• 研报核心贡献为基于Kelly准则的广义数学模型，用于确定集中投资中各股票的最优资本配置，最大化资产的长期增长率 [page::0][page::3][page::4]。

- 模型支持多家公司同时考虑，每家公司设定若干情景，每个情景包含对应的概率和内在价值估计；目标是根据这些输入确定每家公司应分配的投资比例 [page::0][page::1][page::3][page::4]。

• 设计了四类约束：禁止做空、限制杠杆比例、单只股票最大持仓比例、最大永久资本损失风险，以此嵌入安全边际，规避不合理风险暴露 [page::2][page::4][page::5]。

- 数值解法采用牛顿-拉弗森迭代，通过求解非线性系统以及组合各种约束的激活/非激活状态，实现对资本分配的最优寻优，但该方法复杂度随约束和标的数量呈指数增长，限制了适用标的数量规模 [page::6][page::7][page::10]。

• 验证测试表明，约束条件显著影响配置比例，无杠杆约束下，组合配置趋于均匀（例：五标的每标分配20%），限制永久损失约束时配置极为保守（例：2%），体现风险风险控制有效性 [page::7][page::8]。

- 通过具体案例分析了五只股票的情景概率设定和内在价值估计，结合长周期底层假设，得出集中持仓更优于过度分散的结论，永久资本亏损概率极低（约0.008%），支持基于观念的安全边际和长期股权所有权投资理念 [page::8][page::9][page::10]。

• 研报强调投资者需保守且合理建模概率与内在价值，认为其工具有助于统一概率思维、减少心理偏差，实现更加科学的资金分配 [page::10]。

- 软件工具以Rust语言实现，开源免费，方便投资者实践应用和二次开发：https://crates.io/crates/charlie，https://gitlab.com/in-silico-public/charlie [page::11]。

报告《Sizing the bets in a focused portfolio》详尽分析报告

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1. 元数据与概览

• 报告标题：《Sizing the bets in a focused portfolio》（专注投资组合中的赌注规模设计）

- 作者：Vuko Vukčević 和 Robert Keser（均来自In silico Ltd., Zagreb, Croatia）

• 发布时间：2024年2月27日

- 主题：聚焦于基于巴菲特、芒格及其投资社区提出的专注投资策略，发展一种数学模型和工具来优化多家公司（投资候选对象）的资本分配，最大化长期资产增长。

• 核心论点：

- 投资者应根据多个投资标的的不同未来场景概率及内在价值进行资本分配。
- 基于广义Kelly准则，模型支持多约束优化（无做空限制、杠杆限制、最大允许永久损失限制及最大个股仓位限制），计算最优资本配置方案。
- 软件实现了该模型，并适用于示例投资组合，揭示了过度分散的影响，并已公开开放给公众。

• 主要信息传递：通过数学形式化的资本分配策略，避免人类心理偏差，使得专注投资组合的资金配置达到对长期资产增长的最优平衡，进而探讨为何过度分散可能不利，并提供可供实践应用的工具。

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2. 逐章深度解读

2.1 第一章：摘要（Summary）

• 关键内容：介绍了基于Kelly Criterion拓展的多标的组合资金分配数学模型，结合约束条件，提升了投资者进行分散但专注投资组合决策的科学性。

- 推理依据：利用概率论和信息论基础的Kelly Criterion，结合投资场景概率及内在价值，实现最大化长期资本成长率。

• 重要参数：无做空、杠杆限额、永久损失风险限额、个股最大单笔资金比例。

- 应用与结果：通过示例组合体现过度分散弊端，并将工具公开，使实际投资者可用。

2.2 第二章：引言与基本投资流程（Introduction）

• 核心论点：股票投资应基于对企业基本面的长期分析，而非短期价格波动。投资过程分为选择投资候选（选股）和决定资金分配两部分，本报告聚焦于后者，并用数学工具缓解投资者心理偏差。

- 逻辑与假设：投资者对不同投资对象的未来场景概率分布和对应内在价值评估；基于此计算最优资金份额；模型假定概率是理性且保守估计的。

• 理论背景与延伸：建立在Kelly Criterion之上，该准则源于信息论与概率，是最大化长期财富增长率的经典方法，广泛被现代财务管理应用。

2.3 第2.1节与2.2节：假设与安全边际（Assumptions and Margin of Safety）

• 关键点：

- 假设：当投注次数趋向无穷时，收益以概率加权模型计算；投资者需谨慎、保守估计概率和场景，确保估值合理，输入准确性决定模型输出质量。
- 安全边际：
- 禁止做空，避免因负期望回报导致非理性交易和无限风险。
- 限制杠杆，体现作者的保守风格。
- 每个公司必须至少存在一个负面场景，迫使投资者关注潜在风险而非仅乐观预测。若无负面场景，则理应投入巨大杠杆或假设存在极小概率的零价值场景。

2.4 第三章：数学模型建立

• 章节目的：用数学形式定义财富增长函数，通过概率场景、内在价值和当前市值推导最优资金分配函数。

- 公式与含义：

1. 投资后资产价值表达：

\[
\mathcal{A}{after} = \mathcal{A}{before}\left(1 + \sum{j}^{Nc} fj kj\right)
\]

其中，\(kj\) 指公司 \(j\) 在某场景下的相对收益，即（内在价值-市值）/市值。

2. 多次投资后长期收益（几何平均）对数增长率定义：

\[
\mathcal{G} = \lim{Na \to \infty} \frac{1}{Na} \ln \frac{\mathcal{A}{Na}}{\mathcal{A}0}
\]

优化目标为求解：

\[
\frac{\partial \mathcal{G}}{\partial fj} = 0
\]

3. 最终整理得的非线性方程组：

\[
\sum{i}^{No} \frac{pi k{ij}}{1 + \sum{j}^{Nc} fj k{ij}} = 0
\]

\(pi\)为第\(i\)个场景概率，\(k{ij}\)为在该场景下公司\(j\)的收益率。此系统方程求解得到资金份额\(fj\)。

• 逻辑：模型通过考虑所有场景的收益概率加权，计算能使长期资产价值对数期望增长率最大化的资金分配。

2.5 第3.1节：约束定义

• 四类约束：

1. 无做空：保证资金份额非负，\(f \geq 0\)；
2. 杠杆限制：所有投资比例总和不超过\(1+L\)，其中\(L\)为可用杠杆定义（L=0表示无杠杆）；
3. 单个标的最大权重：避免单只股票配置比例过大，限制\(f \leq M\)；
4. 最大永久资本损失：确保组合在最坏情况下的损失风险有上限，定义了基于概率与最大可能永久亏损的约束。

• 数学处理：引入松弛变量将不等式转化为等式，用拉格朗日乘子法将约束整合入目标函数优化问题。

- 实际意义：通过这些约束向模型注入投资人对风险控制和仓位管理的偏好，为模型建立“安全边际”。

2.6 第3.2节：受约束系统和求解条件

• 讨论：构造拉格朗日函数将目标函数和约束函数结合，建立含\(fj\)、拉格朗日乘子\(\lambdal\)及松弛变量\(sl\)的方程体系。

- 解的复杂性：约束的活跃/非活跃状态组合多达\(2^{N_l}\)种（指数级增长），例如有5个股票和4类约束将导致超过4,000个系统需要求解，10个股票则爆炸至千兆级别，显示计算量巨大。

• 求解条件：分别对函数关于未知数导数为零，满足KKT条件（必要最优性条件），构成非线性方程组需数值方法求解。

2.7 第四章：数值求解（Numerics）

• 求解方法：采用牛顿-拉夫逊迭代法对上述非线性方程组进行逐步线性化近似求解。

- 雅克比矩阵（Jacobian）设计：
- 对于活跃约束，雅克比矩阵涉及目标函数二阶导数和约束的一阶导数，构建较复杂的块矩阵形式（式19）。
- 非活跃约束时，相关雅克比只涉及目标函数二阶导和约束一阶导，形式较简（式21-22）。

• 迭代初值与停止准则：初始采用均匀分配，迭代至收敛。

- 可行解筛选：筛选出所有数值求解成功且满足松弛变量正性条件的解，并选择在“高度分散”解集中期望值最高的方案，兼顾解的多样性和投资组合质量。

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3. 图表深度解读

3.1 表1 - 验证测试公司场景输入（第8页）

| 场景 | 内在价值 | 概率 |
|--------------------|----------|-------|
| 50%下跌 | 0.5 | 50% |
| 100%上涨 | 2 | 50% |

• 含义：假设单公司持有两种情形，50%的损失概率和50%的盈利概率，用于模型基础测试和结果验证。

- 模型表现：
- 无任何约束时，分配35%资本于每个公司，体现杠杆(175%)。
- 无杠杆限制时（杠杆上限L=0），均分20%，实现保守配置。
- 加入50%最大永久亏损风险限制时（风险概率5%，亏损50%），资本分配降至2%。

• 意义：显示模型对于约束变化高度敏感且能体现预期风险控制效果。

3.2 表2至表6 - 示例五家公司情景（第9页）

• 不同公司、不同市场资本与评估场景，均给出多个场景的内在价值和概率配置：

| 公司 | 当前市值 | 场景 | 内在价值 | 概率 |
|------|----------|-----------------|---------------|-------|
| A | 225B USD | 全损失 | 0 | 5% |
| | | 基础论点 | 270B USD | 60% |
| | | 牛市论点 | 420B USD | 35% |
| B | 450M USD | 全损失 | 0 | 5% |
| | | 空头论点 | 350M USD | 50% |
| | | 基础论点 | 900M USD | 45% |
| C | 39M GBP | 全损失 | 0 | 10% |
| | | 空头论点 | 34M GBP | 40% |
| | | 基础论点 | 135M GBP | 50% |
| D | 751M SGD | 空头论点 | 330M SGD | 30% |
| | | 基础论点 | 1B SGD | 70% |
| E | 126B HKD | 全损失 | 0 | 5% |
| | | 空头论点 | 50B HKD | 10% |
| | | 基础论点 | 300B HKD | 85% |

• 数据解读：公司A、E等为市值巨大企业，熊市或全损可能性较低，牛市预期较强；B、C、D等体量较小或场景更分散。

3.3 表7 - 资金分配结果（第10页）

| 公司 | A | B | C | D | E |
|------|-----|-----|-----|-----|-----|
| 资金分配 | 30% | 8% | 30% | 2% | 30% |

• 分析：

- 明显对A、C、E投入偏多（均为30%，即模型设定的最大个股限额）。
- B、D较少配置，反映各自负面风险和收益结构不同。
- 组合总投入控制在1.0内，无杠杆。

• 组合统计指标：

- 投资期望收益约为0.32美元每投入1美元，说明组合预期有32%的回报潜力。
- 亏损概率累积为16%，说明组合仍存在一定风险，但较低。
- 极端永久亏损概率极低(0.008%)，显示风险控制得当。

• 结论支持：

- 估值合理且多元化中仍有集中持股。
- 高频成功投资者的经验支持专注投资而非过度分散。

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4. 估值分析

• 估值方法概述：本研究不直接估值个股，而是以各股未来若干情景内在价值为输入；资本分配模型本质是一种期望收益与风险约束的最优组合权重计算，归根结底是基于多场景估值结果的资金权重优化。

- 关键输入假设：
- 每家公司在多个未来场景下的内在价值估计，以及对这些场景发生的概率判断。
- 当前市值作为对比基准，通过内在价值与市值差异产生的可能收益率驱动模型优化。

• 模型框架：使用广义的Kelly Criterion优化长期资产对数增长率，理论上等价于最大化复利财富增长。

- 约束条件：限制杠杆和仓位风险，构成一种因投资者风险偏好而设的“估值风险控制”。

• 敏感度说明：资金分配对输入概率和价值评估极为敏感，保险边际的设计（如假设反面场景）与实际运用中约束的严格程度直接影响组合形态和风险暴露。

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5. 风险因素评估

• 识别出的风险：

1. 输入估值与概率不准确：模型完全依赖输入质量，如果估值或概率失真，计算结果同样偏离现实，可能导致亏损。
2. 数值求解收敛失败：非线性系统可能因矩阵奇异或迭代次数不足无法收敛，导致未找到全局最优解。
3. 计算复杂度极高：约束组合指数增长，若投资标的过多（如超过10支），服务器资源需求和计算时间呈爆炸式增长，实务操作受限。
4. 假设未来市场价格终将反映内在价值：长期持有的理念与估值隐含假设，实际市场信息变动及流动性风险未显式纳入。

• 缓解措施：

- 通过明智且保守的情景构建与概率估计减低输入误差风险。
- 计算时针对不同约束启用松弛变量，兼顾求解的灵活性。
- 对不可行、未收敛系统忽略，组合结果从所有求解成功方案中筛选最优，虽然不能保证找到绝对最优。
- 针对计算复杂性的限制，报告建议预先筛选候选项，避免过度分散。

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6. 批判性视角与细微差别

• 模型严谨性与现实适应性差异：

- 模型基于无限复投次数、概率准确等理想假设，现实中投资次数有限、概率估计存在主观偏差。
- 固定场景概率假定忽视市场动态变化、信息变化与宏观经济冲击。
- 未考虑流动性风险、交易成本、税费等实际投资中的非理论因素。

• 潜在偏差：

- 强调“专注”投资并反对“过度分散”，部分论据基于应用场景及主观安全边际选择，可能不适用于所有投资者和市场环境。
- 选择最大化期望值解的策略在本质上倾向于较激进策略，较保守投资者可能更倾向于不同目标函数。

• 模型规模限制与可扩展性：

- 计算复杂度极高，导致大规模应用受限。此限制本身暗示实际上适合“专注少数优质股”，与作者观点一致，但限制了模型适配多元化大盘配置情景。

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7. 结论性综合

本文从理论出发，基于广义Kelly Criterion构建了一个多公司多场景专注投资资金分配数学模型，针对长期资产增长最大化目标，结合投资人的风险偏好（无做空、杠杆约束、最大永久亏损约束及单标的仓位限制），将复杂的多目标非线性优化转化为可求解的数值问题。通过严谨的数学推演和牛顿法数值迭代，模型能够处理典型的实务投资场景，并通过示例验证和基本测试表明：

• 资金分配结果在无杠杆及风险约束条件下趋于均匀分布，但当加入风险控制时资金比例大幅下降，体现风险-收益权衡的合理性。

- 五股示例组合在最大单只30%仓位限制下，获得预期收益32%、亏损概率16%和极低永久亏损概率，优选集中持股。

• 研究表明过度多元分散会导致永久风险累计，特别不适合追求长期价值投资的投资者。

- 该模型虽科学严谨，但实际运用受限于复杂度和前提假设，投资者需特别注意输入估值和概率的合理性。

• 软件工具已开源发布，为专注投资者提供数学严谨的决策辅助，有助减少心理偏差影响。

综上，报告严格基于概率和数学最优化，强调通过合理约束实现投资组合的专注与安全边际，为长期价值投资者提供了理论与工具支持，兼顾投资最佳实践与风险管理[page::0][page::1][page::2][page::3][page::4][page::5][page::6][page::7][page::8][page::9][page::10][page::11].

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图表展示示例

• 表1: 验证测试公司场景输入示例

| 场景 | 内在价值 | 概率 |
|------------------------|----------|------|
| 50%下跌 | 0.5 | 50% |
| 100%上涨 | 2 | 50% |

• 表7: 最大化长期增长率的投资组合分配

| 公司 | A | B | C | D | E |
|-------|-------|-------|-------|-------|-------|
| 资金分配 | 30% | 8% | 30% | 2% | 30% |

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结语

本文系统地推进了投资组合资金配置的数学化，基于Kelly Criterion的扩展在带有多个约束条件的实际投资问题中得到应用，对理解和操作专注投资组合有较强的指导意义。报告虽涉及复杂的数值计算和非线性优化，但对投资决策过程模型化提供了清晰的理论框架及实用路径，适合具备一定数学背景和投资经验的专业读者深入理解和实际应用。

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