性的两种相互矛盾的解释：如果它们是由错误定价引起的，它们应该被季节性反转所抵消。为了说明我们的观点，假设一些股票由于需求过剩，投资者在1月份显著地获得5%的额外收益。然而，错误的定价不会永远持续下去，只要没有无限存在的泡沫，资产价格就会收敛到基本价值。因此，如果一些股票的1月收益率是5%“过高”，那么非1月份的累计收益率应该是5%“过低”。否则，价格将进一步偏离基本价值。
这种对季节性反转的预测——一个月内的高季节性收益被另一个月的低季节性收益所抵消——是针对季节性错误定价的具体解释。一个风险因子的溢价在某个月份可能会比较高，因为潜在风险在那个月比其他月份更重要或者被认为成本更高。然而，基于风险的解释并没有对季节性反转做出预测：如果一项资产在某月获得了高于平均水平的收益，则没有理由在其他月份获得低于平均水平的收益。
收益的季节性和季节性反转都是关于过去和未来收益的联系。如果存在收益的季节性，过去的同月收益正向地预测未来的横截面收益：12月的高收益预示着未来12月的高收益。如果存在季节性反转，则过去的其他月份的收益负向地预测收益：非12月的高收益预示着12月的低收益。我们发现季节性反转在经济上和统计上显著的。按照同月的平均收益率对股票进行排序，在加了长期反转因子后的Carhart(1997)模型中最高十分位数减去最低的十分位数的α值为1.09%(t值=7.22)；按照其他月份的平均收益率对股票进行排序，这个差的α值为0.54%(t值=4.71)。
我们不能拒绝美国股票的季节性完全反转的零假设。累加约束是关于预期收益的横截面差而不是关于预期收益的时间序列差。我们通过计算一只股票在某月的预期收益(由该月的历史平均收益代表)与其他月份的预期收益之和之间的相关性来衡量这个累加约束。如果累加约束完全成立，并且如果预期收益可以在没有噪音的情况下被观察到，那么相关性就是1。实际上，平均收益中的噪声会使相关性趋向于零。我们通过模拟一个模型的数据来纠正这个偏差，在这个模型中，累加约束完全成立，模拟的收益和实际的股票收益一样有噪音。在模拟和数据中，相关性的估计值是相同的，即0.06。因此，该数据与对收益季节性的纯粹错误定价解释是一致的。
如果季节性被季节性反转所抵消，我们就会期望在发现季节性的地方找到季节性反转。根据Keloharju， Linnainmaa，和Nyberg(2016)，我们不仅测量了美国股票月度收益的季节性和季节性反转，还测量了每日股票收益以及每月和每日国家股票指数和大宗商品收益。在我们发现收益季节性的地方，我们也发现了季节性反转，此外，我们还发现了国际股票收益上的季节性和季节性反转的情况。不同资产类别和频率的收益季节性总是被季节性反转抵消或缓和。
我们对季节性反转的了解提高了季节性交易策略的预测能力。鉴于已实现的收益是有噪音的，同月和其他月的收益都包含关于未来预期收益的独立信息。一个根据同月减去其他月对股票进行排序的因子每月获得67个基点的平均收益，t值为9.93，比季节性因子每月61 个基点的平均收益(t值=8.37)明显增加。季节性因子和季节性反转都没有相互包含，这与它们含有关于预期收益的独立信息是一致的。
季节性和季节性反转与短期反转、动量和长期反转无关。尽管季节性反转与长期反转相似，但驱动它们的机制是不同的。长期反转因子的平均收益率为每月29个基点(t值=2.95)，但它与规模和价值的相关性使其三因子模型α在统计学上不显著(Fama andFrench 1996；Asness, Moskowitz，andPedersen 2013)。相比之下，季节性反转因子的三因子模型α是显著的，t值为6.17。加入动量和长期反转因子后，t值降低了，但只是降低到5.33。也就是说，季节性反转因子不仅仅是另一个版本的长期反转因子。这个发现是重要的。例如，Heston andSadka (2008) and Keloharju, Linnainmaa,and Nyberg (2016)报告了非年度收益率估计揭示季节性反转的存在。这些文献似乎将反转解释为长期反转的表现。除了说明他们不是长期反转的表现，我们还说明它们是紧密联系的，并解释这种联系是如何与错误定价相关。
我们的结果有助于解释为什么季节性策略需要主动交易。假设我们发现一只股票在12月能可靠地获得较高收益，我们能因此预测这只股票在20年内的12月的收益也会很高。然而，从买入并持有收益的角度来看，季节性反转使这种可预测性变得无足轻重。我们不能在不赚取当年1月至11月的收益情况下获得20年内的12月收益。而且，累加约束的意义在于，这些其他月（other-month）收益完全可以抵消12月的高预期收益。因此，一个买入并持有的投资者不能在不受季节性反转影响的情况下获得季节性收益。
我们的研究结果表明，暂时的错误定价是对收益季节性最合理的解释。季节性反转越多，错误定价在产生季节性过程中发挥的作用越大。季节性可能是由投资者的可预测交易驱动的。Heston、Korajczyk和Sadka(2010)发现了日内收益的季节性，并将这种季节性归因于交易者在一天中的同一时间持续进行同一方向的交易，Murphy和Thirumalai(2017)观察到机构交易者的这种模式。Bogousslavsky（2016）建立了一个模型，在这个模型中部分投资者不经常交易。由此产生的可预测的供求变化被市场的其他部分所不完全地吸收，这就产生了与Heston等人（2010）类似的季节性模式。我们的结果表明，低频率的季节性，包括月度频率的季节性，可能是由于投资者的可预测交易所引起的暂时性错误定价。
本文的其余部分组织如下。第2节首先描述了关于预期收益横截面变化的性质的不同假设是如何改变收益和滞后收益之间的预测关系的。第3节在每月和每天的美国股票收益、国际股票收益、国家股票指数和商品收益中使用Fama和MacBeth（1973）回归来衡量季节性和季节性反转。第4节提供了额外的实证结果和稳健性测试。第5节构建了季节性和季节性反转因子，并研究了它们与短期反转、动量和长期反转的关系。第6节得出结论。
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模型和校准
季节性和季节性反转对收益横截面可预测性的影响
图表1中使用的数据是1963年1月至2016年12月在纽约证券交易所、美国证券交易所和纳斯达克上市的股票的每月CRSP收益数据。第一个滞后期的负系数是关于短期反转的；一年内的正系数是关于动量的；峰值表示股票收益的季节性(Heston和Sadka 2008)。
这个模型与实际数据的几个特征是一致的。首先，与没有约束条件的模型2相似，预期收益的季节性在月度回归系数中产生了年度峰值。其次，由于季节性因素加起来为零，非年度回归系数被向下推。这些负的低谷就是季节性反转。第三，由于每只股票的年度预期收益率都等于零，B组中的年度已实现收益率不能预测未来收益率的差异。
然而，该模型也与实际数据的某些方面不一致。短期反转和动量会有短期的、类自相关效应，一个只有预期收益的持续变化的模型不能与这些特征相匹配。同样，De Bondt和Thaler(1985)的长期反转不可能只是关于季节性反转。图表1的B组显示，这些负系数也存在于年度回归结果中。这些负系数不可能仅仅来自于季节性因素。在一个只有预期收益的季节性变化的模型中，系数要么是正的，如模型2，要么是零，如模型3。它们不能是负的。负相关必须来自于负的序列相关或正的交叉序列相关(Lo和MacKinlay 1990)。
模型
校准
该模型的设计不是为了匹配短期反转和动量，所以红线（模拟）与黑线（数据）在一年前有很大的差异。然而，一年后，该模型与收益率数据的主要特征相匹配。季节性的峰值和非季节性的低谷的大小是一样的。这种相似性表明，真实数据与季节性完全被季节性反转平衡掉的模型是一致的。
月平均收益率的相关性
负的斜率系数表明，平均来说，在某个月获得高收益的股票，在其他月份平均获得更低的收益。由于我们对数据进行了去均值化处理，这种负相关并不是由于整个市场收益的季节性模式造成的(Kamstra，Kramer，和Levi 2003)。只有在统计学上显著为负的事实表明预期收益率至少表现出一定程度的季节性反转.
实际数据和模拟数据之间的估计值的相似性是显著的。我们没有据数据校准模型以匹配这时刻。实际数据中-0.057的负斜率估计值与预期收益的季节性完全抵消的世界是一致的。由于股票收益率的噪声，经验估计值远远高于1。
Fama-MacBeth季节性
月度数据
多变量回归
图表4报告了Fama-MacBeth回归的估计值，预测了月度股票收益率的横截面。我们对所有股票、除极小盘股外的所有股票以及对48个价值加权的Fama-French行业组合进行了回归估计。极小盘股是指截至在t-1月末，股权市值低于纽约证券交易所总市值分布的第20个百分点的股票。
回归1、4和7使用对数规模、对数市值、过去月收益率、跳过一个月的前一年收益率和同月平均收益率来预测收益。我们计算了平均收益率，是用达20年的历史数据中去均值化处理后的收益率。我们发现平均收益率规模下降，账面价值和动量都在增加。这三个效应对所有股票和不包括极小盘股票的样本都显著。同月平均收益率的估计斜率是正的，而且在统计上是显著的。在包括所有股票的回归中其t值为9.88，而在不包括极小盘股票的样本中t值为8.70。这种效应与Heston和Sadka(2008)以及Keloharju,，Linnainmaa，和Nyberg(2016)的估计一致，在经济上是显著的。例如，全样本的系数估计值为5.5，这意味着两只股票过去的平均同月收益率有1%的差异，就能预测这些股票本月的收益率有0.055%的差异。
在回归2、5和8中，我们在模型中增加了一个变量，表示其他月份的平均收益。我们发现，这个变量的估计斜率是负的，而且是显著的。在完整的样本中，其t值为-6.57，在不包括极小盘股票的样本中为-4.50。回归2中其他月份的平均收益率的1%的差异，转化为今天每月收益率的-0.19%的差异。
由于同月和其他月的平均收益与长期反转密切相关，我们在回归3、6和9中加入了这些反转作为控制变量。我们使用长期反转的一般定义，衡量前五年并跳过一年的股票收益。我们发现，增加这些长期反转对同月和其他月的平均收益率的系数估计值只有轻微的影响。同月平均收益率的系数和t值略有增加，而其他月平均收益率的系数和t值略有下降。长期反转变量本身是显著的，在全样本和不包括极小盘股的样本中，其t值都是-2.10。
在回归7-9中的行业估计显示，季节性反转也存在于价值加权的行业组合的收益率中。由于这些投资组合是很分散的，这种显著性表明，季节性反转不太可能来自于股票的具体影响。虽然行业收益的一些模式与股票收益的模式不同（最重要的是，行业在第1个月就已经发挥了巨大的动量（Moskowitz和Grinblatt 1999)，而且跨行业的价值效应是微弱的（Cohen和Polk1996;Novy-Marx2013））。与季节性和季节性反转相关的模式非常相似。行业结果也进一步强调了季节性反转和长期反转之间的差异。在回归9中，长期反转的估计值与零仅有一个标准误差，而与季节性反转相关的t 值为-2.64。
季节性反转及累加约束
图表5的组B也说明了，由于时间范围的限制，测量季节性和季节性反转相互抵消的程度可能很困难。过去的收益率可以预测今天的收益率不仅仅是因为季节性和季节性反转，也是因为自相关。过去一年以内的收益由于动量的影响正向预测着收益率；由于长期反转，过去一年到过去七年的收益负向地预测着收益率。在接下来的测试中，我们通过两种方式来解决这些自相关性引起的复杂性。首先，我们比较了不同期的同月和其他月的回归系数。这种差异不受整体自相关水平的影响。其次，如果我们假设自相关作用将在某个点消失，例如，如果长期反转不太可能持续超过10年，我们可以检查在跳过前10年之后，季节性和季节性反转在多大程度上抵消。图表5的组B已经表明，季节性和季节倒转相互抵消。下面，我们测试两者之间的关联。
比较同月和其他月的回归结果
为了测试季节性反转的程度，我们比较了同月和异月收益率的斜率系数。图表6报告了用所有月份、同月和其他月份的收益率来预测月度收益率横截面的回归结果。例如，当我们用前五到两年的平均收益率来预测收益率时(表中第2-5行)，“所有月份”回归使用了t-60月到t-13月的所有48个收益率的平均值；“同月”回归使用了t-60、t-48、t3-6和t-24这四个月的平均收益率；而 “其他月份”回归则使用了其他44个月的平均收益。我们选择不包括表1中的控制变量，如动量，因为我们不想使用与其他收益窗口有关的回归因子。
图表6说明了预测月度股票和行业收益率横截面的回归系数。我们用第1、2-5、6-10、11-15和16-20年的平均收益率来解释收益。我们比较了前期收益的不同时期，以区分季节性反转和长期反转。对所有股票在2-5行上，“所有月份”的负系数为-13.6（t值=4.17），是与长期反转相一致的。然而，当我们将今天的股票收益与11-15年的五年平均收益进行回归时，平均“所有月份”的系数接近零。因此，通过跳过十年，我们似乎跳过了大部分或全部的长期反转。然而，在同样的11-15年期间，平均“同月”收益率系数是显著的，t值为6.93；“其他月份”的收益率以t值为-2.06显著；而两者之间的差异为7.10的t值。当我们跳过15年再衡量平均收益，“所有月份”收益率、“同月”收益率、和“其他月份”收益率的t值分别为-1.57，5.30和-3.35。
这些估计表明，在各个股票收益率中季节性完全反转。首先，“同月”系数明显为正，如前所述，表明预期股票收益率存在季节性。第二，平均“同月”系数超过“所有月份”系数的事实表明，其中一些季节性因素发生了反转。第三，假设自相关模式如动量和长期反转趋向于零，随着我们延长期期限，发现“所有月份”系数在长期接近零，这与个股收益率季节性的完全反转一致。(年度系数接近于零的发现与个别股票收益的季节性完全逆转是一致的)这一结果与图表5 B组中自协方差累计和的扁平化是一致的。
价值加权的行业组合的估计值与预期行业收益的季节性也是完全反转的。例如，在11-15年的回归中，与同月和其他月份收益率相关的t值分别为3.21和-1.64。二者之间差异为3.70的t值。行业组合的季节性反转与单个股票收益率的反转有关。Keloharju，Linnainma，和 Nyberg (2016)表明，单个股票收益的季节性有很大一部分来自于行业收益的季节性。同时，不同行业的预期收益似乎并无明显差异(Moskowitz和Grinblatt1999)。季节性反转的存在调和了这两种情况：月度收益的长期可预测性在平均收益在不持续存在的差异的情况下。
如果季节性反转，同月和其他月的平均收益率都可以通过相同的机制预测股票收益率的横截面。例如，12月的平均收益率高，可以预测12月的高收益率，但非12月的平均收益率也一定低。图表6最后一栏的回归是利用同月和其他月的平均收益率之间的差异来预测收益的。如果同月和其他月的平均收益是同一个经济信号的噪声版本（季节性收益率成分）那么它们的组合应该比单独的一个更好地预测收益率。与这一预测相一致，在一年的动量效应之外，与最后一列的估计值的t值总是超过其他列的估计值的t值。
日度数据
Keloharju，Linnainmaa，和Nyberg(2016)表明，股票在周内水平上也有很强的季节性。例如，历史上在周一表现良好的股票在周一有更高的预期收益。我们现在发现，与月度季节性相似，日度季节性会被季节性反转所抵消。
图表7为Fama-MacBeth回归的估计值，即预测每日收益率的横截面。我们用所有日子、相同的工作日、其他工作日以及两者之间的差额计算出的平均收益率来预测收益。我们使用1、2-5、6-10、11-15和16-20年的历史数据来估计这些平均数。
“All days”的估计值与图表6中的类似，除了独立变量是日收益率而不是月收益率以外。与Keloharju, Linnainmaa, and Nyberg (2016)一致，每日收益具有高度的季节性。“SameWeekday”的收益具有显著的正系数，而“Other Weekday”的收益在第一年后具有显著的负系数。由于这两个效应相互抵消，即季节性反转抵消了季节性，“All days”列的估计值在第一年之后接近于零。
在每日收益率的背景下，季节性源于暂时的错误定价。Bimru ( 2018)发现，每日的季节性与难估值或套利障碍最大的股票有关。Lakonishok and Maberly (1990)认为周一更频繁发生个人交易，而且更频繁的净卖出，这种模式与周末效应相关。Chan，Leung和 Wang(2004)进一步证明了这一点，他们指出，在机构投资者持有量较低的股票中，周一的季节性波动更为强劲，而在1990年代，周一季节性波动的减弱与机构投资者持有量的增加相吻合。这些低于平均水平的周一收益率可能源于散户投资者相关的抛售压力，而这种压力无法在不对价格产生影响的情况下被市场其他部分消化。如果是这样，我们会预期“非周一”的收益率会更高，以用来抵消周一的季节性；周一的收益率低，只是因为散户投资者的过度供应暂时压低了股价。
国家和商品
Heston和Sadka(2010)的研究表明，收益的季节性不仅存在美国股票收益率的横截面(Heston和Sadka，2008年)，也存在于国际股票市场。Keloharju, Linnainmaa，和Nyberg(2016)表明，季节性并不局限于股票收益；他们发现季节性也存在于了股票市场指数和大宗商品的收益中。如果不同市场和资产类别的季节性来自于同一机制，我们预计在其他市场和资产类别中也会发现季节性反转。根据上述研究，我们衡量了国际股票收益率、股票市场指数和大宗商品的横截面的季节性反转。
图表8的A组报告了预测国际股票收益横截面的横截面回归系数。这些回归结果与表2美国股票市场的回归结果相同。我们用不包括美国的其他25个发达国家的股票作为样本。我们每月从每个国家剔除20%的最小的公司。如果一个国家的股票在第t月的横截面上至少有50只股票，我们可以在“年”栏中在指定的时间范围内计算这些股票的自变量，那么这个国家的股票就被纳入样本。横断面回归中的左侧收益率数据从1987年1月开始，到2016年12月结束。
A组的国际股票收益率结果与美国的相似。“同月”的系数表明：“同月”的股票收益率对未来20年的股票收益具有显著的预测作用。这种季节性结果与Heston 和Sadka(2010)的结果一致。这些季节性再次被季节性反转所抵消：在第2-15年，“其他月份”回归是在5%的水平上显著为负，在第16-20年为10%。由于这些反转，列1中所有之前收益的平均值要么不能预测股票收益的横截面(6-10年和16-20年)，要么对这些收益的显著为负预测值。
图表8的组B报告了预测国际股票指数和大宗商品收益率的横截面回归的估计。在这两个资产类别中，季节性被季节性反转所抵消。例如，所有股票指数的系数的t值为-0.16非常接近于0，同月系数的t值为2.33，其他月份系数的t值为-1.29。季节性反转的统计学证据不是特别有说服力，因为资产数量少（15个国家股票指数和25个大宗商品），但是结果与我们其他结果一致。
在C组中，我们衡量了每日股指和大宗商品收益率的季节性和季节性反转。我们估计横截面回归，其中因变量是日收益率，解释变量是用“all”、“same-weekday”或“other-weekday”或“same-day - other-weekday”等的收益率来计算的平均收益率。
我们通过将回顾期分为两部分以解释动量，即前一年和跳过一年的前20年。在前20年中，我们随着累积更多的数据来扩大窗口。
对于股指来说，每日季节性和反转的证据很弱。我们发现了长达一年的动量，而回归基本上将这种动量归因于“same-weekday”的收益率。“same-weekday”的系数是显著的，且t值为3.36，而“other-weekday”的系数为0.49。我们发现在一年后既没有季节性也没有季节性反转的证据。
相比之下，商品表现出强烈而持续的季节性。第一行显示了这个市场的强大的动量效应，与Asness，Moskowitz和Pedersen(2013)一致。前一年的平均大宗商品收益率预测了日大宗商品收益率的横截面，t值为3.16。这种可预测性再次集中在“same-weekday”的收益率上。“same-weekday”和“other-weekday”收益率的t值分别为5.42和0.62。第二行的估计值显示，在动量消退后，季节性仍然存在。“same-weekday”的收益率现在预测收益的t值为4.1。同时，季节性反转也仍然存在，以平衡收益的季节性。“other-weekday”的收益率预测收益的t值为-2.91。由于这两种抵消效应，大宗商品收益率和在“All days”列中所有过去收益率的平均值的关系是负的，且t值为-0.74，统计学上不显著。
美国股票月度收益的季节性和季节性反转的结果可以被认为是一个偶然的发现。尽管t值很高，但季节性反转能抵消季节性可能只是在一个资产类别(美国股票)和一个频率(月度)中的偶然事件。本节的结果表明，季节性肯定与季节性反转交织在一起。但似乎收益率季节性存在的地方，季节性反转抵消效应就会存在。
附加验证
季节性反转与情绪的季节性相关吗？
季节性反转与因错误定价而产生的季节性变化相一致。反过来，错误定价也会与投资者情绪相关，也就是说，投资者过度乐观或悲观会有系统性地影响资产价值。Hirshlefer、Jiangand Meng(2020)和Birru(2018)认为，情绪的季节性会导致收益率的季节性。一段时期内情绪会异常的高涨或低落，在一段情绪状态下表现好的资产，趋于在未来符合情绪状态时表现好，在未来不符合情绪状态表现不好。这些状态是基于对季节性情感障碍(SAD)效应及其与历史平均股票回报率的关系的研究(Kamstra，Kramer，和Levi，2003)确定的。
在图表9中，我们考察了季节性、季节性反转与每月(A组)和每日(B组)频率的情绪状态之间的关系。Hirshleifer, Jiang, and Meng (2020) 发现1月和3月是情绪高涨月，9月和10月是情绪低落月。组A显示，在高情绪和低情绪月(回归2和6)以及在这四个月之外的数据(回归3和7)中都存在着月度季节性和季节性反转。在包含所有股票的完整样本中(回归1)，平均“other-month”收益率的预测值的t值为-5.71。在将样本分成“mood month”和“non-mood month”的回归中，t值分别为-4.00和-4.16。
回归4和8控制情绪贝塔，我们估计按照Hirshleifer, Jiang, and Meng (2020)的步骤。在每年年底，一个股票的情绪贝塔是根据资本资产定价模型回归估计的，使用最多十年的月度数据。为了分离一只股票对情绪状态下季节性变化的敏感性，该样本仅限于预设定的高情绪(1月和3月)和低情绪(9月和10月)月份，此外，还限于CRSP平均加权指数的已实现实现的高情绪和低情绪月。在用所有股票的回归中，当我们控制情绪贝塔时，平均“other-month”收益预测收益率的t值为-3.98。在“all-but-microcaps”样本中，“other-month”收益率的t值为-3.72。我们发现，情绪贝塔的平均系数在高情绪月份显著为正(t值=3.02)，在低情绪月份为显著为负(t值=-2.92)。这两种估计都与Hirshleifer, Jiang, and Meng (2020)的结果相一致。这些高、低情绪系数在混合样本中相互抵消，因此，在表5的回归4和8中，β值的斜率接近于零，且不显著。这种“adding-up”行为类似于季节性和季节性反转加起来为0。
图表9中的组B报告了与表3类似的单变量回归。Birru (2018)将星期五确定为高情绪日，而星期一为低情绪日。我们发现，在预测周一和周五横横截面的回归中，季节性和季节性反转更为明显。在这些回归中，“other-day”的平均收益的t值为-11.97。在预测周二至周四收益率的回归中，这个t值是t值是-2.51。
图表9的结果不应被解释为季节性反转与情绪季节性不同，相反，我们认为情绪中的系统性季节性变化可能是造成定价错误的一个重要原因，进而也可能是季节性和季节性反转的一个重要来源。从这个意义上说，我们的分析可以被看作是对Hirshleifer, Jiang, and Meng (2020) and Birru (2018)的分析的补充。我们对收益季节性和季节性反转的解释更为笼统，因为它还包括可能与情绪无关的机制，如个人或机构的可预测交易，或两者兼而有之。无论季节性背后的潜在机制是什么，季节性反转都将与任何季节性错误定价密切相关。
套利限制
如果季节性和季节性反转反映了错误定价的出现和纠正，那么这些影响的力度可能会因套利的有限程度而有所不同。在图表10中，我们报告了用“same-month”和“other-month”收益预测收益率横截面的回归估计，以及这些变量与套利的三种衡量套利限制之间的相互作用。
套利限制的三种衡量方法是：公司规模、特质波动率和规模调整的机构所有持有比例(IO)。依照Ang、Hodrick、Xing和Zhang(2006)将特质波动率作为Fama and French(1993)三因子模型回归的残差的标准差，用前一个月的日收益率估计。我们使用Thomson金融机构控股公司从1980年4月到2016年12月的数据计算规模调整的机构持有比例。依照Nagel(2005年12月)，通过从横截面逻辑回归中提取残差来消除公司规模与机构持有比例之间的相关性，横截面逻辑回归中因变量为机构持有份额，独立变量为企业规模对数的平方。
与其他分析不同的是，我们将图表10中的所有解释变量分别转换为在每个横截面上进行z-scores标准化处理。这种转换更容易将相互作用的程度与主要效应的相互作用进行比较。在附加变量中，特质波动率负向预测收益率，机构所有权正向预测收益率。在回归2和4中报告的这些变量与“same-month”和“other-month”收益率之间的相互作用，衡量了这些附加变量与收益季节性强度之间的相关关系。
季节性与套利限制的三种指标之间的联系都很弱，而且信号也不一致。我们预计，季节性会随着公司规模和机构持有份额的提高而减少，随着特质波动率的提高而增加。在回归方程中，公司规模和“same-month”收益率之间的相关作用应该是负的，而公司规模和“other-month”收益率之间的相互作用应该是正的。这些迹象意味着从小盘股到大盘股，季节性和季节性反转将减弱。在图表10中，只有公司规模与“other-month”的收益率的相互作用才有预测信号。而在“all-but-microcaps”样本中，公司规模与平均“same-month”收益率之间的相互作用统计上显著，且为正相关。这正向信号表明，在大盘股中，季节性因素(如果有的话)更为明显。这种效应与套利限制机制相悖，与Keloharju、Linnainmaa和Nyberg(2016)的研究结果一致。另外两种套利限制的指标也有相似的表现。它们与平均“same-month”收益率的相互作用有错误的信号，而与平均“other-month”收益率有明显的正确信号，但多数指标只是轻微的显著。
衡量季节性反转的速度
在第二节模型的中，我们认为一年的季节性加起来为零，这意味着季节性反转在一年内平均分布，即一个月内的高季节性收益率会被其他11个月的更低收益率抵消。到目前为止，我们还没有研究季节性反转的时间分布，季节性反转是迅速的还是有延迟的？
在图表11中，我们通过Fama-Macbeth回归来研究反转的速度，其中我们将“other-month”的收益分解为11个月收益率分量。我们的分析遵循图A1中相同的结构。例如，在预测三月收益率的回归中，11个解释变量是一月、二月、四月……十二月的平均收益率。我们排序这些与因变量的月份相关的收益率变量。在三月回归中，月份+1是过去第4月的平均收益率；月份+2个月是过去第5月的平均收益率，等等，且“Same”是过去第3月的平均收益率。我们的分析还控制了对数规模、对数账面价值、短期反转、动量和之前的“five-year skipping a year”的收益率。
在图表11的组A中，我们展示全样本的平均系数相关的t值。B组剔除了小盘股（all-but-microcaps）。在这两个样本中，离因变量最近的月份(月份+1和+11)相关联的平均收益率正向预测着收益率，离因变量更远的月份 (如月份+6及其周围的月份)是更明显的负向预测着收益率。
图表11表明，季节性和季节性反转并不遵循精确月度时刻表。例如，在2月份获得高季节性收益率的股票，并不会典型地在一月和三月周围的几个月中获得低收益率以抵消。无论造成价格季节性错位的机制是什么，它都会影响到周围的月份。
季节性反转和长期反转因子
平均月度因子回报和相关性
图表1的Fama-MacBeth回归的系数表明，“same-month”和“other-month”的平均收益对未来的收益有参考价值。我们从投资的角度来衡量这些信号的有用性，通过参考HML类因子的构建，我们构建了一个季节性因子(ANN)，将股票按规模和 “same-month”平均收益率分为六个组合。这个因子的收益率是两个高平均投资组合减去两个低平均投资组合的价值加权收益率。我们用同样的方法构建了一个季节性反转因子(NANN)，只是我们按照平均“other-month”收益率对股票进行排序。计算平均“other-month”收益率时，我们像之前一样跳过最近的一年。由于这是一个反转因子，我们将该因子的收益率计算为两个低平均投资组合减去两个高平均投资组合的收益率。最后，我们通过对股票的“same-month”和“other-month”的平均收益率的差值进行排序，构建一个ANN减去NANN的因子。
图表12报告了这些因子的月度百分比收益和它们的相关性。为了比较，我们还报告了市场、规模、价值、动量和长期反转等因子的相同统计数据和相关性。长期反转因子是另一个类似于HML的因子，它通过“five-year-skip-a-year”的收益率来选择股票(Fama和French1996)。
季节性和季节性反转因子的平均收益高且统计上显著。季节性因子每月获得61个基点的平均收益(t值=8.37)；季节性反转因子获得45个基点(t值=4.89)；而两者的组合（年度减去非年度因子）获得67个基点(t值=9.93)。
季节性和季节性反转因子与市场、价值和长期反转因子有不同的相关性。季节性因子与市场正相关，与价值和长期反转因子负相关。然而，这些相关性对于季节性反转因子来说相反。季节性反转因子与市场的相关性为-0.51；与价值因子的相关性为0.72；与长期反转因子的相关性为0.45。由于这些相互抵消的相关性，ANN-NANN因子与其他因子接近无关，相关性在-0.07~0.06左右
增量信息
在图表13中，我们研究了季节性、季节性反转和长期反转因子的增量信息。例如，在A组的第一列中，我们将季节性因子的月度收益率与市场、规模和价值因子的收益率进行回归。这些跨越回归评估了左侧因子（这里是季节性因子）在多大程度上包含了右侧因子集合（这里是市场、规模和价值因子）中不存在的信息。
这些回归的Alpha有两种解释。第一种解释与投资问题有关，一个显著的Alpha表明，一个目前只交易右侧因子的投资者，可以通过交易左侧因子大幅提高其投资组合的夏普比率。第二种解释与资产定价模型有关。一个显著的Alpha表明，一个定价模型在右侧因子集合中加入左侧因子会显著优于只包含右侧因子的模型( Barillas and Shanken 2017)。
在第1列的回归中，用三因子模型解释季节性，Alpha值为每月64个基点，t值为8.79。正如表1的Fama-MacBeth回归所示，季节性因子因此包含了大量关于预期收益的信息，在第2列和第3列的回归中，我们在右侧加上长期反转因子和季节性因子。这些因子的加入没有实质性的降低Alpha。第3列的模型添加了这些因子，Alpha是每月62个基点，t值为7.32。
A组的第2-6列显示，季节性反转因子也包含了Carhart(1997)四因子模型、长期反转因子和季节性因子等中不存在的信息。季节性反转因子的月度三因子模型Alpha值为35个基点（ t值=6.17)，当我们也控制长期反转时，这个Alpha值只稍微下降到30个基点（ t值=5.33)。因此，长期反转在很大程度上与季节性反转无关，而季节性反转因素包含了长期反转因子中所没有的信息。第6列的回归包括了右边的季节性因子。现在的Alpha值是每月25个基点，t值为3.91。这个估计表明，季节性和季节性反转包含了关于收益率横截面的独立信息。这两个变量都对预期收益的季节性成分带来了噪声(但独立)。
相比之下，长期反转因子并不包含三因子模型以外的信息．这个因子的三因子模型alpha值为4个基点（ t值=0.50）。规模和价值因子是显著性降低的罪魁祸首，长期下跌的股票平均来说是小型价值股，所以长期反转因子对规模和价值因子都有正向因子载荷（Fama and French 1996)。不显著的alpha表明，一个已经在交易市场、规模和价值因素的投资者将不会从交易长期反转因子中获益。因此，在包括规模、价值和长期反转因子在内的回归中，季节反转因子获得统计上显著alpha的发现是重要的。alpha的显著性表明季节性反转因子是和长期反转完全不同的衡量指标。
最大化夏普比率
图表13的回归表明，除了其他因素外，投资者还可以通过交易预期收益的季节性来获得更高的夏普比率。接下来我们通过从图表12所列的各种因素组合中构建事后最大夏普比率组合来量化这些结果。我们使用从1963年1月至2016年12月的因子的月度收益率来寻找不同因子资产组合，然后在表14中计算并报告与该组合相关的夏普比率。
在1963年1月至2016年12月期间，投资者如果投资于1号市场组合，将获得0.41的年化夏普比率。在2号投资组合中，规模、价值和动量因子都非常有价值。这些因子的最佳组合将获得1.08的夏普比率，在3-7号投资组合中，我们将长期反转、季节性和季节性反转因子的不同组合添加到这组合中。与它在图表13的回归中不显著的Alpha相一致，长期反转因子的加入并没有改变最大夏普比率。然而，季节性和季节性反转因子都大大增加了夏普比率。仅季节性反转因子将其从1.08提高到1.34；仅季节性因子将其提高到1.69；而两者的加入将其提高到1.81。最后这一增长与这两个因子都包含预期收益中对方不存在的信息相一致。同时具有季节性和季节性反转因子的6号投资组合表明，目前最佳投资组合的三分之二仅投资于这两个因子；剩下的三分之一平均分配给市场、规模、价值和动量因子。在投资组合7中，当我们用ANN减去NANN的因子来取代这两个因子时，最大夏普比率几乎同样高，为1.73。
图表14中加入季节性因素后，投资组合权重的变化是很大的。这些变化表明，相较于价值和动量等非季节性收益预测因子，季节性因子（季节性和季节性反转）的作用非常大。
持续性
季节性和季节性反转在在整个延长的样本期1946年至2016年都是持续存在的。图表15通过报告十年滚动窗口的平均因子收益率相关的t值来说明这种持续性。例如，图中的第一个数据点对应的是1963年1月至1972年12月的十年窗口。在这10年间，季节性、季节性反转和ANN-NANN因子获得了74个基点（ t值=5.71)、24个基点（ t值=1.79）和75个基点的平均收益(t值=5.14)，我们在图表15中报告的正是这些t值。
我们发现，在任何一个十年期间，没有一个因子的平均收益率是负的。在1963年1月至2016年12月的每一个十年期间，组合因子的 t值都高于2.5，该因子将股票按“same-month”和“other-month”收益率的差分类成投资组合的。在样本的早期也存在显著的收益季节性，这并不令人惊讶。Cover，Revzan，Helms，和 Cohenour(1930)在早期尝试构建股票价格指数时，认为根据这种季节性因子调整股票价格更为有利(Hartzmark and Solomon, 2018)。
如果季节性和季节性反转因子赚取的溢价是为了补偿某种风险的组合，那么这些风险在过去50 年里似乎没有实现。另一种解释是，季节性和季节性反转的持久性，以及季节性反转似乎能抵消季节性的事实，两者可以调和，即季节性是由于短暂的错误定价，而不是基于风险的机制。季节性可能是由投资者在同一时期内持续进行相同方向的交易所引起的。如果所产生的季节性不会由于高换手率而大到被当作独立的异常现象，这些效应就会在数据中持续存在。同时，即使相关的来回交易成本过大，投资者也可以通过择时交易从这些季节性中获益 (Heston，Korajczyk,，和Sadka 2010；Novy-Marx 和 Velikov 2016)。
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总结
是什么解释了收益率的季节性？在本文中，我们考虑了两种可能的解释：风险和错误定价。与错误定价的解释相一致的是，我们发现季节性被季节性反转所抵消。一只股票在某个月的高季节性收益率被其他月份的低季节性收益率所抵消。我们不能拒绝美国股票的季节性完全反转的零假设。季节性无法用基于风险来解释，如果基于风险，那么季节性逆转将不复存在。如果一项资产在某月获得了高于平均水平的收益，那么它在其他月份就没有理由应该获得低于平均水平的收益。
如果季节性是由错误定价引起的，那么我们就会期望在发现季节性的地方发现季节性反转，与这预测一致，我们不仅在每月的美国股票收益中发现了季节性逆转的证据，而且在每日股票收益、国际股票收益、国家股票指数和大宗商品收益中也发现了季节性反转。我们发现，不同资产类别和频率的收益季节性总是被季节性反转所抵消或减弱。
我们对季节性反转的见解提高了季节性交易策略的预测能力。我们发现，“same-month”和“other-month”的收益都包含了关于未来预期收益的独立信息，季节性和季节性反转都没有相互取代，这与它们含有预期收益的独立信息是一致的。
我们的研究结果提供了对收益率季节性的性质和新的实证预测的深刻见解，如果季节性是由错误定价引起的，它们可能是由投资者持续在同一方向上进行交易，而市场的其他部分没有完全消化这些交易。
本文核心内容摘选自Matti Keloharju, Juhani T.Linnainmaa, Peter Nyberg在《Journal of Financial Economics》发表的论文《Are return seasonalities due to risk or mispricing?》
风险提示
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本文结论基于历史数据、海外文献进行总结；不构成任何投资建议。