量子BSDE求解框架构建 [page::0][page::1][page::2]

• 使用后向随机微分方程（BSDE）将高维线性和非线性抛物型PDE问题转换为随机系统的求解。

- 采用纯变分量子电路（VQC）作为唯一可训练模块，无需传统神经网络，输入高维数据通过固定随机线性层映射到量子态空间。

• 训练目标为最小化终端损失的均方误差，基于蒙特卡洛方法对多个样本路径进行估计。

- VQC模型架构包括固定经典编码层、量子变分层和固定经典解码层，实现全量子训练流程。

Black–Scholes定价问题中VQC与DNN性能比较 [page::3][page::4]

• 研究100维空间中100个期权组成的投资组合，覆盖80至140不等的行权价。

- VQC与DNN在看涨期权定价上的平均误差接近，但VQC表现出更低误差方差，更稳定。

• 在看跌期权（尤其是虚值期权）中，VQC比DNN表现出显著更低的平均绝对误差和方差，更准确可靠。

- 实验验证了VQC在高维金融衍生品定价问题中具有更优的稳定性和准确度。

非线性Hamilton-Jacobi-Bellman方程求解比较 [page::4]

| Lambda (λ) | 1 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
|------------|---|----|----|----|----|----|----|
| VQC误差（%）| 低且稳定 | 低且稳定 | 低且稳定 | 低且稳定 | 轻微上升 | 轻微上升 | 轻微上升 |
| DNN误差（%）| 低 | 显著升高且波动大 | 高且不稳定 | 高且不稳定 | 高且不稳定 | 高且不稳定 | 高且不稳定 |

• VQC对非线性控制参数λ变化更稳健，能保持低误差和低方差。

- DNN在较强非线性区域误差增大且稳定性差。

• 结果表明VQC适合解决高维复杂非线性随机控制问题。

未来工作与展望 [page::5]

• 扩展量子BSDE求解器，涵盖高维相关资产、路径依赖期权和最优停止问题。

- 探索信用风险和XVA计算，推动量子算法在实际金融市场中的应用。

• 研究为提升量子算法的可扩展性和实际部署奠定基础。

深度解析报告：《On Quantum BSDE Solver for High-Dimensional Parabolic PDEs》

---

1. 元数据与报告概览

• 报告标题：On Quantum BSDE Solver for High-Dimensional Parabolic PDEs

- 作者与机构：Howard Su（帝国理工学院计算机科学系，英国伦敦），Huan-Hsin Tseng（美国布鲁克海文国家实验室AI & ML部门）

• 日期：未明确标注，推测为近两年内科研成果

- 主题：提出一种基于变分量子电路（VQC）的纯量子机器学习框架，用于求解高维抛物型偏微分方程（PDE），特别是通过向后随机微分方程（BSDE）重构的形式。

• 核心论点和创新点：

- 传统的量子-经典混合网络在BSDE问题中通常配合经典神经网络，本研究提出仅使用纯量子架构中的VQC，不依赖训练的经典神经网络。
- VQC BSDE求解器作为模型型强化学习来执行路径上的解算，利用时间离散和蒙特卡洛模拟。
- 在两类代表性PDE（线性Black–Scholes和非线性Hamilton–Jacobi–Bellman）问题上，对比经典深度神经网络（DNN）和VQC求解器，显示VQC在大多数场景下具有更低方差和更优准确度，尤其表现在线性程度低、复杂度高的区域。
- 量子回路模拟结果表明，VQC展现出在规模可扩展性和稳定性方面的潜力，适合高维随机控制问题的求解。

此报告的主要目标是概念验证VQC在高维BSDE求解领域的实用价值和可行性，推动量子算法在定量金融及控制理论领域的应用。[page::0]

---

2. 逐节深度解读

引言

• 论点总结：

- 高维抛物型PDE广泛存在于物理、金融、控制等领域，传统网格方法面临“维度灾难”，计算成本呈指数增长。深度学习方法（如PINNs、DGM、BSDE-based）已出现，旨在克服此限制。
- BSDE方法灵活且适用范围广（线性到非线性PDE皆可），且BSDE与随机控制问题紧密联系，能看作模型型强化学习的框架，PDE解与策略函数对应。

• 方法论由来：借鉴Pardoux与Peng的非线性Feynman-Kac公式，提供了通过BSDE求解高维非线性PDE的理论基础。E, Han和Jentzen等人的深度BSDE方法利用DNN逼近相关过程，产生了在高维度场景中的可扩展解法。

- 量子计算联系：
- 量子计算领域利用变分量子算法（如VQE、QAOA）实现近似求解，VQC因其结构与神经网络类似，本质是参数化量子线路，已在监督学习、强化学习等场景中表现优越，有望替代DNN成为BSDE求解器的核心组件。
- 本文旨在采用纯量子VQC架构，不依赖可训练的经典神经网络，利用量子计算优势解决高维BSDE问题。[page::0]

---

II. BSDE框架及问题描述

A. 问题形式化

• PDE概念表达：

\[
\frac{\partial u}{\partial t} + \mathcal{L}u + f = 0, \quad u(T,x) = g(x)
\]

其中，\(\mathcal{L}\)为含漂移和扩散的二阶微分算子，参数和函数满足一定正则条件确保解的存在和唯一。

• 关键假设：$b, \sigma, f, g$满足线性增长和Lipschitz条件，保证数学解的严谨性和求解稳定性。

B. 非线性Feynman-Kac公式的概率表示

• 将PDE通过前向SDE（状态演化）和后向BSDE（解的反向表达）结合，建立解的概率表达式：

\[
\begin{cases}
dXt = b(Xt) dt + \sigma(Xt) dWt, \quad X0 = \xi\\
dYt = -f(t,Xt,Yt,Zt) dt + Zt^\top dWt, \quad YT = g(XT)
\end{cases}
\]

• PDE解可表示为条件期望：

\[
u(t,x) = \mathbb{E}[Yt | Xt = x]
\]

空间梯度通过$Zt$关联，暗示$Zt$的估计关键。

• 使用Ito公式导出$Yt$和$Zt$的关系，说明BSDE与PDE解的绑定机制，[page::1]

C. 前向-后向随机系统

• 梳理耦合系统，强调其作为解算器架构基础。此系统为后文训练模型提供动力学模拟的场景。

D. 随机控制解读

• 该BSDE本质上等价于一个随机控制问题：

\[
\inf{(y,Z)} \mathbb{E}[|YT^{y,Z} - g(XT)|^2]
\]

• 解决控制问题等效于求PDE的解并估计$Zt$。

E. 数值离散

• 时间离散方案采用Euler-Maruyama方法模拟前向SDE，时间反向离散BSDE的$Yt$与$Zt$递推。
• 核心计算任务即为拟合映射$(tn, X{tn}) \mapsto Z{tn}$。
• 本文创新地使用VQC拟合$Z{tn}$映射，完全替代传统DNN。[page::2]

F. 训练目标

• 优化目标为最小化终端期望平方损失，利用蒙特卡洛估计期望：

\[
L(\theta) = \mathbb{E}[|YT^\theta - g(XT)|^2]
\]

• 其参数$\theta$即VQC的量子电路可调参。[page::2]

---

III. 量子机器学习及VQC框架

A. VQC一般框架

• VQC包含三个阶段：

a) 编码阶段：将输入数据通过数据相关单元（$V(x)$）映射到量子态向量空间。

b) 参数化演化：用参数化的层叠量子门（以Pauli矩阵为基础旋转）构建可训练单元$U(\theta)$。

c) 测量与输出：通过量子测量对若干Hermitian算符期望值进行读取，输出多维实值向量作为模型结果。

• 示例图Fig. 1生动展示整个量子线路的流程，包括Hadamard初始化层、旋转编码层、纠缠门以及测量。[page::2]

B. VQC求解器的具体实现

• 输入高维数据通过非训练的随机线性层映射到量子比特输入尺寸。
• 量子回路内所有可训练参数均位于VQC，可训练且学习控制变量映射。
• 输出通过另一固定线性层映射回原始维度用于BSDE反向更新。
• 训练时，通过经典优化器调整VQC参数，最小化终端损失。
• 该设计避免了经典神经网络结构参与训练，突出“纯”量子求解框架。

---

IV. 数值实例：线性与非线性PDE

A. Black–Scholes PDE（定量金融中的经典例子）

1) PDE描述：经典风险中性框架下的欧洲期权定价PDE，包含利率$r$、波动率$\sigma$和行权价$K$。

2) BSDE及模拟：资产价格服从几何布朗运动，采用对数变量提高数值稳定性，具体BSDE形式简化为：

\[
dYt = -r Yt dt + Zt^\top dWt, \quad YT = g(XT)
\]

3) 数值设置：共16个独立投资组合（100维），分为8个看涨、8个看跌期权，跨多行权价格，参数$r=0.1$，$\sigma=0.2$，终止时间$T=1$，时间步$N=10$，10000条路径样本。

4) 算法对比：

• DNN：4层隐藏层、每层64神经元、ReLU激活。
• VQC：4比特、2层VQC。

5) 结果分析：

• Fig. 2（看涨期权）中，VQC和DNN均表现相近的平均误差，但VQC误差方差明显更小，表明VQC模型更稳定。
• Fig. 3（看跌期权）中，VQC在平均误差和方差两个维度都明显优于DNN，尤其是在偏离行权价较远（非实值）区域，反映VQC更能应对复杂定价环境。
• 这一差异凸显VQC在处理高维金融产品定价时的潜在优势。[page::3,4]

B. Hamilton-Jacobi-Bellman方程（非线性随机控制问题）

1) PDE结构：

\[
\frac{\partial u}{\partial t} + \Delta u - \lambda \|\nabla u\|^2 = 0
\]

非线性项随$\lambda$增长强化，考察控制强度对求解器的影响。

2) BSDE描述：

\[
dYt = \lambda \|Zt\|^2 dt + Zt^\top dWt, \quad YT = g(XT)
\]

3) 解析解：

利用对数刻画，通过对布朗增量的指数函数期望计算，便于计算参考解。

4) 数值设置：

$d=100$，$T=1$，$N=10$，$10,000$路径样本，$\lambda$取值范围广（1到60），探究非线性程度。

5) 结果解读：

• Fig. 4展示相对误差随$\lambda$变化。VQC在所有$\lambda$水平均表现出更低误差和方差，且在高非线性区域优势明显。
• DNN误差随非线性增强快速恶化，训练波动大，表明DNN在高度复杂场景下不稳定。
• VQC表现出强鲁棒性和稳定性，适合复杂非线性随机控制问题求解。

这一结果支持VQC作为应对高非线性、高维PDE的有效工具。[page::4]

---

3. 图表深度解读

Fig.1 — VQC架构示意图

• 展示四比特量子线路，编码层通过$Ry$旋转将输入$xi$映射到量子态，随后包含纠缠控制门及参数化旋转层，最后进行测量获得期望值。可视化清晰，启示量子神经网络的结构设计，说明VQC如何编码、变换与解码输入信号。[page::2]

Fig.2—看涨期权相对误差对比

• VQC与DNN的相对误差随行权价变化波动趋势大体相似，但VQC误差范围明显收窄，尤其在非实值选项附近如$K=100, 130$左右，DNN误差峰值更高且波动剧烈。
• 说明VQC求解器数值稳定性更强，训练结果波动较小。[page::3]

Fig.3—看跌期权相对误差对比

• VQC的误差和方差明显低于DNN，尤其在远离行权价（70附近）区域，VQC误差控制得出色。
• DNN表现不稳定，误差波动大，反映非线性定价问题对模型的挑战。
• 图表佐证VQC模型在真实金融衍生品定价中的应用潜力。[page::3]

Fig.4 — HJB方程相对误差随非线性参数$\lambda$变化

• DNN表现随$\lambda$增大错误显著上扬且波动加剧，错误从1%升至约8%。
• VQC误差稳定控制于较低水平，约为1-2%且方差极小。
• 清晰展示非线性越强，VQC优势越明显，显示其对解决复杂最优控制问题的潜力。[page::4]

---

4. 估值分析（方法论分析）

虽然报告主要集中算法设计及数值表现，未对传统金融资产估值方法体系展开，但报告提出的框架可辅助高维复杂金融衍生品定价，属于数值求解范畴。

• 强化学习视角：通过优化终端期望平方误差实现对$Yt,Zt$近似，等价于求解定价公式和控制参数，隐含对衍生品“价值函数”和“对冲策略”的估计。
• VQC作为函数逼近器：替代传统神经网络，通过量子态空间的丰富表达能力和量子纠缠，可有效拟合高维随机过程的策略空间。

因此，报告贡献在于为高维、非线性金融工具提供更稳定、高精度的估值数值方法。

---

5. 风险因素评估

报告未单独章节讨论模型风险，但从内容可推断：

• 训练与优化风险：VQC虽然表现稳定，但量子电路训练受梯度消失、噪声、参数初始化影响；固定经典层减少过拟合风险，但可能限制模型表达能力。
• 模型适用性风险：BSDE理论基础强，但假设较为理想，复杂金融市场的非理想行为可能偏离模型假设。
• 计算资源风险：现阶段采用模拟器方式，真实量子硬件存在噪声限制和规模瓶颈，阻碍广泛应用。
• 算法泛化风险：两案例虽具代表性，但更多复杂结构的高维PDE是否同样适用尚需进一步验证。

---

6. 批判性视角与细微差别

• 纯VQC架构创新性大，但实际量子硬件支持有限。文章基于量子模拟器，尚未完全展现硬件噪声、误差校正等挑战。
• 固定随机经典层的设计简单有效，但是否限制学习能力未详细讨论。可能存在提升空间。
• DNN配置较简单（10轮训练）对比VQC表现尚算公平，但未来更多训练和优化或使DNN更具竞争力。
• 表格与图表中未给出训练时间、计算资源消耗，无法直观评判量子方法的实际效率与可扩展性。
• 报告说明了VQC在非线性更强区域优势明显，背后机理（如量子纠缠提供的表达能力）可进一步详细剖析，以便更清晰理解优越原因。

总体上，研究充分呈现了量子方法的潜力，但仍需延伸实证研究与硬件实验提升可信度。

---

7. 结论性综合

本报告全面阐述了一种基于纯变分量子电路的BSDE求解器，针对高维抛物型偏微分方程，展示了其相较传统DNN的性能优势。具体如下：

• 理论基础建立在BSDE与PDE的非线性Feynman-Kac概率框架，连接随机控制理论，实现随时间的前向-后向随机模拟。
• 量子方法创新采用纯VQC架构，全模型训练过程仅在量子电路参数上进行，避免了经典网络的复杂训练，提高了模型稳定性。
• 数值验证针对Black–Scholes和HJB方程两个高维实例，设计多样投资组合和非线性强度检测场景。统计误差显示：

- 在Black–Scholes问题中，VQC在看涨期权稳定性更胜一筹，在看跌期权准确率与稳定性全面优于DNN。

- 在HJB非线性方程中，VQC随非线性参数提升依旧保持较低误差和方差，而DNN表现波动加剧、误差上升明显。

• 图表分析直观呈现VQC的误差幅度小、训练波动低优势，支撑纯量子求解策略的有效性。
• 整体评价VQC BSDE求解器具有显著的稳定性和鲁棒性，适合复杂高维随机问题的数值求解，展现了量子机器学习在定量金融和控制领域的未来应用潜力。
• 未来展望明确提出向更复杂衍生品定价、路径依赖特征、相关资产及信用风险领域延伸，推动量子算法实用化。

结论显示，VQC不仅技术上可行，且在精度和稳健性方面对传统神经网络具有潜在超越价值，为量子科学与金融数学交叉融合开辟新路径。[page::5]

---

总体备注

本报告以严谨的数学推导结合创新的量子算法设计，并通过充分的数值实验验证，展现了一条未来可能彻底改变高维复杂PDE求解策略的道路。对金融衍生品定价和随机控制领域的研究者均具启发意义，也对量子计算机在科学计算中应用的发展具有参考价值。

报告