量化机器学习系列分享（三）逻辑回归与优化方法
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1. 逻辑回归
1.1 分类问题的定义
分类问题的标签是离散型的变量，我们的目的是用特征，来预测标签归属于几个类别当中的某一种
- 如果是预测标签属于两个类别当中的哪一种，就叫二分类问题，比方说预测股票明天是涨，还是不涨，两个类别
- 如果是预测标签属于多个类别当中的哪一种，就叫多分类问题，比方说预测股票明天是涨，还是跌，还是不涨不跌，还是涨停，还是跌停，五个类别
本次分享我们主要讨论二分类问题
对于二分类问题，我们需要把定性的类别，转换为定量的数字，来让计算机理解类别的概念
- 一种做法是将一个分类定义为1，另一个分类定义为0，比方说预测股票明天是涨，还是不涨，可以将涨定义为1，不涨定义为0（传统模型常用）
- 一种做法是将一个分类定义为1，另一个分类定义为-1，比方说预测股票明天是涨，还是不涨，可以将涨定义为1，不涨定义为-1（深度神经网络模型常用）
对于机器学习来说，计算机并不是直接预测标签是0还是1是
- 机器学习模型将这个问题转化为了预测标签为1的概率
- 标签为0的概率不用另外预测，直接用1减去标签为1的概率，就是标签为0的概率了
得到了标签为1的概率和标签为0的概率以后，我们只是得到了概率而已，那么标签到底是1还是0呢
- 通常的做法是，如果标签为1的概率大于0.5（P(Y=1|X)>0.5），那么标签就为1，否则标签就为0
- 例如，如果预测出来股票明天涨的概率为0.7，那么我们就认为股票明天会涨；如果预测出来股票明天涨的概率为0.4，那么我们就认为股票明天不会涨；
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1.2 线性回归在分类问题上的局限性
线性回归用于回归问题时，Y是一个连续型变量，取值可以是Y定义域上的任何值，表达式与拟合图像（只有一个特征）为：
如果直接用线性回归去解决分类问题，Y是一个离散型变量，取值只能是0或1，表达式与拟合图像（只有一个特征）为：
可以看出，在分类问题上，线性回归有以下的一些问题
- 线性回归预测出来的，标签为1的概率（P(Y=1|X)，第二张图里的斜向上的蓝线）是可能大于1或小于0的，这对于概率来说是无意义的
- 线性回归是容易收到极端值的影响的，可以想象一下，如果在第二张图里，有一个数据的位置在很右上角的位置（X很大，Y为1），那么蓝色的拟合线就会因为它而很大程度向右偏移
因此我们需要对线性回归模型，进行改进，以解决这两个问题，让线性回归更适合分类问题
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1.3 逻辑回归
1.3.1 逻辑回归的定义
逻辑回归（Logistic Regression），是将线性回归表达式的右半边，套在一个逻辑函数（Logistic Function）里，从而去预测P(Y=1|X)，其表达式和拟合图像为
可以看出，逻辑回归可以解决，线性回归在分类问题上的两个问题
- 逻辑函数的值域为0-1之间，所以逻辑回归预测出来的概率，不会比0小，也不会比1大
- 如果有极端值的话，例如在上图里，有一个数据的位置在很右上角的位置（X很大，Y为1），蓝色的拟合线基本不用变化，就可以照顾到这个极端值
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1.3.2 逻辑回归的参数估计
回顾一下线性回归的参数估计，我们要想在线性回归中将beta估计出来，我们的优化目标是最小化MSE，说白了是找到能让MSE取最小的beta：
要想找到能让MSE取最小的beta，其实方法很简单，就和我们中学时候学的求函数最小值的方法一样，求导等于0后解方程，所以beta其实就是这么解出来的
- 虽然这是矩阵版本的求导与解方程，但是它本质上就是用求导等于0再解方程的方法求beta参数值
- 最终我们可以将方程的等式整理为，beta在左边，其他一些东西在右边的形式
在逻辑回归中，我们的最优化目标是最小化交叉熵（Cross Entropy）
我们以同样的思路去求beta
- 在交叉熵式子中对beta求导数，之后再令求导的式子为0，然后解出beta
- 但是，这个式子非常复杂，在这个式子中，想要对于beta求个导都是个不可能的事情，更别说解接下来的方程了
- 因此，我们需要一些别的方法，来求得这个，可以让交叉熵的式子取得最小的beta
- 但是，不论用什么样的方法，机器学习中参数求解的原则依然是不变的，找到可以让损失函数最小的参数
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1.4 梯度下降法与牛顿拉弗森法
假如给你这样一道中学时候学的开口向上的二次函数f(x) = x^2 - x - 2，让你求解，在x等于多少的时候函数取得最小值，我们还记得公式x=-2a/b=0.5时取得最小
但是如果说，我们不知道解方程的方法，而用一种”一步一步慢慢试”的方法，想把这个解试出来的话，梯度下降法与牛顿拉弗森法就提供了这样的两种思路
1.4.1 梯度下降法
梯度下降法的思路是：
- 我们可以随机从一点开始试，比方说我们先随便猜一个x=3，
- 猜完之后我们也不确定x=3时，f(x)是不是取得最小
- 接着我们可以看看两边的值是不是更小，其实并不用左右两边的值都看，因为我们可以对函数求一个导数，此处的导数为正的话，一定是左边小右边大的，所以我们试一试左边就好了
- 我们先往左走1的步长到x=2，然后同理看一看左边的值会不会更小，更小的话就再往左走一步
- 我们再往左走1的步长到x=1，然后同理看一看左边的值会不会更小，更小的话就再往左走一步
- 我们再往左走，但是这时候的步长就要小一些了，因为此时的坡度很缓了，更可能接近我们想要的最小值了，所以要谨慎一点慢慢走，比方说我们往左0.1的步长到x=0.9
- 当我们从x=0.9开始往左一点一点走的时候，0.8, 0.7, 0.6…我们可以计算出对应的f(x)值为-2.09, -2.16, -2.21, -2.24，我们发现f(x)的变化越来越小了，那么我们就不想接着尝试了，到0.6就停止了
梯度下降法的公式为：
这当中有两个灵魂元素：
- 导数项不仅可以告诉算法哪边的值更小，还可以智能地根据坡度调整每次的步长，坡度大就多走点，坡度小就少走一点
- alpha学习率：规定了整体步长
1.4.2 牛顿拉弗森法
牛顿拉弗森法的思路和梯度下降法是一样的，都是每次向值更低的地方去移动，直到函数值变化的越来越小为止
- 但是牛顿拉弗森法并没有一个固定的学习率，它的学习率是由函数的二阶导数的倒数决定的，
- 二阶导数的倒数做学习率可以做到更灵活地调整步长
牛顿拉弗森法的公式为：
- 其中H是二阶导数的矩阵形式
- H-1就表示二阶导数的逆，相当于普通运算的倒数
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1.5 逻辑回归的代码实现
https://bigquant.com/codeshare/0462578a-e056-414c-b10c-695f46298010
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2. 优化方法进阶
我们本次分享中提到的优化方法，都是适用于大部分机器学习算法的，不仅仅是逻辑回归
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2.1 高维优化示意图
当模型中有一个参数的时候，我们只需要沿着一个维度找全局最优参数，这种情况用二维图像就可以表示
- X轴为唯一的参数值
- Y轴为损失函数
当模型有两个参数的时候，我们需要沿着两个维度找全局最优参数，这种情况要用三维图像表示
- X1轴为第一个参数值
- X2轴为第二个参数值
- Y轴为损失函数
像我们的逻辑回归模型，有K个参数，那就要用K+1维图像表示了，当然K+1维图像我们是画不出来的，但是我们可以抽象的理解，在一个K+1维空间中，有那么一个点，在这个点上，损失函数的值是最低的
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2.2 传统优化方法的局限性
2.2.1 卡在局部最优
上面介绍到的优化方法，不论是梯度下降，还是牛顿拉弗森法，都有一个共同的缺点，那就是可能只找到局部最优而非全局最优
例如以下函数中想要求解使得f(x)取最小的x，
- 如果我们从右上角出发的话，我们就会卡在x=6左右，认为x=6就是最优解
- 但是明显最优解在x=0.8左右
一些比较直接的解决方式是：
- 设置一个大一点的学习率，这样步长也会很大，争取越过局部最优
- 多尝试几个初始位置，比方说我们如果从左上角开始，那么就会避开局部最优，直接达到全剧最优
除了这些方法外，我们还可以改进一些优化算法，做到避开局部最优的目的
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2.2.2 卡在鞍点
鞍点是高维优化中常遇到的一个问题，鞍点的导数为0，但是既不是最高点，也不是最低点，如下图所示
避免卡在鞍部主要是用一些改进的优化算法
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2.3 优化算法改进版
2.3.1 动量方法（Momentum）
动量方法，也称惯性方法，顾名思义，我们在从高到低找全局最优的时候，我们希望下降的过程可以有一个惯性，到了局部最优以后，可以借助惯性冲出去
动量方法的优化公式为
- beta为动量系数
- alpha为学习率
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2.3.2 自适应梯度方法（AdaGrad）
自适应梯度方法的思想，是高维优化的时候，不同特征X，更新率不同，自适应梯度方法主要为了避免卡在鞍部
- 经常更新的特征，以后少更新一些
- 不经常更新的特征，以后多更新一些
自适应梯度方法的公式如下
- 其中gi^2代表了第i个特征到目前为止更新了的梯度的平方和
- epsilon通常设置为0.000001，目的是避免除0错误
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2.3.3 自适应矩估计算法（Adam）
自适应矩估计法，是将以上两种方法，动量方法，与自适应梯度方法，二者的思想合二为一，是机器学习算法中最常用的优化方法
- 既使用动量来避免局部最优
- 又使用不同特征不同更新率来避免鞍部
自适应矩估计法的公式为
- 带m的项是考虑动量
- 带v的项是考虑自适应更新率
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