通过VaR Black-Litterman模型构建FOF投资绝对收益组合
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文献来源:Miguel A. Lejeune. A VaR Black–Litterman model for the construction of absolute return fund-offunds [J] Quantitative Finance. January 2009
推荐原因：本策略面向有市场风险控制目标并以获得绝对收益回报为目标的FOF基金。我们介绍的VaR Black-Litterman模型将VaR测度以及交易限制(分散化、买入限制、流动性、行情等限制)等因素均考虑在内，是一个概率整数非凸优化问题，经证明，本文提供的方法在计算速度与稳定性上都具有不错的表现。
引言
本模型的投资构建方法最早可以追溯到Markowitz均值方差组合优化模型，该模型以分散投资原则为主导，对风险与收益进行均衡，该均值方差模型作为一个二次最优化问题定义了每类资产的资金分配。在Markowitz之后，很多学者不断提出了新的组合优化模型，其主要的发展方向为如下三种：
减少估计风险的影响
之前的很多研究表明，很多优化组合对输入值的估计都十分敏感(尤其是平均收益的估计误差对结果的影响比方差和协方差的估计误差对结果的影响更大)。对该问题的探索推动了Robust优化、随机规划、基于稳健统计的组合优化模型等发展;
其他风险度量的考虑
这些风险度量也许是对称的，或是非对称的，也许以最大收益或指数跟踪目标为目标。文献从风险度量的一致性、凸性和计算可操作性等不同角度对构建投资组合的风险度量选择进行了分析;
处理实际情况的限制
这些限制可以来自交易限制,比如对于特定行业或资产类所持有的最大(或最小)头寸、购买的最低单位限制、交易对股价的影响、交易成本的支付、及国际资管的规定(如巴塞尔协议)等等。
本文中用到的风险控制方法为VaR方法，通过对FOF投资组合的方差进行控制，达到减少FOF组合的风险暴露的目的，同时也满足了巴塞尔协议等监管机构的要求。
为了得到强健的组合参数估计，参数期望值的估计会同时参考市场上的客观定量数据，以及基于Black-Litterman模型的专家观点。而多样化配置的目标通过对不同资产投资的上界和下界的限制，不同的地理区域、不同币种之间的分散化投资而实现，而对于低流动性资产的投资比例也需要进行限制。本文中所推出的模型，合并了以上所提到的各种限制。
VaR Black-Litterman FOF 模型
备选资产范围
模型描述
根据巴塞尔协议，VaR标准已经成为通用的金融市场风险测度标准，本文提出的VaR约束也同时符合巴塞尔国际协会的要求。其次，我们注意到对于VaR的结构化约束可以通过分散化约束进行补充。我们知道VaR不满足一致风险度量中的次可加性，因此分散投资可减少风险这一公理在VaR的度量维度并不适用。因此结果可能是，当我们单独使用VaR对基金投资组合的市场风险进行约束时，优化结果可能集中于少数几类资产，而分散化约束能够修正该不足。
预期收益估计的修正
对预期收益及其方差和协方差的估计输入的一个小小的变化会显著改变最优投资组合的组成——最优均值方差投资组合的这一问题一直遭到各种专业人士的诟病。为了减轻这种所谓的估计风险所带来的误差影响，本文结合定量收益数据和专家意见，对预期收益进行更稳健的估计。该方法通过使用Black-Litterman框架来实现的，它整合了投资者的经济逻辑并克服了一些不直观，高度集中的投资组合以及对输入值敏感的问题。而不是仅仅依赖于历史数据来预测未来的回报,Black-Litterman方法使用贝叶斯方法结合专家的主观意见的相对或绝对的未来表现特定的资产或资产预期收益的市场均衡向量(先验分布)形成一个新的混合的预期收益估计。处理结果是预期收益的修正向量，它是通过将先前的基于市场均衡的收益估计向投资者所表示的观点所青睐的资产方向倾斜而得到的，偏离均衡的程度取决于投资者对每种观点的置信程度。一个标准的投资组合优化问题所需要的输入包括n不同资产的预期回报率μ和它们之间的协方差,而Black-Litterman方法需要下列更多的输入：
如果投资者对期望收益没有特别的观点，那么他将按照市场组合进行投资，然而在现实经济环境中，一个投资者或者专家，经常持有与市场不同的短期收益期望。BlackLitterman模型提供了一种将专家观点整合到最优组合求解的过程中，但是更具有挑战性的方面是，如何将专家的观点或者置信水平诠释成为BalckLitterman的输入值。观点的矩阵由下列公式给出：
其中，P为k×n列的矩阵，k为观点数量，是n维修正的期望收益向量，q和e为k维向量。
注意到关于观点的给出，一种可以是绝对收益的观点，另外一种可以是相对基准的相对收益的观点。如：
- 一种相对观点表述为在90%的置信水平下，道琼斯工业指数会超过标准普尔500指数约1%到3%，或
- 另外一种绝对观点表述为在90%的置信水平下，NASDAQ综合指数将会在12%到15%之间。
模型公式
求解方法
求解方法包括将VaR约束改写以及找到随机VaR Black Litterman优化问题的确定等价或者近似估计问题。我们考虑重新表述问题的可计算性和凸性。
VaR约束条件限制FOF组合的损失在95%的概率下亏损不超过初始值的β(如5%或10%)，用公式表示为：
另外可以注意到，在每种资产收益分布都呈正态分布的假设下，资产组合也呈高斯分布，该种假设下可以求得特定分位点对应的数值。然而在现实中，考虑到对资产的收益分布具有肥尾等属性的普遍认知，每种资产的收益分布为正态分布的假设过强
如果组合收益的具体概率分布未知，那么我们不能推导出概率约束(15)的确定性等价形式，但是我们可以通过著名的积分不等式来寻找非常接近式子(15)的替代确定性约束。
结论
本文的贡献在于推演了新的VaR Black Litterman模型来构建绝对收益为目标的FOF组合。通过利用BalckLitterman模型将资产的历史收益与专家观点相结合的手段，有效的减轻了模型的估计风险。
更进一步，估计收益向量附加VaR约束暗含该收益具有随机特征，即构建的FoF组合的预期收益，在95%的可能性下损失不超过5%或10%，同时该模型还因考虑其他特定交易约束，而且采取了较为复杂的随机整数规划问题形式。
此外，本文推导了VaR Black-Litterman模型的确定性等价或者近似。我们更进一步发现，对于更广的概率分布，这些确定的描述具有凸性，凸性对于求解这类优化问题的可解性和数值解具有重要作用，通过运用Cantelli、单边切比雪夫和卡梅得不等式得到确定性等价问题的近似，问题的近似程度依赖于假定的FoF收益分布性质。