投资组合方差/协方差分析

由googleglass创建，最终由googleglass更新于2025-02-21 01:42 被浏览 4 用户

您如何衡量持有单一资产（如公司股票）的风险？您如何比较两种资产的风险？您如何选择要添加到现有投资组合中的资产？

了解单项资产的回报

什么是资产回报率？

假设某一时刻某项资产价值 100 美元，你购买了它。下一刻（比如说一周后），价格上涨到 110 美元。

那么你的投资回报率是

换句话说，持有该资产，您将获得 10% 的投资收益。一般而言，资产在一段时期内的回报率通过以下公式计算

由于不知道价值是多少R吨Rt将取，我们把它看作一个随机变量。为了简单起见，我们可以把随机变量看作一个值事先未知的变量。

例 1.1：

该示例包括埃克森美孚公司 (XOM) 的股票价格。收益是根据 excel 中的 (1.1.1) 计算的。最后一列 (D) 包含 C 列的公式。第一列包含按降序排列的日期，格式为 MM/DD/YYYY。因此提供了每月的收益。

图片 1.1.1

可以在 Python 中执行相同的计算，如下所示：

估计方差和标准差作为风险度量

根据回报的实现（即观察到的回报历史值 - 随机变量 R），可以估算给定资产的预期回报。假设每个回报实现的权重相等，则预期回报（用 R 表示）由以下公式给出

收益的平均值是数值数据的一个特征，用于衡量数据的集中趋势。另一方面，随机变量 R 的估计方差衡量了数据围绕平均值的变异性，由以下公式给出

如 (1.2.2) 所示，收益方差是与预期收益的平均平方偏差。它衡量股票收益相对于平均值的波动程度。因此，方差被视为资产风险的度量。换句话说，风险是与预期收益的平均平方偏差。

然而，单个资产收益与平均值之间的平方差没有任何有意义的解释。为了将数量恢复到原始单位，我们计算方差的平方根以获得收益的标准差

标准差是一种风险度量。s 值越低，则认为给定资产的风险越低，反之亦然。

例 2.1

根据 (1.2.1) 计算，该股票的预期日回报率恰好为 1.35% 左右。现在我们衡量一下单个回报率平均分散在这个值附近的程度。根据 (1.2.2)

而由（1.2.3）计算出的相应标准差为s = √s 2 = 0.00385。

图片 1.2.1

可以使用以下简单的代码片段在 Python 中计算相同的数量：

结果，我们得到月方差和标准差分别为σ 2 = 0.00148 和 σ = 0.038473。

了解两种资产之间的关系

协方差系数

到目前为止，我们讨论了单个随机变量的预期收益和标准差。现在考虑两个随机变量 X 和 Y，它们被观察为 (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), ..., (x n , y n )。因此样本大小为 n，即我们有 n 对。两个随机变量之间的协方差系数衡量它们的线性相关性，计算如下

如果 S xy > 0，则这两个变量呈正相关，即它们朝同一方向移动。简单地说，增加 X 的值会导致 Y 的值增加，反之亦然 - 减少 X 的值会导致 Y 的值下降。假设 X 是以平方英尺为单位的房地产面积，Y 是以千美元为单位的相应价格。那么预计这两个变量之间的协方差将为正，这意味着面积较大的房地产价格更高，面积较小的房地产价格更低。

只要 S xy < 0，这两个变量就是负相关的，即它们朝相反的方向移动。简单地说，X 的值增加后 Y 的值会减少，反之亦然 - 降低 X 的值会导致 Y 的值上升。假设 X 是某种产品的价格（以美元计），Y 是相应的需求（以销售单位计）。那么预计这两个变量之间的协方差将为负，这意味着价格越高，需求越低，价格越低，需求越高。

S xy = 0 表示 X 和 Y 的统计独立性。换句话说，改变 X 的值不会影响 Y 的值。

为简单起见，我们先讨论了两个抽象随机变量 X 和 Y 的协方差系数，现在我们将相同的公式重复用于表示给定投资组合中两种资产收益的随机变量：R 1和 R 2，即考虑两个资产的投资组合，其收益分别为 R 1和 R 2。然后，基于实现计算出的样本协方差系数与 (2.1.1 a) 相同

我们将正和负（和零）协方差的解释与 X 和 Y 类似。将 S R1R2 > 0 的情况视为资产（如股票）是从同一行业中选择的。因此，类似的因素会影响两者。因此，增加一只股票的价值会导致另一只股票的价值上升。这种情况的例子是两只来自科技行业的股票，或者两只股票都来自汽车行业等。对于S R1R2 < 0，情况相反。特别是，在这种情况下，增加一只股票的价值会导致另一只股票下跌。您可以将这种情况视为股票是从航空和石油生产等互补行业中选择的。以下示例说明了这种情况。

例子续：

考虑一个由两种资产组成的投资组合。埃克森美孚公司 (XOM) 和美国航空集团公司 (AAL) 股票。这些公司来自负相关行业。换句话说，美国航空公司取决于油价。油价越高（即 XOM 价格越高），AAL 价格越低，反之亦然。换句话说，航空公司和石油生产行业走向相反。它们过去 12 个月的月度价格如下

图片 2.1.1

我们分别用 R 1和 R 2表示它们的收益。收益的计算由 (1.1.1) 进行，我们得到

图片 2.1.2

为了计算协方差系数，首先需要推导出R 1和 R 2。

根据（2.1.1 b），协方差计算为

在 Excel 中，这通过一个函数完成

图片 2.1.3

结果，我们得到 s=-0.00066，一个负值。让我们想一想。美国航空 (AAL) 是石油作为能源的消费者。如果油价上涨，埃克森美孚 (XOM) 受益，AAL 价格就会下跌。当油价下跌时，情况正好相反。因此，我们可以得出结论，AAL 和 XOM 的走势相反。

两种资产投资组合的方差和标准差

假设我们有一个由两种资产组成的投资组合，其相应的收益分别为 R 1和 R 2。令权重向量为 w = [w 1 , w 2 ] 。该投资组合的方差计算如下：

这里最后一项有很大不同。我们看到的是，投资组合方差不仅仅是两个方差的加权和，它还有第三项，其中包含协方差系数。这很重要。

假设你设法找到两种预期收益相同且收益之间协方差为负的资产。你可以将投资分成这两种资产，而不是将所有投资都投入其中一种资产，这样在保持相同预期收益的同时，(2.2.1) 式中的最后一个负项将降低你的整体风险。从 (2.2.1) 式中，我们可以得出投资组合的标准差为

请注意，在 (2.2.1) 中，如果 s xy =0（即你找到独立资产），那么投资组合方差将只是两个方差的加权和

现在让我们定义协方差矩阵如下

矩阵的元素表示所有单个收益对之间测量的协方差。

现在让我们考虑 (2.1.1 b) 中的协方差系数。如果我们计算随机变量 X 相对于自身的协方差，我们将得到

因此，这本质上是通过 (1.2.2) 计算的 R 1的方差，因此 (2.2.3 a) 变为

因此，它被称为方差-协方差矩阵。在对角线上，你会看到随机变量的方差。

只要我们有协方差矩阵和权重向量的定义，我们就可以用矩阵的形式重写（2.2.1），如下所示

只需取平方根即可计算出投资组合标准差。更完整的定义是，投资组合标准差是

示例续：

假设我们在投资组合中投入相等的权重 w = [w 1 , w 2 ] = [0.5 0.5]。方差-协方差矩阵为

然后根据（2.2.4），投资组合收益的方差变为

在 Excel 中，计算如下所示

图片 2.3.1

可以通过 Python 进行相同的计算，如下所示

了解多资产投资组合

多资产投资组合的方差-协方差矩阵

假设我们有 N 种资产的投资组合，如果我们计算所有资产对之间的协方差项，s R i R j

然后我们可以将 (2.2.3 b) 中的方差-协方差矩阵推广为以下形式\n

其中对角线上的平方项表示每项资产收益的方差（即 R 1， R 2，...， R N）。所有项一般均通过公式（2.1.1 b）计算。

示例续：

我们继续为由 2 种以上资产组成的投资组合构建协方差矩阵。首先，我们将另一只股票——亚马逊公司 (AMZN) 添加到现有投资组合中。因此，它现在变成了 N=3 资产投资组合。根据我们上面讨论的方法，所有股票的收益均通过 (1.1.1) 计算。然后，可以通过 (2.1.1 b) 计算协方差矩阵元素。在 excel 中，这是通过数据选项卡中数据分析包的协方差函数完成的。

图片 3.1.1