贝叶斯优化算法原理及代码

由bqw9z8tc创建，最终由small_q更新于2024-05-20 03:22 被浏览 82 用户

贝叶斯优化是一种基于贝叶斯定理的优化方法，广泛应用于机器学习、金融建模和其他需要高效搜索最优参数的领域。它通过构建目标函数的概率模型，并在此基础上逐步更新和优化参数选择，从而实现高效的全局优化。

算法原理

目标函数：
1. 这是需要优化的函数，通常是复杂且成本高昂的黑盒函数。在金融领域，这可能是投资组合的预期回报率或风险调整后的收益。
先验分布：
1. 对目标函数的初始猜测。
2. 高斯过程：贝叶斯优化通常使用高斯过程（Gaussian Process, GP）作为先验，它是一种用来描述数据不确定性的概率模型。它假设目标函数的任何一组点都服从多元高斯分布。因为它们对函数的平滑性做出了强假设，且易于更新。
3. 模型更新：当获得新的观测数据时，高斯过程模型会更新，以更好地反映目标函数的行为。更新过程基于贝叶斯定理，利用先验分布和新数据来生成后验分布。
似然函数：基于新获得的数据点来更新对目标函数的理解。在贝叶斯优化中，通过比较预测值和实际观测值来调整先验分布。
后验分布：
1. 获得观测数据后，先验分布通过贝叶斯定理更新为后验分布。后验分布结合了先验知识和新的观测数据，提供了关于目标函数的新的概率描述。
采集函数：
1. 采集函数用于指导优化过程中的下一步搜索。它确定了在参数空间中哪个点可能带来最大的“价值”，从而在探索（Exploration）和利用（Exploitation）之间取得平衡。
2. 常见的采集函数：包括预期改进量（Expected Improvement, EI）、概率改进量（Probability of Improvement, PI）和上置信界限（Upper Confidence Bound, UCB）。

优化流程

初始化：选择初始点，评估目标函数。
更新先验：用高斯过程模拟目标函数。
选择下一个点：使用采集函数选择新的点以评估。
更新后验：用新的数据点更新高斯过程模型。
重复：重复步骤3和4，直到满足停止条件（如达到最大迭代次数或找到足够好的解）。

优化示意图

接下来创建一个示意图来演示贝叶斯优化的过程。这个图将展示如何使用高斯过程逐步逼近目标函数，并且展示采集函数在决策中的作用。

贝叶斯优化

上图展示了贝叶斯优化的过程。其中：

真实目标函数（红色虚线）表示我们要优化的目标，例如投资组合的预期收益。这是一个复杂的函数，我们无法直接知道其具体形态。
观测点（红色点）表示已经评估过的点，基于这些点，我们可以开始构建目标函数的近似模型。
高斯过程模型（蓝色实线）是目标函数的估计，它根据已有观测点构建，并随着更多点的评估而逐渐完善。
95%置信区间（蓝色阴影）展示了高斯过程模型对目标函数的不确定性。在这些区域，模型对目标函数的预测具有较高的不确定性。

在贝叶斯优化中，我们会使用采集函数（如预期改进量）来选择下一个评估点，该点可能位于高不确定性区域（以探索未知区域）或模型预测值较高的区域（以利用已知信息）。这种方法平衡了探索（Exploration）和利用（Exploitation）之间的权衡，从而有效地找到最优解。

随着更多点的评估，高斯过程模型将逐渐逼近真实的目标函数，从而使我们能够找到全局最优参数。在金融领域，这种方法可以用于优化投资组合、调整交易策略或评估金融产品的风险与收益。

贝叶斯优化算法代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor
from sklearn.gaussian_process.kernels import Matern

# 定义一个模拟的目标函数（例如，投资组合的预期收益）
def objective_function(x):
    return np.sin(x) * np.cos(x / 2)

# 生成数据点
X = np.atleast_2d([1, 3, 5, 6, 7, 8]).T
y = objective_function(X).ravel()

# 定义高斯过程
kernel = Matern(nu=2.5)
gp = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, n_restarts_optimizer=9)

# 拟合高斯过程模型
gp.fit(X, y)

# 生成用于预测的数据点
x = np.atleast_2d(np.linspace(0, 10, 1000)).T
y_pred, sigma = gp.predict(x, return_std=True)

# 绘制图表
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(x, objective_function(x), 'r:', label='True Objective Function')
plt.plot(X, y, 'r.', markersize=10, label='Observations')
plt.plot(x, y_pred, 'b-', label='Gaussian Process')
plt.fill(np.concatenate([x, x[::-1]]),
         np.concatenate([y_pred - 1.96 * sigma, (y_pred + 1.96 * sigma)[::-1]]),
         alpha=.5, fc='b', ec='None', label='95% Confidence Interval')
plt.xlabel('Parameter')
plt.ylabel('Objective')
plt.title('Bayesian Optimization Process Visualization')
plt.legend()

plt.show()

贝叶斯优化算法原理及代码

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优化示意图

贝叶斯优化算法代码

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