美式期权行权边界“浮动”结构及定价方法 [page::1][page::4]

• 传统模型通常假设单一行权边界，本文扩展至时间非齐次模型，支持多重行权边界动态出现和消失。

- 使用广义积分变换（GIT）结合Duhamel原理，将美式期权价格分解为欧式期权价与早期行权溢价（EEP），EEP用积分方程确定行权边界。

• 行权边界的数值求解依赖于非线性Volterra积分方程，提高计算效率比传统有限差分和蒙特卡洛方法更优。

行权区域结构与时间非齐次GBM模型的数值分析 [page::5][page::7][page::9]

• 在模型参数$r(t)$和$q(t)$不同符号区间内，行权边界数量和形状随时间变化，可能出现单边界或双边界。

- 表格与图示清晰描绘不同利率与便利收益关系下的行权区域变化规则，揭示负利率环境下双边界出现的条件。

• 具体数值实验（参数详见表3、表4、表5）通过求解Volterra积分方程呈现边界曲线及其拓扑演变。

双行权边界的动态行为及波动率影响 [page::11][page::12]

• 波动率水平显著影响行权边界形态，高波动率可导致边界的出现、合并、再次分裂，形成复杂的行权区间结构。

- 数值示例展示了波动率在不同值时行权区间的细节，包括边界交错、区域收缩和“狭窄地带”等复杂动态。

• 此类复杂变化难以通过传统数值方法高效捕捉，积分方程方法具备显著优势。

均值回复模型下的美式期权定价与静态对冲 [page::13][page::14]

• 引入时间非齐次OU过程（Hull-White模型）扩展分析，利用严格解析的绿函数与积分方程解决行权边界。

- 美式期权价格分解为欧式期权价格与带障碍的现金型及资产型数字期权的组合，支持高效静态对冲策略设计。

• 积分Volterra方程及转换为热方程的技巧保证了复杂漂移与波动参数下的定价精度和计算稳定性。

结论 [page::15]

• 本文贡献在于系统构建和研究时间非齐次模型中美式期权的行权边界浮动结构，推广积分方程半解析解法。

- 理论及数值结果均支持该方法相较传统数值方法具有更高效率和准确率，适合复杂市场环境下美式期权定价与风险管理。

金融研究报告详尽分析报告

报告元数据与概览

• 标题：《Floating exercise boundaries for American options in timeinhomogeneous models》（时变模型中美式期权的浮动行权边界）

- 作者：Andrey Itkin（纽约大学Tandon工程学院FRE系）、Yerkin Kitapbayev（哈利法大学数学系）

• 发布日期：2025年7月22日

- 主题：该报告聚焦于美式期权定价，特别是在时间非齐次（time-inhomogeneous）随机模型下，探讨美式期权行权边界的动态特征及其数值与半解析求解方法。

核心论点与目的总结

本报告主要介绍了利用非线性Volterra积分方程结合广义积分变换（Generalized Integral Transform, GIT）和杜赫梅尔原理（Duhamel’s principle）半解析方法，来定价在时间非齐次一因子模型下的美式期权。文中特别强调行权边界可能出现“浮动”结构，即随着时间在计算域内动态出现与消失的两条（甚至无界）边界现象，这对传统定价方法带来挑战。
报告还扩展了经典黑-斯科尔斯（Black-Scholes）框架及其常系数模型，讨论了时间变参数模型下行权边界的拓扑变化及结构复杂性，并提供针对不同模型特别是带漂移项为 \(\mu(t,Xt) = [r(t)-q(t)] Xt\) 的模型，以及均值回复型模型的详细分析和数值方法。

逐节深度解读

1 引言与背景

• 美式期权定价传统上难点在于行权边界的隐式确定，本报告及过去研究[Carr and Itkin, 2021等]提出基于GIT技术半解析解法，通过将PDE转化为含移动边界的问题，并使用非线性Volterra积分方程刻画边界动态，替代传统的有限差分（FD）或蒙特卡洛（MC）数值方法。

- 早期主要应用于黑-斯科尔斯模型或少数特定模型，本文致力于推广至时间非齐次模型及存在双边界的特殊场景。

• 双行权边界情形多见于负利率环境或便利收益为负的市场，如外汇和数字货币（比特币）。此时传统标价方法效率低下，积分方程法更为高效和准确。

- 研究问题具有现实意义，特别是在数字资产市场引入美式期权后，可能出现多边界行权区域，需此类方法支持。 [page::0,1]

2 美式期权价格分解

• 美式看跌期权价格 \(P(t,x)\) 可表述为在风险中性测度 \(\mathbb{Q}\) 下对贴现预期的最优停止问题。定义行权区（\(\mathcal{E}\)）与继续区（\(\mathcal{C}\)），通过行权边界 \(Xi^(t)\) 将两区分隔。

- Kim（1990）和Carr等（1992）提出美式期权价值可以分解成对应的欧式期权价格和早期行权溢价（Early Exercise Premium, EEP）。欧式部分遵循标准定价公式，EEP依赖于行权边界及行权区域的动力学。

• 模型考虑的基础随机过程满足一般SDE：

\[
dXt = \mu(t,Xt) dt + \Sigma(t,Xt) dWt,
\]
其中\(\mu(t,x)\), \(\Sigma(t,x)\)为时间非齐次系数，涵盖GBM、CEV及均值回复（OU）等常见模型。

• 关键的积分表达式是（用于单边界case）：

\[
P(t,x) = \mathbb{E}\mathbb{Q}[D(t,T)(K - XT)^+] + \intt^T D(t,u) \mathbb{E}\mathbb{Q} \big\{ H(u,Xu) \mathbf{1}{Xu \in \mathcal{E}} \big\} du,
\]
其中贴现因子 \(D(t,s) = e^{-\intt^s r(u) du}\)，函数 \(H(u,x) = r(u)(K-x) + \mu(u,x)\)，区分继续与行权区间。[page::1,2,3]

• 重要推导：利用Itô引理及局部时间的性质，证明EEP表达式的严密性，行权边界满足“平滑贴合”条件，积分中局部时间项抵消。

- 还论述了负利率或便利收益可能导致双行权边界，并给出扩展形式，且强调EEP积分区间会涉及两个边界之间。

• 利用转移密度\(\psi\) 表达欧期权和EEP部分的积分形式，突出若EEP为正，美式期权溢价于欧式期权；反之两者一致。 [page::3,4]

3 具有漂移结构 \(\mu(t,Xt)=[r(t)-q(t)]Xt\) 的模型

3.1 行权区结构

• 该类过程（如时间变参数GBM）广泛使用，对企业股权、外汇、商品、数字货币均适用。

- 行权边界取决于利率 \(r(t)\) 和便利收益\(q(t)\) 的符号和大小，通过函数 \(H(u,x) = r(u)K - q(u)x\) 划分最优行权区。

• 针对不同的符号组合，报告中列出两张详细表（表1、表2），描述单边界、双边界、无边界等情形的关系及边界随时间的变动情况。

- 最重要的是参数如 \(r,q\) 随时间发生符号切换，会导致行权边界的出现、消失或分叉。对有限差分、蒙特卡洛方法带来极大复杂度，而本文积分方程方法可有效处理。

• 强调边界的出现、消失不是瞬时事件，而是经过有限时间区间，且与波动率 \(\sigma(t)\) 密切相关。 [page::5,6]

3.2 时间非齐次GBM模型分析

• 详细列出基于时间变参数的SDE形式

- 给出欧式期权价格及相关分布函数的解析表达。

• 单边界例子（利率全正）：通过非线性Volterra积分方程数值求解行权边界，并给出具体参数测试的结果（图1a）显示行权边界随时间变化的趋势。

- 利率符号变化情形（例如 \(r(t)\) 从负变正）对应图1b，展现了边界动态适应市场条件演变。

• 双边界例子（负利率和便利收益）：写出行权边界满足的耦合积分方程组，展示边界存在区间的动态扩展（图2和图3分别展示两种不同行权边界结构的演变）。[page::7,8,9]
• 对边界交叉、合并做了细致讨论，指出数值计算时边界可能极近但不完全重合，强调行权区是连续存在，且边界交换角色的难题，体现了理论与数值复杂性并存。

- 通过数值例子模拟利率与便利收益随时间单次或多次变符号的实际情况，展示了边界演变的不连续性和“浮动”特性。 [page::9,10,11]

3.2.4 不同波动率对行权区域的影响

• 通过调节波动率\(\sigma(t)\)，观察行权边界从单边界变为双边界，边界撞击和分离，以及行权区域“漂浮”的复杂结构（图5至8）。

- 边界交叉点附近的数值误差控制与迭代解法稳定性进行了说明，推荐了求解耦合非线性Volterra方程组时的三步迭代法以保证收敛。 [page::11,12,13]

4 均值回复模型中的行权边界

• 介绍OU型过程：

\[
dXt = \kappa(t)[\theta(t) - Xt] dt + \sigma(t) dWt,
\]
常见于利率模型（Hull-White模型）和商品价格建模。

• 对此模型，美国期权价格的早期行权溢价表述形式与GBM类似，只需替换漂移中的利率和便利收益函数为组合形式。

- 提供出欧式期权的PDE形式及转化为热方程的变量变换，使得Green函数及转移密度的解析表达成为可能。

• 解析Green函数采用反射边界条件，具体积分表达涉及实用的误差函数（Erf），确保在半无限域上正确定价。

- 讨论了关于美式看跌期权对冲时的资产和现金等价物期权的成分拆分，方便理解和数值实现（即将EEP分解为上敲出资产或现金期权的组合）。

• 强调其数值计算优势，即对不同成熟期和边界条件的期权价格可通过时序递推有效计算。 [page::13,14,15]

5 总结

• 整体贡献是一种能够处理时间非齐次参数、甚至出现多行权边界浮动结构的美式期权半解析定价方法，解决了传统有限差分和蒙特卡洛方法对复杂边界难以稳定求解的问题。

- 利用精确的转移密度和非线性Volterra积分方程，结合GIT技术，显著提升了定价效率和精度。

• 该方法适用范围包括多类经典模型，并能支持当今市场上负利率、负便利收益甚至新兴数字资产期权定价。

- 未来工作可考虑扩展到跳跃扩散和多因子模型领域。 [page::15]

图表深度解读

图1（页7）

• 两幅图分别展示了单边界行权边界 \(X^(t)\) 的时间演变曲线。

- 左图(a)：利率全正时，边界从一定的较低值开始，单调上升，最终趋近于行权价格\(K=100\)。此时行权区域（图中蓝色部分）是从资产价格0到边界区域的下连通区域，符合传统理解。

• 右图(b)：当股息率\(q(t)>0\)且利率从负变正时，行权边界起初为0，经过一段时间开始上升，显示边界浮动特征。

- 两图展示了行权边界如何随时间和模型参数动态演变，为理解时间非齐次模型下边界动态变化提供可视支持。 [page::7]

图2（页9）

• 左图(a)：参数函数 \(r(t), q(t)\) 随时间的指数衰减，各自保持负值，但不同的衰减率和常量项导致二者差异。

- 右图(b)：对应的两条行权边界 \(X^{}(t), X^{*}(t)\)，形成一个夹击区间，行权区为两条边界之间蓝色阴影区域。边界靠近但未相交，且随时间逐渐扩展。

• 该图揭示在负参数情境下，行权区域存在双重区间；边界的非平凡结构反映出时间依赖参数的复杂影响。 [page::9]

图3（页9）

• 展示了在较低波动率（\(\sigma=0.1\)）下的边界行为，原本接近交叉的边界分开，避免了边界交汇，显示边界动态高度依赖波动率。

- 在低波动率下，行权区域整体缩小，边界间距增大，反映预测条件和市场波动对行权策略的深刻影响。 [page::9]

图4（页10）

• 类似于图2，加入波动率\( \sigma(t) \)的时间变化图，示出了利率由负转正的位置（放大插图）。

- 右图显示边界由初期双边界向单边界转变，边界随时间相对平滑变化。

• 该图验证理论中行权边界随市场利率迁移的逻辑，符合时变系数模型对边界动态灵活性的要求。 [page::10]

图5、6（页11）

• 这些绘图展示了当利率\(r(t)\)由正变负时，边界结构随不同波动率的变化。

- 低波动率下仅单边界存在，增加波动率后出现第二（较低）行权边界，并在未来某时刻两边界相交，体现“漂浮”行为——行权区间的动态生成与消失。

• 进一步增大波动率会导致交叉点提前，边界复杂交错，给定价与对冲带来难度。 [page::11]

图7（页12）

• 高波动率条件下的复杂边界图，描绘边界交叉导致的行权区块被切分成两个“岛”的情形，中间仅由一条极狭“地峡”相连。

- 数值验证了边界间的差异极小，表明边界在计算中存在边缘情况。

• 右图同时展现不同波动率下美国期权价格与早期行权溢价情况，显示溢价严格正且随价格单调递减。 [page::12]

图8（页13）

• 近似接近图7“岛屿”结构的进一步演变，\(\sigma=0.7\)条件下边界间狭窄差异，数值上出现震荡，表明积分方程解的数值敏感性。

- 提醒读者求解复杂非线性积分方程时需高精度和稳健的初值策略。 [page::13]

表1、表2（页5、6）

• 表1总结了不同时期利率和便利收益取值下美式看跌期权可能出现的行权边界数量（0、1或2个）与对应的定价区间。

- 表2描述了当利率保持同号时，配合便利收益的符号变化，如何切换行权边界的数量，有助理解不同时期和状态下行权区域的拓扑变化规律。 [page::5,6]

表3、4、5

• 分别给出对应数值模拟实例使用的参数配置，用以支撑图形与理论推导的准确性。 [page::9,10,11]

估值分析

• 估值核心运用的数学工具为非线性Volterra积分方程（第二类），用来求解未知行权边界函数。

- 利用Markov过程的转移密度（Green函数）实现美式期权价格的解析表达，EEP由积分方程隐式包含。

• 对于双边界场景，形成耦合积分方程组，增加求解复杂度。

- 本文采用广义积分变换（GIT）和杜赫梅尔原则，将PDE定价问题转变为积分方程问题，获得半解析表达式。

• 模型关键参数包括时间依赖的贴现率 \(r(t)\)、便利收益 \(q(t)\)、波动率 \(\sigma(t)\)、均值回复参数 \(\kappa(t), \theta(t)\) 等，影响方程解的存在和唯一性。

- 数值方面，推荐采用高精度迭代法结合逐步时间反向推进解决耦合积分方程，慎用初值选择。

风险因素评估

• 负利率及便利收益波动导致行权边界动态“漂浮”，显著加大定价复杂度，尤其波动率的微小变化可引发边界的生成与消失，潜在引入数值不稳定性。

- 边界交叉带来的不确定定价区域，可能对交易策略和风险对冲带来难以预期的影响。

• 数值方法依赖良好的初始估计与精细的求解步骤，错误或不充分的初始化或近似会导致解的非唯一或错误，因此模型实施依赖精密计算和算法设计。

批判性视角与细微差别

• 报告侧重于半解析法优势，强调其优于传统FD和MC方法，但对算法稳健性、复杂解空间可解释性及市场实际可校准性的讨论较少。

- 对于双边界交织的极端复杂情形，虽然数值模拟详尽，但缺乏理论上的闭式边界存在性、唯一性严格证明，未来工作可深入。

• 报告提及比特币等资产的便利收益可能为负，但实际市场美式期权尚未发行，模型的实际应用还需进一步验证。

- 某些模型参数选择（如指数衰减型利率、便利收益及波动率）虽然便利模拟，但对实际市场动态波动的适应性及长期稳定性未细述。

结论性综合

本报告创新地提出了利用广义积分变换和非线性Volterra积分方程框架，在时间非齐次模型下精确刻画美式期权行权边界“漂浮”现象的方法，既可表示单边界，也可处理复杂的双边界动态，且覆盖含负利率及便利收益的现实市场条件。
通过深入的理论推导和大量基于时间依赖参数的数值仿真，阐释了行权边界如何随市场参数符号变化而动态出现、合并或消失，展现了远超传统黑-斯科尔斯模型的行权区域结构复杂性。
关键图表（1至8）清晰呈现了行权边界随时间和参数的非线性、非单调变化，验证了积分方程方法在高复杂度情景下的适用性和计算优势。
此外，对于OU均值回复模型，报告给出了转移密度和欧式期权解析解，并构建了对应的EEP分解，方便实务中计算与对冲。
综合来看，该研究为未来离散时间波动市场、复杂利率环境下美式期权定价提供坚实的数学基础和可行的半解析计算工具，具备重要的学术和实务价值。

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※本分析内容严守报告中所有数学表达式、数值结果和图表详细内容，所有结论均基于报告原文。[page::0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15]

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