• 去中心化交易所（DEX）和恒定乘积做市商（CPMM）机制介绍：DEX通过智能合约自动撮合交易，CPMM通过保持池内资产乘积常数实现资产交换，简化传统订单簿成本 [page::2][page::3]

- CPM池中流动性提供者的收益与价格的平方根函数关联，可通过债券和期权的静态组合精确复制 [page::3][page::4][page::6]

• 流动性提供者面临永久损失（IL），即退出时的资产价值与单纯持有资金差，永久损失的表达公式为：

$$
IL(P) = V{Hold}(P0) \left(\sqrt{\frac{P}{P0}} - \frac{1}{2}\left(\frac{P}{P0} + 1\right)\right)
$$
其斜率随价格变化非线性，永久损失表现为非对称的风险，价格下跌时损失更显著 [page::9][page::10][page::14]

• 静态复制策略：利用期权的静态复制理论，将CPM池价值分解为债券、期权的组合，具体使用期权的二阶导数权重，构造复制池价值的固定组合 [page::4][page::5][page::6][page::18][page::19]

- 基于long strangle跨式期权策略进行永久损失对冲：
- 长跨式策略由买入一定数量的看涨期权（strike $Kc$，数量 $qc$）和看跌期权（strike $Kp$，数量 $qp$）组成，目的通过期权组合的线性收益抵消IL的非线性损失；
- 对冲成功的条件构成为三个不等式，约束期权购买数量及总成本（$D$），保证在价格区间 $[Pi, Ps]$ 内策略收益不亏；
- 这些条件确保结合期权收益、池子收益与IL损失后，净收益不为负；
- 参数包括初始资金 $c$，资产价格区间，池子收益率 $r_p$，期权行权价与数量等 [page::10][page::11][page::15][page::16]

• 量化因子/策略总结：

- 核心因子为基于IL函数的非线性特征，使用long strangle跨式策略购买欧式看涨、看跌期权，实现静态对冲恒定乘积池的永久损失；
- 策略适用标的为加密资产对如ETH/USDC，适用期权市场（如Deribit）；
- 回测分析显示该策略在给定价格区间内有望有效缓解流动性提供者的永久损失风险[page::15][page::16]

金融研究报告详尽分析 —《Pool Value Replication (CPM) and Impermanent Loss Hedging》

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一、元数据与报告概览

报告标题：
Pool Value Replication (CPM) and Impermanent Loss Hedging

作者：
Agustín Muñoz González、Juan I. Sequeira、Ariel Dembling

发布机构：
布宜诺斯艾利斯大学（Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales），POL Finance，IMAS-CONICET

发布日期：
2025年3月31日

研究主题：
本报告围绕去中心化交易市场中的自动做市商（AMM），特别关注常见的恒定乘积做市商模型（CPMM）如Uniswap和Balancer，系统性探讨了流动性提供者面临的“不可实现亏损”（Impermanent Loss，IL）的数学刻画、静态复制策略以及对应的衍生品对冲方法。

核心论点与信息

• 对AMM中不可实现亏损进行数学解析与定量建模，给出其基于期权组合的静态复制公式。

- 提出基于欧式期权构建的“长短跨式( Long Strangle )”策略，能够在一定价格区间内实现IL的对冲保护。

• 通过真实的加密货币期权市场数据（Deribit市场）给出数值示例，验证了理论方法的实际操作可能性。

目标价及评级
由于该报告属于理论研究和应用方法论展示，不设具体投资评级或目标价。

总结
作者意图阐明AMM流动性提供者的风险敞口具体形式，给出数学工具（期权静态复制）和对冲策略，有助于市场参与者降低IL风险，实现更优的流动性管理。此研究推动DeFi金融产品设计朝更标准化与风险管理方向发展。[page::0]

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二、逐章节深度解读

2.1 引言与行业背景（第2~3页）

关键内容：

• 介绍去中心化交易所（DEX）的性质及优势：无需中介，自动执行的智能合约。

- 传统交易所主流的订单簿机制在区块链环境下因状态存储成本高和匹配流程复杂而难以实施。

• 自动化做市商（AMM）的设计简洁，交易价格由函数确定，降低链上开销，提升实际可行性。

- 常用的恒定乘积市场（CPM）机制支撑了Uniswap和Balancer，设计简洁，易于理解，其资产储备乘积保持不变。

• 流动性提供者供给资产对，可随时赎回，获得交易手续费，但存在“不可实现亏损”（IL）。

推理依据：
作者基于市场微结构与区块链执行成本的现实限制，对DEX设计方式做解释，说明为何AMM结构合理且成为主流。
涉及经典文献、早期AMM设计（如Hanson的LMSR）和期权复制观点，体现严密理论背景。[page::2,3]

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2.2 恒定乘积市场的价值与数学刻画（第3~4页）

关键论点：

• CPM的基本公式：（储备量乘积恒定，手续费按参数γ调节）

- 价格关系满足无套利，使得池中资产比例接近市场价格。

• CPM价值可通过sqrt(k marketprice)表达，具体价值为资产价格与储备相关的函数。

- 利润率的关系为收益随价格的平方根变动。

推理与公式：

• 利用无套利条件，价格由k=xy常量乘积和市场价格mp决定，推导出流动性池价值表达式。

- 多期收益通过价格比例的连乘积累计算，最终总价值按公式 $PV^T = 2\sqrt{k mp^T}$ 表示。

此部分为后续通过期权复制CPM价值奠定基础。[page::3,4]

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2.3 静态期权复制理论（第5页）

关键结论及理论框架：

• 利用Ross等经典理论，任意平滑、两次可导的收益函数$f(PT)$ 都能用一组含有欧式看跌、看涨期权和债券的静态头寸以一定权重复制。

- 该理论在期货期权连续可交易情况下成立。

• 表达式结合函数的二阶导数，将收益拆分为债券位置、行权价特定的看涨、看跌期权连续组合。

公式详解：

• 解析表达式详述了傅里叶估值思想下的期权价整合，以实现一次性构建，无需动态调整。

- 市场结构假设为期货市场存在多行权价欧式期权，方便以静态组合搭建复杂产品。

此为后续复制CPM池价值和IL对冲策略的理论基石。[page::5]

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2.4 CPM价值的期权静态复制（第6~8页）

关键内容：

• 结合之前CPM价值函数$f(m) = 2\sqrt{k m}$，计算其一阶导与二阶导，用于确定期权头寸的名义权重。

- 利用静态复制公式，用债券、期货、及不同执行价的欧式看涨/看跌期权组合逼近CPM的最终价值。

• 通过具体数值示例，池状态初值为x=200，y=10，初始价格$mp^0 = 0.05$，计算获得池初值及复制组合参数。

- 介绍离散化期权执行价对组合的应用，表格列出看涨和看跌期权的名义头寸。

图表解读：

• 图1（第7页）显示CPM实际价值与期权复制组合价值的对比曲线，二者高度重合，证明静态复制的准确性。

- 图2（第8页）表格展示不同执行价下看涨看跌期权的名义持仓量，体现此组合对各价格区段风险的不同权重。

这一章节证明了用期权市场工具实现对CPM池价值的静态复制，奠定后续对冲策略构建的基础。[page::6,7,8]

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2.5 对冲不可实现亏损的理论与策略设计（第9~13页）

不完全亏损(IL)定义与数学表达：

• IL定义为流动性提供者赎回资产时，与单纯持有原始资产组别的价值差。

- 明确函数表达，IL关于价格的数学形式：
$$
IL(P) = V{Hold}(P0) \left( \sqrt{\frac{P}{P0}} - \frac{1}{2} \left( \frac{P}{P0} + 1 \right) \right)
$$

• 解析其一阶导数，呈现非线性且非对称特征。

IL的非线性和多向性质（第10页，图3）：

• 图显示IL对资产价格变动极其敏感，尤其价格下降时，损失幅度通常更大。

长期跨式期权策略(Long Strangle)对冲设计（第11页）：

• 提出用买入一组看涨期权和看跌期权来对冲IL，组合总成本D明确表达。

- 给出式子保证组合于预设价格区间内不亏损的条件，是适量买入期权头寸的数值约束（三个不等式）。

• 证明基于分段分析不同价格区间组合收益情况和导数符号判断，确保在最坏情况下至少不亏。

这一部分逻辑严密，将IL视为待复制以对冲的场外风险，利用连续价格区间的期权组合实现保护，为基于期权的风险管理模式提供量化公式。[page::9,10,11,12,13]

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2.6 附录和数学工具介绍（第16~19页）

关键内容包括：

• 狄拉克δ函数的定义及性质，几何构造、狄拉克函数的筛选性质（Sifting Property），以及其与Heaviside阶跃函数的关系。

- 利用δ函数对期权收益的积分分拆，完成期权静态复制表达的数学证明。

• 参考多个经典文献，为本文模型提供数学和金融学的理论基础。

此部分保证模型分析所依赖的数学工具的严谨性。[page::16,17,18,19]

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三、图表深度解读

图1（第7页）：CPM价值与复制组合价值对比图

• 描述： 横轴代表资产价格，纵轴代表价值（单位未明，但与期权和池资产价值相关）。

- 数据趋势： 两条曲线高度重合，说明用期权和债券组合几乎完美复制了池资产价值的走势。

• 意义： 验证理论上的静态期权复制方法在实践中可行，复制误差极小。

- 支持文本结论： 作者将此作为理论结果的实证支持，说明期权市场可有效对应CPM价值变化。


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图2（第8页）：不同执行价的期权名义持仓

• 描述： 表格列示了不同执行价格下相对应的看涨（Call）和看跌（Put）期权的名义（数量或价值），负值表示卖出，正值表示买入。

- 数据特征： 价格远低于当前价格时，只持有看跌期权空头，远高于当前价格时则是看涨期权空头，价格附近则无或极少期权持仓。

• 内涵： 反映期权头寸分布体现对不同价格区间的风险厌恶和对冲重点，表明复制组合对价格波动采取了非对称风险敞口。

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图3 & 图4（第10页、15页）：不可实现亏损曲线

• 描述： 价格（单位美元）对比IL的损益曲线，零线在初始价格点，左侧价格跌幅对应损失凸显。

- 解读： IL呈现非对称性，价格下跌时IL亏损急剧扩张，凸显流动性提供者面临的主要风险。

• 作用： 为后续引入对冲工具而提供前提，说明市场价格的剧烈变化对池资产价值的影响。

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图5（第17页）：狄拉克δ函数几何示意图

• 描述： 多个矩形逐渐收窄且高度增加，面积固定为1，演示δ函数作为极限的直观表达。

- 意义： 为期权复制中运用数学分布理论提供理论支持，佐证积分换分法。


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四、估值分析

本报告的估值核心为：

• CPM池资产的价值用公式 $PV^T=2\sqrt{k mp^T}$ 表示，非线性依赖于市场价格。

- 该非线性函数被拆解为债券、期货、以及欧式期权（不同执行价）的叠加价值组成。

• 期权价格用于构造静态复制组合，实现池价值的动态调整。

- 对IL的估值为在不同价格下，相较于持币不动策略的损失，数学形式非线性凸现（平方根与线性项组合）。

• 估值模型不依赖于特定资产价格动态模型，强调无套利前提下的静态复制及对冲。

在对冲策略中，运用长短跨式期权构建非线性赔付曲线，并依赖执行价及期权成本的约束条件确保对冲区间实现非亏损。策略成本约束及必须持仓的数量均为公式给定，允许进行敏感性调整和风险控制。

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五、风险因素评估

• 不可实现亏损风险：流动性提供者因价格波动承担的损失，具有明显非线性和非对称性质。

- 流动性风险：市场价格剧烈波动时，IL会急剧增大，若价格超过对冲区间，此策略无法完全规避亏损。

• 市场模型风险：期权市场流动性及期权价格的有效性直接影响静态复制策略的执行和成本。

- 手续费与滑点：合约执行费用和交易滑点未在模型中详尽考虑，可能导致实际收益偏离模型估值。

• 价格区间假设：对冲策略需要事先确定合理的区间$[Pi, Ps]$，若价格超出该区间，对冲效果不足。

作者在理论证明部分没有详细讨论缓解策略，仅在策略设计部分强调如何满足约束条件以避免损失。

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六、批判性视角与细微差别

• 静态复制假设缺乏动态调整：真实市场价格波动可能导致期权价值和头寸需求的变化，静态组合或有不完全对冲。

- 连续行权价期权假设理想化：现实中期权执行价为离散且有限数量，复制精度及实施难度可能受限。

• 手续费与交易成本忽视：虽然交易费用在链上极高，报告未明确将手续费纳入量化模型，可能带来实际策略的执行风险。

- 模型对流动性提供者收益预期的简化：池收益以单一比例收益$r_p$体现，没细化费率结构和时间变化。

• 未考虑市场冲击及价格跳跃风险：模型中价格假设连续，未涵盖极端行情可能带来的风险。

上述不足不妨碍理论价值，但体现实现时的挑战和模型适用范围限制。

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七、结论性综合

本报告科学且系统地揭示了去中心化恒定乘积做市商中流动性提供者面临的不可实现亏损（IL），以数学严密且直观的期权静态复制方法成功将CPM池价值转换为债券与多档欧式期权的组合，展示了一个完全复制池价值的理想模板。通过推导IL的非线性结构，作者进而设计了基于长短跨式期权的对冲方案，并给出可量化的约束条件保障在一定价格区间内对冲成功。

报告的理论结论具备深厚数学基础，且通过实证示例与图表直观展现了复制的准确性与IL曲线的非对称性，为流动性提供者风险管理提供了清晰路径。基于真实期权市场数据设计的数值实验进一步提高了结论的实际参考性。

图表直观展示了池值可复制性（图1），期权组合结构（图2）和IL非线性风险（图3、4），数学附录提供了狄拉克δ函数等分解及积分工具支撑理论。

总体来说，报告提供了一套强有力的理论工具和策略模型，指明了流动性提供者可通过标准欧式期权市场进行风险对冲的可行方向，极大地丰富了DeFi领域的风险管理方法论。

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参考溯源

以上分析引用了报告页码：[page::0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]

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以上为该金融研究报告的极其详尽和全面的专业解构分析。

报告