• 模型基础与假设 [page::0][page::1][page::2]

- 将房地产项目划分为多个定价组，每组单位同质，需求函数仅依赖本组价格，无组间互蚀。
- 累计销售与收入分别定义，优化目标为最大化各定价组累计收益之和。

• 最优定价策略分析 [page::3][page::4]

- 在仅对最终销售有限制时，存在定理表明最优价格为区间内常数，使销售速率均匀（均匀吸收）。
- 含阶段销售及收入约束时，最优价格为分段常数，变价点仅在严格约束点处出现。

• 收入分配问题及启发式算法 [page::6][page::8][page::9]

- 多价格组存在收入约束时，求解最优策略等价于非线性方程组求解，难以解析解。
- 提出将收入短缺按潜在补偿能力比例分配给各组的启发式分配方法，简化问题为单组求解。

• 时间价值与建造增值模型扩展 [page::10][page::11][page::12]

- 引入资金时间价值函数$\varphi(t)$及房地产价值增加函数$\kappa(t)$，合并为广义资金时间价值$\zeta(t)$。
- 推导广义模型最优策略形式，包括带软约束的线性需求显式解。

• 分配方案对比与需求波动应对 [page::13][page::14][page::15][page::16][page::17]

- 两种收入分配方法对比，原方法收入提升约2.5%。
- 演示需求突变情况下算法调价动态，体现算法对异质需求变动的敏感性及全局调价协调能力。

• 未来改进方向 [page::19]

- 引入软约束机制，允许合理偏差。
- 融合预约和分期付款方案，提升现实适用性和市场竞争力。

实现多定价组动态定价的房地产定价模型详尽分析报告

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1. 元数据与概览

• 报告标题

《Implementing Dynamic Pricing Across Multiple Pricing Groups in Real Estate》（多定价组动态定价在房地产中的应用）

• 作者及机构

Lev Razumovskiy、Mariya Gerasimova、Nikolay Karenin、Mikhail Safro，均隶属于RAMAX Group

• 发布日期

2024年（具体日期未明确，文中提及2024年8月）

• 研究主题

针对房地产销售周期较长且产品非同质的特点，建立多定价组的动态定价数学模型，实现销售总收入的最大化，同时满足销售和收入目标。模型进一步纳入资金时间价值及建筑进度引起的房产价值提升因素，并提出具体算法及数值模拟验证。

• 核心论点及贡献

- 设计了考虑多定价组（如一居室、两居室等）且每组价格策略独立的动态定价模型。
- 解决了总销售期结束时的总累计收入最大化问题，同时满足对各定价组的销售量及整个项目的收入约束。
- 提出并分析了如何在多组间分配累计收入目标的算法。
- 在模型中引入了资金的时间价值及房产随施工进度增值的动态因素，增强了模型的现实适用性。
- 通过数值模拟展示算法运作及应对需求变动的灵活性。

整体上，作者试图传递一个突破单一价格组处理局限、结合实际多产品结构与动态市场因素的多定价组动态定价解决方案，利于提升房地产开发企业收益及销售响应能力。

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2. 逐节深度解读

2.1 摘要与引言

• 摘要明确阐述模型目的是解决多价格组下的动态定价，实现销售期末的累计收益最大化。并且考虑了资金时间价值与房产价值随施工进度的变化。

- 引言详述动态定价在经济管理领域广泛应用，尤其航空、酒店、出租车领域已成熟应用。房地产因销售周期长、库存有限且不可替代，定价复杂且亟需动态定价模型。

• 提及早期经典文献如 Kinkaid and Darling (1962)，Gallego and van Ryzin (2013) 为固定销售周期下动态定价模型奠定理论基础，但多以单一均质产品为前提。本文突破点在于引入多定价组，满足实际销售需求。

2.2 第一章：多定价组基础数学模型

• 模型表达

- 定义每个定价组$i$的价格政策$p^{i}(t)$及需求函数$v^{i}(p)$，其中需求只依赖本组价格，无跨组“蚕食”。
- 单组累计销售量 $S^{i}(t) = \int0^t v^{i}\big(p^{i}(\tau)\big)d\tau$，累计收入 $R^{i}(t) = \int0^t p^{i}(\tau) v^{i}\big(p^{i}(\tau)\big)d\tau$ 。
- 总累计收入为所有组收入的加总 $R(t) = \sum{i=1}^{k} R^{i}(t)$。

• 约束条件

- 各定价组在预设时间$\{\tauj\}$点必须满足最小销售量约束：$S^{i}(\tauj) \ge Sj^i$。
- 预设时点累积总收入下限：$R(\tauj) \ge Rj$。

• 最优定价策略形态（定理1）

- 若仅有限售约束，最优定价为每组价格常数$p0^i$，满足均匀销售率：$v^{i}(p0^i) = \frac{Sl^i}{T}$。
- 即“均匀吸收策略（even absorption）”，所有期内均以固定速度销售。

• 带有中间销售和收入约束的定价逻辑（推论1）

- 最优价格为分段常数，价格变化点仅发生在约束严格满足时刻。
- 该结论通过对任意区间平移处理归约为无中间约束问题论证。

• 约束分析

- 引入“沉重约束（burdensome constraint）”定义，即在某时间点$\tauj$，实际累计收入需求高于“均匀吸收”下的收入。
- 推导出最严格约束对于定价调整的重要地位，并定义最严格约束时间点$\tau{j}$为下次调整时间。
- 单一定价组有闭式解，但多定价组情况解高维非线性方程组，无闭式解。
- 因此提出准最优（启发）算法，逐步根据最严格约束调整价格。

• 图表1解读

- 两个定价组的累计销售曲线均为直线，均匀吸收模型，收入曲线为线性增长，表示收入均匀累计。
- 图示支持定理1结论的直观理解。
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2.3 多定价组收入分配问题与算法

• 分配难点

- 多定价组和中间收入约束使优化问题规模膨胀，非线性方程组求解极其复杂，缺少闭式解。
- 特别是权衡各组间分配的收入目标难以确定。

• 提出的启发式分配方案

- 利用各定价组“最大可能额外收入”与当前收入的差额比例$\etam^i$，按比例将全部收入缺口$\Delta Rm$分配给各组。
- 重新调整单组价格满足相应收入目标，简化为多个单组问题。
- 此方法基于需求函数未知、需求动态变化的现实假设，具有一定鲁棒性。

• 算法主要步骤

1. 计算初始固定价格对应平均销售，验证满足各约束。
2. 若有沉重约束，计算最严格约束及时间点。
3. 利用比例分配原理调整价格，保证满足最严格约束。
4. 迭代直到所有约束满足。

• 图表2至4演示

- 图2显示初始均匀吸收收入曲线及各约束点，部分约束不可达。
- 图3示识别最严格约束点$\tau{j}$，并据此调整价格。
- 图4示调整后累积收入曲线成功满足所有财务约束。
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2.4 时间价值与建筑进度价值模型拓展（第三章）

• 资金时间价值建模

- 引入非递增函数$\varphi(t)$描述资金时间价值折现，累计收益积分中加权$\varphi(t)$，使收益随时间贴现。
- 新利润最大化目标函数 $R(T) = \sum \int0^T \varphi(t) p^i(t) v^i(p^i(t)) dt$。

• 建筑进度价值的体现

- 以上升函数$\kappa(t)$表示，买家愿意随着建筑完工给出更高价格。
- 需求函数做对应变换，$vt^i(\kappa(t) p^i) = v0^i(p^i)$，使得模型保持结构一致性。
- 合并定义 $\zeta(t)=\varphi(t)\kappa(t)$，并等价于资金时间价值的变形系数。

• 最优策略形式（定理2）

- 对每组，价格函数满足隐式微分方程：

$$
p^{i}(t) + v^{i}(p^{i}(t))\left(\frac{d v^{i}}{d p^{i}}(p^{i}(t))\right)^{-1} = -\frac{q^{i}}{\varphi(t)}
$$

- $q^i$为Lagrange乘子，其数值通过销售额约束确定。

• 线性需求函数特例

- 当 $v^{i}(p) = a^{i} - b^{i} p$ ，有显式解：

$$
p^{i}(t) = \tfrac{1}{2}\left(\frac{a^{i}}{b^{i}} - \frac{q^{i}}{\varphi(t)}\right),
\quad q^{i} = \frac{2 Sl^i - a^{i} T}{b^{i} I(0,T)},
\quad I(\tau1,\tau2) = \int{\tau1}^{\tau2} \frac{dt}{\varphi(t)}
$$

• 约束点分段策略

- $q^i$在无附加约束时常数，存在附加约束时则为分段常数，变化点为约束严格满足时刻。

• 相应算法框架

- 通过迭代调整分段$ qm^i $来满足各时间点约束
- 对不足满足的约束应用比例分配策略调整$ qm^i $，其背后的分配思想同第二章。

2.5 数值模拟与算法行为展示（第四章）

• 实测场景设定

- 销售期 $T=10$, 两个定价组（一居室、两居室）
- 设定特定时点销售和收入约束
- 需求为线性函数，分段限制最大需求量
- 两种收入分配方法对比：
- 文章第二章提出的基于最大可能额外收益差分配法
- 新方法基于当前收入增长的比例分配法

• 图5-9：定价与销售比较

- 定价策略曲线对比显示两方法在不同时间点价格策略存在较大差异（图5、6）。
- 销售量随时间的变化趋势展示两方法间销售动态的差异（图7、8）。
- 总体收入第二章方法优于备选方法，提升约2.5%（图9）。
- 由此验证论文所提出的收入分配策略的有效性。
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• 需求变化响应模拟

- 假设时间点$\tau3$后，一居室需求骤减，影响销量和价格策略。
- 价格策略调整不仅仅局限一居室，也涉及两居室价格，体现模型中收益分配与反馈控制的全局影响。
- 销售曲线反映调整后的销量下降趋势，同时努力满足销售和财政约束（图12，13）。
- 总体累计收入曲线显示满足约束条件，且损失最小（图14）。
- 收入分配柱状图（图15）清晰体现随着需求变动，各定价组的重要性权重动态调整。
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2.6 结论部分

• 列出多定价组动态定价模型的研究成果和突破点。

- 模型及算法支持时间价值及施工价值增值因素。

• 提出未来模型改进方向，如引入软约束、预留机制、分期付款等更贴近实际的复杂因素。

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3. 图表深度解读

| 图号 | 内容描述 | 关键数据与趋势 | 关联论点 | 备注 |
|----|----------|------------|--------|------|
| 图1 (页4) | 两定价组均匀吸收累计销售及收入 | 累计销售线性上升，收入曲线平滑且线性增长，细节对应均匀吸收模型 | 直观体现定理1均匀吸收最优定价策略 | 视觉化基础情况 |
| 图2 (页7) | 初始均匀吸收与约束比较 | 显示部分约束(如$R2$，$R3$)不可达需调价 | 说明为什么需进行价格调整，提出最严格约束概念 | 突出最严格约束的物理含义 |
| 图3 (页8) | 识别最严格约束及调整 | 调整后满足最严格约束，其他非沉重约束可通过均匀吸收满足 | 展现算法中如何确定最严格约束及调整策略 | 策略动态更新的示范 |
| 图4 (页8) | 调整后收入满足所有约束 | 最终价格策略使累计收入曲线满足所有约束 | 算法终止状态 | 说明算法收敛 |
| 图5-6 (页14-15) | 两种分配方法对比定价策略 | 两方法价格策略在关键销售期不同，颜色区分 | 验证第二章提出方法优于备选方案 | 反映不同分配方案对策略的影响 |
| 图7-8 (页15) | 销售曲线对比 | 销量随价格调整波动，约束下销量调整不同 | 显示不同定价策略对销量的具体影响 | 直观说明价格与销量的动态关系 |
| 图9 (页16) | 总累计收入对比 | 第二章策略终收入117839.78，备选114889.51 | 收入策略优劣的量化展现 | 约2.5%收入提升 |
| 图10-11 (页17) | 需求骤降后的定价调整示意 | 需求骤降后价格下调明显，体现出算法的灵活应对 | 论证算法对需求变化反应灵敏 | 价格调整非局部 |
| 图12-13 (页17-18) | 需求骤降后销量调整 | 销量下降但仍满足约束，体现模型有效性 | 模型对销量变化合理调控 | 销量调整精细 |
| 图14 (页18) | 总收入动态曲线 | 收入下降但满足约束，确认策略有效 | 需求变化环境下模型较强鲁棒性 | |
| 图15 (页19) | 收入分配权重动态变化 | 收入份额随需求调整明显变化，二组权重逆转 | 说明收入分配算法的重要性和动态反馈 | 反映系统间联动 |

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4. 估值分析

本文核心为收入最大化的动态定价问题，估值分析理论主要体现在：

• 目的函数

最大化在销售期$[0,T]$的累计收入，考虑资金时间价值和建筑进度价值，通过积分加权实现。

• 定价策略结构

最终导出价格策略依赖需求函数及拉格朗日乘子，形成隐式的非线性方程组。多为数值算法求解。线性需求函数下有解析形式。

• 分配模型

估值/收入的分配问题通过启发式比例分配方法简化，分配系数基于潜在最大额外收入差确定。

• 敏感性

时间价值函数、需求函数形状及价格调整节点对估值结果及策略有显著影响。

• 动态调整

算法针对多阶段约束逐步定价调整，体现估值的时间维度敏感性。

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5. 风险因素评估

• 需求不确定性

需求函数不确定且可能动态变化，模型采取需求函数分段调整，应对需求突变，但估计误差仍是风险源。

• 模型假设限制

假设无跨组需求替代(无“蚕食”)，实际中定价组间可能存在相互影响，未充分考虑。

• 计算复杂度

多定价组下无闭式解析，需迭代数值算法，计算复杂度高且敏感初值。

• 资金时间价值估计

$\varphi(t)$和施工价值增长$\kappa(t)$的估计需准确，否则影响策略有效性。

• 实现难度

实际定价切换频繁且依据约束严格，市场执行存在摩擦，可能导致策略落地偏差。

• 软约束缺失

模型采用硬约束，忽略市场允许的偏差及超售等情况，可能使模型在现实环境下不够灵活。

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6. 批判性视角与细微差别

• 优点

该研究融入多定价组、资金时间价值及施工价值变化等多现实因素，模型创新且具有较强实用指引意义。
启发式分配策略实用且较好兼顾复杂解的不可行性。

• 不足

对需求函数假定较强（无跨组影响、形式确定），实际需求更复杂且噪声多。
缺乏对模型稳健性的深入讨论，例如对需求预测误差和价格调整摩擦的敏感性分析。
数值模拟规模较小，仅涵盖二组案例，尚需验证多组及更复杂架构的适用性。
软约束、预订及分期付款方案提及但未深入，未来方向明确但实现难度仍大。

• 模型动态适应

模型暂时假定价格调整仅在约束点发生，实际市场可能更频繁变化；大时间间隔内的静态段可能丧失响应速度。

• 图表局限

图示均为理想模拟结果，缺乏对市场实际数据拟合及外部冲击测试。

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7. 结论性综合

本报告详尽剖析了来自Lev Razumovskiy等人的《多定价组动态定价在房地产中的应用》研究，全面揭示其模型框架、算法设计与数值测试。关键发现包括：

• 将房地产项目中本质具有多类别、多价格结构的销售对象细化为多个定价组，模型允许为每组设定独立的动态价格策略。

- 明确了约束条件（销售量及累计收入）下的最优策略形态，单约束时为均匀吸收策略，多约束时为分段常数定价，调整点对应约束严格满足时刻。

• 识别并形式化“沉重约束”及“最严格约束”，为动态定价提供了指导关键时间节点。

- 解决多定价组间收入分配问题，提出按预期最大附加收益差比例进行启发式分配，兼顾计算复杂度与现实操作性。

• 在模型中引入资金时间价值折现及施工价值提升的综合因素，映射更真实的资金和市场环境。

- 数值模拟展示：
- 各分配算法的比较表明，本文提出方法提升收入约2.5%。
- 算法对需求骤变敏感响应，价格和销售策略动态调整，全局收入及销售约束得到保证。
- 收入分配比例动态调整，体现多定价组间收益权重变化。

• 未来方向包括引入软约束、预订机制及金融手段参与，进一步贴合市场实际需求。

总的来说，文章构建了理性且具有细致业务适配能力的房地产多定价组动态定价框架，突破了以往单均质组的偏限，为相关领域提供了理论基础和实操参考。

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主要图表列表（带标注）

图1展示两定价组（$k=2$）的累计销售线（上方）为直线，表明均匀吸收销售策略，累计收入（下方）呈线性增长，支持了定理1的理论结果。


图2显示均匀吸收收入曲线（虚线）和收入约束点，部分约束超出均匀吸收曲线，需调整定价。


图3演示调整后满足最严格约束，收入曲线朝约束点靠拢，其他非沉重约束则可均匀吸收满足。


图4为价格调整完成后的累计收入曲线，全部约束得以满足，显示算法有效收敛。



两图分别展示两定价组价格随时间变化，紫色线为文章二章方法，绿色线为备选方法，体现收入分配策略对定价的影响。



相应的销售曲线对比，展示价格变化对销量的直接影响。


累计收入曲线对比，文章提出分配方法总收入优于备选方案。



展示需求骤降点$\tau_3$后，定价随之调整，反映模型对突变需求的有效应对。



销售量变化曲线，突显价格调整如何推动实际销售。


收入虽然下降但满足约束，体现模型鲁棒性。


柱状图直观展示需求变化导致两定价组收入贡献占比动态调整。

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8. 总结

综上，报告系统阐明了多定价组动态定价在房地产领域的建模难点与解决方案，涵盖理论推导、约束处理、资金与价值动态影响、数值算法及仿真验证。核心思想在于突破单均质产品的假设，反映复杂市场结构和需求动态，具备较大现实指导意义和推广潜力。未来整合软约束及金融工具，或加深对实际市场数据的适配和验证，将使该研究实现更广泛商业应用。

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