Fama-French 五因子模型
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引言
资本资产定价模型（CAPM）长时间以来是资产定价的第一范式，它在一系列假设基础上认为资产的期望收益率由无风险利率和其承担的风险溢价所决定。但是，自20世纪70年代以来，学者们逐渐发现按照某种风格交易股票能够战胜市场，比如：Basu（1977）发现的盈利市值比（EP）效应和Banz（1981）发现的小市值效应。随着越来越多的异象被发现，人们也意识到CAPM模型并不能完全解释资产的期望收益率，而Fama and French（1992）整合了多种异象，在CAPM的基础上，加入了价值（High-Minus-Low, HML）和规模（Small-Minus-Big, SMB）两个因子，提出了Fama-French三因子模型，不仅颠覆了人们对CAPM模型的认知，也正是开启了多因子模型研究的热潮。随后，Fama and French（2015）在原有的三因子模型基础上增加了盈利和投资两个因子，提出了新的Fama-French五因子模型。
一、Fama-French 三因子模型
Fama-French三因子模型的形式如下：
式中，E[Ri] 表示股票i的预期收益率，Rf为无风险收益率，E[Rm] 为市场组合预期收益率，E[Rsmb] 和 E[Rhml] 分别为规模因子和价值因子的预期收益率，beta 为个股i在相应因子上的暴露。
为了构建价值和规模因子，Fama and French（1993）选择了BM和市值两个公司指标，并进行了如下图所示的2*3的独立双重排序。在排序时，价值因子以BM的30%和70%分位数为界。
| BM | ||||
|---|---|---|---|---|
| High | Middle | Low | ||
| Size | Small | S/H | S/M | S/L |
| Big | B/H | B/M | B/L |
式中，每个投资组合的收益率均以组中个股的收益率按市值加权计算得到。
二、Fama-French 五因子模型
Fama and French (2015) 在Fama-French三因子模型的基础增加了盈利和投资两个因子，提出了新的五因子模型：
E[Rrmw] 和 E[Rcma] 分别为盈利因子和投资因子的预期收益率，和分别为个股 i 在这两个因子上的暴露。构建上述两个因子的预期收益率的方法于三因子模型类似，分别用ROE和市值进行23、总资产变化率和市值进行23的双重排序，分别得到以下6个投资组合：
| ROE | ||||
|---|---|---|---|---|
| Robust | Neutral | Weak | ||
| Size | Small | S/R | S/N | S/W |
| Big | B/R | B/N | B/B |
| 总资产变化率 | ||||
|---|---|---|---|---|
| Aggressive | Neutral | Conservative | ||
| Size | Small | S/A | S/N | S/C |
| Big | B/A | B/N | B/C |
对于盈利因子，ROE分别以30%和70%分位数为界。由于从DDM理论推导可知预期盈利和预期收益率呈正相关，因此使用稳健组（Robust，S/R和B/R）和疲软组（Weak，S/W和B/W）的收益率之差构建盈利因子（Robust-Minus-Weak, RMW）：
对于投资因子，总资产变化率也是以30%和70%分位数为界。由于从DDM理论推导可知预期投资和预期收益率呈负相关，因此使用保守组（Conservative，S/C和B/C）和激进组（S/A和B/A）的收益率之差构建投资因子（Conservative-Minus-Aggressive, CMA）：
与Fama-French三因子模型构建SMB和HML因子时采用平均收益率的方法不同，上述两个因子中每个投资组组合的收益率使用各组成分股收益率的市值加权得到。另外，由于新加入了两个因子，Fama-French五因子模型的规模因子的构建也产生了变化：
三、实证研究
为了进行实证研究，我们将股票池限定在沪深300中，且时间窗口定位2018-2021年，除了GRS检验外，其他检验的周期均为月频。
单因子检验
在上述限制下，我们对五个因子根据前文的论述进行双重排序，计算因子收益率。与前文不同，这里每个投资组合按照组内个股收益率平均的方式进行计算。
下表给出了RM、SMB、HML、RMW、CMA这个五个因子的月均收益率和t值，我们可以清晰地看出以下规律：
- SMB（市值因子）在2018年-2020年间呈现明显的负收益，其t值（-5.832）也十分显著，这一现象的解释有两点：1）股票池规定在沪深300中，该指数中并没有真正意义上的“小市值”股票；2）2018年以来属于大白马行情，行业龙头表现明显优于小市值股票。
- RWM（盈利因子）为正，虽然符合理论推导，但是t值并不显著。
- CMA（投资因子）为负，同样符合理论逻辑，且t值也较为显著，说明至少在沪深300的股票池中，当期投资额与下期股票收益率负相关。
| RM | SMB | HML | RWM | CMA | |
|---|---|---|---|---|---|
| 月均收益率 | 0.147% | -2.425% | -2.151% | 0.033% | -0.819% |
| T值 | 0.194 | -5.832 | -2.436 | 0.060 | -2.176 |
因子相关性
五个因子的相关性分析如下图所示，可以看出，除了HML和CMA两个因子的相关性为0.58，其他因子之间的相关性均较低：
GRS检验
前文对单个因子收益率进行了t检验，但t检验只能检验一支股票或一个异象因子的alpha，对于一个模型来说，如果在1000支股票中，有900支模型的alpha不显著，而剩余100支有显著的alpha，那么该模型是否成立呢？t检验无法回答。因此，为了证明一个模型真实有效，需要检验所有资产的定价误差，即alpha是否联合为0。
GRS 检验对一系列股票的alpha 进行联合检验，检验在一定的假设条件下，所有候选股票的alpha 联合为0 的原假设是否成立。若不能拒绝该原假设，则认为定价模型是有效的。
GRS检验结果如下表所示。从中可以看出，因为GRS明显大于F值，所以拒绝原假设，即所以上述个股的alpha并不联合为0，也就是说Fama-French五因子模型至少在我们的样本集内是无效的。
| T | N | K | GRS | F值 |
|---|---|---|---|---|
| 972 | 156 | 5 | 22.0640 | 1.2161 |
Alpha检验
最后，我们利用构建好的 Fama-French 五因子模型对PB因子进行Alpha检验，其中PB从Small到Big的可决系是（R2）为：0.941/0.952/0.934/0.936/0.942，其他统计量如下表所示：
| 系数beta | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| PB | alpha | RM | SMB | HML | RWM | CMA |
| Small | -0.0051 | 0.8092 | 0.3317 | 0.3228 | -0.2903 | -0.0824 |
| 2 | 0.0096 | 1.0187 | 0.5202 | 0.1933 | -0.4505 | -0.0672 |
| 3 | 0.0095 | 1.0775 | 0.5837 | -0.0543 | -0.3475 | -0.0340 |
| 4 | 0.0072 | 1.0598 | 0.2985 | -0.3188 | -0.2625 | -0.0815 |
| Big | 0.005 | 0.9161 | -0.2045 | -0.7102 | -0.1592 | 0.0172 |
| t值 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| PB | alpha | RM | SMB | HML | RWM | CMA |
| Small | -1.948 | 21.694 | 4.876 | 8.067 | -5.196 | -0.867 |
| 2 | 3.208 | 23.776 | 6.656 | 4.205 | -7.020 | -0.622 |
| 3 | 2.526 | 19.977 | 5.933 | -0.938 | -4.302 | -0.250 |
| 4 | 1.863 | 19.264 | 2.975 | -5.499 | -3.186 | -0.588 |
| Big | 1.336 | 15.465 | -1.892 | -11.173 | -1.794 | 0.115 |
| P值 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| PB | alpha | RM | SMB | HML | RWM | CMA |
| Small | 0.059 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.386 |
| 2 | 0.003 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.537 |
| 3 | 0.016 | 0.000 | 0.000 | 0.354 | 0.000 | 0.804 |
| 4 | 0.070 | 0.000 | 0.005 | 0.000 | 0.003 | 0.560 |
| Big | 0.189 | 0.000 | 0.066 | 0.000 | 0.080 | 0.909 |
从上述检验结果，我们可以得到以下几点规律：
- 从5组分组回归结果来看，除了第2组和第3组之外，其余组合的alpha值均较小，且t值均小于2。
- 除了投资因子外，另外四个因子的P值在5组投资组合中都较小，也说明这个4个因子能很好地解释PE因子收益率。
- 5组分组的可决系数均超过9。
整体来看，Fama-French五因子模型能较好的解释PE异象因子。这也符合预期，因为五因子模型中已经包含了市值因子和账面价值因子。
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