• 研究核心目标在于实现从风险中性度量（RN）向现实世界度量（RW）的转变，解决传统RN模型未考虑风险溢价、难制作何情境假设的问题 [page::1][page::2].

- 提出一个通用框架，利用Girsanov定理和Lamperti变换，将非加性噪声模型（如$\mathrm{CIR++}$）转换到RW度量，同时满足无套利（arbitrage-free）、生成现实期限结构、拟合任意曲线等关键性质 [page::2][page::3][page::4].

• 理论结果（定理2.1）构造了RN与RW两个扩散过程间的关系，RW过程由一个参数函数$\alphat$驱动，并可通过定量校准拟合任意指定的期限结构 [page::3][page::4].

- 应用方面，以信用利差的$\mathrm{CIR++}$强度模型为案例，在RN下定义信用利差和违约强度过程，借助Lamperti变换处理平方根扩散过程，确保Novikov条件满足以利于Girsanov变换应用 [page::5][page::6].

• RW与RN的默认强度关系被明确表示为：$\lambdat^* = \lambdat + ft^2 + 2 ft \sqrt{yt}$，其中$ft$依赖于参数函数$\alphat$，从而可由$\alphat$控制RW曲线形态 [page::7].

- 现实世界信用利差和累积风险率的结构通过解析公式给出，满足无套利且可生成现实曲线，且模型允许通过校准$\alphat$精确拟合任意给定的累积风险率曲线，从而实现监管和内部压力测试需求 [page::8][page::9].

• 量化策略核心是利用分段常数形式的$\alpha_t$函数构建RW扩散，兼顾理论可行性与实际可操控性，配合蒙特卡洛模拟实现对未来信用利差及累积风险率的精准预测和情景模拟 [page::9][page::10].

- 数值验证包括两种应用场景：（1）基于高盛2024年欧元区金融机构信用利差预测的经济预测场景；（2）基于欧洲银行管理局(EBA)2023年压力测试数据的应激测试场景。两场景均展示模型能精准拟合目标5年期信用利差，且生成的利差期限结构符合市场预期且具有实际意义 [page::11][page::12][page::13][page::14].

• 模型成功捕捉在压力情境下信用利差期限结构反转现象，这与历史市场数据表现一致，进一步验证了模型对极端市场情境的解释能力 [page::14][page::18].

- 该框架不仅适用于信用利差模拟，还能推广至其他风险指标及模型，支持压力测试、风险管理和信用评估的多元化需求，提升金融机构对市场不确定性的应对能力 [page::15].

金融随机扩散模型测度转换详尽分析报告

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1. 元数据与概览

• 报告标题： FINANCIAL STOCHASTIC MODELS DIFFUSION: FROM RISK-NEUTRAL TO REAL-WORLD MEASURE

- 作者及机构： Mohamed Ben Alaya (LMRS, Université de Rouen Normandie)，Ahmed Kebaier (LAMME, Université d’Evry)，Djibril Sarr (LAGA, Université Sorbonne Paris Nord、FBH Associés)

• 发布日期： 2024年9月20日

- 主题： 金融随机扩散模型，从风险中性测度（Risk-Neutral Measure, RN）转换至实际世界测度（Real-World Measure, RW）的理论与运用。重点包括使用概率论工具（特别是Girsanov定理）实现两种测度之间的转换，应用于金融风险指标（如利率和信用利差）的建模。

• 核心论点： 报告提出一套通用框架，详细描述如何将基于RN测度的金融扩散模型转换为更贴合市场实际且包含风险溢价的RW测度模型。该框架适用于包括带非加性噪声的模型（例如CIR++模型）在内的多种扩散模型。实际应用中，通过蒙特卡洛模拟，对信用利差的预测和监管压力测试进行验证，展示模型兼具理论严谨性与实际应用价值。

- 目标信息传达： 明确表述风险中性测度虽因其套利无风险性而被广泛用于定价，但实际风险管理和长期规划需基于RW测度以反映投资者的风险偏好与真实市场行为。报告强调该转换框架允许精准拟合任意指定的风险指标期限结构，尤其适用于金融监管压力测试和情景分析，提供风险管理和定价的有力工具。

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2. 逐节深度解读

2.1 引言与背景

风险中性测度$\mathbb{Q}$长期是金融建模的基础，特别适用于金融衍生品定价以及保证无套利定价框架，因其令贴现后的资产价格为鞅。此外，在风险中性世界中假设所有证券以无风险利率增长，使衍生品定价归结为贴现预期值的计算，很多模型在RN框架下具有解析解，便利实现与应用。

然而，风险中性测度忽略了风险溢价，不能反映投资者的风险偏好行为与真实市场动态。相比之下，实际世界测度$\mathbb{P}$（RW）包含了风险溢价信息，更加符合实际市场表现和投资者决策逻辑，更适用于风险管理、监管合规、资本要求与宏观经济预测等实际场景。报告强调RW测度在近年才逐渐被重视，其建模与模拟相较于RN更复杂但更具现实意义[page::0,1]。

2.2 研究现状与文献回顾

报告回顾了当前RW测度建模的研究主要集中于利率模型，重点在于如何校准市场风险价格（market price of risk）以实现市场数据匹配和风险管理需求（见Berninger and Pfeiffer [2021], Hull et al. [2014], Norman [2009], Bruti-Liberati et al. [2010], Barker et al. [2016]等）。

Berninger和Pfeiffer提出时间变动的风险价格函数弥补了常数风险价格的不足，通过$\mathbf{G}2^{++}$模型，提升长期利率预测的稳定性。Bruti-Liberati等拓展将跳跃扩散过程纳入RW测度下的利率定价，提出以成长最优投资组合为基准的无套利定价形式。Barker等研究RW测度蒙特卡洛模拟方法，提出参数化Esscher变换与最小熵非参数方法比较。

然而，文献中涉及RW测度应用于信用利差和非加性噪声模型的较少。该报告的贡献在于提出一个通用框架，不仅适用于利率，还拓展至信用利差等多种风险指标，且涵盖CIR++等带非加性噪声的模型，实现更广泛的应用场景[page::1,2]。

2.3 通用理论框架（第2节）

2.3.1 建模目标与方法介绍

面对金融机构和监管不断加严的风险要求，准确模拟风险指标未来演化的RW测度显得尤其重要。但此类模型相较于RN缺乏研究，且理论与计算均较为复杂。Norman [2009]提出RW模型应符合三大性质：

1. 无套利（Arbitrage-free）

2. 产生现实的期限结构（Realistic term structure）

1. 能够拟合任意给定曲线（Able to match any arbitrarily given curve）

其中第三点尤为关键且难以保证。

为解决非加性噪声问题，报告采用Lamperti变换将模型转换至具有加性噪声的新变量，再通过参数函数调整模型漂移，实现RN到RW的测度转换[page::2]。

2.3.2 形式化数学框架与测度变换（定理2.1）

定义RN测度$\mathbb{Q}$下的随机过程$Yt$满足SDE：

$$
dYt = b(Yt) dt + \sigma(Yt) dWt, \quad Y0 = y,
$$

Lamperti变换为：

$$
Xt = \phi(Yt) = \int{y0}^Y \frac{1}{\sigma(x)} dx,
$$

使$Xt$满足：

$$
dXt = L(Xt) dt + \zeta dWt,
$$

其中$L$满足单调性条件且界定良好的边界行为（满足Feller测试保证解存在且不趋边界）。

通过构造参数化漂移调整项$\alphat$及势函数$\varphit$，基于Girsanov定理，定义新测度$\mathbb{P}^\varphi$：

$$
\frac{d \mathbb{P}^\varphi}{d \mathbb{Q}}|{\mathcal{F}T} = \exp\left(-\int0^T \varphiu dWu - \frac{1}{2} \int0^T \varphiu^2 du \right),
$$

该测度下过程$X^t$满足RW下带有调整后的动态，

并给出过程间的关系：

$$
Xt^ = Xt + \vartheta \ints^t \alphau e^{-\vartheta (t-u)} du.
$$

该理论初步实现了RN过程与RW过程的函数关联，支持通过参数函数$\alpha$拟合任意RW情境[page::3,4]。

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2.4 在信用利差建模中的具体应用（第3节）

将上述通用理论框架应用到信用利差的CIR++强度模型。

2.4.1 CIR++模型结构

信用违约强度$\lambdat$分为随机部分$yt$与确定性拟合项$\psi(t)$：

$$
\lambdat = yt + \psi(t),
$$

其中$yt$服从CIR SDE：

$$
dyt = \kappa(\theta - yt) dt + \sigma \sqrt{yt} dWt, \quad y0 > 0,
$$

满足Feller条件保证正性。

信用利差为：

$$
\mathrm{Sp}(t,T) = -\frac{1}{T-t} \ln \left[\delta + (1-\delta) \frac{S^m(0,T)}{S^m(0,t)} \frac{A(0,t)}{A(0,T)} \frac{e^{-B(0,t) y0}}{e^{-B(0,T) y0}} A(t,T) e^{-B(t,T)[\lambda(t) - \psi(t)]} \right],
$$

其中包含模型中核心参数和校准函数$A,B$等见文中方程[page::5]。

2.4.2 权变测度的具体构造与验证条件

通过Lamperti变换，将$yt$映射为$xt = \sqrt{yt}$

动态为：

$$
dxt = \frac{1}{2} \left[ \left( \kappa \theta - \frac{1}{4} \sigma^2 \right) \frac{1}{xt} - \kappa xt \right] dt + \frac{1}{2} \sigma dWt,
$$

选取调整参数$\vartheta = \frac{i}{2}\kappa$简化表达。函数$\varphit$的表达式复杂，需满足Novikov条件保证Girsanov测度变换合法。

报告详细借助CIR过程相关拉普拉斯特征函数存在区域和分析方法，证明其满足Novikov条件，保障转换测度的数学严密有效性[page::6,7]。

2.4.3 RW与RN下强度及信用利差的关系

RW与RN强度关系由

$$
\lambdat^ = \lambdat + ft^2 + 2 ft \sqrt{yt},
$$

其中

$$
ft = \frac{1}{2} \kappa \ints^t \alphau e^{-\frac{\kappa}{2}(t-u)} du,
$$

在此基础上导出信用利差期限结构与RW和RN下的转换关系（定理3.2）：

$$
e^{-(T-t) \mathrm{Sp}^(t,T)} = e^{-B(t,T) F(t, \sqrt{yt})} \left[ -\delta \left(1 - e^{B(t,T) F(t, \sqrt{yt})} \right) + e^{-(T-t) \mathrm{Sp}(t,T)} \right],
$$

其中$F(t,x) = ft^2 + 2 ft x$。进一步推导累计风险量的关系（定理3.3）：

$$
\Lambda^(t,T) = \Lambda(t,T) + B(t,T) F(t, \sqrt{yt}),
$$

为拟合任意给定的RW累计风险曲线引入参数函数$\alpha(t)$的定义和优化问题，采用分段常数函数形式，便于实际数值计算与校准[page::7,8,9]。

2.4.4 数值求解方案

详细定义了基于目标累计风险率集合$\{ ci \}$求解$\alpha(t)$的方程体系，其中各项包括如下可计算量：

• 目标曲线$\{ ci \}$（既可以基于专家预测，也可通过信用利差反推）

- 真实世界测度下RN累计风险率的期望$\mathbb{E}^\mathbb{P} \Lambda(ti, \tilde{T})$（通过蒙特卡洛模拟得到）

• 参数函数计算$ f(ti) $，其显式解析表达见公式(26)

报告明晰了信用利差与累计风险的双向转换公式，有助风险管理者快捷在RW测度下进行利差情景模拟、压力测试和动态调整[page::9,10]。

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2.5 实际数值模拟及验证（第4节）

报告展示了两个实用案例：

• Goldman Sachs 2024全球信用展望预测场景： 利用该报告给出的欧洲金融发行人信用利差季度预测数据，转换成信贷农业5年期信用利差相对变化，映射为累计风险率目标曲线，运行蒙特卡洛模拟（20,000次，时间步为周），能几乎完美拟合目标，且产生合理的期望曲线及10%、90%的置信区间（图1，12页）。模拟信用利差曲线随时间逐渐平滑下降，符合现实。

- 欧洲银行管理局(EBA) 2023年的压力测试： 根据EBA规定，根据评级和行业提供绝对的信用利差冲击，报告设定5年期利差压力按线性小时占时演进（52周，总共有52个时间点目标），蒙特卡洛模拟同上，同样准确拟合5年期目标利差，观察到在压力增大时信用利差期限结构发生“倒挂”（图3、4，13-14页），符合市场实际压力条件表现。

此外，报告附录展示了累计风险率的相关行为及信用利差倒挂的历史真实案例（如2012-2013年欧洲主权危机期间），增强了理论模型的实际说服力[page::11-14,18]。

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2.6 模型可扩展性与总结（第5节）

• 报告强调该框架不仅适用于CIR++及类似单维度扩散模型，还能推广至更广泛的金融指标及高维模型，但需满足关键条件（如Novikov判据），且对于方程（9）涉及更复杂非线性情形，建议未来探索线性化近似及误差度量。

- 提出后续研究可考虑引入跳跃过程、更多风险指标（如CDS、外汇）及更高维度扩散模型扩展，提升框架普适性与实用价值。

• 总结部分重申其建模构架可实现：

- 无套利性：严格依赖风险中性测度基础，实现测度转换数学保证。
- 拟合任意期限结构：通过参数函数灵活调优，满足监管与内部预测需求。
- 现实约束的风险指标动态：包括信用利差曲线的倒挂特征在压力下的模拟。

• 应用价值体现在支持完整的风险测算，如衍生品的XVA调整、资金成本计算、资本规划和证券全重新估值等。

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3. 图表深度解读

3.1 图1 (12页)

描述：
图1展示了以5年期信贷农业信用利差为对象的RW Monte Carlo模拟，红线为基于Goldman Sachs预测的目标值，黑线为模拟均值，蓝线为10%和90%分位数。

解读：
模拟均值与目标几乎完全匹配，验证了模型调参与测度转换的准确性。分位数线包容了均值，表现出模型的合理波动区间和风险分布。

联系文本：
印证了参数函数$\alpha(t)$通过蒙特卡洛过程有效推动RW过程贴合目标生存概率，提高了模型对实际市场中信用利差的预测能力。

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3.2 图2 (13页)

描述：
显示不同周数下信用利差全期限结构的期望值下降趋势。

解读：
预期信用利差曲线随时间逐步下降，符合预期经济收缩的信用风险缓解情景，期限结构平滑且无异常，体现模型生成的期限结构现实性。

联系文本：
支持报告中RW模型产生现实期限结构的论断，保证第三项规范的实现（生成现实期限曲线）。

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3.3 图3 (14页)

描述：
EBA压力测试条件下，5年期信用利差的模型预测与目标值拟合情况，黑色为期望值，红色为目标值，蓝色区域表示信赖带。

解读：
模型仍能精准捕捉目标利差，且分位数带宽反映压力场景下信用利差预测的不确定性加大。

联系文本：
验证模型对强制性监管压力测试的适应性，为风险管理提供强有力工具。

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3.4 图4 (14页)

描述：
压力测试下，信用利差期限结构出现倒挂现象，模拟期望曲线显示期限结构压缩现象。

解读：
模拟期限结构的倒挂恰与市场应激条件吻合，显示实际信用利差可能在短期经历异常升高，风险溢价反映市场紧张情绪。

联系文本：
体现模型对极端市场环境的感应能力，增强了其实际问题的适用性和预测力。

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3.5 附录图（18页）

描述：
左图为5年期累计风险率预期及置信区间变化，右图为信用利差历史期限结构对比，突出市场压力期间的倒挂现象。

解读：
进一步佐证模型在模拟历史压力时期的信用利差结构倒挂，具备历史验证基础。

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4. 估值分析

报告未直接针对估值给出DCF等模型计算，但框架涉及信用风险的强度模型描述，基础为$\mathrm{CIR++}$过程。信贷风险的定价有赖于受调整偏导的强度$\lambdat^$拟合市场 survival/ hazard 曲线，从而生成对应的信用利差。框架的核心在于：

• 使用Girsanov变换构造RW测度，保证模型无套利性。

- 通过参数函数$\alphat$校准实测风险指标的RW期限结构，保证估值基础的现实合理。

该方法为信用风险定价和风险管理中概率测度转换及动态调整提供理论工具，但报告中未细述敏感性或估值区间。

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5. 风险因素评估

报告明示当前框架需满足条件：

• Novikov判据的满足（用于Girsanov变换的数学正当性），该判据验证较为繁复，尤其涉及非加性噪声部分。

- 模型对参数选择（如$\vartheta$）敏感，存在计算复杂性和选择自由度，需要适度调节。

• 当前框架局限于一维扩散模型，将来的多维扩散模型需解决复合噪声和非线性计算带来的困难。

- 对跳跃扩散、极端事件等市场特征的刻画尚未涵盖，未来工作仍需扩展。

模型对风险测量准确性的依赖极大，参数误差或市场极端事件可能对拟合和预测产生影响。

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6. 批判性视角与细微差别

• 框架核心基于Lamperti变换和Girsanov测度变换，理论严谨但实现较为复杂，特别在非加性噪声下验证过条件较繁，实务中可能成为障碍。

- 报告假设确定性拟合函数$\psi(t)$已知且正确，这在实际可能因市场估计误差导致模型偏差。

• 参数函数$\alphat$的分段常数选择虽简便，但其实际动态调整需合理设计，可能需依赖用户经验，存在一定主观性。

- 未详述模型在多维或跳跃条件下的推广细节，且当前模型主要面向单一信用强度指标，尚缺对多风险因素联动的描述。

• 模型准确拟合目标曲线同时，可能导致过拟合风险，未来需结合模型稳定性与泛化能力进一步验证。

- 文中多处定理和推导依赖前人的结论，理论贡献在于将不同已有结果整合，尚未提出全新原理，属于理论应用创新。

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7. 结论性综合

该报告提出了一个严谨且通用的金融扩散模型风险测度转换框架，实现了从风险中性测度到真实世界测度的系统转换。核心优势包括：

• 通过概率论工具（特别是Girsanov定理）及Lamperti变换，数学上保证过程转换的可行性与无套利属性。

- 采用参数函数灵活校准任意给定的风险指标期限结构，满足风险管理和监管要求。

• 成功应用于带非加性噪声的信用利差$\mathrm{CIR++}$强度模型，实证验证了在真实预测与监管压力测试的有效拟合能力。

- 数值实验表明，模型能精准匹配目标信用利差及累计风险曲线，且能生成包括利差倒挂等市场应激特征的条纹结构。

• 应用案例涵盖Credit Agricole信用利差数据，结合Goldman Sachs的预测及欧洲银行管理局的监管压力测试，增进实务参考价值。

- 框架具备广泛推广空间，可向多维、跳跃过程和其他风险指标模型延展，未来研究潜力巨大。

报告不仅丰富了风险测度变换理论，也为金融风险管理提供实践上的强大工具，是金融数学与量化风险管理领域的重要贡献[page::0~15]。

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图表引用：

• 图1：

• 图2：

• 图3：

• 图4：

• 附录图（累计风险率与倒挂现象）：

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综上，报告对风险中性测度与真实世界测度转换的理论与实务进行了系统且深入的阐述，尤其在信用利差建模与压力测试应用中展示了强大实用价值，是金融风险管理工具箱中的重要参考与创新。

报告