气泡动力学模型构建及求解方法 [page::1][page::2]

• 基于修正Keller-Miksis方程建立气泡径向动态方程，考虑双频超声叠加压力。

- 保持总声功率不变，引入功率分配比$\beta$调节两频功率比例。

• 采用Matlab中四阶Runge-Kutta数值方法（ode45）求解，将二阶非线性微分方程转为两个一阶方程。

双频耦合参数对声空化的影响研究 [page::3][page::4][page::5][page::6]

• 功率分配比$\beta$影响显著，当$\beta=1$（平均分配）时，最大膨胀比达到峰值（如25+20 kHz组合最大为12.96），空化效应最强。

- 频差较小（如5 kHz）组合产生更强空化效应，频差越大，最大膨胀比明显下降。

• 相位差在不同频率组合下呈周期性影响，如25+20 kHz组合$\varphi=0$时最大空化，$\varphi=\pi$时最弱；40+20 kHz组中$\varphi=\pi/4$最优，$\pi/2$到$5\pi/4$区间应避免。

- 高频成分比例增加或频差增大常导致空化效应减弱。



| 频率组合 (kHz) | 最佳功率分配比β | 最大膨胀比$R{max}/R0$ |
|----------------|-----------------|-------------------------|
| 25 + 20 | 1 | 12.96 |
| 40 + 20 | 1/4 | 12.80 |
| 80 + 20 | 1/9 | 11.85 |
| 100 + 20 | 0 (单频20kHz) | 7.16 |
| 200 + 20 | 0 (单频20kHz) | 7.16 |
| 300 + 20 | 0 (单频20kHz) | 7.16 |

增强与衰减效应分析 [page::7][page::8]

• 低频成分组合（如40+20 kHz）下，双频超声气泡膨胀振幅及最大膨胀比分别高于任一单频，显示显著增强效应。

- 高频与低频组合（如200+20 kHz）下，双频模式表现为空化衰减，膨胀比低于低频单频，且高频比例越大衰减越明显。

• 衰减原因可能为大频差导致相位抵消，及高频缩短气泡振荡时间，限制气泡生长。

量化结论与参数建议 [page::6][page::9]

• 小频差、均分功率分配、适当的相位差（如40+20 kHz的$\varphi=\pi/4$）最利于激发强空化效果。

- 大频差、高功率比例分配于高频成分易产生衰减，应避免。

• 研究成果为多频超声装置参数优化提供理论依据，助力超声处理效率提升。

极其详尽和全面的分析报告：数值研究双频耦合参数对声学空化影响及增强与衰减效应分析

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1. 元数据与概览

标题： Numerical investigation on the influence of dual-frequency coupling parameters on acoustic cavitation and its analysis of the enhancement and attenuation effect
作者： Jianqing Liao, Jiaqi Tan, Ling Peng, Hongkun Xue
机构： 江西宜春大学物理科学与工程学院、河北大学中医学院、宜春大学化学与生物工程学院
发布日期： 未明确标注，论文内容及引用显示相对近期（2022年及以前相关文献）
主题： 探讨双频超声中的耦合参数（频率差、相位差、功率分配比）对声学空化的数值影响及其增强和衰减效应

报告核心论点及目的：

本研究基于修正的Keller-Miksis方程建立双频泡沫动力学模型，旨在系统、数值地分析双频超声中频率差（5~280kHz）、相位差（0~7π/4弧度）及功率分配比（0~9）等耦合参数对声学空化泡沫最大膨胀比（最大径向振幅与初始半径比）这一指标的影响。报告不仅比较双频超声和单频激励下的空化强度，还详细剖析不同参数组合下的空化增强与衰减效应。主要发现包括：

• 较小的频率差和相位差配合均匀的功率分配比（β=1）时空化强度最强；

- 功率分配比由1增至9时，空化强度呈衰减趋势；

• 低频-低频组合易增强空化，且强度随功率均分最大；

- 高频-低频组合则容易导致空化衰减，且衰减程度与高频成分比例增大相关。

[page::0,1]

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2. 逐节深度解读

2.1 引言（Introduction）

报告首先回顾了声学空化的物理化学基础及其在超声声化学、医学治疗、工程及环境净化等广泛应用领域的重要性。空化的强度主要取决于气泡塌陷的力度，而气泡动力学的理解是揭示空化机理的关键。

过往研究多聚焦于单频超声下气泡动力学，双频或多频激励带来的复杂耦合参数（频率差、相位差、功率分配比）使气泡动态变得更复杂，包括物质交换、空间分布非均匀及寿命差异等现象，挑战着空化效应机制的深入认知。前人虽有相关数值及实验工作聚焦于双频激励，但多局限于阈值水平，缺乏对耦合参数内部机理的系统全面剖析，尤其对空化效应的增强及衰减细节差异研究不足[page::0,1]。

2.2 泡沫动力学模型（Bubble dynamics model）

基于声学空化气泡动力学经典Keller-Miksis方程，报告建立单气泡动力学模型，假设气泡保持球形且仅径向运动，忽略重力浮力及气泡内化学反应，气体近似理想气体。该模型方程具备描述单频和双频声激励的外部压力项：

• 单频超声声压表达为$si{n}(2\pi f1 t + \varphi1)$

- 双频超声声压叠加两正弦分量$p1 sin(2\pi f1 t + \varphi1) + p2 sin(2\pi f2 t + \varphi2)$

功率分配比定义为$\beta = p1 / p2$，相位差为$\varphi = \varphi1 - \varphi2$。模型采用四阶Runge-Kutta数值法（Matlab ode45函数）求解非线性二阶微分方程。

泡沫空化强度评估指标选用最大膨胀比$R{max}/R0$，即气泡最大扩张半径与初始半径比值，作为泡沫塌陷强度及空化强度的定量指标。所有液体物性参数（密度、表面张力、粘度、蒸气压等）均在20°C下保持不变以保证模型稳定性。初始气泡半径固定为10微米[page::1,2]。

2.3 结果与讨论（Results and discussion）

2.3.1 气泡在双频激励下动力学演化

通过20kHz & 40kHz激励、0相位差、总声压150kPa、功率均分条件下计算，冲击声压与气泡尺寸随时间变化曲线呈现典型的气泡膨胀-迅速塌陷-反弹振荡的周期性过程。负压阶段对应气泡膨胀，能量吸收，正压阶段气泡急速收缩，迅速释放膨胀期间吸收的能量，最后尺寸回归初始值进入下一个周期。对气泡动力学起伏细节的描述清晰呈现了双频声场下气泡动态复杂性及能量转化过程[page::2,3]。

2.3.2 功率分配比对空化的影响

在固定总声压150kPa、气泡半径10μm、相位差0的条件下，研究多组双频组合（25+20kHz、40+20kHz、80+20kHz、100+20kHz、200+20kHz、300+20kHz）时，功率分配比$\beta$从0（单频20kHz）至9变化，分析最大膨胀比的变化趋势。

• 对低频-低频组合（25+20、40+20、80+20kHz），最大膨胀比随着功率从单频向双频均分($\beta=1$)逐步增加，达到峰值后再次下降，峰值对应均分功率（$\beta=1$），最大膨胀比最高可达12.96。

- 双频功率对称分配时，双频超声产生的空化强度显著优于任何单频模式，且较小的频率差有更强的空化效果。

• 高频-低频组合（100+20、200+20、300+20kHz）中，随着功率比例向高频倾斜（$\beta$增大），最大膨胀比逐渐减小，低于单频20kHz空化强度，显示衰减效应。

分析指出，低频-低频双频叠加产生较长的负压持续时段，促进cavitation bubble的生长和稳定塌缩，提升空化效应；而高频成分过多时，气泡生长周期缩短，塌缩受抑制，空化减弱[page::3,4]。

2.3.3 相位差对空化的影响

在总声压150kPa、气泡初始半径10μm及均分功率条件下，改变双频组合（25+20kHz至300+20kHz）相位差$\varphi$（0到7π/4）研究最大膨胀比变化。

• 对小频差组合（如25+20kHz），最大膨胀比随相位差增加大幅下降，0相位时最大（12.96），$\pi$处最低（1.89），说明相位差为0最利于空化强度；相位接近$7\pi/4$时，空化强度回升。

- 对40+20kHz组合，最大膨胀比随相位差呈非单调变化，峰值出现在$\pi/4$，$\pi/2$以上到$5\pi/4$范围内为低谷；建议保持相位差$\pi/4$避免$\pi/2$到$5\pi/4$区间以优化空化。

• 高频-低频组合显示相位差变化也显著影响空化强度，最大膨胀比峰值多位于$\varphi=0$附近，最低值位于$\pi/4$到$3\pi/4$区间。整体峰值也低于低频-低频组合，反映其空化效果较弱。

上述发现反映相位差通过影响声学压力场与散射场的叠加，调控气泡的动力响应及坍塌效率[page::5,6]。

2.3.4 频率差对空化的影响

固定其他耦合参数，通过改变频率差（5kHz至280kHz）分析最大膨胀比变化。

• 当功率分配比在1/2至9范围，频率差最小时（5kHz）最大膨胀比最大，随频率差增加，最大膨胀比显著下降并趋于稳定。

- 功率比为1时，相位差影响明显，$\varphi=0$时最大膨胀比最高，$\pi$处最低，说明相位差与频率差耦合作用。

• 部分相位差区间内，最大膨胀比非单调变化，存在频率差为20kHz时峰值现象，这与声波频率差对声振幅及气泡蒸发扩散时间的复杂影响相关。

说明选择较小频率差更有利于增强空化效果，且需结合相位配合[page::6,7]。

2.3.5 空化增强效果分析（低频-低频组合）

以40+20kHz组合对比20kHz，40kHz单频，动态曲线显示40+20kHz组合使气泡膨胀振幅明显增强，最大膨胀比比任何单频均高，验证了双频近频率叠加产生空化增强的机制。由相位叠加导致超声压力峰值放大，是核心成因[page::7]。

2.3.6 空化衰减效应分析（高频-低频组合）

以200+20kHz组合对比20kHz和200kHz单频，动态显示200kHz单频振幅最低且200+20kHz组合振幅也较小，最大膨胀比低于20kHz，表明大频差双频组合及高功率高频组分抑制空化，导致空化衰减。此衰减因双频声压叠加过程中的相位抵消及高频缩短气泡振荡周期使得气泡难以充分膨胀有关[page::8]。



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3. 图表深度解读

图1（第3页）

展示双频激励下声学压力（绿色虚线）与标准化气泡半径（红色实线）随时间的动态演化，期内气泡经历了扩张（黄色阴影区，负压期）和塌缩（绿色阴影区，正压期）阶段，周期性能量吸收与释放过程体现典型空化动力学特征。该图验证了模型数值的合理性及气泡在双频信号合成声场中的复杂响应[page::3]。

图2（第4页）

六组频率组合下，最大膨胀比随功率分配比变化的柱状图。整体规律显示：

• 低频-低频组合（a-c图）显示最大膨胀比在功率均分时（$\beta=1$）绝大多数情况下达到最高，

- 高频-低频组合（d-f图）内，最大膨胀比随功率分配比增大（向高频倾斜）递减，甚至低于单频20kHz情形。

重点看出双频近频率组合时功率均衡布局最为理想[page::4]。

图3（第5页）

六组频率组合对应不同相位差$\varphi$时最大膨胀比柱状图。规律非完全单调，具有周期性：

• 25+20kHz组合最大值出现在$\varphi=0$，

- 40+20kHz组合峰值在$\varphi=\pi/4$，

• 高频-低频组合最大值均偏向$\varphi=0$附近。

相位差调控对双频空化效应成败有关键作用[page::5]。

图4（第7页）

最大膨胀比随频率差变化的折线图，细分功率分配比（a图）和相位差（b图）两大影响因子范围：

• 频率差越小（靠近5kHz），最大膨胀比普遍最高，随着频率差增加趋势显著下降，

- 相位差合适时（如$\varphi=0$），能获得更高膨胀比，

• 特定相位差段阵出现峰值异常，反映物理机制的非线性及频率差对空化的复杂影响[page::7]。

图5（第7页）与图6（第8页）

以实例示意双频近频率组合对应的空化增强（图5，40+20kHz与单频对比）及大频差组合对应的空化衰减（图6，200+20kHz与单频对比）。两幅图直观呈现双频空化动力学中增强与衰减两个极端现象，验证模型预测与实验一致性[page::7,8]。

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4. 估值分析

本报告不涉及传统意义上的公司估值，但等效的“空化强度估值”采用物理物理量最大膨胀比作为客观指标，通过数值求解动力学方程，基于不同参数（功率比、频率差、相位差）进行敏感度分析。模型输入：

• 固定物性参数（密度、粘度、表面张力等）；

- 频率组合$f1, f2$；

• 声压功率分配$p1, p2$；

- 相位差$\varphi$。

输出为最大膨胀比$R{max}/R_0$，该指标直接反映气泡塌陷强度与空化强度。

敏感性分析突出：

• 频率差越小，最大膨胀比越高；

- 功率分配均衡时，空化最强；

• 相位差存在最优窗口，调整可显著影响空化效果。

该方法为优化双频声场参数配置提供科学依据[page::1-8]。

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5. 风险因素评估

虽然报告不特指“风险因素”，但根据内容分析，存在的主要限制与潜在风险包括：

• 模型简化假设风险： 假定泡沫保持球形，气体为理想气体，忽略气泡间相互作用、液体中的化学反应以及重力浮力，可能导致真实情况误差；

- 参数适用范围限制： 工作温度固定为20°C，初始气泡半径固定10μm，模型对不同条件的推广性未明确验证；

• 数值求解及稳定性风险： Runge-Kutta方法虽有效，但面对极端非线性，可能产生数值误差或不稳定；

- 实验验证不足风险： 报告多为数值模拟，实验支持多依托前人文献，缺乏最新实验数据对模型的充分校验；

• 复杂多频场的空间非均匀性及气泡群体效应未涵盖，导致实际应用时参数优化存在不确定性。

尽管如此，报告在参数敏感性和依赖机制方面提供了细致分析，有利于识别并规避参数配置中的失误风险[page::0-8]。

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6. 批判性视角与细微差别

优势：

• 模型建立严谨，基于经典Keller-Miksis方程，结合双频数值模拟，工具使用Matlab标准数字方法；

- 系统覆盖三大关键耦合参数，参数空间探索范围广泛，结合图表清晰显示规律性；

• 结合多个频率组合，分别对低频-低频和高频-低频做了区分和具体分析，提供实践指导价值；

- 深入探讨增强与衰减两种效应，为双频技术设计提供策略。

局限与不足：

• 模型简化未考虑多泡、多相互作用及化学/气液传质等更复杂现实因素，可能影响结论的泛化；

- 缺少直接的实验验证数据支持，尤其是参数之间复杂耦合效应的真实体现；

• 部分参数选取（如初始气泡半径）基于文献经验，缺少敏感性分析，易忽略实际工业/医学应用中气泡尺寸分布差异对结果的影响；

- 文内各频率组合、功率分配比和相位差的影响虽详细，但没有给出其动态的物理机理本质解析，更多为数值趋势描述。

综上，报告较为完整，但未来结合多泡模型和实验数据验证将提升结论稳健性和适用广度[page::0-8]。

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7. 结论性综合

本研究成功建立了基于Keller-Miksis方程的双频超声气泡动力学模型，深入数值探讨了主要双频耦合参数对声学空化强度——具体用最大膨胀比衡量——的影响。主要综合结论如下：

• 频率差：

最大膨胀比随频率差降低而显著提升，双频的空化强度明显优于单频模式，5kHz频率差处表现最佳，提示设计双频超声系统应尽量选取较小频率差。

• 功率分配比（β）：

低频-低频组合中，功率均分（β=1）时空化效应最强，偏离均分则衰减显著；高频-低频组合中，随着β增大（高频成分增强），空化强度递减且低于单频20kHz情况。

• 相位差（φ）：

相位差对空化有周期影响规律，不同频率组合对应最优相位点不同，如25+20kHz时相位差为0最佳，40+20kHz时约$\pi/4$最优。避免相位差处于3π/4至5π/4可避免空化性能下滑。

• 增强与衰减共存机制：

小频差、均功率、高度相位匹配有利于泡沫振幅叠加，促进气泡稳定大幅膨胀与剧烈塌缩，强化空化；大频差、高频比和非理想相位差叠加导致压力抵消，缩短气泡扩展时间，空化效果衰减。

报告通过大量图表深刻展现了上述规律，为双频超声参数的优化设定提供了理论指导。实验数据（来自文献）亦一定程度证实数值结果的可靠性。

总的而言，研究明确指出：最优的双频空化参数是小频率差、均等功率分配及适当相位差的组合，这一结论对于提高超声空化效率在相关领域中的应用（如声化学反应增强、医学治疗等）具有重要意义[page::0-8]。

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参考图表摘要

| 图表 | 内容描述 | 解读 |
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| 图1 | 双频激励下声压与气泡半径随时间变化 | 验证气泡的扩张—塌缩—震荡周期过程，正负压阶段与气泡动力学相关联，形象展示空化机制 |
| 图2 | 最大膨胀比对功率分配比的响应，6个频率组合 | 验证功率均分时最大膨胀比峰值（空化最强）；高频-低频组合的空化衰减现象 |
| 图3 | 最大膨胀比对相位差的响应，6个频率组合 | 揭示相位差调节空化强弱的周期性变化，不同频率组合优化相位位置不同 |
| 图4 | 最大膨胀比对频率差的变化，分功率比和相位差两种情形 | 确认频率差越小，空化越强；相位差配合能进一步优化空化效果 |
| 图5 | 40+20kHz双频vs单频下气泡动态及最大膨胀比对比 | 直观展示双频空化增强的气泡振幅扩大效应 |
| 图6 | 200+20kHz双频vs单频对比，体现空化衰减 | 说明大频差、高频成分强导致空化弱化的实质 |

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总结

本报告通过理论修正模型及全面数值模拟，深入系统地揭示了双频超声空化过程中频率差、相位差、功率分配比三参数的内在耦合规律及其对空化强度的显著影响。研究发现，双频信号的适当调节能明显增强气泡最大膨胀，提高空化效率，但不合理的参数组合可能导致反效果。此研究为工程设计与医学应用中双频超声技术选择最佳耦合参数提供了坚实数值支撑和理论基础。

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如果需要进一步针对文中细节进行深入解读或针对具体图表数据进行逐点剖析，也可继续展开说明。

报告