• 研究背景与问题定义 [page::1][page::2][page::4][page::5][page::6]

- 区分中心化保险市场（如传统保险公司）和去中心化点对点保险市场（P2P），后者避免中央保险商的议价优势。
- 风险分配机制限定为与总体风险共单调的1-利普希茨函数，满足无破坏条件防止事后道德风险。
- 风险偏好以鲁棒失真风险度量表示，允许异质信念和多样的失真函数集。
- Pareto最优定义为不可被所有参与者改进且激励兼容。

• 理论主结果：Pareto最优分配刻画 [page::9][page::10][page::11][page::12][page::13]

- Pareto最优风险分配结构为总体风险的非减函数分解为分配函数加常数，且分配函数导数满足资源分配约束。
- 关键是对尾部风险的度量，定义概率风险厌恶指数（PRA）用于比较不同代理对尾部事件的风险态度。
- 最优函数形式依据选择的失真函数解得，其导数在概率最小的代理间集中，分配“断点”对应VaR。

• 常见失真函数及尾部风险厌恶度分析 [page::14][page::15][page::16][page::17][page::18][page::19][page::20][page::21]

- Prelec-1、Prelec-2及Kahneman-Tversky S型失真函数均符合损失结构中的“分层保险”特点，具体由风险厌恶指数决定谁承担尾部风险。
- 代理对尾部事件的不同风险厌恶程度决定了最优分配的层次结构，如最敏感者覆盖小额损失，最少敏感者覆盖极端尾部。

• 实证案例：美国三州洪水风险保险市场对比中心化与去中心化结构 [page::22][page::23][page::24][page::25][page::26][page::27][page::28][page::29]

- 中心化市场中联邦政府作为中央保险商，使用Expected Shortfall风险度量，应用逆S型和幂函数失真函数来刻画保单持有人风险偏好。
- 中心化Pareto最优方案为分层留存（保留部分损失，超过阈值由中央保险赔付），示意如下：

- Stackelberg均衡下，中央保险商凭借先动优势可抬高保费导致投保人福利零增益，实际支付保费远高于95%VaR。
- 去中心化P2P保险方案各州相互承担风险，无中央主体剥削。Texas风险厌恶最高，因此承担最少风险。


- 去中心化方案的平均福利增益约为1.95亿，略低于中心化的1.99亿，但规避了中央垄断定价风险。

• 不同风险偏好参数对福利增益的影响 [page::29][page::30]

- 变化第三州的幂失真参数$\gamma3$及相应RPRA指数，展示中心化和去中心化市场中平均福利增益区间。
- 当$\gamma3$增大（第三州风险厌恶降低）时，去中心化市场优势明显，甚至超过中心化市场。

| RPRA3 | Centralized Market | Decentralized Market | Percent Decrease |
|-------|--------------------|----------------------|------------------|
| 0.60 | 1.9946 × 10^8 | 1.9512 × 10^8 | 2.1750% |
| 0.55 | 1.4460 × 10^8 | 1.2112 × 10^8 | 16.2383% |
| 0.50 | 1.0415 × 10^8 | 6.6055 × 10^7 | 36.5774% |
| 0.45 | 7.4503 × 10^7 | 4.8805 × 10^7 | 34.4927% |
| 0.40 | 5.3190 × 10^7 | 5.0507 × 10^7 | 5.0434% |
| 0.35 | 3.8565 × 10^7 | 5.2590 × 10^7 | -36.3683% |
| 0.30 | 3.0251 × 10^7 | 5.4502 × 10^7 | -80.1628% |

• 结论与启示 [page::30]

- 鲁棒失真风险度量下的Pareto最优分配结构明确，为风险共担设计提供理论支持。
- P2P分散型保险可规避中心化市场垄断及非效率均衡，但存在潜在福利损失，反映风险与激励的权衡。
- 量化尾部风险厌恶指数对最优分配结构的影响关键，适用广泛失真函数族。
- 洪水风险案例展示实际应用潜力及多层级风险承担机制，指导政策制定与保险产品设计。

报告全文深度解析报告

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1. 元数据与报告概览

报告标题： Pareto-Optimal Peer-to-Peer Risk Sharing with Robust Distortion Risk Measures
作者： Mario Ghossoub、Michael B. Zhu 和 Wing Fung Chong
发布机构： University of Waterloo 与 Heriot-Watt University
发布日期： 2024年9月10日
研究主题： 分析采用鲁棒失真风险度量（robust distortion risk measures）的分散式点对点（Peer-to-Peer, P2P）风险共享市场中的帕累托最优分配。重点探讨在非凸偏好的前提下，理想的风险分配机制及其在洪水保险市场中的应用。

核心论点与贡献：

• 提出并刻画了一个多主体市场中以鲁棒失真风险度量为偏好的风险共享市场的帕累托最优解。

- 发现分配结构的形态主要由每个代理人对整体风险尾部的风险评估决定，通过概率风险厌恶指数进行量化。

• 将理论结果应用于美国洪水风险保险的实际数据，比较了去中心化的P2P保险与传统中心化保险市场结构的优劣。

- 讨论了市场结构对福利分配的影响，并指出去中心化机制可以避免中心化市场中存在的定价剥削问题。

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2. 逐节深度解读

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2.1 引言与背景（第1节）

关键内容梳理：

• 保险市场分为中心化（如传统保险、由中心主体提供保险）和去中心化（P2P保险，无中心机构，各个用户互保）两类。

- 经典中心化保险市场的帕累托最优契约早期由Arrow和Borch建立理论基础，随后引入了异质信念、多险种、多供应商等复杂因素的扩展研究。

• Stackelberg均衡作为解决价格和议价权不对称的经济博弈模型，但其通常会导致保险人定价过高，损害投保人福利。

- 现有研究表明多投保人市场即便存在竞争，中心化市场供应方仍可能利用定价权优势压缩投保人福利。

逻辑与假设：

• 中心化市场假设存在明确的供应方议价优势和价格设定权。

- 在P2P市场里，弱化了这一议价优势，故理论上应能获得更合理的福利分配结果。

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2.2 去中心化市场的理论架构（第2节）

关键内容梳理：

• 代理人集合 \(\mathcal{N}\) 中，风险为非负变量 \(Xi\) 。风险池通过代理人预先缴纳贡献 \(\pii\)，承担整体风险 \(S = \sumi Xi\)。

- 分配为 \((Yi, \pii)\)，其中 \(Yi\) 是第\(i\)个代理人最终承担的共享风险，\(\pii\)为其贡献。

• 倾向于采用共单调（comonotone）的风险分配函数，即每个代理的分配是aggregate risk 的非减且1-Lipschitz函数，避免“事后恶意申报”；适用Carlier和Dana提出的无破坏条件。

- 代理人的风险偏好用一组“鲁棒失真风险度量” \(\rhoi\) 表示，满足单调性、平移不变性及法律不变性。

• 定义“个体理性（IR）”市场参与均衡及帕累托最优（PO）分配条件。

数学表达：

• 分配变量集合 \(\mathcal{A} = \{(Yi, \pii): \sumi (Yi + \pii) = S, Yi \in \mathcal{X}+, \{Yi\}\text{ 共单调}\}\)。

- 风险度量：满足 \(\rhoi(Yi + \pii) \leq \rhoi(Xi)\) （IR条件）。

• 帕累托最优定义为在IR基础上没有其他有效的改善。

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2.3 帕累托最优结构的数学刻画（第3节）

关键内容与理论工具：

• 引入鲁棒失真风险度量（robust distortion risk measures）：风险度量通过一族失真函数的最大值定义。即

\[
\rhoi(Z) = \sup{Ti \in \mathcal{T}i} \int Z d(Ti \circ \mathbb{Q}i)
\]

不同代理人可用不同概率测度 \(\mathbb{Q}i\) 和失真函数集 \(\mathcal{T}i\)，体现信念异质性和偏好鲁棒性。

• 定理3.3： 帕累托最优分配必定可以表示为 aggregate risk \(S\) 的变换函数和常数项的和：

\[
Yi^ + \pii^ = gi^(S) + ci^
\]

其中 \(gi^\) 是满足 \(\sumi gi^(x) = x\) 的非减且1-Lipschitz函数集合 \(\mathcal{G}\)，\(ci^\) 为满足 \(\sumi ci^ = 0\) 的常数，且\(gi^\) 分段由求解优化得到的失真函数 \(Ti^\) 决定。

• 证明方法借助Sion极小极大定理，重新排列函数的导数 \(hi\) 满足对每个损失水平 \(x\)，只有概率“最保守”的代理承担风险。

- 该性质推广了经典的Borch规则，允许非凸风险偏好以及异质信念环境。

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2.4 常见参数化失真函数的具体结果（第3.1节）

典型失真函数：

• Prelec-1失真函数（单参数逆S型失真）：

\[
Ti(t) = \exp(-(-\ln t)^{\alphai})
\]

\(\alphai \in (0,1)\) 越小表示对尾部风险的概率风险厌恶越强。

• Prelec-2失真函数（两参数）:

\[
Ti(t) = \exp(-\betai(-\ln t)^{\alphai})
\]

• Kahneman-Tversky逆S型失真函数：

\[
Ti(t) = \frac{t^{\gammai}}{(t^{\gammai} + (1-t)^{\gammai})^{1/\gammai}}
\]

\(\gammai \in (0.279,1]\) 参数越小，越厌恶尾部风险。

结论：

• 若代理 \(k\) 拥有最强尾部风险厌恶，则最优分配中其承担前段尾部风险，其他代理承担超过某阈值的风险。

- 分配边界可通过相应VaR阈值确定，例如最大概率 \(e^{-1}\) 附近。

• 案例中明确定义了由尾部风险厌恶程度确定的双段合同结构，一名代理承担一定限额内的损失，另一名则承担超额部分。

- 这种分配形式极大地依赖于概率风险厌恶指数 \(PRAi(t) = -\frac{Ti''(t)}{Ti'(t)}\)。

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2.5 中心化洪水保险市场实例（第4节）

背景：

• 美国联邦紧急事务管理局（FEMA）通过国家洪水保险项目（NFIP）实施中心化洪水保险。

- 数据以1978年1月至2024年1月期间553个月的洪水损失及理赔数据为基础。

• 每个州作为一个代理人，风险度量为失真风险度量，其中中心保险人风险度量为条件风险价值（Expected Shortfall, ES）。

- 使用理论结果（命题4.3）刻画中心化市场中各州的最优分保合同结构。

数据描述：

• 选取加利福尼亚、纽约和德州三州作为实验代理。

- 统计表明损失分布右偏，极端损失可能远超均值，且三州损失相关性极低。

参数和合同特征：

• 加州和纽约用逆S型失真函数，参数分别为 \(\gamma1=0.4, \gamma2=0.5\)，德州采用幂函数失真 \(\gamma3=0.4\)。

- 中央保险人使用ES，风险水平 \(\alpha=15\%\)。

• 最优保留风险呈现典型“设定免赔额”的合同结构，超过免赔额由中央保险人负责。

福利效应：

• 汇聚后的整体福利提升明显，三州与保险人总福利收益约为 \(7.9785 \times 10^{8}\) 美元，平均每体为 \(1.9946 \times 10^{8}\) 。

- 然而，存在定价剥削风险：中央保险人能利用Stackelberg优势提价，将福利完全取走，导致投保人无福利增益。对应状态下投保州需支付的巨额保费（见表2），甚至超过VaR5%。

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2.6 点对点去中心化风险共享分析（第4.2节）

市场结构与分配：

• 各州组成风险池，通过分散风险承担实现互保，无中心机构干预。

- 根据第3节理论，计算得到去中心化市场中的帕累托最优风险分配（图3）。

• 去中心化合同表现为加州和纽约承担波动性风险，德州由于更强风险厌恶，承担较少的风险并支付相应保费。

- 风险完全在参与的代理间分配，不存在中心化保险人的利润剥夺。

与中心化对比（图4）：

• 去中心化使得纽约承担更多极端尾部风险，而德州选择支付保费将风险转出，表现为水平曲线。

- 加州保留风险结构与中心化合同较接近。

• 平均福利提升 \(1.9512 \times 10^{8}\) 美元，略低于中心化市场，但无中心剥夺风险，体现权衡与妥协。

灵活性与敏感性：

• 调整德州失真参数 \(\gamma3\)（见表3）可以改变各方案福利结果，某些参数时去中心化市场福利甚至超过中心化。

- 说明去中心化市场在个别代理偏好变化下可能表现更优。

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2.7 报告总结（第5节）

• 本文提出了采用鲁棒失真风险度量的分散风险共享市场的帕累托最优分配的全新刻画，突破了传统凸偏好限制。

- 通过概率风险厌恶指数对尾部风险的评估，精确刻画了最优风险分配结构及其经济含义。

• 以美国洪水保险为实证场景，比较中心化与去中心化市场，揭示了两者在福利分配、风险承担与议价力量等方面的权衡。

- 去中心化结构能避免中心机构剥夺福利，但福利总量略低，是一种理性折衷。

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3. 重要图表深度解读

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图表1（第21页）

内容描述：

• 展示了Kahneman-Tversky逆S型失真函数家族随参数 \(\gamma\) 变化的形状。

- 图（a）显示在 [0,1] 区间内不同 \(\gamma\) 值的失真函数曲线。

• 图（b）为对应的概率风险厌恶指数 \(PRA_i(t)\)，刻画每条曲线在尾部小概率处的风险厌恶程度。

解读：

• \(\gamma\) 越小，风险厌恶指数越大，即代理人越厌恶极端尾部风险。

- 曲线交叉说明在一定临界概率 \(t^*\) 附近，风险厌恶强度排序可能发生变化。

• 该分析支持理论中提出的尾部风险主导的分配结构，代理人尾部风险厌恶决定其风险承担区间。

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图2（第26页）——中心化市场中加州、纽约、德州的最优保留风险

内容描述：

• 横坐标为各州某次洪水风险损失，纵坐标为该州对应的保留风险金额。

- 结果显示对于每个州存在相应的风险保留策略，表现为典型的“免赔额+全赔”模式，保留风险线先线性递增，然后在免赔额处趋于平缓。

解读：

• 各州选择承担低额风险，选择将超过各自免赔额部分转让给中央保险人。

- 反映了保险合同中的风险转移典型结构，有效减小极端损失风险暴露。

• 免赔额具体数值反映不同州的风险偏好与期望，形成差异化契约。

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图3（第27页）——去中心化市场中各州的帕累托最优风险分配

内容描述：

• 各子图为加州、纽约、德州分别承担的风险与总风险 \(S\) 的函数。

- 加州与纽约承担风险随总风险增加而递增，德州承担风险曲线近乎水平。

解读：

• 德州在去中心化市场中承担风险较少，选择用贡献费换取风险转移，其接受保费作为回报。

- 加州与纽约承担较大部分风险变动，表现出不同的风险承担偏好。

• 和中心化市场相比，尾部风险在代理间直接分配，无中央保险人介入。

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图4（第28页）——三种保险结构对各州风险保留的比较

内容描述：

• 对比无保险、中心化保险、P2P风险共享三种保留风险的曲线。

- 横轴为553个月的时间序列，依风险总量排序。

• 纵轴为以美元计的各州保留风险。

解读：

• 无保险下风险波动最大且无缓释。

- 中心化保险有明显的减灾效果，风险暴露趋于平缓且受保费影响。

• P2P保险展现分散而不均等的风险承担结构，部分代理接受更多尾部风险，部分代理转移风险。

- 图示反映了市场结构影响下风险保留、交互和代价的动态分布差异。

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4. 估值分析与数学模型说明

• 估值核心基于失真风险度量（Distortion Risk Measures），一种通过调整损失概率分布形状的风险评估方法。

- 报告采用鲁棒失真风险度量，通过多个失真函数的最大值考虑偏好不确定性，是对单一失真度量的扩展。

• 优化问题采用极小极大原理与Sion极小极大定理，证明存在解且解的形式满足特定结构约束。

- 帕累托最优分配通过函数分解为风险总量的Lipschitz变换部分及常量补偿部分，满足集体风险守恒和个体理性条件。

• 使用的风险度量指标：Value-at-Risk (VaR) 和 Expected Shortfall (ES) 作为风险资金准备的标准衡量。

- 应用中ES作为中心保险人风险偏好体现风险容忍程度并作为优化约束。

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5. 风险因素评估

• 中心化市场存在价格操控与议价权不对称的风险，导致投保人福利被剥夺（Stackelberg均衡问题）。

- 去中心化市场避免中央机构的剥削，但牺牲了一定的集体规模效益和福利增量。

• 多代理信念、风险偏好异质性增加分配结构设计和市场稳定性风险。

- 基于历史数据的模型适用性受限于变动环境的动态变化，潜在模型风险和外推风险。

• 行为经济假设（如逆S型失真函数）依赖于参数估计准确性，参数错配可能影响实际风险分配效果。

- 代理参与意愿（个体理性）依赖于精确定价和公平分配机制，不合理设置可能导致参与流失。

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6. 审慎视角与细微差别

• 研究假设风险度量间相互独立且满足平移不变，现实偏好可能复杂且具有非线性及非平稳特征，可能影响模型有效性。

- 去中心化市场中部分代理承担大尾部风险，可能导致外部性风险，如系统性事件时，风险集中可能引发市场崩溃。

• 在洪水保险实证中，仅考虑三个州，样本有限，难以完全代表全国复杂多样的风险格局。

- 福利增益的度量依赖于风险度量函数的合理性，实际中难以精准度量个体风险偏好及福利感知。

• 相关模型中部分数学推导对边界行为和测度变换依赖较强，极端情形下可能存在不稳定或解的非唯一性。

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7. 结论性综合

本报告由著名统计与精算学专家团队于2024年发布，系统刻画了采用鲁棒失真风险度量的分散式风险共享市场中帕累托最优分配的理论结构和实际应用。通过引入共单调合约及失真风险度量的多样化解释，报告突破了现有文献中关于风险度量凸性和信念一致性的限制，为多主体异质信念市场分析提供了新视角。

失真函数参数如Prelec与Kahneman-Tversky函数族的概率风险厌恶指数，成为影响最优分配形式的核心驱动因素。实证部分围绕美国三州洪水风险保险展开，利用1978年至2024年历史数据，比较中心化单一保险人和去中心化P2P互保结构。结果显示：

• 中心化市场能实现较高的平均福利增益，但存在垄断定价导致投保人福利消失的风险。

- 去中心化P2P市场避免了定价剥削，但总体福利略有降低，实现福利分配上的公平与效率的权衡。

• 失真函数参数调整能够影响市场结构优劣，出现去中心化优于中心化的特殊情形，体现灵活适应能力。

报告以严谨的数学分析、合理的经济解释及详细数据应用，全面诠释了现代保险市场特别是极端风险共享场景中不同市场机制的优缺点，提出了具有实践指导意义的去中心化风险共享替代方案，为政策制定和产品创新提供了理论基础与参考模型。

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图表附录

图1：Kahneman-Tversky失真函数及概率风险厌恶指数曲线展示

图2：中心化市场—三州最优风险保留曲线

图3：去中心化市场—三州帕累托最优风险分配

图4：三种市场结构下各州保留风险对比（无保险、中心化、P2P）

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参考标注

本分析严密引用文中对应页码：

• 元数据与摘要见[page::0]

- 引言与中心化市场背景见[page::1, page::2]

• 去中心化市场数学模型见[page::4,page::5,page::6]

- 鲁棒失真风险度量及帕累托最优定理详解见[page::8,page::9,page::10,page::11,page::12,page::13,page::14,page::15]

• 失真函数族及风险厌恶指数见[page::15,page::16,page::17,page::18,page::19,page::20,page::21]

- 洪水风险中心化、去中心化实证及结果详述见[page::22,page::23,page::24,page::25,page::26,page::27,page::28,page::29,page::30]

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综上，该报告通过创新的风险度量方法与风险共享机制，提供了理论和实际的双重贡献，特别是在流行的P2P保险和极端风险分布管理领域，具有重要学术价值和应用前景。

报告