Bachelier 模型介绍及特点 [page::2][page::3]

• Bachelier 模型最早提出于1900年，假设资产价格服从算术布朗运动，允许价格为负，适用于利率及部分商品价格可能为负的市场环境。

- 不同于 BSM 模型的几何布朗运动，Bachelier 模型资产价格分布为正态分布，模型假设资产无漂移项，价格围绕真实价格波动。

Bachelier 与 BSM 模型比较 [page::4][page::5][page::6]

• 两模型价格在平值期权时误差极小，Bachelier 模型的隐含波动率为绝对价格波动率，BSM 为相对收益波动率。

- 算术布朗运动利于处理多因子风险和多资产组合，几何布朗运动处理较复杂。

• 价格负值情况下，BSM 模型失效，Bachelier 模型仍能有效定价。

Bachelier 模型定价有效性验证及实证分析 [page::7][page::8][page::9][page::10]

• 以郑商所商品期权（如白糖期权）为例，计算隐含波动率使用 Bachelier、BS 和 BAW 模型，结果显示隐含波动率变化趋势与数值上接近，说明 Bachelier 模型能较好替代传统模型。

- 白糖等商品期货长期存在贴水，商品交割费等成本导致市场价格偏离理论值，Bachelier 模型适用于商品期权风险估计。

• 其他商品期权如棉花、甲醇、菜籽粕、PTA 等的隐含波动率也体现了 Bachelier 模型的有效应用。

风险提示 [page::0][page::10]

• 本报告为模型理论探讨，数学模型仅用于描述衍生品价格，不构成投资建议。

负资产价格期权定价与 Bachelier 模型 — 深度分析报告解构

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1. 元数据与报告概览

• 报告标题：《负资产价格期权定价与 Bachelier 模型》

- 作者与机构：中信证券研究部，主要分析师包括马普凡、赵文荣、王兆宇、张依文等量化策略分析师。

• 发布时间：2020年5月22日

- 研究主题：探讨原油期货负价格下的期权定价模型切换，介绍 Bachelier 模型及其与传统 Black-Scholes-Merton（BSM）模型的异同。

• 核心观点：

- 2020年4月WTI原油期货价格跌破零，首次出现“负油价”，CME迅速调整期权定价模型为Bachelier模型。
- 报告详细介绍了Bachelier模型的理论、背景，以及它与BSM模型的关键区别。
- 通过对国内商品期权隐含波动率计算对比，发现Bachelier模型能够作为BSM模型在极端负价格情况下的有效替代。
- 强调模型仅为数学定价工具，不构成投资建议。[page::0, 2]

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2. 逐节深度解读

2.1 投资聚焦与背景介绍

报告聚焦于2020年4月20日WTI原油5月期货合约跌至-37.63美元/桶的历史性负油价事件，此前CME即4月8日发布公告，准备在油价跌破8美元/桶时，将期权定价模型调整为Bachelier模型以适应负价格环境，并上线“负行权价”合约。

• 事件触发背景：

- 负油价事件极端罕见，对传统基于价格正值的BSM模型造成挑战。
- CME的应对措施体现了金融市场模型灵活性的必要性。

• Bachelier模型历史意义：

- 1900年Bachelier博士论文首次提出期权定价模型，假设价格遵循算术布朗运动。
- 该模型假设价格变动服从正态分布，允许价格为负。
- 模型在当时被忽视，直到1965年由Paul Samuelson发现并由Black-Scholes基于此提出BSM模型。

• 模型适用场景：

- 利率极低甚至为负的市场环境。
- 存储成本等因素可能导致商品价格为负，能源类商品尤为明显，例如负油价现象。[page::0, 2, 3]

2.2 Bachelier模型理论推导

• 模型假设与推导：

- 标的资产价格 \( St \) 遵循算术布朗运动：
\[
dSt = \mu St dt + \sigma dWt^P
\]
- 这里无漂移项，波动项为常数 \(\sigma\)，而 \(Wt^P\) 表示真实概率测度下的布朗运动。
- 结合风险中性测度、无风险资产价格和股息率 \(q\)（或便利收益率与存储费差价）等因素，推导出欧式看涨期权价格公式：
\[
ct = e^{-r(T-t)} \left[(m-K)\Phi(d) + v \phi(d)\right]
\]
其中，
\[
m = Et^Q[ST] = St e^{(r-q)(T-t)}, \quad v^2 = Vart^Q(ST) = \sigma^2 \frac{e^{2(r-q)(T-t)} -1}{2(r-q)}, \quad d = \frac{m - K}{v}
\]
- 如果设置无风险利率 \(r=0\) 和股息率 \(q=0\)，即为原始Bachelier公式。

• 应用说明：

- Bachelier模型适合于标的资产价格可能为负的市场环境。
- 明确期权价格计算依赖于价格的正态分布假设，允许负值出现，与BSM模型对数正态分布限定价格正数不同。[page::3, 4]

2.3 Black-Scholes-Merton (BSM) 模型介绍及对比

• BSM模型基本假设：

- 资产价格服从几何布朗运动：
\[
dSt = \mu St dt + \sigma St dWt^P
\]
- 在风险中性测度下，价格变化为：
\[
dSt = (r-q)St dt + \sigma St dWt^Q
\]
- 价格服从对数正态分布，价格永远为正。

• 欧式看涨期权定价公式：

\[
ct = St e^{-q(T-t)} \Phi(d1) - K e^{-r(T-t)} \Phi(d2)
\]

其中：

\[
d1 = \frac{\ln(St/K) + (r - q + \sigma^2/2)(T - t)}{\sigma \sqrt{T - t}}, \quad d2 = d1 - \sigma \sqrt{T - t}
\]

• 模型之间相同点：

- 均假设流动市场，有效市场预期。
- 标的价格连续变化。
- 期权价格均随波动率、剩余期限单调增加。
- 在合理参数条件下，平值期权定价差异极小。

• 模型之间主要差异：

- Bachelier模型资产价格允许为负，BSM模型则限定为正。
- Bachelier模型波动率为资产价格的绝对波动，BSM为资产收益率的相对波动。
- Bachelier不考虑时间价值和动态对冲，无漂移项假设。
- Bachelier适用于多个风险因子或资产合并时，模型整合更简单。

• 数学关系量化误差：

对平值期权，两个模型定价差异和隐含波动率差异极小，满足以下条件：

\[
0 \leq \frac{ct^B - ct^{BS}}{ct^B} \leq \frac{T-t}{12} \sigma^2 \approx 0.028\%, \quad 0 \leq \sigma^{BS} - \frac{\sigma^B}{S_t} \leq 0.0056\%
\]

表明Bachelier模型是对BSM的有效短期近似，当价格为负时，Bachelier模型成为唯一可用方案。

• 扩展：CEV模型介绍，强调Bachelier（\(\beta=0\)）和BSM（\(\beta=1\)）是其特例，提供更多灵活性。[page::4,5,6,7]

2.4 Bachelier模型定价的实证验证（国内期货期权隐含波动率）

• 实证背景：

- 商品期货受存储费、交割费用影响，长期贴水常态，价格接近或出现负值风险。
- 以白糖期货为例，长期存在50~200元/吨的贴水。
- 白糖交割费用主要包括手续费、仓储费、入库检验费和出入库费用，规模有限，不构成负价格主要因素。

• 数据与样本：

- 选取国内商品期权交易较活跃的郑州商品交易所主力合约，包括白糖、棉花、甲醇、菜籽粕、PTA等。
- 使用BSM、Bachelier及基于BSM的BAW（Barone-Adesi Whaley）美式近似模型计算隐含波动率。

• 关键发现：

- BS模型和BAW模型隐含波动率计算结果高度一致，表明美式欧式期权差异小。
- Bachelier模型隐含波动率计算与BS/BAW模型结果接近，特别是在平值期权区域。价格平值时两者可互为短期替代。
- 行权价偏离标的资产价格较远时，Bachelier模型隐含波动率偏差相对较大，原因在于其计算时波动率绝对化导致的分母差异。

• 图表解读：

- 图1（白糖期货贴水长期存在）：红色为现货基差，黑色为期货连续合约价格，粉色为现货价格。时期2015年至2020年，显现现货价格实际高于期货价格，期货出现较长贴水区间，且幅度稳定，反映商品贴水现象的持续性。

- 图2至图6（各商品期权隐含波动率）：
- 各图均展示了Bachelier、BS、BAW模型计算的隐含波动率曲线。
- 曲线形态吻合良好，BS与BAW曲线高度重合，Bachelier曲线在接近平值合约时极为相近，远离平值时偏差加大。
- 证明Bachelier模型在传统BSM模型适用范围之外，尤其是负资产价格或极端情形下，依然具备良好的描述能力。

• 表格1（白糖交割费用表）：

- 明细列出了各种手续费、仓储费用及检验收费标准，为分析商品期货价格及负价格可能成因提供成本层面基础。

• 表格2（国内市场上市期货期权合约列表）：

- 罗列了多个活跃的期货期权品种及其交易所、上市时间、成交量等信息，体现样本选择的代表性。

• 模型临床实证结论：

Bachelier模型虽为理论模型，实测在国内商品期权市场隐含波动率估算中效果令人满意，能作为BSM模型的短期替代方案，[page::7,8,9,10]

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3. 图表深度解读

图1：白糖期货基差与现货、期货价格走势（2015年-2020年）

• 展示内容：以时间序列呈现白糖现货价格、期货连续合约价格及现货基差（贴水）波动。

- 解读：
- 价格整体震荡调整，期货价格常年低于现货，基差为正，表明期货贴水明显且持续。
- 贴水区间稳定在50-200元/吨，反映市场仓储及交割成本对价格产生长期影响。
- 该结构影响期权定价，因为期货价格的水平会导致隐含波动率等模型参数变化。

• 文本联系：

- 支撑商品期货存在贴水但价格为正的事实，减小因交割成本造成负价格的推断影响。
- 展示商品期货不同于金融资产，价格负值现象虽不常见但理论上可能，被Bachelier模型覆盖。[page::7]

图2-6：多个商品期权隐含波动率对比（Bachelier，BS，BAW模型）

• 展示内容：

多张折线图比较三种模型在不同执行价或期货价水平下计算的隐含波动率。

• 趋势解读：

- BS与BAW模型高度一致，表明美式期权估算误差小。
- Bachelier模型隐含波动率曲线与BS/BAW大致重合，尤其在平值附近。
- 行权价远离标的价格时，Bachelier模型曲线出现上行偏差，表明模型敏感性和不同定义的波动率概念导致差异。

• 文本联系：

- 实证验证Bachelier模型可作为BS模型平值期权的合理替代。
- 小偏差说明即使在美式期权和实操复杂环境，模型也具有参考价值。

• 潜在局限性：

- 美式期权实际行权特性未反映在Bachelier模型欧式简化中。
- 数据期主要为非负价格环境，负价格极端案例验证仍有限。






(合并展示效果相似，详见图3至图6)[page::9,10]

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4. 估值分析

• 估值方法：

- 采用了传统的BSM模型（基于几何布朗运动）与Bachelier模型（基于算术布朗运动）两种定价模型。
- BAW模型作为BSM模型美式期权定价的近似方案提供辅助验证。

• 关键输入与假设：

- 无风险利率、股息率/便利收益率、波动率、执行价与到期时间。
- Bachelier模型波动率为资产价格的绝对波动，需要将计算波动率除以期货价格，以便与BSM隐含波动率相匹配。

• 估值结果：

- 对平值期权两种模型定价结果差异微小，表明Bachelier模型可作为BSM的短期替代。
- Bachelier模型可处理价格负值问题，BSM模型则不适用。
- 计算误差在合理范围内（定量误差阈值小于0.03%），验证了模型的数学严谨性及应用稳定性。[page::6,8,9,10]

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5. 风险因素评估

• 本文声明仅为理论模型探讨。

- 数学模型仅作为描述衍生品价格的工具，不构成任何投资建议或交易策略。

• 模型假设存在局限，如欧式简化、美式期权的差异、负价格极端状态下的实操复杂性等。

- 使用Bachelier模型虽然解决负价格问题，但负价格现实发生频次低，市场流动与深度可能受限，模型在非理想环境中的应用风险需注意。

• 报告未涉及模型校准风险、市场微观结构风险及模型失效概率。[page::0, 10]

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6. 批判性视角与细微差别

• 报告优点：

- 详尽清晰地将理论与实际交易数据结合，验证Bachelier模型在当前市场事件下的适用性。
- 对BSM模型和Bachelier模型的理论基础、推导过程进行了深入剖析，利于理解模型假设差异。
- 引入CEV模型讨论，为模型选择提供更宽广视角。

• 潜在不足：

- Bachelier模型推导部分虽然采用现代无套利理念补强，但原始理论中忽略风险中性定价与动态对冲，理论严谨性有限。
- 实证基于中国商品期权市场，负价格极端情况样本有限，Bachelier模型应用效果难以完全量化检验。
- 美式期权的实际复杂性未完全在Bachelier模型中反映，实际估值时需谨慎。
- 报告聚焦理论与定价，但对市场流动性、交易机制调整风险描述较少。

• 内部一致性：

- 报告前后一致，明确指出Bachelier模型不能完全替代BSM模型，而是在负价格极端情况下的有效补充。
- 模型参数转化（如波动率从绝对到相对）说明清晰，没有明显内在矛盾。

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7. 结论性综合

本报告深度剖析了因2020年WTI原油负价格事件引发的期权定价模型切换，重点介绍了Bachelier模型作为最早期权定价模型的理论基础、数学推导和适用性。Bachelier模型的核心优势在于其假设资产价格服从算术布朗运动，允许价格为负，这一点弥补了BSM模型只适用于价格正值的缺陷。

实证部分以国内商品期权市场为例，结合白糖、棉花、甲醇等多个品种的期权隐含波动率数据，实测结果显示Bachelier模型在平值期权区间与传统BSM模型及其美式期权近似模型BAW计算结果高度一致，充分证明其作为BSM模型短期替代的有效性；但在行权价远离标的价格时，二者的隐含波动率计算存在一定偏差，需谨慎使用。

报告还结合商品期货的实际交割费结构及贴水现象，说明负价格虽不常见但具备实际理论基础。Bachelier模型不仅因应极端负资产价格市场的需求，更因适用于利率负值及多风险因素整合的需求而具备持续生命力。

综上，报告通过理论推导与实证验证，合理呈现了期权定价模型在负价格极端情形下的转换逻辑和实际效果。其结论是：Bachelier模型作为BSM模型的有效补充和短期替代工具，已获得市场认可及实证支持，但须结合具体市场环境与产品特点谨慎应用。

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参考溯源

• 标题与作者及研究背景、核心观点解读见第0-2页。[page::0,1,2]

- Bachelier模型理论与数学推导，第3-4页。[page::3,4]

• BSM模型与Bachelier模型对比，误差及适用场景，第4-7页。[page::4,5,6,7]

- 期货期权实证与隐含波动率计算，第7-10页及图表解读。[page::7,8,9,10]

• 风险声明及报告整体定位，第0页及10页。[page::0,10]

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总结

本报告全面细致地介绍了负资产价格下期权定价的理论演化和实践应用，既有理论推导亦有数据验证，揭示了Bachelier模型的历史意义、数理基础和局限性，并论证其作为BSM模型短期替代的合理性。报告观点清晰，数据充分，图表与理论结合紧密，实为金融衍生品定价领域极具参考价值的权威研究成果。

报告