• 研究背景与问题定义 [page::0][page::1][page::4]

- 美式期权定价在双资产跳跃扩散模型下归结为二维变分不等式，包含交叉偏导和非局部积分项。
- 使用对数价格变量对问题区域进行有限截断并定义相应边界条件，截断误差以域大小指数衰减，保证数值解准确性。
- 价函数视为粘性解，确保数值方法收敛性的比较原理成立。

• 绿函数及其级数展开 [page::7][page::8][page::9]

- 绿函数表示关联PIDE的解，体现空间平移不变性，简化为二维卷积核。
- 推导绿函数的傅里叶变换解析形式，结合Poisson跳跃过程，绿函数可展开为非负无穷级数。
- 对Merton模型，级数项可显式计算，且截断级数误差有严格界限，满足收敛速率要求。

• 数值方法及算法实现 [page::9][page::10][page::11][page::12][page::13]

- 时间步进中，通过明确处理变分不等式约束，计算期权持有价值，并结合绿函数卷积积分形式递归求解。
- 对积分区域进行截断与空间离散，采用二维复合梯形数值积分保证二阶误差。
- 通过Toeplitz矩阵结构与二维快速傅里叶变换(FFT)实现高效卷积计算，极大提高计算速度。
- 算法复杂度为$\mathcal{O}(M N J \log(N J))$，其中$M$为时间步数，$N,J$为空间离散数，适合大规模计算。

• 数值分析保证 [page::14][page::15][page::16][page::17][page::18][page::19][page::20]

- 在合理的空间时间步长下，边界截断误差、数值积分误差及级数截断误差均控制在二阶量级。
- 证明数值方案的$\ell_{\infty}$稳定性；方案在粘性解意义下局部一致性，满足单调性条件。
- 结合比较原理，确保方案收敛于唯一、连续的粘性解，实现美式期权问题的稳定且一致的数值求解。

• 数值实验与实证验证 [page::21][page::22][page::23][page::24][page::25]

- 在多组模型参数及不同期权类型（最小值平价和平均值平价）上进行数值求解验证。
- 计算结果与已有文献中运算符分裂法精度高度吻合，体现数值方法的有效性。
- 早期执行区域形状清晰，与理论预期一致，体现方法在捕捉早行权边界上的准确性。
- 通过对截断域大小和边界条件的敏感性测试，确认本方案的数值稳定性和鲁棒性。

金融研究报告深度分析报告

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1. 元数据与报告概览

• 报告标题：《Numerical analysis of American option pricing in a two-asset jump-diffusion model》

- 作者：Hao Zhou, Duy-Minh Dang

• 发表机构与日期：未明确具体机构，日期为2025年4月11日

- 研究主题：美国期权定价，具体在两资产相关跃迁-扩散模型（Merton模型）框架下的数值分析。

• 核心论点与贡献：

- 本文针对两资产相关联的Merton跳跃扩散模型下的美国期权定价问题，提出了一种新颖、高效且易于实现的单调积分数值方法。
- 现有方法中，尤其是以有限差分为基础的算法，在近似处理交叉导数和二维跳跃积分时常遇到单调性丧失，导致数值方案无法保证收敛至黏性解。
- 作者通过推导该问题的二维绿函数的无限级数表示式，利用其正项性质，实现了基于二维卷积的积分离散，从而构建了单调、稳定且一致的数值方法，确保了方案向黏性解的收敛性。
- 高效算法利用Toeplitz矩阵结构与快速傅里叶变换（FFT）加速计算。
- 数值实验验证了方法的有效性、稳定性及其与文献中基准算法（如算子分裂法）的高度吻合。

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2. 逐节详细解读

2.1 引言与相关工作综述

• 问题背景：

- 美国期权定价涉及变分不等式，最优停止问题使得价值函数通常不光滑，黏性解理论成为数学工具。
- 在黏性方案数值分析中，三大性质——$\ell\infty$稳定性、一致性及单调性是保证算法收敛至黏性解的关键条件，尤其单调性难以实现但又极其重要。

• 已有的方法局限：

- 面向一维模型的单调有限差分法已成熟，二维相关资产情况下处理交叉导数困难。
- 交叉导数的局部坐标旋转技巧虽有进展，但计算量大，且难以精确离散跳跃非局部积分项。
- Fourier基积分方法（如COS法）表现出高阶收敛，但对非光滑和复杂控制问题易失去单调性，地产生负价，违背无套利原则。
- 最近的$\epsilon$-单调Fourier方法已缓解部分问题但应用范围仍有限。

• 本文定位：

- 将此前仅限于一维跳跃扩散资产配置的单调积分思路，推广到完整二维跳跃扩散模型（两个相关资产），针对美国期权问题进行系统研究。
- 且证明该方法在连续时间框架下收敛。

2.2 美国期权在两资产Merton跳跃扩散模型下的数学建模

• 模型方程：

- 两资产价格过程$Xt, Yt$服从Merton跳跃扩散动态，表达式中包括:
- 无风险利率$r$
- 波动率$\sigmax, \sigmay$
- 跳跃强度$\lambda$
- 跳跃乘子$\xix, \xiy$符合对数正态分布，相互相关，统计特性详见(2.1)-(2.2)式。
- 价格空间采取了对资产价格的对数变换，使空间域$\mathbb{R}^2$无界，简化算子结构。

• 变分不等式形成：

- 美国期权价值函数满足如下变分不等式：

$$
\min \left\{
\frac{\partial v}{\partial \tau} - \mathcal{L} v - \mathcal{I} v, \quad v - \hat{v}
\right\} = 0
$$

其中$\mathcal{L}$为扩散微分算子，$\mathcal{I}$为非局部积分算子，体现跳跃项，早期行权条件通过不等式体现。

• 区域局部化与边界条件处理：

- 由于空间无界，定义有限计算空间$\mathbb{D}{in}$，其外部设定人工Dirichlet边界条件，边界附近误差通过理论证明（Lemma 2.1）以指数速率衰减，表明有限域计算有效。
- 方程中明确说明边界函数为支付函数的贴现形式。

• 黏性解与比较原理：

- 價值函数为变分不等式黏性解，且在局部域满足比较原理（Lemma 2.2），为后续数值方法收敛理论打下基础。

2.3 关键数学工具：Green函数及其级数展开

• 二维PIDE的Green函数定义与性质：

- Green函数为PIDE转移核，因空间平移不变性简化为仅依赖位移差。

• Fourier变换表达：

- Fourier域的Green函数$G(\etax, \etay, \Delta \tau)$有显式闭式表示(3.3)，依赖协方差矩阵$\tilde{C}$和跳跃分布的特征函数$\Gamma(\eta)$。

• 无限级数表示（Lemma 3.1）：

- 通过泰勒展开跳跃部分、并利用多维高斯卷积，Green函数表示为

$$
g(z, \Delta \tau) = \frac{1}{2\pi \sqrt{\det(C)}} \sum{k=0}^\infty gk(z, \Delta \tau)
$$

其中每一项均为正可计算的积分，高效且保证单调性。

• Merton模型特化（Corollary 3.1）：

- 对对数正态跳跃乘子积，级数项具体为高斯核的有限卷积，便于计算。

• 对2-D Kou模型的展望：

- Kou模型的跳跃密度为分段指数结构，级数卷积及积分复杂度极高。
- 提议利用经过训练的神经网络，将复杂跳跃分布逼近为有限高斯混合模型，保证非负且便于FFT卷积计算，未来工作方向。

• 级数截断误差与收敛速度（3.9）：

- 通过泊松尾概率与傅里叶积分的有界性估计，级数截断误差可控，满足精度需求时项数增长缓慢为$\mathcal{O}(\ln(1/\Delta \tau))$.

2.4 数值算法结构与离散方案

• 时间步进策略与早期行权处理：

- 将变分不等式通过时间步上的PIDE与最大值操作分离：

$$
v^{m+1} = \max\{u^{m+1}, \hat{v}\}
$$

其中$u$为PIDE连续持有价值，求解无早期行权结构。

• 空间卷积与计算域截断：

- $u^{m+1}$通过Green函数与上一时刻价值的二维卷积给出。
- 积分域截断为有限矩形$\mathbb{D}^\dagger$，卷积过程中需在更大矩形$\mathbb{D}^\ddagger$上计算Green函数。

• 空间和时间网格划分：

- 均匀网格，三个层级空间网格区间数：内部区域$N$, 扩展区域$N^\dagger=2N$, 和更大区域$N^{\ddagger}=3N$，保证网格一致性。

• 数值积分方法：

- 应用二维复合梯形积分公式对卷积分离计算，并权衡截断误差与离散误差。

• 单调性保证：

- 重要的是，Green函数级数各项非负，经精细截断后权重仍非负，保证了整体卷积算子单调性（Remark 4.1）。

• FFT加速：

- 利用Toeplitz矩阵结构将二维卷积转化为循环卷积，使用FFT与逆FFT实现快速算法，计算复杂度从$O(N^2J^2)$降至$O(NJ \log (NJ))$。
- 算法中仅需一次预处理计算权重数组，节省计算资源。

2.5 理论保证：误差分析与收敛性定理

• 误差来源：

- 边界域截断误差$\mathcal{E}b$，与积分域延展量相关，指数衰减但需要随时间步$\Delta \tau$缩小而延长计算域，详见估计式(5.2)。
- 数值积分误差$\mathcal{E}c$，由复合梯形规则产生，2阶精度。
- 级数截断误差$\mathcal{E}f$，由Green函数级数截断引入，随着截断点$K=\mathcal{O}(\ln(1/\Delta \tau))$控制为$\mathcal{O}(\Delta \tau^2)$。

• 网格参数协调（Assumption 5.1）：

- 网格宽度空间与时间步同步缩小，即$\Delta x = C1 h, \Delta y = C2 h, \Delta \tau = C3 h$，计算域边界区间宽随$1/h$增长。

• 数值方案的稳定性（Lemma 5.3）：

- 通过归纳及权重和界的控制证明数值解在$\ell\infty$范数下有界，防止数值爆炸。

• 一致性证明（Lemma 5.6）：

- 通过Taylor展开与傅里叶逆变换处理，推导数值方案在极限网格细化时与变分不等式算子的黏性解定义相符。

• 单调性验证（Lemma 5.7）：

- 依托非负权重矩阵及$\max$操作，证明数值方案对初值单调，保证满足Barles-Souganidis框架。

• 最终收敛性结论（Theorem 5.1）：

- 利用$\ell\infty$稳定性、一致性与单调性，同时结合局部比较原理，证明方案逐点收敛至唯一黏性解。

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3. 重点图表与数据剖析

图式1：空间域划分示意图（图2.1，图4.1）

• 显示计算域$\mathbb{D}{in}$与外部区域$\mathbb{D}{out}^\infty$、$\mathbb{D}^{\dagger}$、$\mathbb{D}^\ddagger$的相对位置关系。

- 示意说明为了卷积积分需考虑的更大域，支持截断误差理论。

• 这为数值离散提供空间框架基础，有助界定误差来源和资源分配。

数值结果验证表

• 表6.1-6.3：模型参数与网格细化设置，对不同跳跃强度（Cases I-III）均有具体配置，精细度与时间步同步进阶。

- 表6.4、6.5：
- 分别为put-on-min和put-on-average两类期权的数值价和收敛率。
- 结果显示约一阶收敛趋势（级数中Change Ratio约在2左右），与文献中算子分裂方法结果高度一致。

• 图6.1、6.2：

- 早期行权区图示，展示在不同网格细化阶段的期权最优停时区形态。
- 区分清晰的延续和行权区，验证算法对早期行权自由边界的有效捕捉。

• 表6.6-6.8：

- 域大小影响测试，扩大计算域至二倍后误差微乎其微，缩小域则误差明显，验证理论边界误差估计精度。
- 边界条件选取测试，使用贴现支付函数与更复杂渐近边界条件效果几乎一致，支持文章提出简化边界条件的实用性。

• 表6.9-6.10：

- 大规模横向测试，涵盖不同跳跃强度、标的价格与敲定价格的组合，数值结果与参考文献吻合，强调该方法的适用范围与鲁棒性。

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4. 估值方法解构

• 本文估值基于变分不等式的黏性解理论，非封闭式解析表达，主要采用二维偏积分-微分方程（PIDE）的数值逼近。

- 数值算法主轴为基于绿函数无限级数展开，其中每项皆非负，利用二维卷积积分实现时间步的资产价分布演进。

• 采用Monotone Scheme保证对交叉导数和完整跳跃积分的稳定逼近，满足Barles-Souganidis一致性理论内部条件确保收敛。

- FFT加速意味着计算复杂度为 $\mathcal{O}(M N J \log (N J))$，对二维网格规模具备良好扩展性。

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5. 风险因素及局限评估

• 模型风险：

- Merton跳跃扩散模型的参数（跳跃率与跳跃幅度分布）强烈影响价格表现，参数误设可能导致定价偏差。

• 数值风险：

- 空间截断及时间步选取不当会导致截断误差，尽管论文提供理论估计，实务中仍需平衡成本与精度。

• 方法风险：

- 尽管扩展至Kou模型的神经网络方法有前瞻性，但其准确性与训练稳定性待验证，且可能失去解析简洁性。

• 敏感性分析缺失：

- 报告中无对估价对关键参数敏感性的具体分析，实际应用可能需补充此项。

• 未来潜在改进：

- 当前数值方案为显式纯数值方式，未来可探索迭代惩罚方法和隐式时间积分提升时间精度。
- 对非对数正态分布跳跃模型的适用性及扩展仍处于研究阶段。

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6. 审慎视角与细微差别分析

• 文章在维持客观严谨的同时，强调了单调性对于收敛的关键性，并指出非单调方案在部分特殊情况下可能收敛，表明理解单调性必要性的开放性问题。

- 对于多维跳跃扩散数值求解中常见的交叉导数离散困难，作者提出创新解决方案，但仍可能面临计算复杂度上升的限制。

• 有限空间域导致边界误差，尽管理论估计充分，但实际复杂金融产品中该误差可能放大，须结合实际市场标的做额外校验。

- 文本中对仓位调整等复杂控制问题的扩展论述较少，未来如何将该方法应用至更复杂资产管理中仍是挑战。

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7. 结论性综合

本文系统地提出并分析了一个针对相关性两资产Merton跳跃扩散模型下美国期权定价的单调积分数值方法。核心创新在于推导了相关PIDE的二维绿函数的无限非负项级数表达，通过二维卷积结合级数截断实现了计算效率和数值稳定性兼顾的算法。

在包括交叉导数和非局部跳跃积分算子的复杂二维变分不等式中，建立了严格的理论框架，证明算法的$\ell\infty$稳定性、一致性及单调性，从而在黏性解的数学定义下保证了收敛。该理论补充了现有文献中多资产跳跃扩散的数值方法中对单调性和收敛性的不完备理解。

算法借助FFT实现快速卷积，理论复杂度显著优于传统有限差分方法，使得二维美国期权问题在现实参数组合下具备可解性。通过多组标杆数值测试——包括“最小资产价”与“平均资产价”两类期权，且跨越不同跳跃强度——展现了方法的高精度与稳健性，结果与文献中的算子分裂方法高度一致。

此外，报告中通过对空间域大小与边界条件影响的系统测试，证明边界设定的合理性及对精度的微弱影响，强有力地支持实务中的简单边界条件选择。

最后，本文指出目前方法在处理更复杂跳跃模型（如二维Kou模型）时仍存在挑战，建议采用神经网络近似策略作为未来改进方向，同时提出扩展至金融资产配置等更复杂随机控制问题的可能路径，预示着本工作在金融工程数值分析领域的开创性意义。

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重要图表摘要

• 图2.1与图4.1展示了用于数值计算的空间域分区结构，说明了如何在有限区域内精确实现非局部算子。

- 表6.4和6.5为两种电子期权类型的收敛测试，首次到四次细网格，显示第一阶收敛且数值价格逼近参考的算子分裂方案。

• 图6.1和6.2清晰展示了早期行权区域在二维空间的形状，体现了数值方案对免费边界的解析能力。

- 表6.6至6.8分别验证了计算域大小和边界条件对价格影响的最小性，支持理论中的误差估计有效。

• 表6.9与6.10列出广泛参数测试结果，与文献基准结果高度吻合，体现通用适用性。

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总体评价

本文以高严密度数学推导连接两资产跳跃扩散模型美国期权的数值定价难题，提出创新的单调积分方法，满足当前数值金融领域对高维复杂模型的求解需求。理论与数值双重验证充分，方案高效且在实际参数设置中具有优良表现，适合作为该领域数值方法的基准和参考。

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参考文献标注示例

• 关于黏性解基础理论和单调收敛性：[page::0][page::1][page::6]

- Merton跳跃扩散模型数学描述与变分不等式构造：[page::3][page::4]

• 绿函数无限级数展开与性质：[page::7][page::8][page::9]

- 数值积分方案设计、单调性及FFT加速：[page::10][page::11][page::12][page::13]

• 稳定性、一致性与收敛性严谨证明：[page::14][page::15][page::16][page::17][page::18][page::19][page::20]

- 数值验证与参数灵敏性分析：[page::21][page::22][page::23][page::24][page::25]

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附：报告中关键公式丰富的数学表达

（文中多处为二维偏微分算子、积分卷积及对应的级数展开式，如：

$$
g(z,\Delta\tau)=\frac{1}{2\pi\sqrt{\det (C)}}\sum{k=0}^\infty \frac{(\lambda \Delta\tau)^k}{k!} \int{\mathbb{R}^2} \cdots \int{\mathbb{R}^2} \exp\left(\theta - \frac{(\beta + z + Sk)^\top C^{-1} (\beta + z + Sk)}{2}\right) \prod{\ell=1}^k f(s\ell) ds1 \cdots dsk
$$

）

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此文档意在为金融研究人员、数值分析师及金融工程师全面解析本文所述金融数值方法的理论基础、算法实现与实证效果，便于深入理解和二次开发。

报告