指数也有阿尔法？—— S&P 500和Russell 2000都有
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没错，从1980年到2005间，S&P指数是有阿尔法的，不管是用Fama-French三因子模型还是Carhart四因子模型来做收益评估。长久以来，S&P 500指数一直被视为最常见的market portfolio（市场投资组合），而market factor(市场因子）是最常见的定价因子。如果多因子模型能够准确地解释投资组合的回报的话，那么被动投资指标，比如S&P 500指数，应该没有任何阿尔法。
本文基于Martijn Cremers, Antti Petajisto和Eric Zitzewitz的论文*“Should Benchmark Indices Have Alpha? Revisiting Performance Evaluation”*来探讨这一令人困惑的现象。
下图显示了S&P 500指数，S&P 500价值指数，以及S&P 500成长指数的累计阿尔法。价值指数主要包括低估值股票。时间跨度为1961年到2005年。S&P 500是美国最流行的大盘股市值指数。
上图显示了S&P 500指数从1980年到2005年间共产生了超过20%的超额收益。
同样很流行的被动投资指标还包括Russell 2000指数，该指数跟踪美国市值最小的2000支股票，是小盘股基金最常见的参照指标。在1980到2005年，Russell 2000也有阿尔法，不过是负的 —— 难道size factor（市值因子）不应该足以解释小盘股的投资回报从而产生零阿尔法吗？
**下表显示了S&P 500的正阿尔法和Russell 2000指数的负阿尔法不仅年化数值可观，并且统计显著。**括号内为阿尔法对应的t-statistic的绝对值。
这些令人感到困惑的阿尔法，来源于Fama-French和Carhart多因子模型中市值因子(market factor)的选择 —— CRSP市值指数。
CRSP指数包含了几乎你能想到的北美的所有投资类股票类标的，不仅囊括了NYSE，NASDAQ，AMEX三大交易所的所有股票，还包括各种总部不设在美国但是在美国有重要商业活动的公司的股票, 封闭式基金（close-end funds），不动产投资基金（ REITs）等等。S&P 500指数对应的股票所占的市值只不过是CRSP市值指数中所有标的物的市值的70%而已。
如下表所示，CRSP指数是囊括了最多种类股票投资标的的指数。而那些没有被S&P 500指数包括的投资标的，比如小盘股，封闭式基金和不动产投资基金等，在1980年到2005间的表现都比较弱，获得了负的阿尔法。
不出意外，在1980年到2005年间，由于CRSP指数囊括了这些其他投资标的，CRSP指数的表现是不如S&P 500指数的。另一方面，由于Russell 2000主要专注于小盘股，而市值因子SMB的构建方法是等比重做空小市值股票的（具体看Ken French的网站），所以当小盘股表现较差的时候，Russell 2000就会有负的阿尔法。
**事实上，小盘股的表现几乎能够解释所有的指数阿尔法。**CRSP包含了S&P 500没有包括的小盘股和联动性很强的另类投资标的。而Russell 2000则给予了小盘股更多的权重。当小盘股表现较好时，我们预测S&P 500的阿尔法是负的，而Russell 2000的阿尔法是正的，反之亦然。
**在样本内，即1980年到2005年间，小盘股和其他另类投资品的表现是弱于大盘股的。**同一期内，Russel 2000的表现弱于S&P 500指数（如下图），这时候S&P 500的阿尔法是正的，而Russell 2000的阿尔法是负的，如前文所述。 而2000年后，其实小盘股的表现是强于大盘股的，这时候Russell 2000的表现就比S&P强多了。下图显示了两个指数从2000年到2017十月的累计表现。
根据前面的逻辑，这个期间（2000 - 2017）内我们将预估S&P 500有负的阿尔法，换言之，这段时间内S&P 500的表现不仅是弱于Russell 2000（如上图）的，还将是弱于CRSP指数的。
事实也确实如此。下图现实了2000年后CRSP指数和S&P 500指数的累计表现。
2000到2016年12月间，CRSP指数的表现相对于S&P 500的表现是更强的。根据我的回归分析，该期间内S&P 500的阿尔法大概是每年-3%。
根据不完全统计，美国行业内专注于相对收益的纯股票类量化基金，平均每年能够打败市场 —— 2%。换言之，在过去18年，如果你能投资CRSP指数，你的收益将胜过最好的一批量化基金。但是很遗憾，你不可能投资CRSP指数。
CRSP指数在长期能够打败S&P 500是不意外的。毕竟CRSP包含了更多的资产，当然也就更贴近于理论上的有效市场组合，具有更高的收益风险比，或者说更高的Sharpe Ratio。
**我在这里想要探讨的是，虽然多因子模型经常被用于基金的业绩评估，但是它原本的设计目标是为了解释股票收益在横截面上的区别。而用于业绩评估的因子，则应该能够反映投资者可以选择的其他待选资产，比如一个指数，或者一个类似风格的投资组合的回报。**举例来说，一个基金的表现是否优异，应该衡量它是否能够长期稳定的打败S&P 500指数，因为一个投资者总是可以选择投资指数基金从而获得S&P 500指数对应的回报。同时，基金的风格有区别（具体可参考MorningStar的九宫格），所以我们还应该考虑把其他指数，例如Russell 2000加进来。或者我们可以通过基金的持仓来判断持仓股票的特点，并且找到类似特点的股票的回报来作为参考。具体我就不展开讲了，感兴趣的话留言我贴两篇论文。
股票指数是被动投资指标，不涉及到任何投资技巧，一个好的收益衡量模型应该得到指数没有显著阿尔法的结论。本文从S&P 500指数和Russell 2000指数具有的显著阿尔法入手，探讨了使用多因子模型进行收益衡量可能带来的弊端。大部分图表皆来自于引用论文。
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