• 研究背景与方法原理 [page::0][page::1][page::2][page::3]：

- 传统多资产期权定价数值方法（PDE、树模型等）受维度灾难影响显著，蒙特卡洛法收敛慢且计算资源消耗大。
- 傅里叶变换基础的期权定价可通过转化积分域至频域简化积分计算，但高维资产场景仍面临计算量激增问题。
- 张量列车（Tensor Train, TT）及其学习算法“张量交叉插值”（Tensor Cross Interpolation, TCI）被应用于高维函数压缩，具备处理多维张量数据的低秩结构优势。

• 方法创新点——参数依赖的TT构建与快速定价 [page::1][page::4][page::5]：

- 通过单次TCI学习，构建包含李程矢量（频域格点）与输入参数（波动率或初始价格）依赖的TT张量，实现一次学习多参数输入的函数近似。
- 采用奇偶顺序交错排列（频域点与对应参数交错）以提升学习精度。
- 构建张量列车算子（TTO）并与支付函数的TT相乘，得到带参数依赖的期权价格TT，支持快速计算特定参数下的期权价值。

• 数值实验设计与指标设定 [page::5][page::6]：

- 测试对象为Black-Scholes模型下多资产欧式极小值看涨期权，资产数$5\sim 11$。
- 参数空间网格：波动率$\sigma\in[0.15,0.25)$，初始价格$S0 \in [90,120)$，各维度均100个均匀网格，共$100^d$点。
- 准确性以百万路径Monte Carlo（MC）结果为基准，设定TCI误差容限$\epsilon{\mathrm{TCI}}=10^{-9}$，SVD容限$\epsilon{\mathrm{SVD}}^{\phi,\hat{v}}=10^{-6}$，最终评价最大误差与MC误差对比。

• 主要性能表现与对比 [page::6][page::7][page::8]：

- TT方法计算复杂度较MC方法显著降低，量级优势达到约$10^5$倍，计算时间上TT方法秒级完成对比MC几十秒至数分钟。
- 最大TT张量秩（张量维度）保持在10-40的可管理范围，TCI+SVD有效压缩冗余信息。
- TT定价的平均绝对误差优于百万路径MC结果，表明更高准确度。
| 资产维度$d$ | TT误差$e{\mathrm{TT}}$ | MC误差$e{\mathrm{MC}}$ | TT最大秩$\chi{V}$ | MC路径数$N_{\mathrm{path}}$ | TT平均时长[s] | MC平均时长[s] |
|------------|--------------------|--------------------|----------------|-----------------|------------|-------------|
| 5 | 0.00178 | 0.00606 | 2 | 5×10^6 | ≈4.9e-7 | ≈28.4 |
| 10 | 0.00229 | 0.00294 | 1 | 1×10^7 | ≈1.18e-6 | ≈51.1 |
| 11 | 0.000554 | 0.00265 | 1 | 1.1×10^7 | ≈1.16e-6 | ≈50.4 |

• 张量维度结构特征 [page::7]：

- 张量秩在频域点索引和参数索引交错连接处较大，连接相邻不同资产索引的秩较小。

• 量化因子构建与策略总结（张量列车参数化函数学习） [page::4][page::5][page::6]：

- 采用TCI算法在频域和参数空间的网格点进行采样构造多维张量近似，保证低秩性以应对维度诅咒。
- 通过后续SVD降秩，消除冗余，确保计算高效。
- 该方法构造的多参数张量列车可以快速评估任意参数组合下的期权价格。

- 从示例回测结果看，最大张量秩约为2，计算复杂度和时间均远低于传统蒙特卡洛方法，适合高频交易或参数动态变化场景。

• 计算资源与实现要求 [page::5][page::6]：

- 所有实验均未使用GPU或并行化，硬件为苹果M2 Max 12核处理器，32GB内存。
- 整体学习TT并SVD过程可在12分钟内完成11资产参数TT的构建，满足半夜预处理，日内快速定价需求。

• 应用场景与未来方向 [page::8]：

- 适合金融机构预先构建参数敏感期权定价模型，实现日内快速响应市场参数变化。
- 未来可拓展多种参数融合、复杂期权产品、与更高阶价格模型（局部波动率、随机波动率等）结合。
- 面临的挑战包括参数维度扩展后TT秩增长及学习效率问题。

金融研究报告深度分析报告

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1. 元数据与概览

• 报告标题: Learning parameter dependence for Fourier-based option pricing with tensor trains

- 作者: Rihito Sakurai, Haruto Takahashi, Koichi Miyamoto

• 机构: 东京大学物理系，埼玉大学物理系，大阪大学量子信息与量子生物中心

- 日期: 2025年4月21日

• 主题: 旨在解决基于傅里叶变换（Fourier Transform, FT）的期权定价方法在多资产期权中计算复杂度高的问题，提出利用张量链（Tensor Train, TT）算法学习和压缩参数依赖函数，从而快速复用计算结果以实现高效期权定价。

核心论点:

• 多资产期权的定价往往面临“维度灾难”导致的计算量指数级增长，传统方法难以高效计算。

- 原有利用TT算法进行傅里叶变换期权定价的研究需针对每组参数（如波动率、资产价格）重新学习，导致TT方法计算时间长于蒙特卡洛（MC）方法，存在实际性能瓶颈。

• 本文创新点在于将TT扩展为包含参数依赖的函数压缩，单次学习后快速响应参数变化，实现超越MC方法的计算效率和精度。

- 通过实证测试，最大支持11资产的多资产欧式最小值期权定价，显示TT方法的计算复杂度远低于MC方法且精度可比。

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2. 逐节深度解读

I. 引言

• 关键论点: 期权定价，尤其是多资产期权，因高维度问题导致计算难度和时间成本巨增，需探索能缓解“维度灾难”的高效算法。

- 支撑依据: PDE方法和树模型复杂度随资产数量指数增长；MC方法不指数增长但收敛速度慢；拟MC有一定改进但依然受限。

• 量子计算虽能加速MC积分（量子蒙特卡洛），但需容错量子计算机尚未成熟。因而“量子灵感”的经典算法（如张量网络）是现阶段探索焦点。

- 张量链（TT）是近年来应用于FT期权定价中压缩高维函数的有效工具 [11]。

II. 张量链（Tensor Train）

• 定义与结构：将一个 $d$ 维多元函数离散后表示为 $d$ 阶张量，TT将其分解为低秩的张量积形式，极大减少存储与计算需求。

- 关键公式（Eq. 1-3）：$\displaystyle F{x1,...,xd} \approx \sum{l1,...,l{d-1}} F^{(1)}{l1,x1} F^{(2)}{l1,l2,x2} \cdots F^{(d)}{l{d-1},xd}$

• TT等价于量子物理中的矩阵乘积态（Matrix Product State, MPS），具有在高维函数数据中表达复杂相关性的能力。

- 引入 张量链算子（Tensor Train Operator，TTO）或矩阵乘积算子（MPO，Eq. 3）表述可用于同时处理输入和参数空间。

III. 基于傅里叶变换的期权定价与TT辅助方法

• 期权价格为贴现期望值（Eq. 7），对多维资产对数价格的分布积分，BS模型中对数价格服从多元正态分布（均值$\mu$，协方差$\Sigma$）。

- 传统基于傅里叶变换（FT）期权定价将实空间积分转至傅里叶空间（wavenumber空间$\vec{z}$），方便且可显著提升单次计算效率（Eq. 9-11）。

• 然而，网格积分在高维度仍呈指数爆炸。

- 利用张量链(TT)对函数 $\phi(\vec{z})$（特征函数）和 $\hat{v}(\vec{z})$（期权收益的傅里叶变换）进行低秩近似，避免对所有网格点计算；然后合同（收缩）两TT以计算积分（Eq. 16）。

• 该方法避免指数级循环，计算复杂度降低至 $O(d N \chi^{3})$，其中 $N$ 是每维网格点数，$\chi$ 是TT秩的上限。

IV. 学习参数依赖的TT

• 关键问题: 之前方法中，参数变化（波动率，初始价格等）需每次重新运行TCI学习TT，未达到计算时间优势。

- 解决方案: 将参数空间与傅里叶空间联合编码入张量，多维张量维度扩展为$(\vec{z},\vec{p})$，一次性学习带参数依赖的TT。

• 通过张量链算子（TTO）对$\phi$函数进行扩展，将参数索引$f(k)$和空间索引$m(j)$交错排列，形成 $ [z1,p1,z2,p2,...,zd,pd]$ 的结构，这实证上更利于低秩压缩和保留准确性。

- 构造完成后，快速通过固定参数索引获取期权价格，显著节约重复计算成本。

• 计算复杂度为 $O(d \chiV^2)$，其中 $\chiV$ 是最终TT的最大秩。

V. 数值演示

• 使用欧洲型多资产 “min-call” 期权作为测试案例。参数范围分别为：

- 波动率$\sigmam \in [0.15, 0.25)$，100个均匀网格点；
- 初始资产价格 $S{m,0} \in [90,120)$，同样100个均匀网格；

• 其他参数固定（见表I），如成熟期$T=1$，无风险利率$r=0.01$，行权价$K=100$等。

- 误差对比时，MC方法使用$5\times10^7$路径结果作为“真实值”参考；评估误差采用均值绝对误差，MC误差按95%置信区间计算。

• 训练过程使用TensorCrossInterpolation.jl库，MC运算用tf-quant-finance，算力为Apple M2 Max 12核，无GPU，无并行。

- 随机选取100组参数组合进行测试。

VI. 结果分析（见表II及图2）

• 计算复杂度与时间（以路径数$N{path}=10^6$为MC比较基准）:

- TT方法在资产数$d \leq 11$时均明显优于MC，减少数万个量级计算量。
- 训练完成后的单次定价速度，可忽略预处理时间对比MC并行重复采样的开销。

• 误差表现:

- TT方法均优于MC的误差，误差一般为0.001左右，低于MC方法0.003-0.006的误差区间，体现了高精度。

• 秩（bond dimension）变化:

- TCI加SVD压缩后，TT秩显著下降，尤其是参数和空间索引相邻处秩较高，跨资产秩较低（图2显示出锯齿状分布）。

• 随机性影响:

- 多次运行中TT误差非常稳定，标准差仅$4.74\times 10^{-9}$，体现了算法的鲁棒性。

VII. 计算时间与现实应用

• 从容忍“先行计算”角度，即夜间完成TT训练和张量压缩，白天只需快速查表加权，实现实际业务优化。

- 训练阶段耗时依模型和参数规模不同，最大约12分钟，满足金融应用需求。

• 与早期无参数依赖TT方法相比，避免了每次参数变换都重新训练带来的时间浪费。

VIII. 讨论与未来方向

• 目前仅考虑波动率或初始价格的单一参数依赖，未来将尝试多参数（如行权价、到期时间、多种风险因素）联合学习的低秩TT结构。

- 应用拓展至更复杂模型，如局部波动率模型、随机波动率模型、Lévy模型等，及更复杂期权（美国、Bermudan）。

• 参数编码顺序（张量链核心张量排列）的优化依赖变量相关性，有望进一步提高压缩与精度表现。

- 目前结果基于BS模型，更多泛用定价环境中仍待验证。

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3. 图表深度解读

图1（第5页）

• 图解示意了提出方法的架构流程：

- (a) 通过TCI学习参数依赖的TT张量$\tilde{\phi}(\vec{z}, \vec{p})$和无参数依赖的$\tilde{v}(\vec{z})$，然后将相邻张量（对应每资产的$z$和$p$索引）折叠成张量链算子（TTO）。
- 通过与$\hat{v}$的TT收缩，得到参数依赖的期权价格TT $\tilde{V}(\vec{p})$。
- (b) 固定参数索引，快速获得对应的期权价格。

该图形象说明了利用张量网络一次性构造参数+空间联合表示，突破传统方法参数变动需重新计算的限制。

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表I（第5页）

• 列明实验中固定的参数值和TF积分域选取：

- 例如，成熟期 $T=1$，贴现率 $r=0.01$，行权价 $K=100$，中心资产价格 $S0=100$。
- 不同资产数$d=5,10,11$，对应不同网格大小和步长选择$(N,\eta)$，确保积分精度。

• 表示基准条件和实验环境，保证可复现性。

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表II（第7页）

• 展示了不同资产维度$d=5$至11的定价误差、计算复杂度和时间对比，区分$\vec{\sigma}$和$\vec{S0}$两种参数依赖场景。

- 关键量：
- $e{\mathrm{TT}}$：TT方法的均值绝对误差。
- $e{\mathrm{MC}}$：MC方法$10^6$路径下的均值绝对误差。
- $c{\mathrm{TT}}$, $c{\mathrm{MC}}$：两方法的计算复杂度估算。
- $t{\mathrm{TT}}$, $t{\mathrm{MC}}$：平均执行时间，单位秒。
- 骨干张量秩 $\chi{\phi}$，$\chi{\hat{v}}$，$\chiV$ 说明张量压缩效率。

分析显示，有效压缩后的TT秩控制在10-40之间，计算复杂度数十万甚至百万量级远低于MC的千万级，大幅提升效率。

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图2（第7页）

• 展示两个条件下（波动率、初始价格）TT中不同键（bond）对应的秩值。

- 奇数键连接空间$z$与参数$p$索引张量，秩较大，反映强相关性；偶数键连接参数与下一个资产的空间索引，秩较小。

• 表明交错排列的张量结构有利于函数压缩。

- 压缩前后SVD有效降低秩，去除冗余信息，提高计算效率且保持精度。

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图3（第9页）

• 显示不同SVD压缩误差容忍度 $\epsilon{\mathrm{SVD}}^{\phi, \hat{v}}$ 对最大相对误差 $e{\mathrm{TT}}$ 的影响。

- 发现约 $10^{-6}$ 以下容忍阈值时，误差保持较低；超过后误差急剧上升。

• 本实验基于 $d=10, \vec{\sigma}$ 参数设置，指导了SVD压缩时的容错阈值选择。

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4. 估值分析

• 估值步骤本质上是对多维傅里叶积分（Eq. 9）计算期权价格$V(\vec{p})$。

- TT近似代替全网格上的函数评估，避免高维积分网格指数爆炸。

• TT压缩秩$\chi$的选择是准确与效率权衡的关键。

- 使用张量链学习与交叉插值（Tensor Cross Interpolation, TCI）算法高效求解高维函数值采样，再用SVD压缩冗余维度，确保整数秩下最优逼近。

• 整体估值计算复杂度降为$O(d N \chi^3)$，远低于传统指数级。

- 进一步，方法学习了函数对市场参数依赖，使得改变参数时无需重复估值，直接通过索引调整获取价格，时间复杂度降至$O(d \chiV^2)$。

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5. 风险因素评估

• TCI方法的不确定性与随机性:

- 由于TCI是启发式算法，初始采样点选择会影响学习质量。多个实验中误差波动极小，但仍需注意边界情况。

• 参数空间高维带来的秩爆炸风险:

- 多参数联合编码可能导致TT秩增大，影响计算性能。未来需进一步研究压缩策略和排列优化避免秩过高。

• 模型限制:

- 仅使用BS模型，模型风险存在，扩展到更复杂模型需验证TT方法表现。

• 积分参数选取超参数灵敏性:

- 积分步长$\eta$、离散网格数$N$的选择影响精度与性能，有优化空间。

• 现实应用场景预计算依赖:

- 必须预留足够预处理时间，长期数据积累和市场行情变化频率会影响实际效益。

缓解策略主要是通过经验参数调优、加深对秩结构理解及未来研究新算法。

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6. 批判性视角与细微差别

• 作者强烈强调TT方法的高效性，但预处理时间和上下文计算开销在实际金融交易中如何应用需精细权衡。

- TT秩的选择与张量索引的排列策略重要性被强调，但具体算法敏感性、稳健性未充分量化，后续研究需详细展开。

• 数值演示聚焦于min-call期权，较为特殊的期权类型，方法在各类复杂期权上的泛用性及鲁棒性有待探讨。

- 模型局限于BS，对于真实市场表现存在偏差，方法对非高斯跳跃、路径依赖衍生品的适应性未给予。

• 初始函数参数空间虽设定为固定区间，但实际市场波动较大、非均匀，网格均匀划分是否最优也候商榷。

- 结果中部分计算复杂度单位或数值显示异常（见表II部分字迹混乱），影响对比准确性，需要进一步核实。

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7. 结论性综合

本文针对基于傅里叶变换的多资产期权定价中面临的维度灾难问题，提出了一种创新的基于张量链（Tensor Train, TT）学习方法，通过在单次张量交叉插值（TCI）中同时引入市场参数（如波动率、初始价格）和傅里叶空间变量的联合离散索引，实现了函数的高效低秩张量表达，极大提升了定价时对参数变化的响应速度。

核心成果包括：

• 设计了融合参数依赖的TT结构，张量索引按交错排列（$z1,p1,z2,p_2,\cdots$）保证压缩效率和精度。

- 通过TCI高效完成大规模函数场的张量学习，使用SVD压缩消除冗余，保证最终张量秩及计算复杂度可控。

• 在最多11资产的BS模型多资产欧式最小值期权场景中，TT方法在计算复杂度上优于传统蒙特卡洛法约 $10^5$倍，且精度更优。

- 实证揭示TT方法误差稳定且对初始随机采样敏感度低，适合实际金融市场快速变动的需求。

• 通过预计算和日内快速查询相结合的方案，期权定价实用性得到充分体现。

- 提出拓展至多参数、多模型、多期权类型的未来研究方向，体现研究前瞻性。

表格与图表洞见:

• 表II数据清晰反映不同资产数下TT方法明显缩减计算复杂度和运算时间，同时有效控制误差。

- 图2揭示张量链结构中参数与傅里叶变量相邻连接处的秩较高，说明该部分存储与计算的复杂性较大，提示索引排列优化的必要性。

• 图3则提供了SVD压缩容忍度选择与误差控制的经验依据，验证了压缩技术的关键作用。

综上所述，本报告提出的张量链联合参数依赖方法为高维多参数期权定价提供了切实可行且高效的解决方案，具有较强的实用潜力和研究价值。[page::0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]

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参考

为确保后续内容的信源追溯，以上结论均在所给报告页码内支持，详见页码标注。

报告