量化交易中的数学基础
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量化交易就是”用数学和代码做交易”。价格、收益、风险、回撤……在数学里都可以被抽象成变量和公式。本质上，我们就是在处理一串随机数（收益序列），用统计和概率的工具去度量”好不好”“稳不稳”。
本文将系统介绍量化交易中常用的数学公式和指标，包括：夏普比率、Sortino 比率、VaR、CVaR、期望收益、均值不利变动（MAE）、回撤、Calmar 比率等。
全文默认你已经知道”买卖股票/期货”这种基本概念，但可以不了解高深数学。
一、从最基础开始：收益率与波动率
收益率的数学定义
对数收益的好处是：多个时期可以直接相加对应”复利”，数学上很方便。
在量化里，我们把rt视为随机变量R的一次”抽样”，然后用统计量来刻画它：
期望（平均收益）：
方差 & 标准差（波动率）：
直观解释：
二、风险收益比：夏普比、Sortino 比、Calmar 比
夏普比（Sharpe Ratio） 公式：
其中：
更精确一点：如果我们有一串周期收益 风险收益率为
则样本夏普是：
直观理解：
夏普比 = “每承受 1 单位波动风险，能多赚多少超额收益”。
- 夏普 ≈ 1：一般
- 夏普 ≈ 2：很不错
- 夏普 > 3：通常是非常优秀（也要警惕过拟合）
年化夏普
N是一年交易日数（股票常用 252）
Python 代码示例：计算夏普比
import numpy as np
def sharpe_ratio(returns, risk_free_rate=0.0, periods_per_year=252):
"""
returns: 一维 np.array 或 pandas.Series，周期收益，例如每日收益
risk_free_rate: 年化无风险收益率，例如 0.02 代表 2%
"""
rf_per_period = risk_free_rate / periods_per_year
excess = returns - rf_per_period
mean_excess = excess.mean()
std_excess = excess.std(ddof=1) # ddof=1 是样本标准差
if std_excess == 0:
return np.nan
sharpe = np.sqrt(periods_per_year) * mean_excess / std_excess
return sharpe
Sortino 比率：只惩罚”下行波动”的夏普
有些策略，比如趋势策略，向上猛涨和向下暴跌都会带来高波动，但我们只讨厌”跌”，不讨厌”涨”。
Sortino 比率就是只计算”下行波动”的夏普。
公式：
其中：
数学表达：
直观理解：
Sortino 比率 = “每承受 1 单位’亏钱波动’，能赚多少超额收益”。 当策略有很多剧烈上行收益时，Sortino 会比 Sharpe 大，说明”风险其实没那么可怕”。
def sortino_ratio(returns, target_return=0.0, periods_per_year=252):
"""
target_return: 年化目标收益（通常设为 0 或无风险收益率）
"""
target_per_period = target_return / periods_per_year
downside = np.minimum(0, returns - target_per_period)
downside_std = downside.std(ddof=1)
if downside_std == 0:
return np.nan
mean_return = returns.mean()
sortino = np.sqrt(periods_per_year) * (mean_return - target_per_period) / abs(downside_std)
return sortino
回撤与 Calmar 比
回撤（Drawdown）
公式：
更完整地说：
某个时刻的回撤：
全过程的最大回撤（Max Drawdown, MDD）：
直观：从账户最高点跌到最低点，跌了多少。
Calmar 比率
公式：
其中： CAGR 公式：
直观解释：
Calmar = “每承受 1 单位最大回撤，能带来多少年化收益”。 它比夏普更关注”路径风险”，尤其适合评估 CTA、对冲基金等长期策略。
Python：最大回撤与 Calmar
import pandas as pd
import numpy as np
def max_drawdown(equity_curve):
"""
equity_curve: pandas.Series 或 np.array，表示随时间变化的账户净值
返回：max_dd (负数)，drawdown_series（同长度的回撤序列）
"""
equity = pd.Series(equity_curve)
running_max = equity.cummax()
drawdown = equity / running_max - 1.0
max_dd = drawdown.min() # 最低（最负）的值
return max_dd, drawdown
def calmar_ratio(equity_curve, years):
"""
years: 回测覆盖的年数，例如 3 年数据则 years=3
"""
equity = np.array(equity_curve)
cagr = (equity[-1] / equity[0])**(1 / years) - 1
max_dd, _ = max_drawdown(equity)
if max_dd == 0:
return np.nan
# max_dd 是负数，所以取绝对值
return cagr / abs(max_dd)
三、尾部风险：VaR 与 CVaR（条件 VaR）
VaR（Value at Risk，风险价值）
数学写法：
直白地说：在给定置信水平 （比如 95%）下，未来某一时间（比如 1 天）最大可能亏损不超过 VaR。 通常表述成：“1 天 95% VaR = 100 万”
含义是：在正常市场下，有 95% 的概率，明天亏损不超过 100 万；也就是有 5% 的概率亏损大于 100 万。
更标准的数学写法（以”亏损L“为正数）：
计算方法（常用三种）
- 历史模拟法（Historical VaR）
用过去 N 天的真实收益
换算成亏损 取95%分位数
2. 参数法（Parametric VaR，正态假设）
假设收益 对给定置信度alpha ，找正态分布分位点
3. 蒙特卡洛模拟
- 建立收益或价格的随机模型
- 模拟很多路径，统计亏损分布
CVaR / ES（条件 VaR、预期损失）
定义：
意思是：
在已经发生”很糟糕”的那部分（损失超过 VaR）的情况下，平均还会亏多少。 相比 VaR 只给出一个”门槛”，CVaR 给你看真正”尾部”的平均损失，监管和风险管理更喜欢用它。
Python：用历史模拟计算 VaR & CVaR
下面把收益视为随机变量，假设我们有一串每日策略收益 returns（单位是百分比或小数形式），资金规模记为 1（方便），则损失就是 -returns。
def var_cvar_from_returns(returns, alpha=0.95):
"""
returns: np.array 或 pandas.Series，策略的周期收益（如日度收益）
alpha: 置信水平，例如 0.95 或 0.99
返回: VaR, CVaR（都以"亏损比例"表示，是正数）
"""
returns = np.asarray(returns)
losses = -returns # 亏损为正
var = np.quantile(losses, alpha) # alpha 分位数
tail_losses = losses[losses >= var]
if len(tail_losses) == 0:
cvar = var
else:
cvar = tail_losses.mean()
return var, cvar
例子（概念性的）：
假设 var = 0.03，表示 95% VaR 为 3%
cvar = 0.06，表示最糟的 5% 情况下，平均亏损是 6%
四、交易系统视角：期望值（Expectancy）
公式：
变量解释：
更数学化一点，把一笔交易的收益记为随机变量X ，则：
其中：
很多交易书上喜欢把亏损写成正数，于是公式变成：
例子：
则：
平均每笔交易期望赚 0.3%。
即使胜率不高，只要盈亏比足够大，期望仍然为正 —— 这就是趋势交易或”止损让利润奔跑”的数学基础。
Python：根据交易结果计算期望值
假设你有每笔交易的收益列表：
def trade_expectancy(trade_returns):
"""
trade_returns: 每笔交易的收益，例如 +0.02, -0.01 代表 +2%, -1%
返回: expectancy, win_rate, avg_win, avg_loss
"""
trade_returns = np.asarray(trade_returns)
wins = trade_returns[trade_returns > 0]
losses = trade_returns[trade_returns < 0]
win_rate = len(wins) / len(trade_returns) if len(trade_returns) > 0 else np.nan
avg_win = wins.mean() if len(wins) > 0 else 0.0
avg_loss = -losses.mean() if len(losses) > 0 else 0.0 # 转成正数表示亏损幅度
expectancy = win_rate * avg_win - (1 - win_rate) * avg_loss
return expectancy, win_rate, avg_win, avg_loss
五、单笔交易的风险剖面：MAE
MAE（Mean Adverse Excursion，均值不利变动）
公式：
解释：
直观理解：
MAE = “即使最后赚钱了，中间最难受的时候亏到什么程度”。
用途：
- 统计历史交易的 MAE，可以帮助你决定止损应该放多远
- 如果绝大多数盈利交易的 MAE 不超过 2%，那你把止损放 2% 附近可能比较合理 如果止损放得比 MAE 典型值还紧，很多原本可以获利的交易会被”洗出去”
- 通常也会配套看 MFE（Mean Favorable Excursion，均值有利变动），即持仓期间曾经出现的最大浮盈，用来研究”止盈”和”移动止损”的策略。
Python：一个简化版 MAE 计算示例
真正的 MAE 需要逐笔交易的”内层价格路径”。这里给一个概念性的写法：
def mae_for_trade(prices_during_trade, direction='long'):
"""
prices_during_trade: 列表，包含从开仓到平仓的价格序列
direction: 'long' 或 'short'
"""
entry_price = prices_during_trade[0]
prices = np.asarray(prices_during_trade)
if direction == 'long':
min_price = prices.min()
mae = entry_price - min_price # 价格跌了多少
else: # 空头
max_price = prices.max()
mae = max_price - entry_price # 价格涨了多少，对空头不利
return mae
在实盘/回测系统中，会在每笔交易生命周期内实时更新”到目前为止的最低点/最高点”，最终统计所有交易的 MAE 分布。
六、组合层面的数学：相关性、分散化与夏普的提升
虽然前面主要是”单策略/单资产”的指标，但量化交易中非常重要的一块，是组合优化。这里简要说一下最核心的数学思想。
这就是”不要把鸡蛋放在一个篮子里”的数学版本。
七、把这些指标串起来：一个小小的”量化评估流程”
假设你写了一个简单策略，得到一串每日收益 daily_returns，和对应的账户净值 equity_curve。你可以这样评估它：
import numpy as np
periods_per_year = 252
years = len(daily_returns) / periods_per_year
# 1. 年化收益（CAGR）
cagr = (equity_curve[-1] / equity_curve[0])**(1/years) - 1
# 2. 夏普 & Sortino
sharpe = sharpe_ratio(daily_returns, risk_free_rate=0.02, periods_per_year=periods_per_year)
sortino = sortino_ratio(daily_returns, target_return=0.0, periods_per_year=periods_per_year)
# 3. 回撤 & Calmar
max_dd, dd_series = max_drawdown(equity_curve)
calmar = calmar_ratio(equity_curve, years)
# 4. VaR & CVaR（例如 95%）
var95, cvar95 = var_cvar_from_returns(daily_returns, alpha=0.95)
得到这些指标后，你可以这样解读：
- CAGR 高、夏普 & Sortino 高 —— 策略长期赚钱且”单位风险收益高”
- MaxDD 不大、Calmar 不错 —— 账户回撤可以承受
- VaR/CVaR 可用来设置仓位上限，比如”日 VaR 不超过总资金的 2%”
- 再配合 Expectancy + MAE/MFE 分析单笔交易结构，看止损/止盈是否合理
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