研究背景与动机 [page::0][page::1][page::2]

• 可变年金包含受风险资产支持的投资账户，嵌入最低保证到期利益（GMMB）和赎回（退保）权利。

- 退保风险是可变年金保险公司面临的主要风险之一，退保额度依赖账户价值和时间的退保费用。

• 传统美式期权定价理论难以直接适用，因为奖励函数在到期时存在不连续且无界。

优化停时问题建模与理论分析 [page::3][page::4][page::5][page::6]

• 将可变年金合同价值视为最优停时问题，奖励函数在提前退保和到期的取值不同，包含非连续性。

- 提出充分条件（基于手续费和退保费用的偏微分不等式），确保最优停时始终为合同到期。

• 证明存在最优停时，并建立价值函数的两个等价替代表示：含连续奖励的停时问题和原问题等价。

价值函数的性质及自由边界问题 [page::11][page::12][page::13][page::14]

• 价值函数在时间和账户价值上均连续，并具备关于账户价值的凸性和局部Lipchitz性质。

- 价值函数满足与自由边界相关的偏微分方程和变分不等式，连接停时问题与偏微分分析。

• 利用Itô引理推导两种积分表示形式，一种类似于早期行权溢价，另一种称为延期溢价，为首次提出。

退保区域形态与手续费、退保费用的关系 [page::18][page::19][page::20]

• 退保区域可能是阈值型集合，即对每个时间存在最优退保边界$b(t)$，账户价值超过边界即退保。

- 退保区间的非空性由手续费与退保费用函数组合决定，当$L(t):=g_t(t)-c(t)g(t)<0$时退保区域非空。

• 若$L(t)\geq0$，则退保区域为空，唯一最优策略是持有至到期。

数值示例及经济含义 [page::25]

• 通过两个不同时间依赖手续费函数演示退保区域可分段存在和最优退保边界不连续的现象。

- 经济解释：手续费与退保费用的相互关系决定提前退保激励是否存在，影响策略行为。

研究贡献 [page::0][page::3][page::14][page::19]

• 首次提出考虑具有时间与账户价值依赖的手续费与退保费用的退保激励条件。

- 创新提出延期溢价表示，扩展了美式期权早期行权溢价理论。

• 对价值函数的连续性、凸性及自由边界问题进行了理论化探索，证明原问题与连续奖励版本的等价性。

金融研究报告详尽分析报告

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1. 元数据与概览

报告标题： On an Optimal Stopping Problem with a Discontinuous Reward
作者： Anne Mackay 和 Marie-Claude Vachon
发布机构： 加拿大魁北克省Sherbrooke大学与蒙特利尔魁北克大学
发布时间： 未明确标注，基于引用文献及术语，推测为2023-2024年间
主题领域： 保险精算、金融数学、最优停止理论、变量年金（Variable Annuities，VA）定价
关键词： Variable Annuities, Optimal stopping, Surrender option, Discontinuous reward, Free-boundary problems
JEL分类： C63, G12, G13, G22

核心论点与目标：
本文系统研究了一个最优停止问题，其特色在于奖励函数的不连续性、未上界且时间依赖性强，主要由包含保证最低期满收益（GMMB）的变量年金合同定价问题所驱动。假设合同持有人理性并在风险中性概率度量下最大化合同价值，研究了广义收费和退保罚金结构的最优退保策略。论文主要贡献包括：

• 明确给出一种条件，保证最优停止时间总是合同期满时，即不早于期满退保。

- 提供价值函数的替代表达式，将不连续奖励问题转化为连续奖励问题，简化数值与理论分析。

• 推导三种价值函数表示法，两种与美式期权类似，另一种为精算与美式期权文献中新颖的“续持期权价值”分解。

- 系统分析了罚费函数、退保罚金和退保区域的几何形状及其对最优退保时机的影响。

总体目标在于深化对变量年金退保权价值及结构的理解，填补数值方法外的理论空白。

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2. 逐节深度解读

2.1 摘要与引言（第0-2页）

• 本文研究带有不连续奖励函数的最优停止问题，动机来源于变量年金合同（带GMMB保障）中退保行为的风险中性价值最大化模型。

- 变量年金中的退保权利类似于早期美式期权行权权利，但合同在期满时支付能力保证导致奖励函数在期满时间点存在跳跃不连续。此时间不连续和未上界奖励函数导致传统美式期权文献的结果不适用。

• 论文梳理了变量年金退保行为建模多种路径，涵盖效用函数、统计模型及理性最大化退保价值的方法，突出本文在更广泛罚费与罚金函数框架内的理论价值。

- 与近期De Angelis等（2024）在含死亡率影响的类似问题上的研究不同，本文主要集中在更一般的罚费和罚金结构。

• 阐述了变量年金定价中因退保罚金和费用作用导致奖励函数不连续的特点及该问题在理论上的挑战，指出从数学角度，常见的奖励函数连续性假设不能适用，文章创新重在绕过该难题，通过引入连续奖励的替代表示，利用游程界面（free boundary）理论分析价值函数。

- 退保区域的形态不再是经典美式期权的单区间，可能不连通，最优退保边界可能存在间断，反映VA退保策略的复杂性和独特性。

2.2 方法论与理论框架部分（第3-4页）

• 市场模型：资产服从标准Black-Scholes动态，利率$r$和波动率$\sigma$为常数，定义期望以风险中性概率$\mathbb{Q}$计算。

- 合同账户过程：变量年金的账户价值$Ft$跟踪资产价格$St$，但因持续扣除费率$ct=C(t,Ft)$，账户动态为$\mathrm{d}Ft = (r - ct)Ft \mathrm{d}t + \sigma Ft \mathrm{d}Wt$，广义的费率函数使模型包含常数费与状态（账户价值）及时间相关费率。

• 奖励函数定义：

\[
\varphi(t,x) = \begin{cases}
g(t,x) x, & t < T\\
\max(G,x), & t=T
\end{cases}
\]

其中，$g$为退保收益比例函数，退保罚金为$1-g$，$g$需满足格式：$g(T,x)=1$且$g$在$t$非递减，且$x\mapsto g(t,x)$光滑。

• 奖励函数不连续发生在$t=T$时，尤其当$x

- 价值函数定义为最优停止问题中最大化折现奖励值：
\[
v(t,x) = \sup{\tau\in\mathcal{T}{t,T}} \mathbb{E}[e^{-r(\tau - t)} \varphi(\tau, F{\tau}^{t,x})]
\]

• 退保权价值定义为合同价值与只考虑期满保证价值之差。

2.3 最优停止时间的存在性（第5-9页）

• 通过构造折现佣金加账户价值乘以罚金函数的过程，并应用伊藤引理，形成条件（不等式9）判断该过程是否为子鞅，继而确定退保最优时间是否为期满时。

- 明确了条件：
\[
g{t}(t,x)+(r-C(t,x)+\sigma^{2})x g{x}(t,x)+\frac{\sigma^{2}x^{2}}{2}g{xx}(t,x)-C(t,x) g(t,x) \geq 0
\]
成立时，最优停止时间为$T$。

• 通过两个具体费率与罚金函数实例分析条件的经济含义和形式表达，强调罚金率与费用率必须匹配以消除早期退保动力。

- 详细讨论当条件不满足时，利用极佳包络与Snell包络理论（借鉴El Karoui等经典最优停止结果），证明最优停止时间存在且以价值函数等于奖励函数处的最早时间给出相关停止策略。

• 引入替代的连续奖励问题，将原问题转化为包含最大值$g(t,x)x\vee h(t,x)$的新奖励函数，且二者的Snell包络相同，极大地缓和了数学处理难度。

- 构造三种最优停止时间：针对原问题，针对连续奖励问题的最早停止时间，以及结合两者的具体最优停止时间，分析其大小关系并讨论何时相等。

2.4 价值函数的分析（第10-24页）

2.4.1 基础性质与光滑性（第10-11页）

• 连续性：利用连续奖励函数表示保证价值函数与价值函数的连续性，需满足费率函数保证账户动态漂移项Lipschitz连续（Assumption 4.1）。

- 单调性与凸性：价值函数对账户价值非减且凸，符合套利逻辑。时间单调性不保证，因罚金函数时间非减。

• 光滑性：证明空间Lipschitz连续，时间上以平方根形式控制连续，从数学上确保使用偏微分工具和伊藤计量公式的必要条件。

2.4.2 自由边界问题及变分不等式（第12-14页）

• 根据价值函数定义，定义继续和退保区域，使其构成自由边界（exercise boundary）问题。

- 利用定义的偏微分算子 $\mathcal{L}t$ ，并定义函数 $L(t,x)$（即条件9中的左侧表达式），用以判断退保区域结构。

• 价值函数满足如下自由界面偏微分方程：

\[
\begin{cases}
\mathcal{L}t v + vt - r v = 0, & (t,x)\in \mathcal C \\
v > \varphi, & (t,x)\in \mathcal C \\
v = \varphi, & (t,x)\in S \\
v(T,x) = \max(G,x)
\end{cases}
\]

• 在$L(t)<0$时，退保区域为上阈值型 (threshold type)，即$St=[b(t), \infty)$ ，带有分界函数$b(t)$。

- 价值函数满足变分不等式，确保了侯变问题和最优停止问题的等价性，继承美式期权理论范式。

2.4.3 价值函数的积分表示（第14-24页）

• 价值函数分解为期满给付现值$h(t,x)$和早退权价值（early surrender premium）$e(t,x)$ ：

\[
v(t,x) = h(t,x) + e(t,x),
\]
其中
\[
e(t,x) = \intt^T \big( c(s) g(s) - gt(s) \big) \mathbb{E}\left[e^{-r(s-t)} Fs^{t,x} \mathbf{1}{\{(s, Fs^{t,x})\in S\}}\right] ds.
\]

• 新颖的续持权价值表示法（continuation premium）：

\[
v(t,x) = x g(t,x) + f(t,x),
\]
其中
\[
f(t,x) = \mathbb{E}\left[ e^{-r(T-t)} (G - FT^{t,x})+ \right] + \intt^T \big(gt(s) - c(s) g(s) \big) \mathbb{E}\left[e^{-r(s-t)} Fs^{t,x} \mathbf{1}{\{(s, Fs^{t,x})\in \mathcal{C}\}}\right] ds.
\]

• 该分解的数学和经济含义清晰，表明合同价值由立即替代的退保价值及持有合同带来的额外保障价值组成。

- 该表达为后续数值估计及算法实现提供有力工具。

2.4.4 退保区域的结构分析（第18-24页）

• 在满足$L(t)<0$的情况下，退保区域的截面$St$表现为阈值型，即存在界限$b(t)$使得$St=[b(t),+\infty)$，且$b(t)\geq G e^{-r(T-t)}$。

- 当$L(t)\geq0$时，退保区域为空，意味着最佳策略是持有至期满，匹配此前的最优停止时间唯一性结果。

• 证明主要通过利用早退权价差的积分表达进行反证法，实现了对退保区域非空、空集及连续性条件的严谨划分。

- 经济上，$L(t)>0$对应退保罚金高于预期未来费用，使得退保成本过大而不发生。

• $L(t)<0$则鼓励早退，因为退保成本较低或未来费用高，持有成本加重。

2.4.5 等价性结论（第23-24页）

• 在上述模型及假设下，若$L(t)<0$恒成立，则原始问题（带不连续奖励）与替代问题（连续奖励）完全等价，退保区域、价值函数、最优停止时间均一致。

- 该结论说明变分不等式和游程界面分析在优化退保策略建模中强有力。

• 也反映了罚费与罚金函数协调设计对模型简化和策略确定的重要性。

2.5 数值示例（第25-26页）

• 选用两个费率函数$c1(t)$和$c2(t)$模拟不同时间段$L(t)$符号变更的情况。

- 罚金函数设为$g(t) = e^{-\kappa(T-t)}$，符合文献常用形式，起始罚金约为8%，到期前一年降至0.5%以下。

• 图1显示两个费率条件下最优退保的继续区域（红色），退保区域（空白）分布。

- 费率$c1$导致退保区域在中期$[5,10]$年为空，即中期无早退动力，边界断裂，复现论文理论；费率$c2$使退保区域消失时间接近到期仅$1.5$年，提前期末阶段无退保动力。

• 退保区域不连续性和退保边界的突变体现了VA定价与美式期权退保截然不同的策略特征。这些结论不曾在早期数值研究报道过，具有很强创新。

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3. 图表深度解读

图1（第25页）

• 描述： 展示的是变量年金合约最优停止问题的继续区间（用红色填充）与退保区间（白色部分）在时间-账户价值二维平面上的分布，分别对应费率$c1$和$c2$。

- 数据趋势与解读：
- 图1(A)对应$c1$费率，退保区间出现时间非连续，具体为合同初期和末期退保激励存在，而中期$[5,10]$年卸除退保区，反映因费用和罚金权衡导致的退保动力缺失。
- 图1(B)对应$c_2$费率，晚期退保区间消失（$t>13.5$），退保区间变为单一连续区域，反映退保策略的极端变化。
- 图表验证了理论中关于$L(t)$符号决定退保结构的分析，退保区域形状和最优边界的显著复杂性及非连续性。

• 联系文本： 图中的退保区域对应理论中定义的$surrender~region$，继续区域对应$continuation~region$，其边界即本文研究的最优停时边界。

- 底层数据与局限：
- 数值方法采用连续时间马尔科夫链近似，参数均符合Black-Scholes假设。
- 图形在账户价值上限为500处截断，导致可能遗漏高账户价值对应的退保区域，表格文中明示这一点。
- 仅展示两种典型费率函数，实操中需辅以更多费率形态验证理论普适性。

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4. 估值分析

• 文章本身侧重于价值函数的结构分析，估值体系核心为风险中性期望下的乘子折现最优停止期望。

- 价值函数通过三种表达式实现估值：（1）基于不连续奖励直接定义的最优期望，（2）转换成最大连续奖励的最优期望（确保数学性质），（3）积分表达形式以挂靠美式期权早期行权奖金与新的“续持奖励”计数形式。

• 无显式DCF模型，更多依托于随机微分方程与鞅理论，结合变分不等式和自由边界问题进行间接估值。

- 敏感性分析隐含在$L(t)$函数结构中，反映费率与罚金函数如何共同作用影响续持或提前退保的经济激励。

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5. 风险因素评估

• 关键风险因素：

- 退保风险（Surrender risk）： 因保单持有人可能依据市场状态和罚金结构提前退保，给保险公司带来流动性与偿付压力。
- 罚金与费用结构不匹配： 不协调会导致非理性行为，可能加剧早退，增加定价和风险控制复杂度。
- 模型不连续奖励带来的数学风险： 标准美式期权分析方法失效，需新理论避免估值漏洞。

• 潜在影响：

- 退保策略变化可能导致负向现金流，实际市场定价脱离理论价格，需严谨退保假设以确保风险管理。

• 缓解策略：

- 本文给出的$L(t)$条件作为审视违背最优退保时间策略的指标。
- 通过设计罚金和费用函数满足该条件，保险公司可有效减少早退激励。

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6. 批判性视角与细微差别

• 报告假设合同持有者为完全理性且依风险中性概率最大化价值，这对于存在行为偏差的现实投保人来说有一定偏差。

- 假设免除死亡风险，现实中死亡率与期权价值有复杂关联，可能影响退保选择。

• 状态依赖费率和罚金函数的推广示例有限，部分结果限于时间依赖罚金费率（Assumption 4.2），减弱了模型普适性。

- 数值示例的账户价值区间有限制，可能忽略极端高基金价值情形的退保区域。

• 某些数学推导建立在较强正则性假设，对非光滑罚金或费用函数的推广存在局限。

- 退保边界的理论光滑性及连续性尚未透彻分析，未来研究需加深。

• 图示和例子强调了退保区域可能断裂和非单调性，突破了经典美式期权的传统假设，体现了变量年金产品独特的商业逻辑与复杂性。

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7. 结论性综合

本文针对变量年金中包含保证最低期满收益（GMMB）的合同定价问题，深入研究了伴随时间不连续且未上界账户奖励结构的最优停止问题。结合风险中性假设，作者成功建立该问题的理论框架，核心贡献在于：

• 价值函数的连续奖励函数替代表示： 解决了不连续奖励带来的数学障碍，确保价值函数具备良好正则性，支持游程界面理论与变分不等式分析。

- 多重价值函数表达式： 包括基于期满利益的“早退奖金”及本报告首创的“续持奖金”表达，丰富了定价与风险控制的数理工具箱。

• 最优退保边界的结构刻画： 明确通过函数$L(t)$（由费率和罚金函数决定）区分否存在可行退保区域，并严格界定退保区间为阈值类型或空集。

- 最优停止时间唯一性及退保策略等价性结论： 在指定假设下，原始不连续奖励和替代连续奖励的最优停止问题完全等价，为理论分析和应用简化逻辑路径。

• 数值示例验证与启示： 展示退保区域断裂和不连续退保边界实际存在，明显区别于典型美式期权定价，指明变量年金退保行为模型的复杂性与非传统性。

综上，本文不仅在精算数学和金融最优停止理论上做出创新，也为保险业合理设计费率与退保罚金结构提供了理论依据和数值示范，填补了变量年金退保行为建模从严密理论到实际应用的空白。未来研究方向包括退保边界正则性的进一步探讨，更广泛的状态依赖罚费结构分析，以及考虑死亡风险等真实保险因素的融入。

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引用溯源示例：

• 段落及论断均标注页码如[page::3], [page::12, page::13] 等，方便文本溯源和查证。

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此报告力求体现原文技术深度及应用洞察，结合精算实务与金融数学理论，是变量年金产品退保行为及定价领域的重要理论贡献。

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