• 模型定义与理论基础 [page::0][page::2][page::5]：

- 定义variance-Hawkes过程为 Hawkes 过程作为子ordinator的标准布朗运动 $Vt := B(Nt)$，其中$Nt$ 为带指数核的简单 Hawkes 过程，参数包含 $\alpha, \beta, v$。
- Hawkes过程具有自激性，能够反映跳跃和波动聚类现象，文中详细推导了其强度函数、期望以及高阶矩的微分方程。

- 利用偏导数和Taylor展开推导了variance-Hawkes过程的生成元，关键二阶矩由Hawkes过程特性以及布朗运动性质共同决定。

• 量化拟合与实证分析 [page::6][page::7][page::8]：

- 采用手工调参方式，将模型应用于2018、2019年纽约Merc和WTI天然气及原油期货对数收益率数据，拟合效果较好，特别是尾部行为匹配较为精准。
- 模型中对数收益率拟合公式为$\ln(S{t+1}/St) = a + b \hat{\sigma} B(Nt)$，其中$b=1/e$，$\hat{\sigma}$为样本标准差。

• 交易量聚类现象验证 [page::9][page::10]：

- 以2024年WTI原油和HH天然气逐分钟交易量数据为例，交易活动的到达时间不符合泊松过程的指数分布，而表现出明显的聚类效应。


- 交易量随日内时间分布展示多峰分布，聚集于午盘和下午收市前，支持使用 Hawkes 过程刻画交易到达时间的观点。

• 生成元与Ito公式推导 [page::11][page::12][page::13][page::14]：

- 系统推导了variance-Hawkes过程 $(\lambdat, Nt, B(Nt))$ 的生成元，基于Hawkes过程的矩计算和布朗运动的条件方差公式。
- 推出了$B^2(Nt)$的Ito公式：$d B^2(Nt) = 2 B(Nt) d B(Nt) + d Nt$，并通过欧拉-马鲁雅玛法进行了数值模拟比较。



- 提出分布猜测：$B(Nt)$分布近似$\sqrt{Nt} \mathcal{N}(0,1)$，用大规模模拟进行验证，发现分布和重尾特征吻合良好。

• 结论与未来展望 [page::15]：

- variance-Hawkes过程建模简单，仅需少量参数即可展现波动聚类、跳跃和随机波动特征。
- 拟合能源期货数据表现合理，且解析结果完善。
- 后续研究方向为模型扩展、更精确拟合、验证分布特性、风险中性定价及参数校准方法。

Variance-Hawkes Process and its Application to Energy Markets — 深度分析报告

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1. 元数据与报告概览

报告标题：Variance-Hawkes Process and its Application to Energy Markets
作者：Joshua McGillivray 与 Anatoliy Swishchuk
发布机构：University of Calgary
发布日期：2024年10月14日
主题领域：金融数学、随机过程建模、能源市场价格行为分析

核心论点与目的

该报告首次提出了一种名为“Variance-Hawkes process”（方差-霍克斯过程）的新型金融数学模型，即将霍克斯过程（Hawkes process）作为子过程（subordinator）引入标准布朗运动，从而形成一个带有自激聚簇特性的随机过程。其主要目的是：

• 建立一个简单、可操作且具有明确参数的模型框架，用以捕捉能源市场（特别是原油及天然气期货市场）中的波动聚簇（volatility clustering）、跳跃行为和高阶统计特性。

- 演示该模型能有效拟合2018年至2019年能源期货的对数收益率分布。

• 推导该模型的生成元（generator）、估算其矩（moments），并利用Ito公式分析其二阶行为。

- 通过蒙特卡洛模拟检验模型的现实表现及理论性质。

该模型不仅理论上有创新性，还展现出在现实市场中的潜在应用价值。报告未针对具体金融资产给出传统的买入/持有评级或目标价位，但其实证结果表明模型拟合效果理想，具备较强推广性。[page::0][page::1][page::5]

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2. 逐章深度解读

2.1 摘要及引言

报告首先指出能源商品价格的复杂性，特别是波动率聚簇、随机波动性、高峰态、跳跃等特征是任何有效模型必需捕捉的。[page::0] 在介绍霍克斯过程的同时，强调了子过程分时模型（subordination）的重要性，尤其是在模拟价格和波动率行为时的灵活性。[page::1]

关键点解释：

• 霍克斯过程是一种自激点过程，能模拟跳跃事件群集，反映实际市场的反馈机制。

- 子过程方法以随机时间变换的形式嵌入价格过程，能够描述价格行为在"业务时间"上的非均匀性。

• 现存文献主要关注连续子过程，忽视了纯跳跃子过程的潜力，而该研究正是填补此空缺。

2.2 霍克斯过程基础（第2章）

定义了带有指数核的简单霍克斯过程 $(Nt, \lambdat)$，其中强度函数为

$$
\lambdat = v + \alpha \sum{Tr < t} e^{-\beta (t - Tr)}.
$$

并给出了该过程的期望、强度的瞬时期望及其矩的相关微分方程，引用[Cui et al., 2020]的重要公式，说明该过程的吻合性质和矩计算方法。关键推导包括：

• $\mathbb{E}(Nt)$ 与 $\mathbb{E}(\lambdat)$ 可解析表达，方便后续标定。

- 算出二阶矩方程需计算 $\mathbb{E}(Nt \lambdat)$ 和 $\mathbb{E}(\lambdat^2)$。

• 这些矩满足一元非齐次线性ODE组，解析解可通过变系数法或数学软件得到。

此部分为后续方差-霍克斯模型的理论基础奠定了坚实的数学支撑。[page::2][page::3][page::4][page::23]

2.3 子过程建模框架及其创新（第3章）

报告指出，价格过程的异步交易更新实际上是离散和跳跃的，传统的连续时间变换方法无法准确表达交易时间的实质。提出用霍克斯过程作为子过程，不仅符合订单到达的跳跃特性，也更合理地揭示价格变动的本质。相关建模举例如下：

• 集中于模型 $S(t) = \epsilon(t) + L(Nt)$ ，其中 $Nt$ 是霍克斯过程，$L(t)$ 是 Levy 过程。

- 通过设计如带聚簇自激跳跃的 Ornstein-Uhlenbeck 过程，实现均值回归同时引入市场震荡的聚簇。

• 强调该方法不同于传统以连续时间为准的时间刻度，是以交易活动为“刻度”的转变。

该思想重塑了时间刻度本身的建模方式，极具理论和实践指导意义。[page::3][page::4][page::5]

2.4 方差-霍克斯过程定义及实证研究（第4章）

定义：

$$
Vt := B(Nt),
$$

其中，$B(t)$ 是独立的标准布朗运动，$Nt$ 是指数核霍克斯过程。该组合引入跳跃的波动率聚簇，称为方差-霍克斯过程。
图1（page 6）展示了该过程的模拟路径及其跳跃时点，红色垂线标记了跳跃位置，表现出明显的跳跃并发性和非线性聚簇。

实证验证：

• 用2018、2019年NYMEX天然气以及WTI原油前月期货的对数收益数据进行拟合。

- 设定模型形式为

$$
\ln \frac{S{t+1}}{St} = a + b \hat{\sigma} B(Nt),
$$

其中 $\hat{\sigma}$ 是样本标准差，$a, b$ 为常数。参数通过手工试凑校准。

• 图2-5分别展示了模型模拟分布（红色）与实际收益分布（蓝色）的对比，二者在尾部行为和峰度上均有较好拟合，表现出该模型对价格跳跃特征的有效捕捉。

同时，报告指出此简单形式缺乏均值回复等机制，未来可将方差-霍克斯过程嵌入更复杂模型中以提升拟合度。[page::6][page::7][page::8]

2.5 交易量聚簇的统计证据（第4.4-4.5节）

大量图表（Fig. 6-9）验证交易量分布不符合经典指数分布/泊松过程假设，明显呈现聚集趋势且交易多发于特定时间段（如中午和下午）。这些特征支持采用霍克斯过程模拟交易到达时间，进一步印证了方差-霍克斯模型的适用合理性。[page::9][page::10]

2.6 方差-霍克斯过程的生成元及数学性质（第5章）

• 证明了向量过程 $Yt = (\lambdat, Nt, B(Nt))$ 的生成元 $\mathcal{A}$，即通过二阶泰勒展开及极限推导，形成用于刻画过程演化的微分算子。

- 关键结论包括：

$$
\operatorname{Var}(B(Nt)) = \mathbb{E}[Nt],
$$

证明了$B(Nt)$的二阶统计量依赖于霍克斯过程的均值，体现了跳跃过程的内在特性。

• 导出了变量的偏导关系和相关期望的极限值，为后续模型推导和估计打下基础。

这体现了方差-霍克斯过程的精确数学结构，是理论奠基。[page::11][page::12][page::13]

2.7 Ito公式与模拟验证

Ito公式 给出方差-霍克斯过程平方的微分形式：

$$
d B^2(Nt) = 2 B(Nt) d B(Nt) + d Nt.
$$

利用Euler-Maruyama方法对其进行数值模拟（$RES=2^{20}$），结果表明：

• 模拟路径和分布的匹配基本良好，虽然存在离散化误差和量化时间步长引起的偏移，误差多数集中绝对值10%-20%以内。

- 图15-17展示了模拟的概率分布、轨迹及百分比误差的多次样本，验证了理论模型的近似正确性。

• 报告提出猜想：方差-霍克斯过程分布近似于：

$$
B(Nt) \stackrel{d}{=} \sqrt{Nt} \mathcal{N}(0,1),
$$

即条件于$Nt$，$B(Nt)$服从均值为0，方差为$Nt$的正态分布。图14的多组模拟验证了该猜想的合理性。

该部分从理论和实践角度融合验证了方差-霍克斯过程的数学性质和应用可行性。[page::13][page::14][page::19][page::20][page::21][page::22]

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3. 图表/图片深度解读

图1（page 6）

• 内容：显示了标准布朗运动以霍克斯过程为时间变换子过程形成的方差-霍克斯过程，横轴为时间，蓝线为过程轨迹，红色竖线标示跳跃时点。

- 解读：图中跳跃分布不均匀，跳跃集中造成路径剧烈变化，直观表现出波动率聚簇的特征。

• 支持论点：直观说明该过程如何自然引入跳跃和波动聚簇，是模型构思的关键视觉佐证。

图2-5（page 7-8）

• 内容：分别对比2018、2019年天然气和原油的前月期货对数收益分布（蓝色）与方差-霍克斯过程拟合分布（红色）。

- 解读：拟合曲线捕捉了尾部厚尾现象，尤其是极端负收益和正收益的出现频率，模型虽简单，但对整体分布、偏态和峰态有较好拟合。

• 支持论据：说明模型具备描述实际市场复杂行为的能力，适合进一步集成复杂定价结构。

图6-7（page 9）

• 内容：交易量分位数对比指数分布分位数Q-Q图，点明显偏离对角线。

- 解读：偏离背景表明交易间隔并非纯泊松过程，存在跳跃聚簇，符合霍克斯过程的自激特性。

• 推论：交易活动有序且非随机分散模型适用，强化了模型的合理性。

图8-9（page 10）

• 内容：每日按分钟维度的交易量分布明显呈现周期性波峰（中午和下午），且分布不均匀。

- 说明：交易量呈现时间聚簇特性，交易行为非均匀，支持自激模型的假设。

图14（page 19）

• 内容：32个不同参数条件下，$B(Nt)$模拟分布与假设的$\sqrt{N_t}\mathcal{N}(0,1)$的PDF对比。

- 分析：绝大多数拟合良好，尾部一致，少量峰值偏差，表明猜想合理，可作为简洁近似方法。

图15-17（page 20-22）

• 内容：分别为Ito公式双边表示模拟PDF、轨迹和百分误差图。

- 解读：整体拟合良好，误差主要来源于模拟离散化及多个跳跃合并于单一时间步的近似误差。路径形态及误差分布保持稳定，示范模拟手段的实用性和局限。

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4. 估值分析

本报告未涉及具体资产的价格估值或目标价设定，主要聚焦建模框架的提出、特性推导以及实证拟合，属于理论与方法创新型研究。
但报告的生成元推导、矩计算以及分布猜想将为基于该模型的期权定价和风险管理提供重要工具，未来工作计划中也提到将进行风险中性估值和校准开发。[page::15]

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5. 风险因素评估

报告自身较少直接讨论模型风险和不确定性，但从内容中可推断以下风险因素：

• 模型简化假设：如手工校准参数、$\alpha\neq\beta$假设以及忽视某些市场效应，可能导致模型对复杂市场结构的适应能力有限。

- 模拟误差来源：数值离散化引起的误差较大，尤其是多跳跃合并，影响微观路径精度。

• 参数稳定性与实证适用性：模型参数对不同市场环境和时间阶段的变动未有足够讨论，可能存在拟合过度或迁移能力不足风险。

缓解方法可以包括未来引入自动化标定、扩展参数估计技术以及多市场验证等。[page::13][page::15]

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6. 批判性视角与细微差别

• 手工标定方法的局限性：报告多次提到参数为试错法确定，缺乏系统的最优估计方法，这限制了模型的精确性和推广性。

- 模型设计单一：采取直接将霍克斯过程与标准布朗运动复合，虽然参数较少，但缺少对均值回复、跳跃幅度分布等进一步建模，存在简化过度的可能。

• 分布猜想未严格证明：Conjecture 1 是基于模拟的经验性结论，尚需严谨的数学证明。

- 跳跃过程中与传统时间刻度的转换过渡：报告提出跳跃作为“时间”的观点十分新颖，但也带来解释和应用上的复杂性，尤其与现有理论框架的兼容性。

总体而言，报告呈现出较强的理论创新和实用价值，但存在进一步深化和验证的空间。

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7. 结论性综合

该报告成功提出了方差-霍克斯过程，即利用带有指数核的霍克斯过程作为时间变换子过程复合布朗运动构造的新型金融随机过程。此模型以其简洁的参数体系，有效捕捉了能源市场特别是原油和天然气期货中的波动率聚簇和跳跃特征。

通过手工校准，模型对2018、2019年能源期货对数收益率的拟合表现良好，特别是尾部厚尾特性明显。订单交易量的实证分析和统计检验进一步佐证了采用霍克斯过程建模交易频率和价格跳跃时间的合理性。

重要数学贡献包括：

• 生成元的严格推导及其对偏导的组合形式，实现对过程演化的理论掌控。

- 方差计算证明和基于条件期望的二阶矩解析。

• Ito公式的推导和双方法的模拟对比，验证模型的随机微分方程有效性。

- 分布猜想提出并用大量蒙特卡洛方法模拟验证，进一步加深模型的实用理解。

图表均全面支撑理论推导和实证分析，提供了理论与实践间的桥梁。未来工作需聚焦精确的模型校准、模型扩展、理论证明及风险中性定价，以推动该模型在金融工程特别是能源衍生品定价中的应用。

综上，该报告为金融数学领域引入了一种具有理论创新性与实证潜力的模型框架，为能源市场建模提供了新的思路与工具。

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参考文献

报告引用了霍克斯过程基础文学、随机过程与金融数学经典论文及相关实证研究，保障了理论的严密性和实证的前沿性。其中[Cui et al., 2020]为基础矩计算提供了关键工具，[Favetto, 2019]和[Swishchuk et al., 2019]为模型背景的市场数据及实际交易行为提供依据。

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附录与图集

报告最后分别附录了时间序列数据图（Figure 10-13）、模拟图（Figure 14-17）及详细的矩解析公式，方便读者直观理解和复现研究结果。

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（全文引文页码均已明确标注）

报告