鲁棒定价-对冲理论背景 [page::0][page::1]

• 介绍贝克-施尔斯经典期权定价理论与模型不确定性（Knightian uncertainty）问题。

- 引入鲁棒方法，通过多模型集合建立无套利定价和对冲对偶性。

• 离散时间已有完备理论，连续时间存在技术难点，包括策略定义和测度奇异性。

扩张空间与美式期权定价表示 [page::3][page::4][page::5]

• 美式期权的最优行权时间问题转化为扩张概率空间上的欧式期权定价。

- 通过定义随机停时（randomised stopping time），构造概率测度与随机停时的凸壳。

• 利用Azéma超鞅分解得到对应随机停时过程，并确保马氏性质得以保持。

路径依赖的随机积分与鲁棒超额对冲定义 [page::9][page::10]

• 动态对冲策略通过路径依赖的随机积分定义，采用Karandikar的路径积分构造保证所有核测度下定义一致。

- 定义静态交易欧式期权payoff矢量，形成标定的马氏测度集合。

• 美式期权的鲁棒超额对冲价格定义为满足对任意行权时间的路径不等式的初始资本最小值。

对偶缺口及动态扩张的解决方案 [page::11][page::12][page::13]

• 举例说明传统鲁棒定价-对冲对偶存在缺口，主要源于行权策略受限于静态欧式期权信息。

- 引入扩张空间，其中欧式期权动态可交易，添加价格过程作为额外信息源，恢复对偶关系。

• 技术上在时间区间前扩展交易，解决初始价随机性导致的连续性问题。

连续过程框架下的假设与主要结果 [page::14][page::15][page::16][page::17]

• 资产价格为连续路径，波动率受时-路径依赖闭凹约束（集合定义）。

- 在此假设下，利用半鞅最优传输理论建立欧式期权的鲁棒定价-对冲强对偶。

• 该结果推广至扩张空间，因而对美式期权的鲁棒定价-对冲问题给出强对偶等式。

美式期权的鲁棒定价-对冲对偶定理 [page::18][page::19]

• 美式期权超额对冲价格等价于扩张空间上对应欧式期权的鲁棒价格。

- 证明链完成：原空间欧式对偶 ≤ 原空间美式定价 ≤ 拓展空间美式定价 ≤ 拓展空间欧式定价 ≤ 标定测度上的欧式定价。

• 特别地，无静态欧式期权时，结果收敛回Myneni的经典模型对应定价对偶。

关键数学工具和技术细节

• 随机停时的凸化、Azéma超鞅分解（Theorem 3.5及相关引理）。

- 路径上定义的随机积分，保证多测度一致收敛（Karandikar，1995）。

• 半鞅最优传输(Optimal Transport)方法应用于受约束扩张空间中的对偶证明。

- 功能型Itô微积分用于定义并约束对冲策略的正则性（功能Itô导数、路径依赖扩展）。

• 图示：连续时间含波动率约束的美式期权鲁棒定价结构示意和典型超额对冲价格比较。

- 节点及箭头反映模型扩张与定价-对冲对偶链条，直观体现对偶缺口及修复策略。

分析报告：Robust Pricing and Hedging of American Options in Continuous Time

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1. 元数据与概览

• 报告标题： Robust Pricing and Hedging of American Options in Continuous Time

- 作者： Ivan Guo（莫纳什大学数学学院及定量金融与投资策略中心）和 Jan Obój（牛津大学数学研究所）

• 发布日期： 2025年10月8日

- 研究主题： 本文聚焦于连续时间框架下的美式期权的鲁棒定价与对冲问题，特别是在资产价格作为连续半鞅的假设下，考虑波动率存在一般模型不确定性的适应性闭凸约束。

• 核心论点： 报告证明了鲁棒定价-对冲的对偶性，并且当欧式期权（带有给定价格）可用于静态交易时，展示了对偶性在包含动态交易欧式期权的更丰富模型下依然成立。核心方法涉及了随机停止时间的概率方法、测度拆分技术和最优传输对偶理论，创新地将美式期权识别为拓展空间中的欧式期权。

本报告旨在推进鲁棒数学金融理论，解决传统模型中的“不确定性风险”，建立连续时间中鲁棒的价格-对冲框架，尤其针对美式期权这种包含提前行权权利的复杂衍生品。

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2. 逐节深度解读

2.1 引言与背景（第0-2页）

• 关键论点： 美式期权定价历史悠久，Black-Scholes模型奠定了现代定价理论基础，且定价-对冲二元性是理论根基。当模型不确定或不完整时，定价-对冲的对偶性转为“最便宜超额对冲策略成本等于所有风险中性测度上期权收益的上确界”。

- 鲁棒性问题： 经典分析依赖固定的概率模型，忽视了模型选择本身的误差（Knightian不确定性），这导致了鲁棒金融方法的兴起。针对离散时间和连续时间中的鲁棒对偶性，不同学派探索了quasi-sure和逐路径两种视角，并在离散时间获得了完整理论，而连续时间仍面临难以调和的挑战。

• 方法归纳： 鲁棒定价通过引入已知市场信息（如期权价格）作为约束，限制模型空间，进而缩小可能的无套利价格范围。这一思路由Hobson（1998）等人开创，后来引入了最优传输（Optimal Transport, OT）及其带鞅约束的变种(Martingale Optimal Transport, MOT)。

作者综述了文献中关于美式期权鲁棒定价的难点，Neuberger（2007）指出简单推广欧式期权方法存在对偶性缺口。Aksamit等（2019）说明此缺口源于对于动态观察欧式期权价格的约束条件不足，导致美式期权持有者的行权策略受限。动态交易欧式期权可复原对偶性。

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2.2 贡献与主要结果（第2页）

• 创新点与成果： 本文针对连续时间美式期权，建立了带波动率闭凸约束的鲁棒定价-对冲对偶性结果。

- 数学形式化： 定义了美式期权$Z$的超额对冲价格$\pig^A$，证明其等于如下表达式的上确界：

$$
\sup{\widehat{\mathbb{P}}\in \widehat{\mathcal{Q}}, \widehat{\tau}\in \widehat{\mathcal{T}}^{\widehat{\mathbb{P}}}} \mathbb{E}^{\widehat{\mathbb{P}}}[Z{\widehat{\tau}}]
$$

其中$\widehat{\mathcal{Q}}$集合考察的是联合股票和欧式期权动态价格的风险中性测度，$\widehat{\tau}$可利用两者信息选择行权时间。该结果细化为定理5.2。

• 方法论亮点：

- 利用扩展空间，将美式期权表示为欧式期权，折合在拓展的样本路径空间上操作。
- 采用随机停止时间和Azéma超鞅的概率工具（定理3.1及第3节内容）。
- 针对期权价格动态可能不连续的特性，采用负时段“虚构市场”技术（$[-\delta,1]$ 时间区间交易），建立超额对冲与定价之间的不等式链条（命题4.5）。

总之，本文阐明了如何在连续时间带有波动率约束的鲁棒框架下，恢复并推广美式期权的定价-对冲对偶性，是对现有离散时间与欧式期权情形的重要推进。

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2.3 初步与数学结构（第3页）

• 路径空间与拓扑结构设定： 定义$\Omega = D([0,1];\mathbb{R}^d)$为包含右连续左极限(rcll)路径的空间，$X$为其典型过程。拓扑由sup范数定义，记$\Lambda=\{(t,\omega{\cdot\wedge t}):t\in[0,1],\omega\in\Omega\}$。

- 函数空间与测度空间： $Cb(\Omega)$为有界连续函数集合，$\mathcal{M}(\Omega)$为有限带符号测度集合。引入了Le Cam的混合拓扑$\mathfrak{T}t$，用于处理非局部紧空间上的对偶性问题，避免通常范数拓扑下的测度空间课题。

• 随机积分背景： 对所有属于$\mathcal{Q}$（$X$为平方可积鞅测度族）中的测度和所有$rcll$控制策略$q$，路径层面定义积分$\int qt dXt$，后续章节将详述测度和积分的技术细节。

- 扩展空间： 通过引入额外路径$\Theta$（带参数停止时间$\theta$的路径集合），构建$\bar{\Omega} = \Theta \times \Omega$，使得美式期权行权问题转为欧式期权问题。

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2.4 美式期权鲁棒定价等价于扩展空间欧式期权定价（第4-8页）

• 核心定理3.1： 表明

$$
\sup{\mathbb{P}\in\mathcal{Q}^E,\tau\in \mathcal{T}^\mathbb{P}} \mathbb{E}^\mathbb{P}[Z\tau] = \sup{\bar{\mathbb{P}} \in \bar{\mathcal{Q}}^E} \mathbb{E}^{\bar{\mathbb{P}}}[Z(\theta,\omega{\cdot\wedge \theta})]
$$

其中两边分别是美式期权在原空间中以策略-停止时间对组合计算的期望上界，与在扩展空间中统一用测度的单一期望计算的上界相等。$E=(E1,E2)$为测度约束集合。

• 随机停止时间的凸化（定义3.2，例3.3）：

- 将传统停止时间、测度对通过随机停止时间的过程$A$表示，$At$表示停止的累计比例，避免停时的非凸性。
- 利用Azéma超鞅及其乘法分解（定理3.5）技术，将任意适合的测度$\mu$对应为停止时间与测度$(\tau,\mathbb{P})$的组合，确保等价且保留马氏性（引理3.8, 3.10）。

• 对偶性的证明策略：

- 利用随机停止时间的无前瞻性特征和马氏性质使得优化问题具备凸性，能应用对偶理论。
- 解决了Neuberger（2007）识别的定价-对冲对偶性缺口，在赛义迪（赛义迪）中通过扩展市场和时间路径，修复对偶性。

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2.5 路径层面随机积分与鲁棒超额对冲价（第9-13页）

• 路径级随机积分定义（4.1）：

- 引用Karandikar（1995）方法，依赖离散近似的Riemann和极限定义路径上的随机积分，保证对任何$\mathbb{P}$鞅测度成立，且路径作品类$\mathcal{Q}$中积分等价于经典伊藤积分。
- 控制策略$q$选为$Cb(\Lambda;\mathbb{R}^d)$，保证所有鞅测度上一致的积分定义。

• 超额对冲价定义（4.2）：

- 超额对冲价$\pi{g,E}^A(Z)$定义为可同时进行动态交易基础资产$X$和静态交易欧式期权$g$的最低初始资金，使得对应组合策略对任何行权时间$u\in[0,1]$均覆盖支付$Zu$的最小值。
- 当无欧式期权$g=0$，策略后半段动态调整无需求，这时超额对冲价简化，等价于标准动态超额对冲价（引理4.1）。

• 弱对偶不等式（命题4.2）：

- 超额对冲价大于在静态欧式期权价格校准下，所有鞅测度及停止时间对应的期权期望上界。
- 该不等式通常严格，因为静态期权约束限制了行权策略的丰富性。

• 双重市场动态扩展与对偶性缺口示例（4.3）：

- 通过构造一个股票价格半截期平稳后期为几何布朗运动的特例（示例4.3），说明静态欧式期权校准条件下，无法达到动态交易且具有额外信息辅助下的最优期望，产生对偶性缺口。
- 通过引入额外信息过程$Y$（如欧式期权价格动态路径）构造扩展市场$\widehat{\Omega}$，允许在$[-\delta,1]$区间动态交易欧式期权，修正对偶性缺口（引理4.4，命题4.5）。
- 该扩展技术基于Cvitanic和Karatzas(1993)的约束市场理论，扩展了美式期权持有者的行权信息集，恢复了理想的定价-对冲对偶关系。

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2.6 估值假设及定价-对冲对偶性主定理（第14-19页）

• 市场模型假设（假设5.1）：

- 基于连续路径空间$\Omega=C([0,1];\mathbb{R}^d)$。
- 利用路径上的二次变差$\langle X\rangle$定义波动率过程$\betat$，约束其取值于闭凸集$\mathfrak{E}(t,\omega{t\wedge\cdot})$。
- 允许的测度集合$\mathcal{Q}g^E$对应$\betat$符合该约束，且校准欧式期权价格$g$。

• 定理5.2：美式期权鲁棒定价-对冲对偶性

- 在上述假设及路径可测性、波动率约束下，美式期权超额对冲价等于所有允许测度及利用所有丰富信息（动态交易欧式期权情况）下的最优期望，即在扩展空间$\widehat{\Omega}$中取最优停止时间的期望上界，此为最终鲁棒对偶性表达式。

• 欧式期权鲁棒对偶性回顾（命题5.4-5.5）：

- 利用Guo和Loeper（2021）的最优传输理论，欧式期权超额对冲价等于所有校准测度期望的上确界。
- 复杂约束下，对偶问题可用功能伊藤微积分及偏微分算子表述。

• 功能伊藤微积分与对偶结构：

- 对偶定价利用了路径依赖偏微分算子，定义了$C^{1,1,2}$类函数空间，满足对应的泛函伊藤公式，保证对冲策略有界连续且积分良定义。

• 美式期权超额对冲与欧式期权对偶性衔接（引理5.8）：

- 证实在扩展空间中对偶性成立的欧式期权价格下界控制了美式期权超额对冲价，上下界匹配即得到鲁棒定价-对冲对偶性闭环。

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3. 图表与数据解读

本报告为理论性研究，主要论证以定理、命题及概率测度、路径空间构造等数学符号形式呈现，未出现数值表格或传统意义的图表。

• 报告中所有的集、测度及随机过程定义均构成作者论证的核心“图表”与“框架”，例如：

- 扩展空间$\bar{\Omega}$和$\widehat{\Omega}$的构造，如$\Theta \times \Omega$。
- 定义的各类测度族$\mathcal{Q}, \mathcal{Q}^E, \bar{\mathcal{Q}}^E, \widehat{\mathcal{Q}}^{\widehat{E}}$等映射鲁棒市场模型，反映约束集及交易策略的可行性空间。

• 该数学结构体现了美式期权在鲁棒框架中的复杂信息集和约束，实现了经典确定性停时变量到随机停时过程的凸化和动态化映射。

- 示例4.3中利用几何布朗运动模型构造了对偶性缺口的存在性证明，巧妙地通过合成模型参数和路径属性，具体体现了理论结果的现实经济意义。

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4. 估值分析

• 本文估值框架基于最优传输（Optimal Transport）与马鞅约束（Martingale Constraint）：

- 评估测度集合为使基础资产价格过程为平方可积马氏鞅且其二次变差符合波动率约束集。
- 利用函数变分及泛函伊藤微积分方法，构造对偶Problem满足偏微分不等式，权衡对冲策略和支付函数关系。

• 采用扩展路径空间将美式期权转换为欧式期权，对偶估值方法直接适用Guo和Loeper(2021)的连续时间综合传输框架，确保存在无对偶缺口的理想估值。

- 价差或对偶价的敏感性分析隐含于波动率参数集合$\mathfrak{E}$变化，对于$\mathfrak{E}$单点时，结果退化为经典确定性波动率模型定价。

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5. 风险因素评估

• 核心风险在于模型不确定性（Knightian不确定性），包括：

- 波动率模型约束集$\mathfrak{E}(t,\omega_{\cdot\wedge t})$选择的敏感性。
- 静态欧式期权价格约束引发的“对偶性缺口”，即市场信息不及时或不完整导致的定价失真（示例4.3）。

• 报告提出通过动态扩展市场（允许动态交易欧式期权并且提前获取价格信息）一定程度缓解上述风险，恢复理论对偶关系。

- 另外，构造扩展市场需面对信息暴露时间（例如$t=0$处期权价格可能不连续）的技术风险，报告通过引入时间$\delta$前的区间，模拟预先交易实现解决方案。

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6. 批判性视角与细微差别

• 潜在偏差与限制：

- 报告假设资产价格路径为连续半鞅，且波动率约束为闭凸集，这在实际市场可能不完全成立或难以精准刻画。
- 对扩展空间中的动态交易假设较为理想化，实际市场中欧式期权价格不一定具备可用的动态交易流动性。
- 对复杂测度空间操作依赖大量技术假设，虽证明严谨，但部分构造较难以直接实现或观察验证。

• 理论与实际的差异：

- 虽然督促解决了对偶性缺口，但扩展市场的动态期权选择依赖于额外路径信息，可能带来新的市场隐患或模型风险。
- 卷入了多个高维路径空间和功能空间，增加理解和计算难度，实际数值实现面临挑战。

• 细节处理中谨慎合理：

- 充分利用随机停止时间和Azéma超鞅的深刻概率工具，将困难问题转化为可控结构。
- 清晰区分静态与动态交易期权的混合对偶性问题，避免了简化分析可能失误。

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7. 结论性综合

本报告从理论上系统地构建了连续时间框架下，考虑模型不确定性和波动率限制的美式期权鲁棒定价与对冲体系。其核心成果包括：

1. 美式期权与扩展空间欧式期权的同价性： 证明了美式期权的鲁棒最优行权期望价值等价于在扩展空间中欧式期权的期望价，充分利用了随机停止时间和Azéma超鞅分解的概率工具。
2. 对偶性缺口的揭示与修正： 通过构造具体的应用示例，展示静态欧式期权约束引入的典型对偶性缺口，提出了动态扩展市场框架，使欧式期权价格可动态交易，进而恢复对偶性。
3. 路径级随机积分及广义对冲策略： 采用Karandikar（1995）路径积分方法，保证了在多种测度下随机积分定义一致性，为对冲策略的鲁棒设计提供坚实基础。
4. 基于最优传输理论的估值工具： 运用Guo和Loeper（2021）的马鞅最优传输方法，实现对波动率约束模型中欧式期权的鲁棒对偶性，进而推导美式期权定价。
5. 完整严谨的连续时间理论体系： 从数学分析到概率测度，从优化对偶到动态市场扩张，构建了一套适用于现实复杂市场环境的鲁棒数学金融框架。

综上，该报告不仅提供了美式期权在不确定波动率环境下系统性的数学解决方案，而且开辟了基于动态扩展市场的全新对偶分析路径，对理论金融和数理金融工程领域具有长期的指导意义和应用潜力。

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参考

所有分析均依据提供报告全文内容，引用页码均严格标注：

• 引言与文献背景：[page::0][page::1][page::2]

- 扩展空间与随机停止时间相关理论：[page::3][page::4][page::5][page::6][page::7][page::8]

• 路径积分与超额对冲定义：[page::9][page::10][page::11][page::12][page::13]

- 估值假设与定价对偶定理：[page::14][page::15][page::16][page::17][page::18][page::19]

（报告全文中无数值表格和传统图表，分析以理论论述和定理结构为核心。）

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总结

本报告所提出的美式期权鲁棒定价与对冲对偶性框架，弥补了连续时间模型中长期悬而未决的理论空白，结合概率分析与最优传输，实现在波动率及市场信息不确定条件下的数学对偶等价关系。且通过动态扩展交易市场，克服因静态期权约束导致的对偶性缺口，具有重要的学术价值和潜在的金融工程应用前景。

报告