规模效应隐藏于日历效应之中
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文献来源：Aharon D Y, Qadan M. The Size Effect Is Alive and Well, and Hiding behind Calendar Anomalies[J]. The Journal of Portfolio Management, 2019: jpm. 2019.1. 088.
推荐原因：自上世纪80年代就有国外学者得到实证结论，规模效应正在逐渐消失。在这篇文章中，作者检验了1926年至2014年该金融异象的稳定性。在实证中发现，规模效应在多个日历效应，如一月效应，万圣节效应，马克吐温效应，其他一月效应，月初效应等等下均有显著表现。这种表现在不同样本时间段，不同模型，不同收益定义方法下均有显著性。我们认为，它可能会为职业投资人或其他市场参与者提供实际的指导。
引言
自上世纪80年代就有国外学者得到实证结论，规模效应正在逐渐消失。在这篇文章中，作者检验了1926年至2014年该金融异象的稳定性。在实证中发现，规模效应在多个日历效应，如一月效应，万圣节效应，马克吐温效应，其他一月效应，月初效应等等下均有显著表现。这种表现在不同样本时间段，不同模型，不同收益定义方法下均有显著性。我们认为，它可能会为职业投资人或其他市场参与者提供实际的指导。
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文献综述
企业的规模是否还在影响股票表现？世界范围内，很多研究者都认为无论在市场收益，还是在风险调整后的收益上，小市值公司的表现优于大市值企业。有一些理论用来支持和解释这种现象，但市场上主流观点是市值溢价是对承担更高风险的补偿。（Fama and French 1993；Hur, Pettengill, and Singh2014）
尽管有非常多的文献论证过该异象的存在，然而近二十年来，规模效应却是饱受争议的焦点。很多实证结果提出了相反的结论（Malkiel 2003），前后矛盾（Dimson and Marsh 1999）或缺乏足够证据确定其存在（Goldie 2014；Alhenawi 2015， Copeland and Copeland 2016）。一些指出很多金融异象，包括规模效应可能都是数据挖掘的结果或对时间区间有很强的敏感性（Brown, Kleidon, and Marsh 1983；Black 1993），对收益计算方式敏感（Handa, Kothari, and Wasley 1989）， 或对熊市、牛市敏感（Pettengill, Sundaram,and Mathur 2002）。一些其他的文献（如：Eleswarapuand Reinganum 1993; Dichev 1998; Chan, Karceski, and Lakonishok 2000; Horowitz, Loughran, and Savin 2000; Amihud 2002; Hou, Karolyi, and Kho 2011）指出规模效应已经不再存在，也有人指出规模效应在1980年以后消失了（Schwert 2003）。
随着对该异象探讨愈发激烈，对于进一步的实证研究显得更加重要，尤其是验证规模效应是否还在市场中存在。基于这些矛盾，这篇文章主要解决两个问题。一是，我们要在一个更大的时间跨度下探讨规模效应的存在及其演变。二是，我们要检验规模效应是否消失，并在不同特殊情况下，如日历效应下是否消失。接下来，我们主要研究在不同日历效应下，规模效应是如何表现的。
我们的研究和其他该领域的文献有几点不同。第一，大多数研究规模效应的文献中均是设置了一个固定的时间段，用不同的方法去检验。如Zhang and Jacobsen（2012）探索月份效应时发现结论很大程度上由选择的时间窗口来决定。受其启发，我们的研究运用更加灵活地方式——移动窗口，分段的时间区间和不同的估计方法。这个过程可能会克服一些实证上的陷阱。第二，金融数据中一个显著特点是波动聚集性。为探讨这一问题，我们不仅应用了稳健标准误差下的OLS，也用GARCH模型来控制条件异方差和可能带来的异常值的影响。第三，我们验证了从1926年7月至2014年8月共88年的美国市场历史数据，要比其他文献选取的时间跨度更大。第四，我们应用了同等权重和市值加权两种方式来计算组合收益。根据我们所翻阅的文献，并没有文献分析日、周、月度的日历效应的同时结合了标的资产的规模。
尽管很多研究指出规模效应已经不再稳健了，这篇文章验证了规模效应依旧在市场中存在。特别地，我们记录了小市值股票溢价在特定时间段、特定计算收益方法和模型下的稳健性。我们发现规模效应在以下日历效应中依旧存在：一月效应，万圣节效应，季节效应，月初效应，周内效应。我们还发现，尽管观测到日历效应随时间逐渐衰减，它依旧很常见并且在不同个日历效应下均有表现。总体上来说，这些结论挑战了有效市场假说，未来的研究会主要放在解释为什么这种现象产生。
这篇文章给出的结论和规模效应的应用可能会对企业和个人均有帮助，因为投资决策可能会应用到这些金融异象。规模效应对一些小市值共同基金和专注小市值的ETF可能会起到很大的作用。尽管有效市场假说认为，金融异象存在的时间不会太久，因为人们一旦发现它，就会利用它，从而使其在市场上消失，这种小市值的共同基金依旧存在。Keim（1999）验证了专注小市值投资的共同基金赚取了额外的超额收益，其表现甚至超过了其作为标的的指数。Gorman（2003）指出专注小市值的基金赚取的额外超额收益达到2%每年。
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数据准备和模型方法
实证分析
月度效应
文献中有很多金融异象与月度相关，包括一月效应，五月至十月效应，十月效应，其他一月效应，季节效应和月初效应。
一月效应
一月效应一般被认为是年初效应，意思是一月的收益一般要高于其他月份的收益，在小市值公司上表现尤为明显。如之前所说，规模效应是由市值后10%组合收益减去市值前10%组合收益来计算的。图一为规模效应在不同月份下的表现。为使结果稳健，我们将总样本分为三个小样本，每一个都大约30年，从1926年7月至1955年12月，从1956年1月至1985年12月，从1986年1月至2014年8月。
第一眼看结果数据，看起来规模效应会随着月份逐渐消失。但结果也显示小市值股票通常会赚取比大市值股票更高的收益，尤其在一月份。而这部分超额收益在二月份会下降。这个结果在我们用等权和市值加权两种方法计算组合收益时是一致的。在绝大多素检测的时间区间内，10月均提供了很显著逇亏损。
值得注意的是，就像三个小区间内超额收益计算结果所显示的那样，一月效应也在逐渐递减。尽管没有在这里展示，用SMB来作为市值效应超额收益，用10年滚动窗口得到的结论都是一样的。我们的结果显示市值效应的衰减很大程度上是由一月效应的衰减带来的，这和一些文献中一月效应消失的结论是一致的。尽管一月效应近年来在幅度上已经消失了，但小公司的超额收益依旧显著存在。也就是说，对小市值企业来说，一月效应依旧存在，一些文献结论（Moller and Zilca 2008）支持了我们认为小市值企业一月效应依旧存在的假设。
五月至十月效应
根据五月至十月效应，也称为万圣节效应，相比于冬季和春季月份夏季和秋季月份（五月至十月）股票价格偏低（Bouman and Jacobsen 2002; Jacobsen and Marquering 2008）我们用如下方程3，OLS回归来检验规模效应。
图二包括OLS回归的结果。如图二中显示万圣节效应在小市值企业中表现十分显著。相比较于市值前10%的企业，市值为后10%企业组合收益的回归结果中，系数通常为正且十分显著。规模效应的回归结果也同样支持了这个趋势。另一方面，图二也展示了大市值企业的回归结果较弱。因此，尽管看起来万圣节效应在大市值企业中表现较弱甚至消失，但在小市值企业中和规模效应中依旧存在。
尽管没有在这里展示，GARCH(1,1)提供了一个相似的甚至更令人信服的结果。对规模效应回归下的HLW的系数始终显著为正，无论是用等权还是市值加权法计算的收益率。另外，用SMB回归结果也是一致的。通过上述分析，我们有理由认为万圣节效应提供了规模效应存在的证据。
十月效应
十月效应也叫马克吐温效应，指的是历史观测值显示十月的股票收益持续低于同年的其他月份(Zhang and Jacobsen 2012)。我们用下面的随机游走回归和虚拟变量来验证十月效应的存在：
图三包含了方程4的回归结果。总体上看，beta系数显著为负，意味着十月效应在小公司上确实存在。而且十月效应不仅在全样本下显著为负，在三个子样本下也显著为负。另一方面，大市值企业的十月效应并不显著。而对市值效应回归下，也可以得到十月效应显著为负的结果。因此，我们可以发现尽管市场上很多金融异象在消失，但规模效应依旧存在，并且在日历效应中表现的更为明显。当我们用SMB来代表规模效应的溢价、用等权法计算组合收益时得到的结论也是相似的。
尽管一些金融文献上记载金融时间序列的波动性会随着时间变动而变动，有时也会出现一些冲击，我们这里也应用了GARCH(1,1)来确认结果的稳健性。和之前一样，我们添加了如下的方程5，并用极大似然估计法：
我们对市值前10%的股票组合，市值后10%的股票组合和规模效应溢价都做了回归，为节省空间，这里不再展示结果。在整个样本下（1926-2014），参数b对于市值后10%股票组合和市值效应溢价显著为负。绝大多数的子样本回归结果也与其一致。综上，结果显示十月效应在规模效应下依旧显著。
其他一月效应
我们检验其他的一月效应（OJE）在小市值股票中是否存在。根据Cooper, McConnell和Ovtchinnikov(2006)，其他一月效应指的是市场历史数据显示股票一月份的涨跌预示本年后十一个月的涨跌，即若一月的股票市场呈上升状态，后续十一个月也会呈现上涨的态势。如果一月份下跌，后续的十一个月也会呈现下跌的态势。
如同我们之前的检验方法，我们仍然采用市值前10%的股票组合和市值后10%的股票组合（分别计算等权或市值加权收益）来检验这个效应。这一次，我们依旧将总样本划分为三个子样本来规避选择偏差。为了节省空间和由于结果的一致性，这里只展示市值加权组合的结果。
图四展示了其他一月效应的结果。在1926年至2014年间，大多数的时间区间在内，一月的正向收益往往伴随着后续十一个月的正向收益。另外，如果一月收益为负，虚拟变量的回归结果并不显著。
图四中也提供了三个不同的子样本，1956-1985，1986-2014的回归结果显示规模效应的存在。在全样本中的88年中，一月份市值后10%的股票组合收益有71个月为正，17个月为负。一月收益为正的后续十一个月累积收益率的平均为10.4%，而一月收益为负的后续十一个月的累积收益率的平均仅为4.1%，而且回归结果并不显著。在某种程度上，这种区别低于Cooper, McConnell和Ovtchinnikov(2006)中的结果，原因可能是该文中包含了1929年的大萧条，1929年一月组合收益为正，而后续十一个月的收益为-51.4%。1930年和1931年结果也相似，后续十一个月的收益分别为-57.9%和-53.4%。
当我们在检验1926年至1935年时，这个现象更为明显。在这个时间段，有7年一月组合收益为正，后续十一个月收益为负。仅有两年一月收益为负（1933和1935），但他们后续十一个月的组合收益分别为145.8%和63.9%。在1926-1955和1956-1985两个时间段内，由于一月收益为正的年份数量高于一月收益为负的年份数量，结果显示规模效应存在。然而，1926-1955年结论是后续十一个月的收益并不显著。在1986-2014年结果相对较弱。事实上，有三个特殊点影响了回归结果。2000、2007、2011年一月均有正收益，而后续十一个月的收益却伴随着巨大的损失。在这些区间内，分别发生了互联网泡沫，次贷危机和债务危机。如果我们移除这些离群点，其他一月效应会更显著。
当我们在研究其他一月效应在其他移动窗口下的表现时，我们发现用SMB作为市值效应估计时在绝大多数的移动时间窗口下，回归结果大多是显著的。然而在大市值股票组合呈现出不同的回归结果。大市值股票组合，一月为正的年份数量和一月收益为负的年份数量的差异并没有小市值股票组合差异那么大。例如，当我们考虑整个样本时，大市值股票组合中有51年一月收益为正，37年为负，而小市值股票组合中有71年一月收益为正，17年为负。当我们检验三个子样本时，结果却是相似的。因此，我们可以认为其他一月效应在小市值股票中是存在的，而由于一月收益为正的数量更多，小市值股票组合在其他一月效应中表现优于大市值股票组合。
如我们在附录中所展示的，当我们用等权法计算组合收益时，其结果也支持小市值股票组合在一月和后续十一个月表现优于大市值组合的现象。例如，对1926-2014年中，有80年一月收益为正，8年为负。一月收益为正时，后续十一个月的收益平均为16.4%；当一月收益为负时，后续是一个月的收益平均为11.1%，但其回归结果显示，虚拟变量并不显著。
季节效应
季节效应（SAD）(Kamstra, Kramer, and Levi 2003 [hereafter, KKL]; Kamstra etal. 2014)指的是股票收益的季节变动是和秋冬季节日照时间变短带来的情绪变动有关。KKL(2003)推测风险厌恶的投资者在秋季日照时间变短时，开始从风险资产投资中撤离，这会导致股票价格迅速下跌，也会带来对同期股票收益和未来股票收益的更高要求。心理学临床证据表明SAD和日照时间长短有关，与季节和纬度有关，而不是日照量和有无乌云等（Molin et al. 1996; Young et al. 1997）
继续KKL (2003)和Garrett, Kamstra和Kramer (2005)的研究，我们用方程6所表示的模型来检验冬季忧郁所带来的任何影响。
图五展示了该模型应用规模效应溢价作为被解释变量的OLS的回归结果。如图五所示，规模效应溢价的回归模型中，绝大多数的变量在1%显著性水平下是显著的。与KKL（2003）的研究中结果一致，SAD, TAX, R_(t-1)变量中均与被解释变量有正向关系，而FALL和MON与被解释变量间有负向关系。另外，调整R平方也和KKL(2003)的结果很相似。当我们将全样本划分为三个子样本时得到的结论也是一致的。为节约空间，我们没有展示SMB、GARCH的结果，得到的结论基本一致。另外，用市值排名前10%的股票组合收益和市值排名后10%的股票组合收益回归得到的结果也和用规模效应回归得到的结果一致。
月初效应
月初效应指的是市场价格在每月月初的几天会相对较高。根据Lakonishok和Smidt(1988)，我们定义了TOM作为一个虚拟变量，当其为本月最后一个交易日或每月前三个交易日时为1，其余为0。和之前相同，我们估计方程8：
之前的研究表明月初效应对市场收益有一个正向的效应，我们的发现也与之相同。如图六所示无论是在小市值股票组合还是在规模效应溢价上，用等权还是市值加权法计算收益率，用全样本还是三个子样本，虚拟变量系数均呈现显著为正。值得注意的是，尽管市值排名前10%的股票组合回归时，虚拟变量结果显著，其正向的效应要低于其他组合。
综上，我们的研究和Sharma和Narayan(2014)是一致的。他们的研究指出月初效应在小市值企业中的正向效应幅度和波动性均大于大市值企业。然而值得注意的是，月初效应的对应的虚拟变量的系数持续衰减。但是，尽管总体上来说月初效应在幅度上呈现逐渐衰减的态势，它仍然存在着。组合投资经理和其他市场参与者可以很好地利用这一规律。
周内效应
这个效应是一个被广泛研究的金融异象，在世界范围内的股票、债券、期货和货币市场中均能发现其踪迹。（Cross 1973; French 1980; Keim and Stambaugh 1984）根据这个异象，股票收益率的分布与星期几有关。根据以前的方法，我们用方程9中的方程来探索周内每一天股票收益率的分布。
由于方程9中OLS估计的残差存在异方差性，我们也采用了GARCH(1,1)来允许模型接受方差的变动，其结果显示组合收益在周一时一般为负，尤其是在小市值股票中更为常见。
年度周效应
该异象也叫冬季初期效应（Levy and Yagil 2012），指的是每年的第四十四周（10月29日至11月4日）组合超额收益为正。另外，每年第44周（10月22日至10月28日）超额收益为负。
为了验证这个金融异象，我们用方程10和方程11刻画的OLS回归（稳健标准误差）和GARCH(1,1)模型来进行回归。
最后，如图八展示的，A图中四十四周具有正效应的样本不足50%。与之相反的，有很强的趋势显示第四十四周更容易表现出负效应。与之对应的，在88个样本中，仅有27个在第四十四周具有正效应（30.6%），而有61个具有负效应（69.4%）。综上，我们发现在四十四周时小市值股票总体上表现差于大市值股票，但是第四十三周的影响并不确定。
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总结
近期一些研究质疑规模效应是否还在市场中存在，有些可能存在错误的样本选择和错误的方法选择。还有一些质疑从理论上出发，认为有效市场假说中，投资者发现金融异象时就会对其进行利用从而使其在市场上逐渐消失。在本篇文章中，我们将这些研究延伸至研究和规模相关的金融异象并检查1926年至2014年异象的稳定性。我们采用日度、周度、月度的数据来检测各个日历效应下，小市值股票组合和大市值股票组合的业绩表现差异。我们发现规模效应广泛地存在于很多日历效应中，如一月效应，万圣节效应，十月效应，其他一月效应，季节效应，月初效应，周内效应和年度周效应。我们的结果与那些认为规模效应消失的文献不同。我们的发现即使是控制计算组合收益方法、选择样本区间和计量模型下都是稳健的。
我们指出规模效应嵌入于很多日历效应。尽管在近年来，规模效应看似在幅度上渐渐消失，但其在市场上依旧存在且常见。我们的结果挑战了有效市场假说，对公司金融、资产定价、投资决策等均有很强的指导意义。投资者和组合管理者要多留心这篇文章，因为他们可以用其中的结论来指导他们的决策。