• 量子计算在金融衍生品定价中的应用背景与优势 [page::0][page::1]：

- 量子幅度估计算法的收敛率为1/M，相较经典蒙特卡洛方法O(1/√M)可实现理论上的二次加速。
- 目前已有研究覆盖欧式期权、亚洲期权等，但彩虹期权尚缺乏针对性的量子算法。

• 彩虹期权定价量子算法框架与创新点 [page::1][page::2]：

- 使用两维相关资产，实现彩虹期权的端到端量子电路。
- 延迟从返还空间（log-return）到价格空间的指数映射至支付函数计算阶段，节省算术计算资源。
- 提出两种指数幅度加载策略：直接加载和积分加载，分别适用于指数函数与单调函数。

• 方法细节及量子电路设计 [page::3][page::4][page::5]：

- 资产价格在返还空间以多元正态分布表达，通过Cholesky分解构造相关样本。
- 利用量子比较器控制两种幅度加载模块，直接方法通过受控旋转和多重受控X门完成指数函数加载。



- 积分方法基于状态准备的概率累计，利用量子比较器作为积分器完成加载。

• 算法复杂度与误差分析 [page::6]：

- 重点分析了付费函数部分的T深度，直接加载方法T深度主要受控R_y门数量及多控X门优化均优于现有方案。
- 误差由幅度估计、支付函数加载、高斯状态准备和最大值求解算术引入，且不同幅度加载方式对最终估计误差的放缩影响不同。

• 实验验证与结果 [page::7]：

- 实验设定两资产初始价分别为\$193.97和\$189.12，行权价190美元。
- 在IBM QASM无噪声模拟器上，使用IQAE算法进行1000次测量，投影误差为0.01，置信水平0.95。
- 两种加载方法均能准确估计期权期望收益，结果包含在置信区间内，且与经典计算结果（\$23.02）吻合。

• 未来展望 [page::7][page::8]：

- 方法适用于更广泛的期权类型，包括路径依赖期权。
- 计划在可用噪声量子硬件上实现小规模测试，进一步推进量子金融算法的实用化。

金融研究报告详尽分析报告

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一、元数据与报告概览

标题： Quantum Amplitude Loading for Rainbow Options Pricing
作者及机构： Francesca Cibrario 等，来自 Intesa Sanpaolo（意大利都灵）、Classiq Technologies（以色列特拉维夫）、Politecnico di Torino（意大利都灵）
日期： 2024年3月左右（最新参考文献至2024年）
主题： 利用量子计算技术中的量子幅度估计（Quantum Amplitude Estimation, QAE）方法，提出一种新颖的量子算法解决多资产金融衍生品——彩虹期权（Rainbow Options）的定价问题。
研究核心：

• 设计基于迭代量子幅度估计（Iterative QAE）无需量子相位估计的端到端量子电路实现；

- 重点优化在回报空间（return space）到价格空间（price space）转换阶段的复杂度，具体延迟至收益计算时进行；

• 提出并比对两种处理指数函数的量子幅度加载技术（直接加载和积分加载）；

- 以IBM QASM模拟器验证该量子定价模型，展示较为切实的量子金融应用潜力。

总体上，该报告旨在突破传统蒙特卡洛计算的效率瓶颈，利用量子计算提高多资产期权定价效率，特别是针对尚缺乏适用量子算法的彩虹期权进行技术创新与实证探索。[page::0,1]

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二、章节深度解读

1. 引言（Introduction）

报告开篇回顾量子计算对金融领域带来的潜在颠覆性影响，尤其是在风险分析、资产组合优化和衍生品定价中。
期权定价的传统方法分为：解析模型（如Black-Scholes）和蒙特卡洛模拟。解析方法假设强烈且适用范围有限，蒙特卡洛方法灵活适用于复杂路径依赖型期权，但计算成本高，收敛速率为$O(1/\sqrt{M})$，$M$是样本数量。
量子计算利用量子幅度估计算法理论上将收敛速率提升至$O(1/M)$，即用平方根更少的样本实现相同精度，大幅减少计算复杂度。报告提到早期相关工作及其局限性，并强调本研究针对未被充分覆盖的彩虹期权及价格空间转换优化的聚焦。[page::0]

2. 彩虹期权及本文贡献（Rainbow Options & Contributions）

彩虹期权基于多个标的资产，区别于篮子期权及相关期权，其权利价基于表现最佳或最差的标的价格，存在多资产间复杂相关性及价差结构。

本文主要贡献总结为：

• 使用IQAE实现端到端量子电路，支持高达24个量子比特和两个相关资产的模拟，基于真实市场数据；

- 延迟指数映射（return-to-price）至期权收益计算阶段，通过在幅度编码中实现指数函数加载，避免了传统数字运算带来的精度损失和资源开销，提升整体效率；

• 提出两种指数函数幅度加载方案（积分法与直接法），并深入探讨其优势及适用范围。

结构安排明确，从理论基础、方法论、复杂度分析，到实验结果及总结，循序渐进。[page::1]

3. 量子期权定价技术基础（Quantum Option Pricing）

该部分详细回顾当前量子期权定价的三大核心模块：

• 状态准备：将标的多维资产价格（或对数收益率）离散概率分布编码入量子态。该报告采用对数收益率（return space）编码，因其近似正态分布，状态制备更为优化和高效。

- 幅度编码收益函数：将期权收益函数（scaled payoff）编码进辅助量子比特的幅度，实现期望值的幅度估计。

• 期望计算：基于幅度估计算法（simple or iterative QAE），高效估计期望值，收益的期望值最终会通过经典折现获得期权价格。

介绍了与现有文献不同的设计点——采用对数收益率分布，先完成相关和最大值计算，再在幅度编码环节完成指数映射，延迟转入价格空间，优化了资源与深度。[page::1,2]

4. 方法论细节（Methodology）

模块划分清晰：

• 价格演化模拟基于多元几何布朗运动，采样对数收益率的正态分布样本，利用Cholesky分解构造资产间相关性；

- 依据指数函数单调性技巧，最大资产价值搜索在对数收益空间进行（即$\arg\max(\log S0 + Rt)$），避免指数映射前的复杂量子算术；

• 利用线性代数变换调整标的资产对数收益率的缩放和平移，提升数值稳定性和编码简化；

- 期权收益计算推导为带条件的指数函数和常数的分段形式，使指数运算延迟到幅度加载环节完成，并采用两个策略实现：
- 直接指数幅度加载：对指数函数的对偶（取补码$\hat{x}$）直接施加受控旋转，适合单纯指数函数；
- 积分幅度加载：先制备累积分布函数相关状态，再用受控比较器实现概率集成，适合单调递增（或递减）函数，并有更广泛适用性。

两个技术方案均涉及辅助寄存器空间的权衡及旋转门的设计，综合考虑了精度和资源消耗。[page::2,3,4]

5. 复杂度分析（Complexity Analysis）

量子计算中关键资源是$\mathrm{T}$-门的深度（T-depth），直接关系到容错计算复杂度。该章节针对两种幅度加载方法详细分析了其T-depth构成：

• 比较器深度计算清晰：$D{\text{comp}}^{T}=6\log2(k)+15$，其中$k$是寄存器位数；

- 受控旋转门深度依据Solovay-Kitaev定理给出表达式，与精度相关；

• 直接指数方法需$k$个并行受控$Ry$门及一个多控X（MCX）门，后者深度由Classiq官方优化配置支持，复杂度表达式已具体列出；

- 积分方法用更多多控比较门替代多控旋转，其深度相较于直接法更为平衡，且可并行预制指数态；

• 误差（infidelity）分析明确位置：幅度估计误差、收益函数加载误差、高斯状态制备误差及算术计算误差均叠加，且后处理过程放大了误差。两种方法的误差放大因子不同，推导指出延迟行权价扣减的策略对误差影响差异显著。

该节理论分析体现了作者对实际量子硬件实现的深刻考虑，强调误差与资源消耗的权衡。[page::5,6]

6. 实验验证（Experiments）

• 实验环境：利用Classiq平台进行量子程序设计和优化，最后在IBM QASM无噪声模拟器上执行；

- 实验设置：两资产彩虹期权，参数为两只股票初始价格约$194$和$189$美元，行权价$190$美元，250天到期，收益率和协方差矩阵基于实际市场数据；

• 量子资源：共24个量子比特，包括高斯分布（每个资产2比特）、比较器、指数幅度加载寄存器和目标幅度编码；

- 测量与比较：1000次重复运行，基于IQAE方法估计期权期望收益，精度$\epsilon=0.01$，置信水平$95\%$；

• 结果：两种方法无偏估计值均落在经典计算置信区间内，表明量子模型有效性和数值准确性。实验图表清晰展现了不同幅度加载方案的性能对比及误差范围支持。

实验充分验证了设计方案的可行性，为量子金融在多资产期权问题上的应用提供了实践依据。[page::7]

7. 结论（Conclusion）

报告总结称所提出的基于IQAE的彩虹期权定价量子方案，丰富了量子金融衍生品定价的工具箱，重点贡献为能够有效延迟价格空间映射、实现指数幅度加载的两种策略设计。实验验证了基于模拟器的有效性。未来工作方向包括扩展至更复杂路径依赖类期权、更大规模多资产组合、以及噪声量子设备的适用性测试和全面资源需求评估。

此外，积分幅度加载方法的通用性尤其适用于更广泛的函数映射问题，如量子线性方程求解的HHL方法，具有跨领域潜在价值。[page::7,8]

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三、图表与图片深度解读

图1：价格空间蒙特卡洛流程示意图

• 内容描述： 展示从对数收益率$\bar{R}t$经过指数映射$e^{\bar{R}t}$进入资产价格空间$\bar{S}t$，随后选出最大资产$Mt$，接着与行权价$K$进行比较，实现支付函数的计算（$v = \max(Mt - K, 0)$）；

- 数据趋势： 该流程显示传统价格空间展开路径，强调指数映射作为中间步骤的计算复杂度；

• 联系文本： 支持报告中延迟指数映射的动机，即现有方法普遍先完成此步骤，导致量子资源开销大；本研究则图示为对照方案，为节省资源提出改进。

- 图片链接： [page::3]

图2：回报空间蒙特卡洛流程示意图

• 内容描述： 流程先确定最大回报$Zt$，再依条件判断进行指数运算及支付计算；

- 数据趋势： 该设计图突出了指数函数的延迟计算，仅在需要时才执行指数映射，降低量子算术模块复杂度；

• 联系文本： 这是本篇提出的关键创新定位及实现路径，图表形象反映出计算资源节约策略。

- 图片链接： [page::3]

图3：直接指数幅度加载量子电路示意

• 内容描述： $|x\rangle$ 寄存器控制对辅助寄存器$|r\rangle$的受控$Ry(\theta_i)$旋转门，后接多控X门将概率编码到目标比特；

- 数据趋势： 利用位权展开实现指数函数分解，旋转门角度与指数函数项对应，展现高效的幅度加载设计；

• 联系文本： 说明了直接法如何在量子电路层面实现指数幅度加载，简洁却对误差和资源敏感。

- 图片链接： [page::4]

图4：积分幅度加载电路示意

• 内容描述： $|r\rangle$经指数态制备后使用比较器判断$r \leq x$，完成对配分数组累积分布的幅度编码；

- 数据趋势： 通过辅助寄存器$|r\rangle$分段累加函数体量幅度，增益幅度加载的灵活性和通用性；

• 联系文本： 示意积分法相较直接法的复杂度和适用面，为多种单调函数加载提供可能。

- 图片链接： [page::5]

图5：两种幅度加载方法的仿真结果对比图

• 内容描述： 展示基于IBM QASM模拟器运行的“积分法”与“直接法”期权价格估计值及其置信区间，横轴为方法类型，纵轴为美元估计收益；

- 数据趋势： 两方法估计值均接近经典计算预期（虚线），误差条显示可靠性和精度，表明算法稳定；

• 联系文本： 关键实证支持，验证所提量子方案的正确性，为进一步实际应用奠定基础。

- 图片链接： [page::7]

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四、估值分析

报告并无对彩虹期权进行经典的估值模型估算，其重点在于量子算法如何实现期权内在价格期望值的高效估计。估值过程核心在于量子幅度估计算法：

• 通过预先编码资产价格（或对数收益率）的概率分布对应量子态，再将期权收益函数映射到辅助量子比特的幅度中，幅度的平方即为该收益函数的期望贡献概率；

- 迭代量子幅度估计（IQAE）利用量子相干操作减少测量次数，实现$1/M$的收敛速度；

• 本文进一步创新在指数函数的幅度加载，实现指数价的延迟映射，减少中间计算复杂度，并使估值流程更聚焦在量子幅度采样。

虽然未给出具体目标价，但实验模拟验证了量子估计数值与经典计算吻合，证明整体估值过程的合理和有效。[page::1-2,7]

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五、风险因素与限制评估

报告未明确列出“风险因素”分节，但隐含风险和限制可总结为：

• 量子硬件局限性：目前量子计算机的规模和噪音限制了实际执行，仅能用模拟器验证，真实硬件噪声可能影响精度；

- 幅度加载误差累计：旋转门误差、状态制备误差及最大值算术误差叠加，可能影响结果稳定性，尤其是复杂指数映射模块；

• 计算资源需求：虽然较传统算法节约样本数，但多控制旋转门和多控X门门数及T-depth仍然可观，对硬件要求高；

- 模型假设固定：资产价格遵循几何布朗运动（对数服从正态分布），现实市场中可能存在跳跃、波动率微笑等复杂现象，模型灵活性有限；

• 延迟指数映射的误差放大：两种加载方案对后续后处理精度敏感，不同参数组合下误差控制策略需谨慎选择。

作者通过复杂度章节中多处提及误差累加，及后续建议扩展研究空间，已体现对现阶段技术适用边界的清醒认知。[page::5-6,8]

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六、批判性视角与细微差别

• 报告对量子幅度估计技术的优势强调明显，且对幅度加载部分提出了创新方法，显示出较强的技术深度和实践意识，但对经典方法局限的对比与具体改进量化分析略显不足，难以评判量子优势的实际量级和可达时间；

- 功能模块设计虽完整，但采用的二进制补码和二维积分幅度预处理较为复杂，其实际硬件实现中的容错和纠错开销可能更高，未完全展开讨论；

• 指数函数延迟加载策略虽然节省资源，但增加了后处理复杂度及误差放大，实际应用中其精度与效率权衡需根据具体资产组合细化调优；

- 两种幅度加载方法的选择标准和具体应用场景仍需进一步研究，当前实验采用的是受控模拟器，扩展到多资产高分辨率和真机运行的成效及兼容性有待探究；

• 报告引入积分加载作为更通用的解决方案，建议与动态变分量子线路结合实现，但并无具体实现示范，属于潜力方向。

总体而言，报告技术定位精确，学术严谨，但量子金融实际落地仍面临多层挑战和技术瓶颈。

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七、结论性综合

本报告系统呈现了利用量子幅度估计技术进行彩虹期权定价的最新研究进展，创新点在于：

• 端到端量子电路设计，结合IQAE避免高成本的相位估计；

- 回报空间最大值搜索结合收益函数幅度编码，将指数映射延后至幅度加载环节，实现算术模块资源节省；

• 两种指数幅度加载实现方案，分别适用于指数函数与单调函数的映射，丰富了量子函数加载的技术手段；

- 理论复杂度分析详实，对T门深度、误差传递机制和资源消耗给出量化表达，指导后续优化；

• 实验验证完备，在真实市场参数及无噪声量子模拟器上成功实现，估值精度与经典计算吻合。

五个主要图表全方位说明了传统价格空间方法的复杂度痛点、回报空间改进的逻辑架构、两种幅度加载量子电路设计，以及模拟器结果验证，形成完备的技术闭环和论据链。

作者最终立场明确，表明该量子算法框架为多资产期权及更复杂衍生品的量子加速提供了可行方案，期望未来扩展硬件实测及整体资源需求评估，推动量子金融迈入实用阶段。[page::0-8]

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参考

上述分析完全基于该研究报告正文内容进行解读和推断，引用页码通过[page::X]明确标注，方便核对原文出处。

报告