• 负价格现象背景与挑战 [page::0][page::1]：

- 传统金融中负价格罕见但存在，2020年油价、2024年美国电价等均有负价实证。
- 当前区块链AMM无法支持负价格资产交易，限制了RWA交易的多样性。

• AMM不变量扩展与模型创新 [page::1][page::2][page::3]：

- 通过调整Uniswap v3的恒定积市场做市商（CPMM）不变量，将其从圆形扩展为超椭圆（CSEMM），实现负价格域的流动性提供：
$$
\left|\frac{x}{\alpha}-1\right|^{u(\alpha)}+\left|\frac{y}{\beta}-1\right|^{u(\beta)}=1
$$
- 该模型允许两个资产的价格均可为负且进行交换，打破传统需以货币为计价单位的限制。
- 负价格流动性分布具有重尾特性，类似于金融资产的实际特征。

• 关键图表展示负电价与流动性特征 [page::4][page::5]:

- 美国电价时序数据显示近年负价频次明显增多，价格波动表现出重尾和波动聚集现象。


- 与传统CPMM和RMM流动性分布对比，CSEMM可调节尾部流动性以匹配实际资产重尾分布。

• LP头寸与非线性收益 [page::6]:

- CCMM模型下LP头寸展示非线性收益结构，可通过借贷表现出凸性，加强风险管理能力。

• 流动性从正价到负价的拓展形态 [page::7]:

- 展示流动性在单位圆上从负无穷到正无穷的连续分布，强调模型的完整性和适应性。

• 应用场景与实际意义 [page::1]:

- 适用于带持有成本或时效性强的商品，如电力、天然气、石油等。
- 可拓展为负声誉代币的价格表示，增强匿名团队或DAO的可信度机制。
- 为区块链矿工及数据中心管理输入成本提供创新交易工具。

深度解析报告：《CONCENTRATED SUPERELLIPTICAL MARKET MAKER》

---

1. 元数据与报告概览

• 标题：《CONCENTRATED SUPERELLIPTICAL MARKET MAKER》

- 作者：Vasily Tolstikov

• 联系方式：邮箱 0xeb567e5ac2feb7bbfc777e0bd18a8a34eb922e86@ethereum.mailchain.com

- 主题：提出一种自动化做市商（AMM）模型，允许价格跨越零界限进入负价区间，适用于电力、能源及衍生品市场。

• 核心论点：

- 现有AMM模型无法支持负价格资产的流动性提供与交易。
- 设计了一种新的AMM不变量（Invariant），基于超椭圆（Super-Elliptical）曲线，使交易的资产价格可以为负。
- 该模型允许负价与正价资产之间互换，应用场景涵盖能源大宗商品，及其他有负持有成本、负价格的资产。
- 通过流动性指纹、收益结构和不变量的比较，研究该模型与传统基于Black-Scholes模型和对数市场评分规则（LMSR）的差异和优势。

• 关键词：自动化做市商、Black-Scholes、恒定乘积市场做市商 (CPMM)、集中流动性、重尾分布、拉梅曲线 (Lamé curve)、勒让德变换、对数市场评分规则、流动性指纹、负价格、负流动性。

报告目的在于填补传统AMM无法覆盖负价格资产流动性的空缺，创新地设计AMM模型，并论述其理论基础与实际应用以及衍生的流动性和风险特征。[page::0]

---

2. 逐节深度解读

2.1 引言部分（Introduction）

• 关键论点：

- 负价格现象在传统金融市场罕见，但随着真实世界资产（RWA）映射至区块链，负价格出现概率增大。
- 目前主流AMM如Uniswap只支持价格在零到正无穷的范围，不能提供负价格资产流动性。
- 报告提出涵盖负价格的AMM设计框架，旨在理论和实践中解决该空白。

• 逻辑与支撑：

- 负价格资产因持有成本、特殊市场事件（如电力在供过于求时价格转负）等原因出现，这种现象在去中心化市场需要被纳入考虑。
- 传统AMM设计固有零下界限制，缺乏应对负价格资产的能力和模型体系。

• 意义：为去中心化金融市场带来新可能，使更多资产类如电力、农产品等因负价格现象被纳入交易范畴，促进DeFi市场发展。[page::0]

2.2 负价格现象与AMM限制（Discussion）

• 负价格案例汇总：

- 2020年油价大幅负值。
- 1955年洋葱价格为负，导致1958年美国禁止洋葱期货交易。
- 2024年美国电力多次出现负价（图1A详细展示）。
- 芬兰2023年误操作导致商品负价。
- 金融合成产品（如美国国债衍生品）存在负价可能。

• AMM当前设计限制：

- Uniswap v2采用恒定乘积模型，允许价格无限制在正向范围变动。
- Uniswap v3引入集中流动性，但仍限定零到无穷区间，做市商资金在价格超出设置区间时闲置且无法赚取手续费（图2展示尾部流动性不足问题）。
- 现有模型不支持负价格，且不考虑资产重尾分布。

• 创新点：

- 在经典恒定乘积方程的基础上扩展，设计考虑负价格域和重尾特性。
- 让流动性可进入负价，通过调整不变量满足实际交易需求。

• 逻辑：

- 结合实际数据的财务资产分布（重尾、负价格）调整AMM设计，是将现实世界市场特性带入去中心化交易的必要步骤。

• 意义：

- 允许链上资产负价流动，有助于更多现实资产映射上链并交易，提高DeFi生态多样性和适应性。[page::0][page::1]

2.3 新型AMM不变量设计与数学模型（Section 2.1 AMM Invariant）

• 核心数学模型：

- 将Uniswap v3 AMM不变量调整为超椭圆形式（Lame曲线）：
$$
\left|\frac{x}{\alpha}-1\right|^{u(\alpha)} + \left|\frac{y}{\beta}-1\right|^{u(\beta)} = 1
$$
- 特殊情况：
- 当α=β趋近于2，近似线性模型$x+y=k$。
- 当α、β趋于无穷时，接近LMSR不变量。
- 通过调节参数，可实现在流动性分布上的“锐化”、“偏斜”和“尾部扩展”。
- 解释：此设计使价格曲线接纳负价格区域，扩大可交易价格范围以包括负价。

• 数学推导：

- 变换使得不变量曲线可“折叠”，从而覆盖负价格域。
- 推导出流动性指纹（Liquidity Fingerprint）揭示流动性的分布规律，发现该分布具有Pareto尾指数α=3，属于重尾分布。

• 比较与链接：

- 与传统Uniswap CPMM相比，此模型更灵活，避免了资金在极端价格时的闲置问题。
- 通过图3（包含图3A-D）与其他不变量模型对比，验证了设计合理性和新颖性。

• 应用模型特点：

- 支持价格向负无限延伸。
- 允许双向负价格资产交换（如负价格的油换负价格的天然气）。
- LP头寸价值在负无风险利率环境下可能表现为“双重凸性”。

• 技术贡献：

- 引入负流动性概念，拓展AMM理论。
- 链接价格机制与深度流动性结构，具有实际计算与工程落地价值。[page::1][page::2]

2.4 负价格的应用场景（Section 2.2 Applications）

• 能源商品及其特性：

- 电力、天然气、石油、农产品等具有持有成本或时效属性，不及时消费或处理可能造成损失，复杂的供需波动使价格可能跌至负值（图1A显示美国电价负值频频出现）。
- 该机制使数据中心、矿工等能利用负电价降低运营成本。

• 非价格本体下的负价：

- 通过价格偏移（offset price）模型实现资产如享有不同“基准价”及负偏移，这带来非线性收益结构，图4详细展示。

• 声誉代币（Reputation token）：

- 将价格为负用作声誉负面信号，与正价格代表正向声誉区分。
- 防止匿名团队或公司通过设置零下界掩盖负面信息。
- “价格可负”本身是对团队诚信和市场透明度的一种“皮肤在游戏”机制。

• 总结：

- 负价格覆盖了众多重要资产类型，使得DeFi生态不仅限于传统金融资产，还可扩展至现实世界复杂非线性资产。
- 负价格设计提高市场信息效率，降低操纵及欺诈风险。[page::1]

2.5 数学推导附录与技术细节（Section 3 Appendix）

• 负流动性的数学证明：

- 以Uniswap公式$x y=L^2$为基础，推导出存在负流动性可能性及其限制。
- 详细演算不变量及其价格空间下的二阶导数，得流动性指纹$L(x)$，揭示其重尾特性。

• 流动性指纹及收益函数：

- 通过勒让德变换取得LP收益函数，结合Gamma、Delta、Theta等希腊字母变量，链接量化风险指标。
- 利用Bachelier 1900年理论，将预期Theta与隐含波动率相关联，为波动率预期提供理论基础。

• 交换函数详解：

- CCMM和CSEMM的交换函数解析，展示如何计算$y$资产量随输入$x$资产变化的函数。
- 交换函数具对称性及旋转对称性的特点，且针对超椭圆的不对称性作了调整。

• 负流动性的非对称实现：

- 设计带有抛物线参数$\beta >2$的非对称负流动性模型，链接正价领域的对称模型，实现更灵活的流动性分布。

• 免责声明：

- 明确教材性质，非投资建议，责任归属清晰，确保读者明白理论探讨与实际操作界限。

• 总结：

- 附录内容严谨，兼顾理论和工程计算可行，有助于实际模型开发与部署。[page::2][page::3]

---

3. 图表深度解读

3.1 图1 美国电力价格动态（图1A、1B、1C）

• 描述：

- 图1A: 2001年至2024年美国电力每日报价（单位：$/MWh），对数坐标展示价格走势，标注零界线。
- 图1B: 统计正负收益的尾部频率分布，呈现收益的尾部重且不对称特征。
- 图1C: 电力价格收益的波动性聚集表现，显示季节性影响。

• 解读：

- 电力价格存在频繁的负值事件，且负价的出现日益增长。
- 收益率分布非正态，具有明显重尾，风险材料化。
- 波动率呈季节性，年初波动较大，年中逐步减小，年末因假期影响再次攀升。

• 联系文本：

- 实证数据支持价格可负现象，强调需要AMM设计覆盖负价格区间。
- 重尾和波动性季节性影响构成流动性配置复杂背景。

• 局限：

- 仅限美国电力市场，其他市场需另行验证。

• 图片链接：

[page::4]

3.2 图2 流动性尾部分布（2A和2B）

• 描述：

- 2A: CPMM流动性分布（均匀）、覆盖调用RMM的流动性（高斯）和金融资产实际重尾特征。
- 2B: 流动性密度与尾部风险的对数-对数关系，标红部分揭示传统模型下尾部流动性短缺。

• 解读：

- CPMM为均匀流动性，覆盖调用RMM契合正态风险假设。
- 金融市场资产波动性具有重尾，传统AMM在尾部表现资本效率低。

• 联系文本：

- 说明设计新型AMM保持尾部流动性充足的重要性。

• 图片链接：

[page::5]

3.3 图3 AMM不变量形态比较（3A-3D）

• 描述：

- 3A CCMM（集中圆形市场做市商）不变量，展示负价格与正价格流动性曲线（红线表示负价格区域）。
- 3B CSMM (集中超椭圆)与已有多资产AMM恒等式对比。
- 3C Uniswap v3 CPMM不变量，显示集中流动性区间设计。
- 3D 圆锥切面不变量，演示不同参数c下流动性分布变动。

• 解读：

- CCMM显著拓宽了价格区间至负方向，图中红线展示负价格域的非平凡形态。
- CSMM展示了传统设计与超级椭圆设计间的连续过渡性。
- v3 CPMM的不可避免流动性间隙问题在负价格区得以解决。

• 联系文本：

- 图示直观体现理论创新，佐证了实用性和设计的多样适配性。

• 图片链接：

[page::5]

3.4 图4 CCMM LP头寸收益非线性表现

• 描述：

- 4A1正常CCMM不变量对应的流动性分布。
- 4B1当LP头寸借贷时负利率环境下的收益凸性增强表现。
- 4A2和4B2分别展示了LP的多头和空头收益曲线相对于价格的非线性波动。

• 解读：

- LP收益具有显著的非线性，其风险和回报可能随价格负向变动而放大。
- 借贷位置时收益凸性变化，暗示流动性提供者在不同市场条件下的收益结构复杂。

• 联系文本：

- 支持报告提出的LP在负价格和借贷情境下具有双重凸性风险的论点。

• 图片链接：

[page::6]

3.5 图5 流动性在单位圆上分布示意（5A-5D）

• 描述：

- 5A显示Uniswap v2的均匀流动性（蓝）与负区间流动性（红），展示了流动性覆盖正负价格与v3集中流动性位置。
- 5B RMM模型无负流动性部分。
- 5C CCMM模型负流动性特征。
- 5D 一种抛物线不变量模型负流动性增加趋势。

• 解读：

- 直观展现多种AMM模型对于价格区间内流动性的分布差异，强调CCMM新颖的负流动性设计。
- 5D模型显示负领域流动性不但存在，还可能随价格增加。

• 联系文本：

- 说明了设计的新方法能有效覆盖负的价格区间，支持现实金融资产的复杂性需求。

• 图片链接：

[page::7]

---

4. 估值分析

本报告聚焦于AMM设计与理论创新，未针对具体公司或资产进行传统估值。相应地未提供PE、DCF等估值模型，而是通过不变量设计寻找流动性分布和价格动态之间的均衡。

• 方法论：利用数学不变量和流动性指纹方法对市场价格行为进行建模。

- 关键参数：不变量形态参数α、β控制曲线形状及价格区间扩展，调整以应对价格负值及尾部风险。

• 估值覆盖：无传统金融资产估值，侧重流动性结构的“内在价值”研究。

---

5. 风险因素评估

• AMM设计风险：

- 负价格交易机制复杂，可能引发极端价格震荡或流动性失衡。
- 双重凸性损益结构为流动性提供者带来独特风险，尤其在负利率环境下。

• 市场风险：

- 重尾分布带来极端价格变动风险，需保持充足尾部流动性。
- 负价格区间流动性可能诞生新型操控风险，需警惕价格操纵。

• 技术风险：

- 数学模型复杂度高，实际部署面临计算和执行效率问题。

• 监管风险：

- 负价格商品可能面临法律限制，如洋葱期货案例。

• 缓解策略：

- 参数调整实现流动性的灵活分配。
- 设计交易规则防止操纵。
报告虽然没有详细给出缓解方案，但从参数灵活度和设计的非对称性体现出一定的风险控制思路。[page::0][page::1][page::7]

---

6. 审慎视角与细微差别

• 报告优势：

- 将负价资产的交易特性系统化融入AMM设计，理论丰富，考虑面广。
- 数学推导严谨，格式完整，兼顾理论与工程。

• 潜在不足：

- 负价格交易尚属新领域，模型在实际大规模应用中的稳定性与抗操纵能力仍需实证检验。
- 模型复杂，可能带来高计算成本以及实施难度。
- 尚未充分讨论用户教育及市场接受度问题。
- 报告强调负价格可作为声誉信号，存在潜在道德风险，若滥用或误解可能引发纷争。

• 内部一致性：

- 报告整体保持数学一致性，负流动性的对称与非对称处理清晰明确。
- 但对负价格未来市场规模的定量预测欠缺，呈现偏理论化倾向。

---

7. 结论性综合

本报告由Vasily Tolstikov撰写，提出一种突破传统限制的超椭圆形自动化做市商（CSEMM）设计，实现价格可跨零进入负区间。这一突破直接回应了现实世界中能源、电力等商品负价格频发的市场现象，丰富了当前AMM理论与实践。

核心贡献在于：

• 超越现有Uniswap等AMM零下界，实现负价格交易流动性提供。

- 通过调节参数α、β及冥指数u(x)，模型可灵活匹配多种流动性指纹，适应重尾资产分布。

• 引入负流动性概念，数学推导流动性指纹揭示重尾和负价领域的市场动态。

- 提出非线性收益结构和双重凸性风险，为LP提供全新风险与收益视角。

• 展现广泛应用，涵盖电力、天然气等能源领域，甚至达声誉代币领域，拓展DeFi资产范畴。

- 详实图表（Fig.1-5）直观诠释负价现象、流动性分布及AMM不变量新颖设计，强化理论与实际的联系。

此创新型AMM设计为未来区块链资产交易提供框架，可有效提升资本效率和风险管理水平，为负价格资产数字化交易铺路，促进DeFi更全面融合现实资产生态。

然而，该模型的实际应用仍面临风险管理、监管合规、技术实现与市场接受度等挑战，需后续深入研究与实地测试支持。

总的来说，报告立场积极且前瞻，展示了跨越零界限的AMM设计之可能性与潜力，值得金融工程师和区块链DeFi领域深入关注与应用探索。[page::0][page::1][page::4][page::5][page::6][page::7]

---

参考文献

报告引用了实证数据和学术文献支持论点，包括：

• 电力价格及能源市场数据（EIA，Bloomberg）

- 经典文献：《理论投机》（Bachelier 1900）

• 现有AMM白皮书（Uniswap v2/v3）

- 金融衍生品及流动性理论（Black-Scholes、RMM）

• 相关法规（洋葱期货法案）

- 多篇arXiv预印本与专业研究报告

详见报告第5章参考列表。[page::3]

---

总体评价

该论文以开拓性视角和创新模型，系统揭示了负价格资产交易的必要性及可行性的数学基础，为跨界资产数字化交易和区块链去中心化金融带来了重要启示。报告内容丰富详实，逻辑清晰，是领域内极具参考价值的技术作品。

报告