• 模型构建和核心假设 [page::0][page::4][page::6][page::8]

- 保险人向两个再保险人购买比例再保险，合同价格由方差溢价原理确定。
- 再保险合同谈判建模为两个平行Stackelberg博弈，保险人为追随者，再保险人为领导者。
- 两再保险人间竞争通过非合作Nash博弈并以相对业绩（自身终端财富减对手的加权终端财富）优化决策，竞争度参数为$\lambdai$。
- 所有参与者风险厌恶，效用函数为指数型（CARA）。

• 保险人最优再保险策略解析解 [page::11][page::12]

- 给定再保险人溢价策略$\theta=(\theta1,\theta2)$，保险人最优再保险比例为
$$
\bar{p}1^\theta(t) = \frac{\delta0 \theta2(t)}{\delta0(\theta1(t)+\theta2(t)) + 2\theta1(t)\theta2(t)}, \quad
\bar{p}2^\theta(t) = \frac{\delta0 \theta1(t)}{\delta0(\theta1(t)+\theta2(t)) + 2\theta1(t)\theta2(t)}.
$$
- 最优比例满足约束且非零，即使一个再保险人价格更低，保险人也可能分摊风险至两家再保险人。

• 再保险人最优溢价策略及均衡解 [page::13][page::14]

- 再保险人的最优溢价策略通过函数映射$\varphii$定义，依赖风险厌恶参数和竞争度：
$$
\bar{\theta}i^{\thetaj}(t) = \varphii(\thetaj(t)), \quad i\neq j,
$$
其中$\varphii$为有理分式函数，严格递增且凹。
- 定义映射$(\theta1,\theta2)\mapsto(\varphi1(\theta2),\varphi2(\theta1))$，均衡即固定点。
- 存在唯一均衡当且仅当$\lambda1 \lambda2 < 1$，否则无均衡。
- 均衡溢价策略和保险人再保险比例均为时间不变的常数。

• 参数敏感性及经济解释 [page::15][page::16][page::19-23]

- 保险人风险厌恶系数$\delta0$增加时，保险人向两家再保险人分出更多风险，因更强风险规避动机。
- 再保险人风险厌恶$\deltai$上升会使保险人减少对该再保险人的承保比例，因其报价变高（图3、图4）。



- 竞争程度参数$\lambdai$增大会引导两家再保险人降低溢价，保险人因此分出更多风险。



- 再保险人溢价策略$\thetai^*$随自身和对方风险厌恶均正相关，随竞争度$\lambdai$负相关。






- 竞争会降低再保险人的均衡价值函数，反映激烈竞争压缩利润。

• 理论贡献与实际意义 [page::0][page::4][page::23]

- 创新结合Stackelberg与Nash博弈框架，首次同时考虑多个再保险人的合同谈判及直接竞争。
- 提供均衡存在唯一的严格条件$\lambda1\lambda2<1$。
- 模型在再保险溢价加载和风险转移策略设计上为实际市场提供理论指导，有助理解再保险市场的多方互动与价格竞争机制。

详细分析报告：《A Two-layer Stochastic Game Approach to Reinsurance Contracting and Competition》

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1. 元数据与概览

标题: A Two-layer Stochastic Game Approach to Reinsurance Contracting and Competition
作者: Zongxia Liang, Yi Xia, Bin Zou
发布机构及期刊: 计划发表于《Insurance: Mathematics and Economics》
发布日期: 2024年9月23日
研究主题: 研究带有一个保险人和两个竞争性再保险人市场中的再保险合同制定与竞争问题，采用双层随机博弈模型。

报告核心论点与目标:
该研究构建一个双层随机博弈模型，其中保险人与两个再保险人在比例再保险合同的定价与选择上展开博弈。保险人与每个再保险人之间构成Stackelberg游戏（再保险人是领导者，保险人是跟随者）；两个再保险人则基于相对表现通过非合作Nash博弈直接竞争。论文给出存在唯一均衡的充分必要条件，证明均衡唯一且策略为常数，并提供敏感性分析。作者主旨在研究竞争对再保险定价与合同结构的影响，揭示竞争如何影响博弈均衡及相关策略。

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2. 逐节深度解读

2.1 引言与文献回顾（第1-3页）

• 关键论点:

- 保险公司通过再保险分散风险，但再保险市场客户有限，再保险人之间存在激烈竞争。
- 传统再保险优化文献大多基于保险人的角度设计合同，忽视双方之间的动态谈判。
- 博弈理论，尤其Stackelberg游戏，被用于建模保险人与再保险人之间的战略互动。
- 现有文献大多只考虑单一保险人-再保险人模型，该文突破这一限制，考虑一个保险人与两个直接竞争的再保险人。

• 支撑逻辑与假设:

- 保险人的风险暴露遵循经典风险过程（扩散模型）。
- 采用比例再保险合同，基于方差保费原则计价。
- 再保险人相互竞争，并且将竞争体现为优化自身财富相对竞争对手财富的“相对表现”。
- 所有参与者均采用指数型CARA效用函数，反映风险厌恶。

• 文献引用:

- 经典风险模型（Asmussen，Schmidli）与保费计算原则（Chi，Liang）
- Stackelberg再保险游戏（Chen & Shen (2018, 2019）；Li & Young (2022)）
- 竞争与多参与者扩展（Cao等（2023）等）
- 相对表现竞争（Bensoussan et al. (2014)）[page::0,1,2,3]

2.2 模型设定（第5-9页）

• 市场结构:

- 一个保险人（玩家0）与两个再保险人（玩家1和2），博弈于有限时段\[0,T\]。
- 保险人与两个再保险人同时协商再保险合同，合同基于比例再保险。

• 保险人风险过程及策略:

- 保险人风险暴露\(L(t)\)服从方差扩散过程：\(\mathrm{d}L(t)=\mu \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}W(t)\) ，
\(\mu,\sigma\)为参数，\(W\)为布朗运动。
- 保险人向两个再保险人转让比例\(p1(t), p2(t)\)的风险，保留余下风险比例。
- 保费采用方差保费原则，保费为损失预期加加载项，加载为方差乘加载因子\(\thetai\)：
\[
ci(t) = \mu pi(t) + \thetai(t) \sigma^2 pi^2(t).
\]

• 参与者盈余动态:

- 保险人盈余动态方程（净收入扣除自留风险和支付保费）：
\[
\mathrm{d}X0(t) = \left(c - \mu - \theta1 \sigma^2 p1^2 - \theta2 \sigma^2 p2^2 \right) \mathrm{d}t - (1 - p1 - p2) \sigma \mathrm{d}W(t).
\]
- 再保险人盈余动态方程：
\[
\mathrm{d}Xi(t) = \thetai \sigma^2 pi^2 \mathrm{d}t - \sigma pi \mathrm{d}W(t).
\]

• 行为策略集合及合理性:

- 保险人的比例策略\(pi\)为确定性函数，满足服从[0,1],且总和不超过1。
- 再保险加载因子\(\thetai\)为确定性正且有界函数。
- 采用指数效用函数，参数为CARA风险厌恶度\(\deltai\)，为各玩家风险偏好的体现。

• 博弈框架:

- 每个保险人与某个再保险人的合同协商为Stackelberg游戏：再保险人作为领导者设定加载\(\thetai\)，保险人回应选择比例\(pi\)。
- 两再保险人之间的竞争为非合作的Nash游戏，基于优化“相对表现” \(Yi = Xi - \lambdai Xj\)，其中\(\lambdai\)为竞争强度参数。
- 非合作Nash均衡由两再保险人同时选择加载策略形成。

• 定义说明:

- 保险人问题：给定加载\(\theta\)，保险人选择比例\(p\)最大化终端期效用。
- 再保险人问题：给定对手加载\(\thetaj\)，再保险人i选择\(\thetai\)最大化终端期相对表现效用。
- 均衡定义: 使加载形成Nash均衡，保险人则对应选择最佳的比例策略。
[page::5,6,7,8,9]

2.3 解法与均衡求解（第10-17页）

保险人的最优再保险策略（3.1节）

• 利用动态规划和Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程，解决保险人在给定加载策略下的最优比例投保策略问题。

- 关键结果（定理3.1）:
保险人最优比例策略是常数，解析表达式为：
\[
\bar{p}1^\theta(t) = \frac{\delta0 \theta2(t)}{\delta0(\theta1(t) + \theta2(t)) + 2 \theta1(t) \theta2(t)},\quad
\bar{p}2^\theta(t) = \frac{\delta0 \theta1(t)}{\delta0(\theta1(t) + \theta2(t)) + 2 \theta1(t) \theta2(t)}.
\]

• 价值函数也有明确形式。

- 备注：即使一个再保险人的加载因子明显较低，保险人也可能同时购买两家再保险的份额，这与采用方差保费原则的性质相关。

• 证明采用验证定理，利用候选函数替代HJB方程求解。

[page::10,11]

再保险人的最优加载策略（3.2节）

• 已知保险人响应策略，基于相对表现定义的盈余过程，建立再保险人的HJB方程，求最优加载策略。

- 关键结果（定理3.3）:
计算得出给定竞争对手加载\(\thetaj\)，再保险人i的最优加载策略为函数形式：
\[
\bar{\theta}i^{\thetaj} = \varphii(\thetaj),
\]
\[
\varphii(x) = \frac{(\delta0 + 2 \deltai) x^2 + (1 + \lambdaj) \delta0 \deltai x}{2 x^2 + ((1 + 2\lambdaj) \delta0 + 2 \lambdaj \deltai) x + \lambdaj (1 + \lambdaj) \delta0 \deltai}.
\]

• 价值函数显式给出。

- 证明利用动态规划，HJB方程，最大化算子和解析计算导出。
[page::12,13]

两层博弈均衡解（3.3节）

• 均衡加载组成为两个函数构成的映射：\((\theta1, \theta2) \mapsto (\varphi1(\theta2), \varphi2(\theta1))\)，均衡为该映射的固定点。

- 存在唯一均衡的条件（定理3.4）:
\[
0 < \lambda1 \lambda2 < 1,
\]
条件满足时映射存在唯一正固定点且加载与比例均为常数。若 \(\lambda1 \lambda2 \geq 1\) ，无均衡存在。

• 使用导数符号分析以及固定点理论证明唯一性与存在性。

- 经济解释：竞争强度过大（\(\lambda1 \lambda2 \ge 1\)）导致无稳定均衡，竞争合力使两方无法维持盈利载荷。

• 敏感性分析（推论3.5）: 均衡加载随保险人和两再保险人的风险厌恶度升高而增加，随竞争度升高而降低。

- \[
\frac{\partial \thetai^}{\partial \delta0} > 0, \quad \frac{\partial \thetai^}{\partial \deltai} > 0, \quad \frac{\partial \thetai^}{\partial \deltaj} > 0, \quad \frac{\partial \thetai^}{\partial \lambdai} < 0, \quad \frac{\partial \thetai^}{\partial \lambdaj} < 0.
\]

• 保险人的均衡策略对这些参数无单调性保证。

- 竞争极限性（推论3.6）: 竞争强度趋近临界值1时，均衡加载趋近零（接近无利润定价），保险人购买近乎全额再保险。

• 保险人均衡价值函数随竞争度提升而递增，反之再保险人价值函数递减（推论3.7）。

[page::14,15,16,17]

特殊情况 \(\lambda1 \lambda2 = 0\)（3.4节）

• 当至少一方无竞争时（例如\(\lambdai=0\)），函数\(\varphii\)结构简化且更易解析。

- 完整解出均衡加载的显式表达式（式3.21）。

• 该边界情况是文献中（如Cao等2023b）对应无直接竞争模型的扩展。

[page::17,18]

2.4 经济研究与数值分析（第18-23页）

• 参数设定: 默认值见表1，显示再保险人2风险厌恶度及竞争强度均高于再保险人1。满足均衡存在条件。

保险人的敏感性分析（4.1节）

• 变量影响：

- 保险人风险厌恶度\(\delta0\)升高，依理应向再保险人转移更多风险，比例增大（图2）。
- 再保险人风险厌恶度升高，保险人对该再保险人的转移比例显著减少（图3和4）。
- 竞争强度增加\(\lambdai\)会降低保险人所面临的保费加载，促使保险人购买更多风险转移（图5和6）。

• 表现解读: 保险人倾向于向风险厌恶较低、保费较低的再保险人转移更多风险。竞争促使保费下降，保险人总体购买比例提升。

[page::19,20,21]

再保险人的敏感性分析（4.2节）

• 重点分析再保险人的均衡加载策略\(\thetai^\)如何受三者风险厌恶度和竞争度影响。

- 关键现象：
- 保险人风险厌恶度增加导致两再保险人均抬升保费加载（更大需求带来的涨价策略）（图7）。
- 再保险人自身风险厌恶度上升会自我提高加载，同时其竞争对手加载也被带动上升，表明相对表现竞争导致提价相互激励（图8、9）。
- 竞争程度增加\(\lambdai\)促使两再保险人降价，以在竞争中保持优势，存在“链式反应”，一方降价诱导对方降价（图10、11）。

• 竞争对价值函数影响:

- 竞争强度提升增加了再保险人效用函数中的负指数因子，反映为价值函数降低，意味着竞争损害再保险人的福利。

• 图示均支持之前理论结论，验证了风险厌恶与竞争对价格的方向性影响。

[page::22,23]

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3. 图表深度解读

• 图1（第6页）：

直观描述双层博弈结构，保险人与两再保险人构成两个Stackelberg合同游戏，两再保险人直接以非合作Nash竞争，图示清晰揭示市场层级与互动关系。

• 图2-6（第20-21页）：

展示保险人风险厌恶度提升时两个再保险促销比例曲线上升，且向风险厌恶较低的再保险人购买更多。再保险人的风险厌恶度变化导致自身对应被保险比例显著下降，而竞争强度增加则促使保险人整体向两者转移更多风险。曲线趋势与理论敏感性满意一致。

• 图7-11（第22页）：

反映再保险人加载对各风险厌恶度和竞争度的敏感性。再保险人的自身风险厌恶度和保险人的风险厌恶度都正向推动加载提升，竞争强度则使两个加载策略同步下降，突显直接竞争下价格竞争行为。

• 图12-13（第23页）：

价值函数中出现的函数 \(fi^\) 与竞争程度的关系。随着竞争程度上升， \(fi^\) 递增，暗示价值函数呈递减趋势，映射竞争损害再保险人福利。

整体图表均忠实对应理论分析，充分支持整篇研究结论。

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4. 估值方法分析

本报告主要聚焦于基于方差保费原则的比例再保险合同设计，不涉及传统意义上的估值如DCF。其价值函数体现为参与者递归效用——指数型效用函数，隐含了风险调整风险价值；而门户价策略则反映市场竞争的双层博弈均衡。

具体的估值体现在效用最大化过程中，运用动态规划与HJB方程求解最优策略，形成状态变量（盈余）以及控制变量（再保险比例和保费加载）之间关系的闭合系统。

均衡加载的隐式确定等价于再保险市场的价格发现机制，是保险市场的微观结构建模而非传统估值计算。

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5. 风险因素评估

论文明确提出均衡存在的风险条件，即竞争程度参数的乘积 \(\lambda1 \lambda2 \geq 1\) 将导致无均衡存在，意味着市场竞争太激烈导致无稳定合约定价，市场可能失衡。

此外，风险厌恶度对均衡价格的大幅影响显示市场对风险偏好的高度敏感性，该模型未显性包含其他扰动风险如系统性风险，假设布朗运动驱动，未涉及跳跃风险，可能限制实际风险场景的精准度。

风险缓解策略方面，模型通过限制加载因子保持有界及策略的确定性和可控性，保证数学可解性及经济合理性。

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6. 批判性视角与细微差别

• 模型局限性：

- 仅考虑比例再保险，排除非比例合同如超赔，可能限制适用范围，尤其扩散模型对非比例合同支持有限。
- 整体模型假设信息完美对称，现实中可能存在信息不对称或不完全信息，后续研究可拓展。
- 竞争以“相对表现”形式建模较为抽象，实际竞争可能更为复杂，且假定竞争权重参数 \(\lambdai\) 恒定，模型未讨论其动态变化。

• 没有涉及合约投资、资本约束等实际保险经营复杂因素。
• 尽管存在上述限制，论文在理论而言严谨可靠，提供了罕见的双层随机游戏完整解析，模型结构清晰、创新且符合经济直觉。

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7. 结论性综合

本报告围绕带有一个保险人与两个竞争性再保险人的再保险合同设计问题，采用双层随机博弈方法，成功建立和解析了含Stackelberg和Nash竞争的联合模型。研究成果包括：

• 模型创新:

结合Stackelberg游戏（保险人与单个再保险人谈判）与非合作Nash竞争（两个再保险人之间）形成两层结构；引入了基于相对表现的竞争效用评价。

• 均衡分析:

明确竞争程度参数乘积\( \lambda1 \lambda2 \)作为均衡存在的充分必要条件，表明只有竞争程度适度时市场达到稳定的价格与投保策略。
均衡策略均为常数，便于实用和计算。

• 策略敏感性:

保险人风险厌恶程度提升，采购风险转移比例增加。
再保险人风险厌恶度提升，提升保费加载，压缩保险人采购比例。
竞争加剧促使保费下降，整体保险风险转移份额增加。
再保险人竞争损害自身价值函数。

• 图表支撑:

六张以上的详细数值图表展示了上述敏感性及均衡策略变化，充分验证了理论推导。

• 结论评价:

该研究填补了多再保险人动态竞争博弈分析的理论空白，为保险市场定价、合同设计、风险管理提供了定量框架。存在显著经济与数学价值，适合学术研究与进一步扩展实践应用。

综上，作者展示了一套严谨、创新的理论模型，并成功证明均衡存在及性质，通过定量分析揭示风险偏好与竞争对再保险市场的重要影响，为后续包括更多参与者、多合同形式及信息不对称等复杂性的研究奠定了坚实基础。[page::0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28]

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总结

本分析报告细致剖析了《A Two-layer Stochastic Game Approach to Reinsurance Contracting and Competition》论文内涵，从模型定义、数学推导、均衡解构、图表验证到经济结论进行全方位解读。核心洞见为：双边竞博弈促进再保险产品定价动态演化，风险态度与竞争程度决定市场均衡存在性与结构，保险人的风险厌恶推动风险分散，而竞争对再保险定价形成下行压力，推动保险人获取更大风险转移规模，同时损害再保险人的福利。该文为保险金融领域多参与者博弈建模和合同设计贡献了清晰、系统的理论架构。

报告