• STV投票机制简介：选民对候选人依偏好排序，逐轮计票通过达成配额当选或淘汰最少支持者，票数多余配额部分按比例转移 [page::1].

- 参与悖论定义：
- 负参与悖论：增加某候选人“最后”排名的选民投票，反而使该候选人赢得选举（见单胜选举Isle of Bute案例）；
- 正参与悖论：增加获胜候选人首位投票，反而失去胜选资格（仅在多胜选举中出现） [page::3][page::5].

• 多胜选举中的复杂悖论：

- 加入支持者排名靠前的选票时，不可能使所有原胜选者落败（Proposition 1）；
- 但可使其中大部分胜者落败，最后的非胜者顶替其位置（Proposition 2，构造性实例详见表5） [page::6][page::7][page::8][page::9].

• 真实案例精选：

- 99个参与悖论证据，其中负参与悖论99例，正参与悖论2例；
- 典型案例包含东邓巴顿郡2022年Bishopbriggs北区，增投支持Pews但将其排名最后导致Pews逆转进入胜选席位。

- 不同案例呈现投票结果对额外投票高度敏感，添加少量或千余选票可引发显著赢家变换，产生悖论。

• 量化悖论影响：

- 比如Pews胜选边际随额外选票数量起伏变化，会出现“跳跃”现象，反映STV复杂的计票动态；
- 插图分析展示了如何通过数据可视化揭示投票悖论机制 [page::11][page::12].

• 其他重要案例：

- East Lothian 2022年Musselburgh区：增投为何子非支持者票使其排名从第六跃至第二，明显展现负参与悖论造成的排名剧变 [page::13].
- Argyll and Bute 2017 Isle of Bute区：少量额外选票影响多位获胜者席位，显示更为复杂的参与悖论 [page::14].
- South Lanarkshire 2022 Rutherglen区：同时出现负和正参与悖论，增投支持者票反促使该胜者落败，非支持者顶替胜出，反映STV计票特性中的不稳定性 [page::15][page::16].

• 数据挖掘与方法：

- 通过Python模拟增加“子弹票”检测可能参与悖论的选举，发现99例实例，涵盖苏格兰1100场地方选举中的典型异常表现 [page::17].
- 详细列举各地方议会选区存在的悖论投票形式及对应被替换候选人，显示悖论的广泛分布与多样表现方式 [page::17-31].

深度分析报告：《SINGLE TRANSFERABLE VOTE AND PARADOXES OF NEGATIVE AND POSITIVE INVOLVEMENT》

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1. 元数据与概览

标题： SINGLE TRANSFERABLE VOTE AND PARADOXES OF NEGATIVE AND POSITIVE INVOLVEMENT
作者： David McCune，William Jewell College
联系邮箱： mccuned@william.jewell.edu
主题： 单可转移投票制（Single Transferable Vote，简称STV）的“负面与正面参与悖论”——当投票者参与度增加或减少时，原本赢家可能变成输家，输家可能变成赢家的现象。
数据来源： 重点依托苏格兰地方政府选举的真实选票数据，以及对其他STV选举如澳大利亚、爱尔兰、美国部分州的背景介绍。
核心论点：

• STV投票制度存在一种特殊的悖论，称为“参与悖论”（involvement paradox），包括负面参与悖论与正面参与悖论。

- 负面参与悖论指的是某候选人虽未获胜，但若增加更多反对者（排名最后）的选民投票，该候选人反而可能获胜；正面参与悖论指获胜者在支持者投票增多之后反而落败。

• 通过苏格兰数据，文章实例说明这些悖论不仅存在，且蕴含复杂数学内涵，挑战了STV的合理性和预期表现。

- 论文提供理论上的最坏情况分析与多例现实世界案例，尤其展示多席位选举中此类悖论的表现。

报告强调，这种投票制度固有的数学“非理性”行为，可能对奖惩投票系统设计有重大启示。[page::0,1]

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2. 逐节深度解读

2.1 介绍章节（第1节）

• 从一个选举失败者的角度引入，设问“是否可能通过增加反对者的投票，使自己赢得选举”。

- 快速引入STV的世界范围应用及该悖论的存在事实。

• 阐释这种“参与悖论”表现为“负面参与”与“正面参与”的范畴。

- 设定全篇分析苏格兰选举为核心，因其数据公开且多为多席位选举。

• 提出STV制度中心理及数学桎梏，为后续讨论铺垫基础。[page::0]

2.2 STV投票制与符号定义（第2节）

• 使用符号$n$表示候选人数，$S$为可选当选名额。

- 各选民以偏好排序表示投票，如$C \succ B \succ D \succ A$表示对候选人的偏好顺序。

• 偏好资料（preference profile）以每种排序的投票数形式呈现。报告用表格1说明此结构。

- STV运行机制概述：围绕第一选择票数与定额（Quota）来逐轮淘汰或当选。

• 定额计算公式为：

\[
\text{Quota} = \left\lfloor \frac{\text{选民总数}}{S + 1} \right\rfloor + 1
\]

• 先淘汰最少票者，票数再转移至未被淘汰候选人的下一个偏好。

- 当票数超过定额，则超过定额的选票盈余部分按比例转移给下一偏好候选人。

• 该过程直到选出$S$人或剩余$S'$人即全当选。

- 该简约版说明配合苏格兰规则的标准STV，重点强调多席位选举。[page::1]

2.3 负面参与悖论单席位案例解析（第3节）

• 以苏格兰Argyll and Bute地区2021年Isle of Bute Ward单席补选为案例（表1和表2）详述STV流程。

- 介绍原始投票情形与第一巡票数：
- 候选人Findlay首轮得701票，Gillies 539票，McCabe 564票，定额为1007。

• 无人达到定额，Gillies淘汰，票数转向Findlay和McCabe，最终McCabe胜。

- 加入26张新选票，这些选票支持Gillies但Findlay被排最后，结果竟导致Findlay胜出。

• 说明这即是负面参与悖论核心例子——增加反对者票反而帮助该候选人获胜。

- 形式定义如下：

选举$(P,S)$出现负面参与悖论，当存在候选人$L \notin W(P,S)$和一组相同投票$B$，其中$L$排名最后，加入$B$后$L$晋升为赢家。

• 阐释此悖论与已知的无投票悖论、单调性悖论等概念相关联。[page::2,3]

2.4 多席位情形下的负面参与悖论（第4-5节）

• 示例2：构造一个2席位大规模选举的理论票箱（表3、表4），其中$A$与$B$初胜。

- 但若增加100张给$C$处末位的新选票，$C$竟然获胜，且$A$与$B$胜负顺序未变，说明负面参与悖论的呈现方式更复杂。

• 详细解释，$A$超过定额多余票的转移比例因新票而影响，给了$C$获胜机会。

- 研究添加选票大范围浮动（从22到3062张）内均能实现此悖论，良好说明此悖论造成的“极端”投票环境。

• 定义正面参与悖论：

若存在获胜者$C$，添加评分中$C$排首的投票后$C$反而失利，则出现正面参与悖论。该现象不可在单席情形出现，但多席可出现。

• 提出单席情况下正面参与悖论不存在，但多席位则允许。[page::4,5]

2.5 理论最坏情况分析（第6-8节）

• 提出Proposition 1：若添加票中所有原胜者皆排前$S$名，则新旧胜者至少有一人相同。换言之，不可能全部原胜者被替代。

- 证明基于选票总量限制与排名结构，排除最极端的换位案例。

• Proposition 2则说明可最大限度替换原胜者中的$S-1$人，且原来票底部的$S-1$人可翻身获胜。

- 通过构造投票档案与计票轮次（表5），展示特别设计的悖论实现方式。

• 包括具体票数设置与比例分配，使得投票转移激化对上述悖论的支持。

- 表明现实数据中难见如此极端，但存在潜在可能性及数学思考价值。[page::6,7,8,9]

2.6 现实世界中的悖论实例（第9-15节）

• 分析苏格兰1100场选举，发现99场存在参与悖论，绝大多数为负面参与悖论，正面参与悖论稀少。

- 举例3（东邓巴顿郡2022年选区）新版选票使排名最后的候选人取代一位当选者，说明在加入支持他人的额外投票时，也可能使排名末尾选手成为赢家。

• 增量讨论：（添加483-4329张新选票），新选票中排名最后候选人竟多次获胜，且增加投票数反而加剧其胜利。

- 通过图1（散点图，显示票数差距随增加票数变化）显示投票机制中非线性跳跃，体现STV胜负受细微票数变动深刻影响。

• 举例4（东洛锡安2022年选区），因加入数百张新票，使得原本倒数第二的候选人跃升至第二，有“负面参与悖论”最极端表现。

- 举例5（阿盖尔与比特2017年选区）唯一多位当选者同时被替换的例子，增加仅12张新选票却导致多名胜者轮换，显著波动选举结果。

• 举例6（南拉纳克郡2022年选区），表现负面与正面参与悖论并存：新增少量选票提升部分候选人排名，反使排名较靠前候选者获胜延后，原赢家翻盘。

- 结论紧密连贯，揭示STV在投票数变动时表现的数学令人费解和复杂的特质。[page::9,10,11,12,13,14,15]

2.7 研究方法和数据探测（第16-17节）

• 介绍自动化搜索方法：使用Python代码添加“bullet votes”（即单一候选人首位排列票）增加投票，检测赢家集合变动，作为寻找参与悖论的初筛手段。

- 解释为何选择单候选首位的简易票作为测试策略，便于判断添加选票对赢家集影响。

• 阐述该方法虽然不能保证全覆盖所有存在悖论的选举，但有效捕捉大量真实案例。

- 详细记录了大量苏格兰地方选举的数据和已识别的悖论，表明此现象普遍存在。[page::16,17]

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3. 图表深度解读

3.1 表1（第2页）

• 显示Argyll and Bute 2021年Isle of Bute Ward补选中，前三候选人在消除低排名者后剩余的选票分布。

- 由表中数字可计算首轮第一选择票数，为后续计票和淘汰顺序奠定基础。

• 表示选民偏好复杂分布，反映STV多轮递进的投票动态。[page::2]

3.2 表2（第3页）

• 左侧为该补选各候选人每轮控制的首选票数，标出当选时的加粗数字。右侧为在增加26张特别选票后各轮首选票数变化。

- 关键现象为右图中Findlay获胜，反转左图McCabe胜利局面。

• 视觉对比揭示增加反对者选票（Findlay排名最后的选票）居然帮助其获胜的悖论效应。

- 该对比图清晰体现STV的票数传递和淘汰机制带来的非直观竞选结果。

• 图表暗示投票转移的顺序变化，是导致悖论的关键。 [page::3]

3.3 表3与表4（第5页）

• 表3展示一个多席位（2席）选举的假设偏好资料。

- 表4左侧为原选票状态下票数变化，右侧为添加100张新选票后计票情形。

• 添加选票导致定额微调（3334变3367），且选票转移比例和淘汰序列发生改变，最终使得原本未当选的$C$反而胜出。

- 细致显示了STV中分数票转移（非整数票）和多轮计票对结果的深刻影响。

• 这些图表凸显了STV面临的数学复杂性及潜在悖论。[page::5]

3.4 表5（第7-8页）

• 涉及多席位极端悖论构建的理论样本投票分布和分轮计票结果。

- 通过精细设置不同候选人首选人数及转移顺序，表现理论上可令$S-1$名原胜者被排名较低者替换。

• 左右表比较新旧赢者差异，展示议题中的主命题证据。

- 此表展现了STV规则的数学边界以及极端悖论的可实现性。

• 该集合数据具有高度抽象和代表性，对理解STV结构悖论价值极高。[page::7-8]

3.5 表6与图1（第10-12页）

• 表6展示东邓巴顿郡2022年选区实际选举轮次计票和添加483张特定投票后的对比。

- 图1为加载不同数量相同类型新票后，Pews相对于Williamson在倒数第二轮的票数差距散点图，清晰展示票数边界跳变。

• 这体现了STV非连续性（jump discontinuities）和操作敏感性。

- 这些可视化数据支持了论文论点，即STV在投票数据微小变动下可能出现剧烈结果变化。

• 具体例子强化了悖论对策的数学与现实意义。[page::10-12]

3.6 表7（第13页）

• 展示东洛锡安2022年选区的轮次票数变化，实际与添加200张新票后对比。

- 新票使排名第六的Whyte跃升第二座席，原第二位的McIntosh反而丢失座位。此举大幅篡改排名结构。

• 表明负面参与悖论可能导致影响深远的胜负转变，且和增加者身份息息相关。

- 该例图表直观体现了STV对输入偏好排序的极度敏感性。 [page::13]

3.7 表8（第14页）

• 阿盖尔与比特2017年多席位选举，由12张新增投票引起两名原胜者被替换。

- 这一稍微规模扩大的样本演示了悖论可能导致多个当选者轮替。

• 图表中复杂淘汰顺序的改变反映了STV多轮递进特性。

- 支持STV同一选举中悖论可触发复杂连锁反应。 [page::14]

3.8 表9（第16页）

• 南拉纳克郡2022年选区示例中增加4张特别投票导致选举赢者反转。

- 通过该表看出因票数定额微调，原当选者Lennon选举被延迟，令转移票倾向McGinty，从而造反输家胜选。

• 该例并存负面与正面参与悖论，为本文极具代表性的多维悖论案例。

- 促进对STV运作机制中“票数定额效应”与投票转移时机的理解。[page::16]

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4. 估值分析

本文属于投票理论数学和社会选择领域，不涉及公司估值或财务预测，因此无相关估值分析部分。

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5. 风险因素评估

报告围绕STV制度固有悖论展开，反映出以下风险与缺陷：

• 参与悖论本质的风险：候选人名次可能因非支持者增加而获益或失利，违背常理。

- 系统不稳定性：微小选票变动可能导致赢家剧烈变换，破坏选举预期的稳定性。

• 数学合理性受质疑：STV无法保证单调性和参与性属性，潜在引起公众对选举公正性的怀疑。

- 实际应用障碍：虽然STV为许多地区使用，但上述悖论效果可能动摇其合法性基础。

• 作者并无深入讨论缓解措施，仅表述此为STV的“数学奇异”点，是其设计内核里的不完美。

这些风险提示决策者在采用STV时需谨慎考量其复杂性与潜在影响。[page::4,15]

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6. 批判性视角与细微差别

• 作者多次提及“数学非理性”和“悖论”用语，具批判色彩，但着眼于事实的严密论证，分析客观。

- 方法论上，使用苏格兰选举原始数据且附加大量人工构造案例，增强说服力与现实结合度。

• 强调极端悖论案例为数学构筑，对真实选举中发生概率相对较低，但非零，提醒读者警惕STV“隐藏的风险”。

- 内部逻辑清晰，细节完备，但未提出针对该悖论的具体改良方案或制度替代，或许留有进一步研究空间。

• 对异议可能存在，诸如STV仍是宽容性强、能体现多元性等优点，作者未作冲突论述。

- 在搜索参与悖论事件时，采用增加“bullet votes”策略虽简便，但可能遗漏更多复杂案例，表述亦暗示此局限。

• 对复杂票数转移比例的数学细节未完全展开公式化证明，但脉络介绍详实。

总体而言，报告深具探索意义同时留白未来研究方向。[page::16,17]

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7. 结论性综合

本文从理论与实证角度系统阐述了单可转移投票制（STV）中“参与悖论”的存在与表现，特别围绕负面参与悖论与少见的正面参与悖论。作者首先定义该悖论，之后详细说明STV投票机制、投票转移和配额计算方法，为悖论的发生机制提供基础。

在单席位选举案例中，通过苏格兰Argyll and Bute的选举数据与合成示例，明确展示如何增加排名最后的反对者选票能使原败者逆转为胜者，这违反传统直觉的“多支持多胜”逻辑。

在多席位选举中，复杂的多轮淘汰与票数转移机制使悖论表现得更加多样和极端。作者提出紧致的理论命题（Propositions 1和2），严密界定了参与悖论可达的极限例子，即不能完全替换所有原胜者，但可以替换掉大部分，以此划定STV悖论在理论上的边界。

报告同时引用了99个在苏格兰地方选举中发现的参与悖论实例，用现代计票数据为支撑，进一步阐释这些悖论不仅是数学理论的假设，更是真实世界的现象。通过选票递进轮次表、增加负面投票及其带来的赢家轮换，作者直观展示悖论作用导致的不稳定性和不合理投票结果。

特别引人注目的是利用细致的票数转移机制、盈余票比例转移和淘汰顺序变化等数学细节，解释悖论如何触发，并通过图表（特别是票数差异与添加票数的非连续跳跃曲线）揭示STV内部固有的“数学幽灵”。

本文诠释了STV虽因其比例性和代表性广泛被采用，但却存在根植于制度规则中的数学“奇异”行为，反映其制度设定中的理性局限。加入微量反对票或支持票可能非直觉地改变选举结果，挑战对STV稳定性与公平性的认知。

此外，作者采用程序化方法（添加“bullet votes”）系统挖掘真实选举数据中的悖论实例，虽然不能完全保证无遗漏，但以此兼顾理论严谨与实际样本深度，充分彰显方法论创新。

最后，报告综合指出STV的“参与悖论”无法通过单一规则修补，可能需要重新审视其适用情景与设计权衡。研究不仅为选举理论贡献了丰富数学洞察，也为政策制定与选举改革提供了宝贵参考。

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重要图表示意总结

1. 表1与表2： 单席位选举示例表明，增加反对者票居然帮助反对者获胜的负面参与悖论。

2. 表3与表4： 多席位理论范例，少量反对票意外地提升排名靠后的候选人，导致原胜者被替换。

1. 表5： 理论极端例子，展示最大化参与悖论的构造方法和计票细节。

4. 表6与图1： 苏格兰真实选举中，增加数百至数千张反对者选票，导致倒数第一候选人逆转，当选票数与差距存在非连续跳跃。

1. 表7和表8： 多席位真实选举，展示负面参与悖论导致排名剧烈变化和多名当选者替换。

6. 表9： 真实选举中兼具负面和正面参与悖论，标示票数变动带来的转移时机与结果的微妙影响。

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总结

此篇学术报告深入剖析了STV投票制中一类令人费解的悖论现象──参与悖论。通过理论证明、模拟构造和真实数据分析，作者揭示了STV在选民参与度调整时出现的非直觉妙趣，挑战了常规的社会选择理论和选举实践预期。论文兼具严密数学证明与丰富实证案例，充分体现了数学政治学领域对于选举机制复杂性的探索。尽管这些悖论或许在现实中不常见，但其存在本身提醒我们在设计选举制度时必须高度关注规则的稳定性与内在合理性，以避免潜在的“数学陷阱”。[page::0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17]

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注：以上分析严格基于提供报告文本及图表内容，结合学术术语及逻辑严谨性展开解读，并标明所有引用页码。

报告