Empirical Mode Decomposition and Graph Transformation of the MSCI World Index: A Multiscale Topological Analysis for Graph Neural Network Modeling

数据概况与预检（MSCI World，2012-01-12 至 2025-11-26） [page::2]

• 样本：3490 个交易日，区间最小价 \$38.04、最大价 \$186.64，累计涨幅约 376.27%[page::2]。

- 日均收益 0.0506%，日收益标准差 1.0780%，30 日移动波动率均值约 0.9417%，2020 年等时点出现明显波动峰值[page::2]。

EEMD/CEEMDAN 方法与关键参数 [page::3]

| 参数 | 值 |
|------|----|
| 最大 IMF 数量 | 14 |
| 标准差阈值 (SDthresh) | 0.25 |
| 最小筛选迭代 (Snumber) | 8 |
| 固定迭代 (FIXE_H) | 5 |
| Ensemble 次数 | 100 |
| 噪声幅度 | 0.05（信号 std 的 5%） |

• 报告选用 EEMD（并在文献中讨论 CEEMDAN 的改进），参数如上并用于对 MSCI World 进行稳定分解[page::3]。

IMF 提取与主要指标 [page::7]

| IMF | Energy | Variance | Frequency (cycles) | Amplitude Average |
|-----|--------:|---------:|-------------------:|------------------:|
| IMF1 | 1.75 × 10^3 | 0.5024 | 1421.0 | 0.8659 |
| IMF2 | 8.39 × 10^2 | 0.2405 | 552.0 | 0.5878 |
| IMF3 | 8.74 × 10^2 | 0.2505 | 284.0 | 0.5718 |
| IMF4 | 1.55 × 10^3 | 0.4430 | 98.0 | 0.7310 |
| IMF5 | 3.27 × 10^3 | 0.9359 | 66.0 | 1.0165 |
| IMF6 | 5.78 × 10^3 | 1.6523 | 27.0 | 1.3779 |
| IMF7 | 1.31 × 10^4 | 3.7452 | 11.0 | 2.0538 |
| IMF8 | 1.31 × 10^5 | 37.4858| 4.0 | 6.5590 |
| IMF9 | 3.71 × 10^6 |153.9538| 1.0 |91.9395 |
| IMF10| 2.97 × 10^7 |1058.6908|1.0 |91.9395 |

• 观测：低阶 IMF（1–4）为高频、低幅度；高阶 IMF（9–10）承载主要能量与方差，其中 IMF10 占约 88.47% 总能量[page::7]。

- 用 IMFs 单独重建信号会产生 RMSE=30.49、MAE=28.50，负残差作为修正项确保总和精确还原原信号[page::8]。

时序—图谱转换与嵌入参数 [page::9][page::10]

• 采用三类转换：NVG（自然能见度）、HVG（水平方向能见度）、复现图（recurrence network），并为每个 IMF 单独选取嵌入参数 τ、d 与阈值 ε（见下表）[page::9][page::10]。

- 示例（部分）：IMF1 τ=2 d=4 ε=0.3620；IMF10 τ=25 d=2 ε=0.1576[page::10]。

图结构总体差异（结构性指标汇总） [page::10][page::11]

| Property | HVG (range) | Recurrence (range) | NVG (range) |
|----------|-------------:|-------------------:|------------:|
| Density | 0.00057–0.00114 | 0.00264–0.00293 | 0.00161–0.70455 |
| Links (count) | 3,489–6,968 | 16,033–17,753 | 9,828–4,289,492 |
| Connected components | 1 (always) | 1–1,024 | 1 (always) |
| Avg degree | 1.99–3.99 | 9.20–9.78 | 5.63–2,458.16 |

• 要点：HVG 非常稀疏但始终连通；复现图密度中等但常有断片化组件；NVG 在 IMF 序列上密度变化最大（低频时可高得难以直接建模）[page::10][page::11]。

局部结构与中心性（聚类系数/中介性等）[page::11][page::12]

• 聚类系数：NVG 普遍最高（平均 0.53–0.83），复现图对低频 IMF 聚类更高（Residue, IMF10），HVG 在低频 IMF 聚类接近 0[page::11][page::12]。

- 中心性：NVG 节点 closeness 与 eigenvector 较高（信息传播分散且高效）；HVG 在低频时 betweenness 极端增大，信息流依赖少量桥接节点[page::12][page::13]。

对 GNN 设计的直接启示 [page::14]

• 不同 IMF/转换方法需差异化建模：HVG 适合轻量图卷积但需处理长径路；复现图需处理多组件（component-wise pooling / 融合）；NVG 在低频时需采样/压缩或图剪枝以减小计算成本[page::14]。

- 推荐方向：多视图混合 GNN（同时输入 NVG/HVG/recurrence）、可变注意力权重随时间与预测 horizon 自适应分配、超图/多层次表征以捕捉 IMF 之间高阶关联[page::16]。

下面按要求对论文 “Empirical Mode Decomposition and Graph Transformation of the MSCI World Index: A Multiscale Topological Analysis for Graph Neural Network Modeling” 做一次极其详尽且结构化的解构性分析。所有源自报告的结论或推断在句末都标注了页码溯源 [page::n]。文中所引用的图像也按要求以相对路径 Markdown 形式嵌入，并在解读处逐一说明其含义与限制。

一、元数据与概览（引言与报告概览）

• 报告题目、作者与机构：题目为 “Empirical Mode Decomposition and Graph Transformation of the MSCI World Index: A Multiscale Topological Analysis for Graph Neural Network Modeling”，作者包括 Agustín M. de los Riscos、Julio E. Sandubete（通讯作者）、Diego Carmona-Fernández 与 León Beleña；隶属 Universidad Francisco de Vitoria 与 Universidad de Extremadura 等机构并给出通讯邮箱。该信息来自报告封面与摘要部分。[page::0]

- 主题与核心目标：研究核心是把 MSCI World 指数的日收盘价通过经验模态分解（EMD，包括其变体如 EEMD/CEEMDAN）得到若干本征模态函数（IMFs），再将每个 IMF 转换为图（NVG、HVG、recurrence），以供图神经网络（GNN）建模使用，旨在揭示不同尺度成分的拓扑结构并为 GNN 设计提供指导。[page::0]

• 摘要中作者给出的主张与结论要点：作者声称（1）通过 CEEMDAN（文中后段也使用 EEMD 参数）提取出 9–10 个 IMF，覆盖高频到长期趋势；（2）不同 IMF 所对应的图在拓扑上呈尺度相关性（高频IMF→致密、小世界式；低频IMF→稀疏、长路径）；（3）NVG 对幅度变化更敏感，产生更高聚类；复现图（recurrence）更好保留时间依赖性；这些结论用于指导 GNN 架构设计。[page::0, page::14]

二、逐节深度解读（按报告结构）
1) 引言（Section 1）

• 核心观点：金融时间序列非线性且非平稳，传统基于预定义基函数（Fourier/wavelet）方法不足，EMD 是自适应、基于局部极值/包络的分解方法，更适合金融序列。作者把 MSCI World 当作合适案例，因为其呈现趋势、波动簇集和幅频变化的特征。[page::0]

- 证据与推理：文中阐述 EMD 能隔离具有时变幅度与频率的振荡分量，适合捕捉长期趋势与短期波动，这是其选用 EM D 的逻辑基础。[page::0]

2) 数据描述（Section 2.1）

• 数据范围与基本统计：样本为 MSCI World 日收盘价，时间区间 2012-01-12 到 2025-11-26，共 3490 条观测；最低价约 $38.04（2012-06-05），最高 $186.64（2025-10-28），累计回报 376.27%；日收益均值 0.0506%，日收益标准差 1.0780%；30 日移动波动率均值 0.9417%，最大值 5.1228%。这些统计表明样本覆盖多个市场状态并呈高变动性，适合 EMD 分解。[page::2]

- 图像说明：报告提供 Figure 1 三小图（收盘价及 MA50/MA200、日收益、30 日波动），见下图并在后文逐一解读：
[page::2]

3) EMD 理论与变体（Section 2.2–2.3）

• EMD 核心算法：基于“筛分”——识别局部极值、用三次样条构造上下包络、计算均值并迭代去除直至满足 IMF 条件（极值与零交叉数差≤1，包络均值为 0），以 SD 阈值或固定迭代次数做停止判断。[page::2]

- 模式混叠问题与改进：标准 EMD 易产生 mode mixing（不同时尺度振荡混入同一 IMF），为此引入 EEMD（加白噪声多次平均）和 CEEMDAN（在每一层自适应加入噪声以减少残差与所需 ensemble 次数）。报告在不同段落交替提到 CEEMDAN 与 EEMD；随后实际实现使用了 EEMD 参数（见 Table 1），这里存在术语与实现细节的轻微不一致（后文将详述）。[page::2, page::3]

4) EEMD 参数（Table 1）与预设

• Table 1 显示用于 EEMD 的参数：最大 IMF 数 14、SDthresh 0.25、最小 sifting 迭代 8、固定迭代 5、ensemble trials 100、噪声宽度 0.05（即 5% 信号标准差）。这些参数决定 EEMD 的稳定性与分解分辨率，ensemble=100 与噪声幅度 5% 在文献中常见，但参数敏感且需针对序列调优。[page::3]

5) EMD 应用前提（Section 2.3）

• 需要满足的条件：非平稳性（ADF/KPSS 检验）、非线性（BDS、方差自相关、Ljung-Box on squared returns）以及幅频变化（用 252 天波动及零交叉频率分析）。作者说明这些检测将在 Section 3.1 展示。[page::4]

6) 时间序列到图转换方法（Section 2.4）

• 三种转换：自然可见性图 NVG、水平可见性图 HVG（更严格的几何条件）以及基于相空间嵌入的 recurrence graphs（需先确定延迟 τ 与嵌入维度 d，再以阈值 ε 建图，通常 ε 取 pairwise 距离分布的某一百分位）。每种方法侧重不同结构信息：NVG 保留幅度与层次性，HVG 更几何且稀疏，recurrence 捕捉相空间几何与周期/重复性。[page::3, page::4, page::5]

三、图表与图片逐一深度解读（关键图表/图片必须逐个解读）
1) Figure 1（页面 2）——原始数据可视化（见上图）

• 描述：3 子图分别显示 MSCI World 收盘价及 50/200 日均线（长期与短期趋势）、日收益（百分比）与 30 天移动波动率。[page::2]

- 解读趋势与事件：收盘价自 2012–2025 呈长期上升但包含明显回撤（如 2020 年疫情冲击），日收益在 2020 年出现极端负值并随后波动放大，30 日波动率在 2020 峰值显著；这些显示数据包含非平稳趋势与波动簇集，支持 EMD 使用前提。[page::2]

• 与文本的联系：图像直观支持第 2.1 节统计特征（均值、极值与波动），说明样本跨越多个市场状态。[page::2]

- 限制：图为可视化概览，不含置信区间或事件标注；若要进一步量化 regime change，需额外分段检验与事件对齐。[page::2]

2) Table 1（页 3）——EEMD 参数

• 描述：如上所述，关键参数列出（最大 IMF 14、ensemble 100、noise width 0.05 等）。[page::3]

- 含义：ensemble 次数与噪声幅度决定 EEMD 的去噪与稳定性；较高的 ensemble 可改善噪声平均效果但增加计算成本。[page::3]

3) Figure 2（页面 8）——IMF 重构与重构误差

• 嵌入图像：

[page::8]

• 描述：上图 (a) 为原始信号与仅由 10 个 IMF 相加的重构（不含 residue）；下图 (b) 为绝对重构误差随时间的曲线。[page::8]

- 数据点与解读：仅 IMF 重构产生 RMSE 30.49、MAE 28.50（作者列出），残差（residue）均值 -28.50、SD 27.75，范围 47.01–132.48，证明残差为单调项且对恢复长期趋势至关重要。[page::7, page::8]

• 算法含义：作者解释 IMF 总和略高于原信号且 residue 为负以矫正这是 EEMD 的固有特性（多次 ensembles 的平均可能引入微偏差）。这一点在后续模型输入设计（是否包含 residue）与目标变量选择上具有直接影响（例如若把 IMF 与 residue 分开建图或不同子模型处理）。[page::8]

4) Figure 3（页面 9）——IMF1 的 HVG 图与时间色标图

• 嵌入图像：

[page::9]

• 描述：上半为 IMF1（高频成分）的 HVG 网络可视化，下半为 IMF1 的时间序列点色标（色条显示 IMF 值）。[page::9]

- 解读：可视化呈现 HVG 的典型稀疏与局部簇集结构，节点颜色显示局部峰值和谷值对应的连接差异；高频分量在图上表现为多条短“分支”和局部密集区域，说明 HVG 捕捉到了局部几何可见性关系。[page::9]

• 与文本联系：该示例支持文中关于高频 IMF 产生局部连接的论断，并为后续对比不同 IMF 的网络统计量（密度、平均度、聚类系数等）提供直观样本。[page::9]

5) Table 2（页 7）——IMF 的能量、方差、频率与平均幅值

• 描述与关键数据：IMF1–IMF10（及 IMFg 命名处有印刷疑问）列出了能量（从 1.75×10^3 到 2.97×10^7）、方差（0.5024 到 1058.6908）、频率（从 1421 到 1）与平均幅度（从 0.5718 到 91.9395）。作者指出 IMF10 含能量 2.97×10^7，占总能量的 88.47%，为长期趋势主成分。[page::7]

- 解读：数字清楚展示“低阶 IMF（编号大）→能量/方差升高→频率降低→幅值增大”的规律性，这一规律解释为何低频 IMF 会在 NVG 中生成高度连通/高密度结构（幅度大、平滑趋势更多点互见性高）。[page::7]

• 注意点：表中 IMFg 与 IMF10 都写出频率 1 与相同幅值 91.9395，可能为排版或命名重复错误（IMFg 一行显示为 3.71 x 10^6 能量与 153.9538 方差，而 IMF10 更高）；需作者确认与原始数据导出一致性。[page::7]

四、EMD 分解及验证（Section 3.2）

• IMF 数量与残差：EEMD 产生 10 个 IMF + 单调 residue；残差单调性与统计量（均值 -28.50、SD 27.75）证明终止条件已满足。[page::7, page::8]

- 重构验证：仅 IMF 求和重构的 RMSE 30.49 与 MAE 28.50 显示残差不可忽视，因此在任何以 IMF 为输入的预测或生成模型中应考虑是否额外建模 residue 或将 residue 作为单独输入特征。[page::7, page::8]

• 对 IMF 属性的解释：低阶（编号小）IMF 反映高频噪声（频次高、幅度小），高阶 IMF 反映趋势（频次低、幅度大、占能量多）。这是做图变换时拓扑差异的能量与频谱基础。[page::7]

五、图转换与嵌入参数（Section 3.3）

• Recurrence 嵌入参数与阈值选择：作者为每个 IMF 单独选择 τ（delay）和 d（embedding dimension）——高频 IMF (IMF1–IMF4) 多取 d=4、τ 较小（2–6），低频 IMF 取 d=2–3、τ 较大（16–41）；recurrence 阈值 ε 取 pairwise 距离分布的第 10 百分位（表 3），以捕捉最显著的重复结构。[page::9, page::10]

- Table 3（页 10）摘要（关键数值示例）：IMF1: T=2,d=4,ε=0.3620；IMF6: T=26,d=3,ε=0.1721；IMF10: T=25,d=2,ε=0.1576 等；这些数值直接影响 recurrence 图的连通性与边数量。[page::10]

• 解释：选择较小 ε（10th percentile）会生成较稀疏但更具显著性的回归边，配合不同的嵌入维度导致高频组件更多分裂成多个连通分量（因为短周期、噪声使相空间点更分散），低频则更紧凑。[page::10]

六、图的结构性指标深度解析（Section 3.3.1–3.3.4）

• 节点数与边数：三种方法节点数接近 3490（recurrence 因 embedding 导致少量节点丢失），但边数差别显著：HVG 较少（3,489–6,968 边，密度 0.00057–0.00114），recurrence 中等（16,033–17,753 边，密度 0.00264–0.00293），NVG 变化极大（9,828–4,289,492 边，密度 0.00161–0.70455）。这些范围来自表 4 的统计汇总。[page::10, page::11]

- 连通性：HVG、NVG 总体上保持单一连通分量；recurrence 常出现多个连通分量（1–1024），高频 IMF 更易碎片化（表明在相空间上点簇不连续）。这对 GNN 设计是关键：recurrence 需要考虑组件级聚合或跨组件汇聚策略。[page::10]

• 平均度与直径：HVG 平均度极低（1.99–3.99），直径范围非常广（21–3489）；recurrence 平均度稳定（9.20–9.78），直径中等（20–1110）；NVG 平均度与直径随 IMF 非常波动（平均度 5.63–2458.16，直径 10–272），总体见表 4 的数值。[page::11]

- 聚类系数（Section 3.3.2，Table 5）：NVG 平均聚类高（0.5303–0.8310），recurrence 中等（0.2636–0.6321），HVG 最低并随着 IMF 序号增长甚至降到 0（低频完全无三角形结构）。这说明 NVG 更能制造局部密集社群，而 HVG 在低频上形成线性/链式结构。[page::11, page::12]

• 中心性分析（Section 3.3.3，Table 6）：

- Betweenness：NVG 极低（0.0006–0.0058），HVG 变化极大（0.0026–0.3333），recurrence 中等（0.0006–0.1094）。解释：高密度 NVG 平均化中介角色，HVG 稀疏时个别节点成为关口。 [page::12, page::13]
- Closeness：NVG 高（0.0680–0.2503），显示短路径利于快速信息传播；HVG 与 recurrence 较低，且高频 IMF 通常 closeness 更高。[page::12, page::13]
- Eigenvector：NVG 平均高于其他两类，表明影响力更易通过网络放大；HVG 与 recurrence 平均值较低但可能出现单点高影响的极端值（HVG 在某些 IMF 有高达 0.6186 的最大值）。[page::13]

• IMF 顺序的系统性模式（Section 3.3.4）：

- HVG 随 IMF 序号增加表现“结构退化”：高频相对紧凑、低频呈线性长链、聚类跌至零，直径激增（可达节点数）。这源自 horizontal visibility 的几何限制在低频（平滑趋势）下几乎只允许线性连接。[page::13]
- Recurrence 则“向高阶 IMF 聚合”：高频出现大量碎片，低频（IMF9–10、residue）连通性与聚类上升、组件合并，说明低频在相空间中更易形成簇。 [page::13]
- NVG 非单调：高频仍有中等密度与高聚类，到了中频密度增长但聚类下降，IMF10 突然极高密度与聚类（可能与趋势幅度大、点间视线几乎不被阻挡有关）。[page::13]

七、对 GNN 建模的具体启示（Section 3.3.5 与结论）

• 针对三种图的建模建议（作者观点汇总并作解读）：

- NVG：利于消息传递与短路径学习，但高密度引发计算与过平滑（信息过量）风险，需采样/池化/正则化策略以控制复杂度。[page::14]
- HVG：结构稀疏、连通但距离分布宽，低频时需要注意长距离依赖与节点关键性（attention 或跳跃连接可能有效）。[page::14]
- Recurrence：捕捉系统动力学并对低频更有利，但多组件需要设计 component-wise 聚合或跨组件融合机制（例如超图、分层池化）。[page::14]

• 作者倡导的混合（multi-view）GNN 思路是合理的：不同视图互补（NVG 强势在幅度/局部群组、HVG 强在几何可见性、recurrence 强在动力学结构），综合利用可提高表征质量，但也需权衡计算与同步问题（报⽂在未来展望中对此有详细讨论）。[page::14, page::16]

八、风险因素评估与批判性视角（基于报告内容与暗示）
1) 关于方法学不一致与参数敏感性

• 报告摘要提到 CEEMDAN，但在 2.2–3.2 与 Table 1 使用并报告的却为 EEMD 参数与 EEMD 执行结果；这是术语与实现的轻微矛盾，需要作者澄清（是采用 CEEMDAN 还是 EEMD）并说明两者在该数据上的差异性测试结果（若使用 CEEMDAN，参数/ensemble 逻辑可能不同）。[page::0, page::3, page::7]

- EEMD/CEEMDAN 的参数（ensemble 次数、噪声幅度、SDthresh、sift iterations）对 IMF 数量与分布高度敏感。当前使用 ensemble=100、noise=5% 是可接受的起点，但缺少参数灵敏度分析（是否重复该结果在 ensemble=200 或 noise=2% 下稳定？），这一点在未来工作中应补充。[page::3]

2) 关于表格与数字的一致性问题

• Table 2 中出现 IMFg 与 IMF10 类似幅值/频率/不一致的命名，提示可能存在排版或数据导出问题（需要原始输出确认）。此类排版差异若不修正，会影响读者对能量占比与 IMF 定义的判断。[page::7]

3) Recurrence 阈值和连通性问题

• 作者统一采用 pairwise 距离的第 10 百分位作为 ε，这会让不同 IMF（幅度/尺度不同）产生截然不同的连通结构；缺少对 ε 选择敏感性的定量论证（例如以不同百分位观察组件数量与图统计量的稳健性）。此外，recurrence 图大量出现 1024 个组件（IMF3）提示阈值或 embedding 参数在高频时导致严重碎片化，需要更多方法（自适应 ε 或局部阈值）来保证可建模性。[page::9, page::10]

4) 关于重构误差与 residue 的处理

• RMSE/MAE 与 residue 均值为负说明 IMF 总和系统超估，residue 作为校正项很重要；但是报告中没有进一步讨论 residue 单独转图或单独建模的影响（例如是否把 residue 作为 NVG/HVG/recurrence 的单独输入或用其他方法拟合趋势），这对 GNN 的训练目标与解读至关重要。[page::7, page::8]

5) 结果的可重复性与稳健性（实验设计的潜在局限）

• 报告未提供代码实现细节（如随机种子、ensemble 的随机噪声生成细节、图生成的实现库与参数），这限制可重复性。鉴于 EEMD 类型方法对随机噪声敏感，建议公开代码与随机初始化以利同行复核与扩展。[page::3, page::7]

九、结论性综合（综合报告最关键发现）

• 方法学贡献：作者提出并演示了将 EMD（EEMD/CEEMDAN 变体）与三类 time-series→graph 转换（NVG、HVG、recurrence）结合的框架，并对 MSCI World 指数进行了系统实证，展示了 IMFs 在不同尺度上的图拓扑映射特征与对 GNN 设计的启示。[page::0, page::15]

- 主要实证发现（数据与图表支持）：
- IMF 分解结果：10 个 IMF + 单调 residue，且高阶 IMF（如 IMF10）贡献绝大部分能量（88.47%），低阶 IMF 为高频噪声，二者在幅度与频率上形成清晰梯度，为拓扑差异提供物理基础。[page::7, page::15]
- 图拓扑差异：HVG 极稀疏但连通、NVG 密度极变异（从稀疏到极致密）、recurrence 中等密度但常碎片化；聚类系数在三者间呈 NVG>Recurrence>HVG 的总体排序，但随 IMF 序号有不同趋势（HVG 随序号降解、recurrence 随序号凝聚、NVG 非单调）。这些结论由表 4、5、6 的统计范围支持。[page::11, page::12, page::13]
- GNN 设计含义：不同 IMF-图组合需不同策略（采样/池化/注意力/组件聚合/超图等）；作者建议多视图 GNN 或者按 IMF 分级的混合架构来综合三种图的优势。[page::14, page::16]

• 建议的改进与未来线索（基于报告的未来展望与本文批判）：需要补充参数敏感性实验（EEMD/CEEMDAN、ε 百分位、ensemble 次数）、澄清 CEEMDAN vs EEMD 的使用差异、公开代码与随机种子以增强可重复性、以及在 GNN 设计上做原型实现（例如 multi-view GNN 的初步实验与 ablation study）来验证拓扑启示对预测性能的实际提升。[page::3, page::7, page::16]

十、补充性说明（可操作的短期实施要点）

• 若后续读者/研究者想复现或基于此做建模，推荐步骤：1) 明确采用 EEMD 还是 CEEMDAN，并公开 ensemble 随机种子；2) 对噪声幅度（1%–10%）、ensemble（50–300）、SD_thresh 做敏感性网格；3) 对 recurrence ε 尝试 5%、10%、25% 并记录组件数与平均度变化；4) 在 GNN 端先做小规模原型（用 NVG/HVG/recurrence 分别训练同一 GNN 架构并做对比），再尝试 multi-view 融合（attention 或 late fusion）。这些建议源于报告中提出的参数与结构挑战的直接延伸。[page::3, page::10, page::14]

—— 结束 ——

如需我继续：

• 输出一个针对每种图（NVG/HVG/recurrence）分别可行的 GNN 架构草案（层数、采样/池化策略、损失/目标建议）并给出超参数初值（基于报告拓扑统计），或

- 基于报告中的 Table 2–6 编写复现（pseudo）代码与实验设计清单（包含随机种子与重复试验安排），请告知您的优先项，我将继续展开。

报告