• 研究目标：扩展系统性风险度量体系，将随机资产与随机互联负债矩阵纳入聚合函数框架，基于Eisenberg-Noe模型构建网络 contagion 风险度量体系[page::0][page::2][page::3][page::9]。

- 系统性风险度量定义为随机资本配置的最小总救助金额，使金融网络聚合风险满足接受阈值，该资本配置可为随机变量以便场景依赖分配，提升风险调控效率[page::1][page::9][page::10][page::13][page::14]。

• 聚合函数定义为清算向量与总负债之差，准确表示网络短缺；其连续性、单调性和凸性等数学性质保障风险度量函数的良好数理特征[page::8][page::9][page::10]。

- 理论成果包括最优随机资本配置存在性、配置集合凸性及风险约束恰达成立，结合Komlós定理进行可行序列构造，确保计算可行性和稳定性[page::13][page::14][page::15][page::16][page::17][page::18]。

• 提出等价重构形式，将系统性风险度量分解为内层最优风险与外层资本水准最小化的双层优化问题，并给出内外层问题的最优性存在证明，设计基于梯度下降的迭代优化算法（算法1和2）估计最低救助额度及对应分配策略[page::16][page::17][page::18][page::19]。

- FNN、GNN、PENN及XPENN四类神经网络作为资本分配映射的函数逼近器，其中GNN与PENN具备天然的排列等变性，XPENN在PENN基础上扩展旨在提高节点信息恢复能力，实现更强表达力[page::20][page::21][page::23][page::24][page::28][page::29]。

• 理论证明PENN和XPENN能普遍逼近任意排列等变节点标注函数，在节点编号增强条件下，保证函数表达的完整性和排列等变性[page::23][page::24][page::25][page::29][page::30]。

- 数值实验1（默认连锁与星型网络）：GNN和XPENN均能快速学习最优救助资本分配，FNN表现欠佳且计算成本剧增，XPENN克服PENN信息丢失和特征匮乏限制，展现更强适应性。

• 数值实验2（固定金额救助分配）：基于ER、CP和CPf三种合成网络数据集，XPENN在内风险最小化表现超越GNN和PENN，FNN及线性模型表现波动且泛化能力差，非参数基准效果较弱[page::34][page::35][page::36]。

- 数值实验3（系统性风险度量计算）：在给定风险阈值下搜索最小救助资本，XPENN、GNN和PENN均能有效降低救助资本基准，FNN在CPf（固定负债矩阵）情况表现较好，凸显结构信息对风险管理影响[page::37][page::38][page::39]。

• 结论提出，排列等变神经网络架构特别适合处理随机金融网络的系统性风险计算问题，强调场景依赖的随机资本分配能够显著节省救助资金，未来可能扩展至其他复杂 contagion 模型和异质网络[page::40][page::41]。

金融网络系统性风险测度及其图神经网络近似方法——深度解析与解构分析

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1. 报告元数据与总体概览

• 标题：《Computing Systemic Risk Measures with Graph Neural Networks》

- 作者：Lukas Gonon, Thilo Meyer-Brandis, Niklas Weber

• 发布日期：2024年9月27日

- 研究主题：本文聚焦于含有明确建模双边负债的随机金融网络中的系统性风险测度，扩展了Biagini等人（2019）提出的系统性风险测度框架。作者尤其关注基于Eisenberg和Noe（2001）市场清算算法的聚合函数，借助图神经网络（GNN）及其扩展的置换等价网络结构对最优随机资本配置及系统风险测度进行近似计算。

核心论点简述：

• 系统性风险测度在金融风险管理中承担重要角色，传统测度多基于单一变量及后期资本加固（aggregation后资本注入）方法；然而本文着眼于资本预先分配（aggregation前资本注入），并纳入随机资本配置，针对基于网络交互的复杂聚合函数展开理论和数值方法研究。

- 利用Eisenberg-Noe模型明确描述金融机构网络中双向负债关系的 contagion 机制，对系统性风险进行建模和测度。

• 提出、验证并比较了多种神经网络架构，特别是具备置换等价性质的图神经网络（GNN）和（扩展）置换等价神经网络（(X)PENNs），证明这些方法在处理图结构金融网络数据时性能优越。

该报告不仅在理论上保证了系统性风险测度的存在性和最优资本配置的可测函数表示，还提出了一套切实可行的基于神经网络的数值近似算法，并通过多样复杂的数值实验验证其有效性和优势。[page::0,1,2,3]

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2. 逐节深度解读

2.1 引言与研究背景（第0-1页）

• 文章回顾了风险测度理论演变，从Markowitz的均值方差框架开始，到VaR在90年代广泛应用，再到后续对一致性、凸性等特性的研究。

- 2007-2008年金融危机催生对系统性风险的关注，系统性风险定义为某金融机构失败导致整个系统崩溃的风险。

• 经典系统性风险测度视为对单变量风险测度作用于系统风险因子$\Lambda(X)$的形式，其中$X$为多机构风险向量，$\Lambda$为聚合函数。

- 引入“资本注入前聚合”的新思维模式，即在系统风险聚合之前进行资本分配，更有效地避免传染效应，降低救助成本。

• 进一步推广到随机资本配置$Y\in L^{0}(\mathbb{R}^N)$，即允许根据真实场景灵活调整资本分配，从而比确定性资本配置更节约资本。[page::0,1]

2.2 聚合函数的拓展与Eisenberg-Noe模型（第2-3页）

• 文献中两类聚合函数范式：一是对经过传染交互后的风险向量简单聚合；另一类则是对传染前风险建模，聚合函数复杂且依赖网络结构（如负债矩阵、资产暴露矩阵等）。

- 本文在随机资本配置背景下，扩展聚合函数$\Lambda:\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^{N\times N}\to \mathbb{R}$，输入为资产和负债矩阵，同时考虑随机负债矩阵，增加现实考虑。

• 选用Eisenberg-Noe模型作为典型网络传染模型，明确资产$A$与负债矩阵$L$的形式定义及其含义。

- 通过该模型定义系统性风险$\rho(A,L)$为最小的随机资本总额使系统安全，资本配置$Y$满足聚合后接受集条件。

• 证明此系统性风险测度存在性且具凸型，推导可迭代数值计算算法，面对随机分配和网络结构输入的计算复杂性，提出利用图神经网络架构解决输入结构复杂性问题的必要性。[page::2,3]

2.3 图结构与金融网络数学模型（第4-9页）

• 建立金融网络的图结构表示，节点对应机构资产，边对应负债规模（带权、有向）。

- 严格定义节点、边特征及其表示空间$\mathcal{D}$，并引入置换群$SN$，反映节点编号灵活性及图结构对节点编号的不变性。

• 定义置换等价节点标记函数，确保函数输出对节点的排序置换具有对应置换关系，强调构造神经网络需保持此性质。

- Eisenberg-Noe模型详细定义：资产$a$，负债矩阵$\ell$及其规范化为债务比例矩阵$\pi$与总负债向量$\bar{\ell}$。

• 引入清算向量$\mathrm{CV}(a,\ell)$为方程$\Phi$的固定点，代表机构清偿债务的平衡状态，满足有限责任、比例偿付、绝对优先等原则。

- 展示清算向量及聚合函数$\Lambda(a,\ell) := \sumi \bar{\ell}i - \mathrm{CV}i(a,\ell)$的性质：连续性、单调性、凸性、非膨胀性，为后续风险测度理论基础打下坚实基础。

• 将抽象功能$\tau:\mathcal{D}\to\mathbb{R}^{N}$作为节点标记函数引入，结合置换等价定义明确了金融网络中函数对节点重排序的敏感性。[page::4,5,6,7,8,9]

2.4 随机金融网络的系统性风险测度（第9-15页）

• 定义随机金融网络模型：资产$A\in L^0(\mathbb{R}{++}^N)$和负债矩阵$L\in L^0(\mathbb{R}+^{N \times N})$，无自环。

- 系统性风险测度定义为最小随机资本分配总额满足系统风险小于阈值$b$的资本配置集合，可行配置集合$\mathcal{C}$包含非负随机分配使得资本总额恒定。

• 采用一般单变量风险测度$\eta$满足单调性、凸性、归一化和连续性，定义接受集$\mathbb{A} = \{Z: \eta(Z)\le b\}$。

- 证明当负债矩阵为确定性时，系统性风险测度$\rho$为凸、单调函数。

• 证明关键性质：聚合函数$\Lambda$对资产凸、单调递减，风险测度性质可由此继承。

- 论证负债矩阵有界时，存在有限资本保证系统安全（聚合损失为0），通过具体资本向量示例说明所需资本上界。

• 证明系统性风险测度非负且有限（不会为无穷），提供资本上界的显式构造、限制配置空间以简化计算。

- 采用Komlós定理证明最优资本配置存在性及优化集合凸性，且对最优配置风险测度值恰为阈值$b$。

• 结合理论构建可测最优配置函数$H^c$，为神经网络近似提供理论保障。[page::9,10,11,12,13,14,15]

2.5 系统性风险测度的数值计算框架（第16-19页）

• 引入“内风险”$\rhoc^I(G)$（固定资本水平$c$下最小风险）和“外风险”$\rhob^O(G)$（满足风险阈值$b$的最小资本），二者相互表达，且存在最优配置，实现等价转换。

- 设计基于该转换的迭代算法：外层调整资本水平$c$，内层寻优给定$c$的最优配置$Y^c$，总代价函数结合风险约束与资本成本，采用梯度优化。

• 说明参数化映射$\phi^\theta$接近最优分配$\varphi^c=H^c/c$，并基于样本近似估计策略优化目标。

- 提及传统确定性资本分配方法即$\phi^\theta$为常量向量特例。

• 通过两个算法步骤（全风险近似和定资本给定优化）完善数值实现方案。[page::16,17,18,19]

2.6 神经网络架构设计与理论基础（第20-30页）

• 介绍经典FNN，理论上具备普适逼近性（任何可测函数都可近似），但实务中对图结构及高维复杂输入处理能力有限。

- 展示GNN架构基于消息传递机制，节点状态迭代更新，通过邻居特征自动捕获局部图结构及权重关系，天然具备节点置换等价性。

• 详述基于SAGEConv层实现的GNN，边权重纳入消息加权平均，最终层产生节点输出。

- 强调GNN相较纯FNN真正体现了图结构的先验知识，能有效解决置换等价依赖。

• 引入置换等价神经网络（PENN），不含消息传递，但通过节点特征、邻居特征与边特征的两层汇总和组合函数，构成置换等价节点标记函数。

- 严格理论证明PENN架构能完美表达所有置换等价函数，基于节点ID增强图特征至带编号的拓扑表示空间$\widetilde{\mathcal{D}}$。

• 进一步拓展为扩展PENN（XPENN），新增基于双向边连接特征的额外汇聚模块，解决PENN信息融合时的潜在信息丢失问题，使表征更强大，数值效果优越。

- 提供PENN、XPENN的普适性定理，证明其对任意置换等价节点标记函数存在任意精度的拟合能力，保证理论基础的完整性。[page::20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30]

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3. 图表与实验数据深度解读

3.1 图1解读（第31页）

• 内容描述：展示100节点时两种典型网络结构。左图为“默认级联网络”，节点链状连接，环形回路，边权99。右图为“星形网络”，集中节点1处，众多外围节点均指向中心节点，边权为1。

- 逻辑意义：级联网络呈现连锁违约风险结构，单点破坏易引发逐层传染。星形网络凸显某关键风险节点的集中风险敞口。

• 在算法及训练语境下：每种类型的最佳救助方案截然不同，级联网络需一次性集中救助启动节点，星形网络需均衡分配救助资本。

- 图表结合实验设计：帮助模型学习判别网络结构，识别对应最优资本分配方案，验证神经网络对复杂传染结构的感知能力。[page::31]

3.2 表1：不同规模网络上的内风险与算法性能对比（第32页）

• 数据说明：比较GNN、XPENN、FNN(L)三类模型在网络规模$N=10,20,50,100$上的训练表现与计算效率，对于损失函数（内风险），理想为0，放置无救助时损失逐增。

- 观察总结：
- GNN和XPENN均能快速逼近理论最优救助方案，显著降低损失，表明对任务匹配良好。
- FNN(L)在小尺寸时尚可降低损失，但效率低且大规模下表现极差，训练时间爆炸且仍无收敛迹象。
- XPENN相较GNN计算更耗时，因其不够稀疏，对所有可能边进行计算，揭示其计算扩展性限制。

• 含义：体现维持置换等价性和结构感知对风险分配高效学习的关键作用，也暴露传统FNN在高维网络输入处理的不足。[page::32]

3.3 表2：训练集与测试集上的泛化性能（第33页）

• 数据内容：网络拆分为75%训练，25%测试分布，验证模型对未知场景的泛化能力。

- 结果解读：
- GNN和XPENN在测试集上的优异表现显示了对网络输入置换不变性的天然学习，有效避免过拟合。
- FNN(L)虽然能过拟合训练数据，但无法合理泛化至测试集，说明缺乏拓扑结构感知导致学习内容无用武之地。

• 结论：强调基于图结构设计且具置换等价性的神经模型在金融网络系统风险测度中优势明显。[page::33]

3.4 实验比较：PENN与XPENN架构差异及性能（第34页）

• 问题及核心发现：

- PENN在无有效节点特征（资产均为零）且较复杂债务结构的场景中表现不佳，难以推断正确资本分配，因为单向边信息及节点和编号难以辅助分配逻辑。
- XPENN设计补充了双向边特征聚合，增加节点特定信息处理段，成功避免信息在节点层面丢失问题，实验证明其结果远超传统PENN。

• 启示：金融网络系统风险攻击场景下，对节点和边信息双向全面利用极为关键，模型须有足够的表达能力捕获细粒度网络特征。

- 总结：XPENN作为PENN的强化版，兼具结构理论基础及实际性能优势。[page::34]

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4. 估值及风险分析

该报告主要围绕系统性风险测度本身的定义及求解，不涉及传统的金融资产估值模型，故不涉及多因子模型或折现现金流估价方法，因此估值部分不适用。

然而：

• 系统性风险测度内涵量化了系统默认链消化后整体缺口损失，具有风险资本的价值属性，是对网络整体风险敞口的标量刻画。

- 报告通过风险阈值$b$和资本配置总和$c$建立约束优化问题，资本水平$c$对应风险水平的内在关系类似风险-资本定价的结构，为控制资本成本和风险平衡提供了数学基础。

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5. 风险因素评估

文中主要风险因素涉及：

• 网络结构风险：负债矩阵的随机性及其估计误差可能导致系统性风险测度结果不稳定，影响最优资本分配方案的准确性。

- 模型假设风险：
- Eisenberg-Noe模型假设无违约成本，只考虑债务比例偿还，忽略可能的流动性危机、资产折价火售等复杂传染机制。
- 单一聚合函数形式及风险度量形式或限制风险评估多维度复杂性的表达。

• 计算复杂性风险：

- 规模较大或网络稠密时，计算资源成为限制，特别是XPENN等架构在稠密图中的计算负担。
- 训练难题：深度神经网络可能陷入局部极小、训练不稳定等问题，导致最优资本配置估计不准确。

• 数据质量及隐含假设风险：

- 资产和负债数据的观测误差，网络重建方法的估计误差会影响测度质量。
- 假设资本可自由分配且迅速落实，忽略现实操作和监管限制。

报告中对风险因素主要通过理论上的约束、稳健性和数值验证予以缓解，但未专门给出针对策略或概率分析，更多强调模型结构与算法设计的固有优势。[page::3,12,28]

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6. 审慎视角与细节剖析

• 理论假设的合理性：报告基于资产正定、无自负债等合理假设，部分假设（例如资本配置无负值、资本总额定值）具有约束性，可能限制实际灵活性。

- 信息丢失风险：PENN由于设计单一聚合和信息压缩机制，存在重要节点特征丢失风险，不具备通用适用性；XPENN设计补充了此不足。

• 模型泛化能力检验充分：报告数值实验详尽，包含对比训练/测试性能，针对高维网络和不同网络类型进行稳健性考察，体现较强的泛化认知。

- 复杂链式推断假设：随机资本配置前置能够有效防止传染，但实际中传染路径多样，将来拓展含火售、非线性违约机制值得关注。

• 缺少实证案例：报告以模拟数据为主，缺少真实金融网络数据案例检验，可能面临理论与现实差距。

- 计算资源与模型复杂度权衡：XPENN虽表达力强，但计算成本随网络稠密度平方级增长，实际部署可能受限。

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7. 结论性综合

本文系统且深入地将系统性风险测度理论架构扩展到金融网络中的随机负债矩阵场景，基于Eisenberg-Noe清偿机制严格建立了系统风险的数学规划框架及最优资本配置存在性证明。创新地提出基于图结构特征的（扩展）置换等价神经网络（(X)PENN）架构，理论上保证了对置换等价节点标记函数的普适逼近性，并基于此设计了数值算法框架。

多样的数值实验表明：

• GNN及XPENN作为天然置换等价模型，在小至大规模网络中均能有效学习最优资本分配，效率高且泛化能力强。

- 经典FNN即便增加负债矩阵输入，学习效果差距明显，训练难度和时间随着网络规模指数增长。

• XPENN相较于经典PENN解决了节点信息丢失问题，尤其在节点特征匮乏及债务异质性显著的网络中表现优异。

- 不同金融网络模型（ER，核心-边缘及其固定结构等）中，XPENN与GNN普遍优于其他基准及传统机器学习方法。

• 允许场景依赖的随机资本配置能在实质上节约大量系统性风险资本，提升救助方案经济效率。

总体上，报告展现了金融网络系统性风险测度结合图神经网络的前沿发展方向，为未来大型复杂金融系统风险管理提供了有效的理论与技术工具。后续研究可关注更复杂传染机制（火售、交叉持股）、异构图神经网络架构及真实数据验证，推动理论与实践融合。

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附：关键图表与表格

图1：$N=100$时，左为“默认级联网络”，右为“星形市场网络”

| 网络规模 | 模型 | 训练内风险 | 测试内风险 | 备注（运行时间等） |
| -------- | ---- | ---------- | ---------- | ------------------ |
| 10 | GNN | 接近0 | 接近0 | 约2分钟 |
| 10 | XPENN| 接近0 | 接近0 | 同GNN |
| 10 | FNN(L)| 2.37 | 较高 | 训练时间较长 |
| 100 | GNN | 接近0 | 接近0 | 15分钟内 |
| 100 | XPENN| 接近0 | 接近0 | 47分钟 |
| 100 | FNN(L)| 高损失 | 高损失 | 4小时无收敛 |

表1摘录：不同模型对内风险指标的学习能力与时间比较（更多详尽数据见报告完整版）

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参考文献摘录

• Eisenberg and Noe (2001)，市场清偿及风险传染模型的开创性工作

- Biagini et al. (2019)，系统性风险度量理论基础

• Feinstein et al. (2017)，系统性风险度量的计算方法之一

- Feng et al. (2022)，神经网络应用于系统性风险测度的前驱研究

• Hamilton et al. (2017)，消息传递图神经网络基础

- Herzig et al. (2018)，置换等价神经网络理论基础

（详见报告末页完整引用）

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总结

本报告系统化地整合了现代系统性风险测度的数学理论、挑战及图神经网络算法，从空间构建、风险度量、理论证明、神经网络表示理论到数值实验做了全方位、细致的深度讲解。其理论与算法创新为后续更复杂金融网络风险管理开辟了新路径，且数值实验充分证明了置换等价神经网络模型作为金融网络风险管理工具的有效性和优势。[page::0-41]

报告