• 研究背景与问题定义 [page::1][page::2][page::3]

- 将信用评级变化视为吸收型时间齐次马尔可夫链，默认状态为吸收态。
- 目标是通过已知的各年份累积违约概率，反推出信用迁移矩阵（CTM）。
- 该逆问题为线性且病态，且对解施加概率的区间约束。

• 数学建模与问题转化 [page::4][page::5][page::6]

- 设转移矩阵$P$由所求CTM子矩阵$Q$和违约概率向量$p(n)$组成。
- 通过关系 $Q p(n) = p(n+1) - p(1)$ 建立线性方程组。
- 定义矩阵$A$和数据向量$y$，将矩阵重排为向量$x$，转化为 $A x = y$ 的约束线性逆问题。
- 引入箱型约束（区间约束），允许对不同元素设置不同的上下界，特别是对对角线元素应用合理约束。

• 熵最小化求解方法 [page::7][page::8]

- 目标函数为费米-狄拉克型熵 $\Psi(x)$，凸且光滑，适合处理区间约束。
- 利用Fenchel对偶，将约束问题转化为对偶空间无约束的函数最大化。
- 通过梯度下降结合两点步长法求解对偶最大化问题，获得对应的拉格朗日乘子$\lambda^$。
- 最优解$x^$通过$\lambda^*$的阳性指数映射显式计算。

• 数值实验一：重构测试CTM [page::9][page::10][page::11][page::12][page::13][page::14]

- 以Lando和Skødeberg(2002)提供的CTM为真值，通过计算其幂获得累积违约率作为数据输入。
- 无约束重建：尽管重建误差小且满足数据，结果与真矩阵差异较大，反映问题多解且熵模型倾向均匀分布概率。
- 加入对角线元素范围约束（AAA-AA类限制在[0.9,1]，BBB-BB类在[0.8,1]，CCC类在[0,1]），重建结果逼近真实CTM，预测未来违约概率较为准确。
- 预测误差随使用输入年份数增加而减少，说明方法具备一定预测能力。



- 预测误差表（$\ell_1$距离）：

| 输入年数 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|----------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|
| 4 | 0.0159|0.0209 |0.0264 |0.0326 |0.0394 |0.0407 |0.0480 |0.0557 |0.0638 |0.0723 |0.0811 |
| 5 | 0.0081|0.0112 |0.0149 |0.0192 |0.0241 |0.0267 |0.0322 |0.0382 |0.0446 |0.0515 |0.0587 |
| 6 | 0.0050|0.0073 |0.0102 |0.0136 |0.0175 |0.0206 |0.0254 |0.0306 |0.0362 |0.0423 |0.0488 |
| 7 | 0.0033|0.0051 |0.0074 |0.0102 |0.0135 |0.0164 |0.0205 |0.0252 |0.0304 |0.0362 |0.0423 |

• 数值实验二：基于Macreadie(2022)的S&P累积违约数据 [page::14][page::15][page::16]

- 利用1980-2021年S&P公布的平均累积违约率重建CTM，同样设置了类似的对角线约束。
- 重建误差略高，可能由于现实默认率数据不完全符合吸收型马尔可夫链假设。
- 但所重构的CTM仍可用于对未来违约概率做出合理预测，且重建预测误差随输入数据年份增加总体降低。

| 输入年数 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|----------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|
| 4 |0.0544 |0.0719 |0.0888 |0.1073 |0.1264 |0.1435 |0.1606 |0.1795 |
| 5 |0.0440 |0.0600 |0.0752 |0.0919 |0.1092 |0.1243 |0.1393 |0.1560 |
| 6 |0.0184 |0.0260 |0.0325 |0.0403 |0.0485 |0.0546 |0.0607 |0.0687 |
| 7 |0.0100 |0.0156 |0.0199 |0.0254 |0.0312 |0.0349 |0.0385 |0.0438 |

• 其他关键结论与应用 [page::16]

- 离散时间模型较符合年度默认数据的实际发布时间，适合信用迁移矩阵建模。
- 连续时间模型应用受限，实际默认随机时间与年度观测不符难以直接利用。
- 可利用重构的CTM计算相关信用指标，例如预期违约时间和评级间平均停留时间。

金融研究报告详尽分析

报告标题：Determining a credit transition matrix from cumulative default probabilities. An entropy minimization approach
作者：Henryk Gzyl、Silvia Mayoral
发布机构：Centro de Finanzas IESA, Caracas, Venezuela；Dept. of Business Administration, Univ. Carlos III de Madrid
主题：信用迁移矩阵的确定，基于累计违约概率的逆问题，采用熵最小化方法
日期：未明确标注（推测较新文献）

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1. 元数据与概览

此报告聚焦于信用风险建模中的一个核心数学问题：

• 如何从已知的累计违约概率推断信用迁移矩阵（Credit Transition Matrix，CTM）？

该矩阵描述债券信用评级随时间迁移的概率分布，是制定风险管理和定价信用衍生品的关键基础。作者提出了基于吸收态马尔可夫链性质的严密数学模型，并将该问题构建为一个具有约束的线性逆问题，采用熵最小化的凸优化方法进行求解。

报告核心论点是：

• 由于累计违约概率数据比信用评级迁移数据更易获得，能否逆利用累计违约概率来求解CTM？

- 承认该问题是病态（ill-posed）的，即求解时存在无限多解或矩阵不可逆的情形，

• 通过熵最小化方法得到满足概率约束（如概率取值在[0,1]区间）的CTM矩阵，且该方法支持进行区间限制以反映数据先验知识，

- 数值实例测试显示该方法在重构和预测信用迁移及累计违约概率时表现良好。

结论表明，基于累计违约概率通过熵优化反求CTM，不仅理论上成立，也具备实用价值。[page::0, page::3, page::9]

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2. 逐节深度解读

2.1 Introduction and Preliminaries （导论与预备知识）

• 信用风险模型需将各债务主体划分到信用等级类别，为每类提供违约概率，这些多为年度数据。评级可动态变化，违约为吸收态。

- 采用离散时间、齐次马尔可夫链假设描述评级演化（含吸收态），允许计算平均违约时间、评级改善风险等指标。

• 虽是强假设，但构成了分析和金融衍生品定价的基础框架。

- 离散时间模型符合年度违约数据公布方式，方便使用吸收态马尔可夫链理论。

• 文献综述指出，该领域多采用基于评级迁移频数的统计方法，连续时间模型普遍存在但数据需求大；本报告基于仅累计违约概率数据，方法简洁且实用。[page::1, page::2]

2.2 建立CTM与累计违约概率关系（Section 2）

• 定义金融评级状态空间为$K=\{1,...,K-1, K\}$，第$K$态为违约吸收态，其他为评级。Markov链转移矩阵$\mathbf{P}$写作：

$$
P = \begin{pmatrix} Q & p(1) \\ \mathbf{0}^t & 1 \end{pmatrix}
$$

其中$Q$为非吸收态间转移的子矩阵，$p(1)$是进入吸收态的概率向量。

• $n$步转移概率矩阵$P^n$可写成：

$$
P^n = \begin{pmatrix} Q^n & p(n) \\ \mathbf{0}^t & 1 \end{pmatrix}
$$

且

$$
p(n) = \sum{k=1}^n Q^{k-1} p(1) = p(1) + Q p(n-1)
$$

• 关键等式：

$$
pi(n) = P(Xn=K | X0 = i) = P(T \leq n | X0 = i)
$$

即累计违约概率满足和$p(n)$相同的递归关系。[page::3, page::4]

• 核心待求问题：

从已知的多个时间点累计违约概率向量$\{p(n), n=1,...,N\}$，即给定数据$\{q(n) = p(n) - p(1)\}$，反推未知CTM子矩阵$Q$，满足：

$$
Q u = u - p(1) = q(1), \quad Q p(n) = q(n+1), \quad n=1,...,N-1
$$

其中$u$为全1向量。该问题构成线性方程组：

$$
A x = y
$$

其中$x$为矩阵$Q$展开的列向量形式，$A,y$由以上约束构成，且需满足概率区间限制$0 \leq xj \leq 1$。问题因观测数据少于参数数量，且矩阵$A$可能不满秩，属病态线性逆问题。[page::5, page::6]

2.3 逆问题的熵最小化求解（Section 3）

• 逆问题解决方案采用Fermi-Dirac型熵函数定义目标函数：

$$
\Psi(x) = \sum{j=1}^{(K-1)^2} \frac{xj - aj}{Dj} \ln \frac{xj - aj}{Dj} + \frac{bj - xj}{Dj} \ln \frac{bj - xj}{Dj}
$$

其中$[aj, bj]$为概率变量取值区间，一般为[0,1]，$Dj = bj - aj$。

• 凸函数，有连续一阶导数和可逆梯度。

- 函数Fenchel-Lagrange对偶形式是：

$$
M(\tau) = \sum{j=1}^{(K-1)^2} \ln \left( e^{aj \tauj} + e^{bj \tauj} \right)
$$

• 最优解通过拉格朗日对偶问题确定：

$$
xj^ = \frac{aj e^{aj (A^T \lambda^)j} + bj e^{bj (A^T \lambda^)j}}{e^{aj (A^T \lambda^)j} + e^{bj (A^T \lambda^)j}}, \quad j=1,...,(K-1)^2
$$

其中$\lambda^$为通过最大化对偶函数$\Sigma(y,\lambda)$获得的拉格朗日乘子，满足：

$$
\Sigma(y,\lambda) = \langle \lambda, y \rangle - M(A^T \lambda)
$$

• 采用梯度法（如Barzilai-Borwein两点步长梯度法）进行$\lambda$优化，迭代终止准则为梯度范数小于容差，即逆问题的重构误差指标。

- 对无约束问题设置$aj=0, bj=1$，简化为：

$$
xj^ = \frac{e^{(A^T \lambda^)j}}{1 + e^{(A^T \lambda^*)j}}
$$

保证解在概率区间且符合观测统计数据的同时，尽可能均匀分布概率（熵最大化）。[page::7, page::8]

2.4 数值实验（Section 4）

2.4.1 使用已有CTM测试方法有效性

• 取Lando和Skødeberg (2002)提供的7评级级别CTM矩阵$P$，利用其计算1至20年累计违约概率作为输入。

- 用前7年累计违约概率数据反求$Q$，再计算预测8至20年的违约概率，与原数据比对。

• 对无约束约束 ($x \in [0,1]$)重构，误差小，预测合理，但解与真实矩阵$Q$有较大偏差（熵方法解的分布性质）。图1（第11页）显示无约束方案下重构与真实$Q$差异明显。[page::9, page::10, page::11]
• 引入对角线概率的区间约束（例如AAA~A类令$Q{ii} \in [0.9,1]$，BBB~B类$[0.8,1]$，CCC类$[0,1]$），与原矩阵高度吻合（图2，第13页），说明合理约束显著提升重构准确性。

- 用4至7年的累积默然概率作为数据进行推断，预测未来累计违约概率，误差随数据年限增加明显降低（表3，第14页）。

• 该方法对矩阵$A$极度病态（行列式非常小）依然能得到可行稳定解，展示熵最小化在逆问题中的优势。[page::12, page::13, page::14]

2.4.2 从S&P实际数据重构CTM

• 采用Macreadie (2022)公布的1980-2021年S&P各评级的平均累计违约率作为数据（表4，第15页）。

- 选取类似的对角线约束区间，并对4-7年的数据进行估计，重构误差约0.01-0.02，矩阵$A$仍极病态。

• 预测未来8至15年累计违约概率，与S&P真实数据比较，误差随数据年限扩展而减小（表5，第16页）。

- 误差较数值模拟案例略大，或因实际数据非严格遵循Markov跳转模型，表明该方法对于实际数据有一定的适用局限性但仍提供合理的估计与预测框架。[page::14, page::15, page::16]

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3. 关键图表与数据的解读

图1（第11页）

• 内容：无约束条件下重构CTM与真实矩阵的比较，纵轴为矩阵元素概率值，横轴为CTM按行列序列展开的索引。

- 观察：实际矩阵（“Real”）有多个接近1的尖峰（对应评级保持概率），重构矩阵（“Sol”）虽然在整体概率范围内，但分布更加平滑，缺少明显峰值，反映熵最小化导致概率分布偏离真实分布。

• 结论：即使求解误差极小，问题的不适定性和无约束导致解不具有稀疏/现实物理意义。对此，添加合理约束非常重要。

图2（第13页）

• 内容：针对不同年限（4、5、6、7年）累计违约数据，加入对角线概率约束后重构CTM与真实CTM的比较，四个子图依次展示。

- 观察：重构解与真实矩阵高度匹配，尤其7年数据时误差最小，重构曲线与真实曲线几乎重合。反映加入对角线约束引导算法找到更符合实际的稀疏概率分布。

• 推断：合理的先验信息而非盲目无约束优化，提高解的经济学合理性和准确性。[page::13]

表1（第10页）

• Lando和Skødeberg模型中，7个评级（AAA到CCC）7年累计违约概率示例，体现低评级高违约概率特征。

- 用作方法求解的输入数据参考。

表2（第12页）与表3（第14页）

• 越往后预测年份，累计误差$\ell_1$范数逐渐增加，反映预测不确定性随时间增长。

- 随着获取更多年数据（从4年到7年），未来预测误差显著减少，说明数据丰富度对重构和预测准确性的重要影响。

表4（第15页）

• S&P实测1980-2021年累计违约率，较国有模型数据更加波动且违约率整体更高。

- 提供了真实市场环境下评估该方法的基准。

表5（第16页）

• 预测未来累计违约概率的误差，随着输入数据年限增加，误差明显下降，但绝对误差仍高于理想数值模拟案例，验证了实际数据复杂性。

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4. 估值分析

本报告无需典型的金融估值分析（DCF、市盈率等），重心在概率矩阵的推断和数学求解方法。

• 估值亮点在于采用熵最小化解决逆问题。

- 基于概率论及凸优化理论，采用Fenchel-Lagrange对偶解析法形式化求解。

• 设定概率区间约束（可变动，灵活反映数据先验），通过最大化对偶函数获得唯一稳定解。

- 这种方法兼具理论严密性和计算可行性。

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5. 风险因素评估

报告主要风险和局限包括：

• 数据问题风险： 累计违约概率来源可能不完美，尤其实际市场中评级迁移不一定严守马尔可夫假设，导致重构误差较大。

- 模型假设风险： 离散时间、齐次Markov链假设是强假设，实际信用评级迁移可能具时间非齐次性和记忆效应。

• 病态问题风险： 逆问题的病态性导致求解难度大，过度平滑的熵最小化解可能缺乏经济直觉部分，而合理约束依赖领域知识。

- 连续时间模型兼容性风险： 当前只适用离散时间模型，现实中违约随时可能发生，连续时间情形未被覆盖。

报告暂时未提供明确缓解策略，但通过引入区间约束部分减缓了无穷多解和非现实解的风险。[page::1, page::6, page::15]

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6. 审慎视角与细微差别

• 假设链条较长： 从观测的累计违约率倒推信用迁移概率，过程倒退较多，误差易累积。

- 依赖计算机数值优化： 拉格朗日乘子求解可能出现收敛问题或局部最小，程式稳定性可能是潜在挑战。

• 无监管主导信息： 约束上下界由用户设定，主观性较强，不同分析者可能导致不一致结果。

- 数据完整性依赖大： 小样本年数或零违约发生年数会造成对应转移概率严格为零，进而奇异性增强。

• 定性的论述较多，缺乏广泛实证验证及对比。

整体，报告比较理想化，具体应用时需考虑现实复杂性。同时，作者强调离散时间模型适用性，连续时间是开放难题，提示了未来研究方向。[page::1, page::2, page::6]

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7. 结论性综合

本报告系统地探讨了一个核心的信用风险数学问题，即从已知的累计违约概率数据反推信用转移概率矩阵。基于吸收态离散齐次Markov链理论，作者建立了信用迁移矩阵与累计违约率的解析关系，并将反求问题转化为带概率区间约束的线性逆问题。问题本质病态且可能无唯一解，基于Fermi-Dirac型熵最小化的凸优化方法有效解决此问题。

数值实验验证了方法的实用性和鲁棒性：

• 无约束情形下虽能小误差拟合累计违约率，但解的形式偏离真实CTM；

- 适当的区间约束（特别是对角线元素反映评级持续概率）显著提升了重构的准确性和经济合理性；

• 预测未来累计违约率表现稳定，随着输入数据年限增加预测误差降低；

- 实际S&P数据应用结果虽误差相对较大，但依然表现出合理的预测一致性。

该方法提供了一个理论严密且计算可行的信用风险迁移概率估计框架，特别适用于仅有累计违约率数据的情形。报告也指出该方法受限于离散时间模型假设，扩展到连续时间仍是未来挑战。

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参考文献与致谢

报告引用了信用迁移矩阵及相关马尔可夫链文献以及近期信用风险研究，为理论支持和比较提供坚实基础。

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附：关键图片预览

• 图1 无约束重构信用迁移矩阵与真实矩阵对比：

• 图2 约束重构信用迁移矩阵（4-7年数据）：

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总体评价

本报告深入数学原理，构建了一个创新且严谨的信用迁移矩阵估计模型，结合熵最小化凸优化方法，将实际累计违约概率数据成功转化为CTM估计。数值测试表现优异，具备理论及实践意义。未来可考虑对实证数据的适配性与连续时间扩展作进一步研究。

报告