• 引言与模型创新 [page::0][page::1]

- 传统期权定价模型如Black-Scholes假设常数漂移和波动率，难以捕捉市场突发波动。
- 本文采用分段扩散马尔可夫过程（PDifMP），结合连续的资产价格动态和随机的跳跃机制，更真实模拟价格行为。
- 跳跃时间成为美式期权潜在行权点，改进定价方法。

• PDifMP模型构建与跳跃机制 [page::2][page::3][page::6][page::7]

- 资产价格与漂移率联合构成状态空间。
- 跳跃率用非齐次泊松过程表示，动态依赖于资产价格与参考点（如行权价或初始价）偏离程度。
- 跳跃幅度采用拉普拉斯分布，体现峰值和厚尾特征。

• 数值模拟实验探索资产路径特性 [page::9][page::10][page::11][page::12][page::13][page::14][page::15]

- 参数η影响跳跃频率和路径聚集性，较大η导致更多跳跃和路径分散。
- 参数λ₀调整背景跳跃强度，结合η定义价格波动敏感度。

- 模拟价格路径较GBM表现出更丰富跳跃和波动特征。

- 不同初始价格S₀和参数λ₀、η组合展现路径的多样化走势与聚合行为。

• Longstaff-Schwartz算法与改进方案 [page::15][page::16][page::17][page::18][page::19]

- 经典LS算法基于GBM路径和回归估计期权继续价值。
- LS+PDifMP改进版利用PDifMP资产路径替代GBM路径，更好捕捉跳跃影响。
- 全新PDifMP方法直接利用PDifMP跳跃时间作为潜在行权点，省略回归步骤，简化计算流程。

• 美式期权定价比较与性能评估 [page::20][page::21][page::22][page::23][page::24][page::25][page::26]

| 方法 | 参数条件 | 价格表现分析 |
|-----------|----------------------------|----------------------------------------------------------------|
| LS经典 | 基线模型 | 稳定，适用低波动市场 |
| LS+PDifMP | 依赖跳跃率函数λ₀、敏感度η | 对极端价格波动响应更灵敏，价格略有调整 |
| PDifMP | 直接基于跳跃机制 | 价格表现接近LS，具有更高计算效率，参数选择对结果影响较大 |
- 不同参数组合下，三种方法价格差异一般较小，PDifMP显示优异的灵活性和效率。

• 参数敏感性分析与计算效率 [page::27][page::28][page::29][page::30][page::31][page::32][page::33]

- 跳跃频率λ₀和敏感度η对价格有显著影响，尤其是在高波动市场。
- PDifMP方法在大部分测试条件下运算最快，简化了计算流程。
- 综上，PDifMP及其改进方案适合于估计含跳跃、时变动态的美式期权定价。

金融研究报告分析报告

报告题目：American option pricing using generalised stochastic hybrid systems
作者：Evelyn Buckwar, Sascha Desmettre, Agnes Mallinger, Amira Meddah
发布机构：奥地利约翰内斯开普勒大学林茨数理金融及随机系统研究所
发布日期：2024年9月13日
研究主题：美国期权定价，基于广义随机混合系统，采用分段扩散马尔可夫过程（PDifMP）模型

---

1. 元数据与概览

本报告围绕使用广义随机混合系统中的分段扩散马尔可夫过程（PDifMP）方法定价美国期权展开。作者开发了一种能更好模拟金融市场中突发跳跃及随机波动的方法，拓展传统的Black-Scholes及相关模型在期权定价中的表现。PDifMP结合连续动力学和不连续跳跃过程，克服了传统常数漂移和波动率模型的局限。

核心论点：

• 标准模型忽略市场波动性和跳跃行为，导致定价偏差。

- 采用PDifMP可以捕捉市场的跳跃性和随机性，提高定价准确性。

• 通过数值模拟及与经典Longstaff-Schwartz（LS）算法比较，证明PDifMP在精确度和计算效率上具有优势。

- 提出两种基于PDifMP的新方法：修改后的LS（LS+PDifMP）和直接基于PDifMP的定价方法。

关键词：美国期权、期权定价、分段扩散马尔可夫过程、随机混合系统、Longstaff-Schwartz算法。
总结显示，PDifMP框架能够更好地反映实际金融市场波动与跳跃特征，为美国期权估值提供了更具现实基础和计算效率的工具。 [page::0,1]

---

2. 逐节深度解读

2.1 报告引言与传统模型回顾

报告开头指出，美国期权定价复杂且关键，现有Black-Scholes及Merton等模型尽管奠定了理论基础，但常假设常数漂移率与波动率，无法准确反映市场现实。近年来针对跳跃过程和随机波动率的动态模型得到发展（如Kou、CGMY、Heston模型等），但早期行权特征使数值方法如二叉树、蒙特卡洛模拟、偏微分方程法复杂且计算量大。LS算法是一种常用蒙特卡洛基回归方法，解决了早期行权问题。

文中提出采用PDifMP作为新颖的随机混合系统模型，结合连续扩散与跳跃，囊括市场中的突发事件及价格跳变。PDifMP能够将跳跃时间视作潜在行权时间点，计算期权价值。该方法在理论上建立于随机混合过程和PDMP的基础上，并应用至期权定价场景尚为首次尝试。 [page::0,1]

2.2 PDifMP理论基础

PDifMP是一种带有连续成分与跳跃成分的马尔可夫过程，定义于状态空间$E=E1\times E2$，

• $E1$表示连续路径部分（如资产价格$St$），

- $E2$表示跳跃过程部分（如漂移$\mut$）。

该过程由特征三元组$(\phi,\lambda,\mathcal{Q})$定义，

• $\phi$为以漂移$\nu$和扩散系数$\sigma$的SDE形式描述的连续动力学流，

- $\lambda$为跳跃率函数，影响跳跃时间分布，

• $\mathcal{Q}$为跳跃后状态的转移核。

跳跃时间由存活函数$S(t,ui)=\exp\left(-\int{Ti}^t\lambda(\phi(\delta,ui),\mui)d\delta\right)$定义，通过逆函数实现跳跃时间采样。过程构造保证样本路径为右连续有左极限的强马尔可夫过程。跳跃率函数和跳跃核需满足Lipschitz连续和测度可测条件，确保模型的数学良构。 [page::2,3,4]

2.3 资产价格模型设定

传统Black-Scholes模型假定固定漂移$\mu$和常数波动率$\sigma$，资产价格满足几何布朗运动。缺陷是忽略时间变动及跳跃。对应的SDE如下：
$$dSt = \mu St dt + \sigma St dWt,$$
折现因子为$D(t)=e^{-rt}$，其中$r$为无风险利率。

本文改进模型，令漂移$\mut$为跳跃过程，在跳跃时间$Ti$处取不同值，反映市场突变。资产价格及漂移组成PDifMP $Ut=(St,\mut)$，状态空间为$\mathbb{R}\times\mathbb{R}+$. 漂移$\mut$为分段常数，于跳跃点随机更新。跳跃机制由跳跃率函数$\lambda(Ut)$与转移核$\mathcal{Q}$定义。 [page::4,5]

2.4 跳跃率函数及跳跃核具体定义

• 跳跃率函数$\lambda(Ut)=\lambda0 + \eta \max(0, |St - \delta| - \beta)$，其中$\lambda0$为最低频率，$\eta$控制敏感度，$\beta$为缓冲区，$\delta$为基准价格，可取初始价格$S0$或行权价$K$。

- 跳跃核$\mathcal{Q}$采用漂移的拉普拉斯分布，
$$\mathcal{Q}(Ut) = f(\mu|a(St), b) = \frac{1}{2b}\exp\left(-\frac{|\mu - a(St)|}{b}\right),$$
其中$a(St) = \mu0 + \alpha(St - \delta)$，控制漂移的变化趋势，$b$为分布尺度，决定跳跃漂移的离散程度。拉普拉斯分布的重尾特性适合建模金融市场中不对称且重尾的波动。 [page::6,7,8]

2.5 数值模拟与资产价格路径分析

通过自编R程序仿真PDifMP过程（算法1），在不同参数组合下，通过调整$\lambda0$、$\eta$、$\alpha$等，分别进行了三大类实验（A、B、C）探究跳跃率及敏感度对资产价格路径的影响。

• 实验A（固定$\lambda0$，变量$\eta$）：

随着$\eta$由0增至1，跳跃数量从12增至78，资产价格波动频率提升但路径平滑度无明显变化，说明$\eta$控制跳跃频率而非幅度。

• 实验B（固定$\eta=1$, 变量$\lambda0$）：

资产价格跳跃频率较高，且变化不大；高$\eta$掩盖了$\lambda0$的影响。

• 实验C（$\lambda0$, $\eta$联合变化）：

高$\lambda0$配合低$\eta$呈现平稳上升趋势，低$\lambda0$配合中等$\eta$产生频繁跳跃且价格波动更多。

此外，分别设置初始价格低于行权价（$S0=360=44>K$）进行路径比较，发现参数$\eta$主要影响路径的聚合度，$\lambda0$影响整体趋势。与传统GBM模型路径对比（固定漂移$\mu$），PDifMP生成的路径更具震荡性与跳跃特征，更贴近真实市场波动。 [page::8-14]

---

3. 图表深度解读

图1（实验A，资产价格路径随$\eta$变化）

左上至右下分别为$\eta=0, 0.3, 0.5, 1$，对应跳跃次数为12、32、52、78次。价格曲线由较平滑转为跳跃频繁，波动增强。价格走势未显示明显向上或向下趋势，表现出跳跃的瞬时性影响而非趋势影响。虚线表示跳跃时间点。

该图验证了$\eta$对跳跃频率的控制作用，支持了文本关于跳跃机制灵敏度的论述。横轴为时间（年），纵轴为价格，横线表示行权价$K=40$。 [page::10]

图2（实验B，不同$\lambda0$下的路径表现）

$\lambda0$从5逐步下降至0.01，跳跃次数维持在较高水平（约50-78跳），路径波动大致相似，说明高$\eta$主导跳跃行为，$\lambda0$影响不显著。对应文本阐述$\lambda0$在高跳跃敏感度下影响有限。 [page::11]

图3（实验C，$\lambda0$, $\eta$组合影响）

(左) $\lambda0=20, \eta=0$，价格走势呈缓慢上升；
(右) $\lambda0=50, \eta=0.3$，价格近乎稳态，跳跃频率高但规模小。
显示高$\lambda0$增强短期跳跃调整，抑制价格大幅偏离初值。
[page::11]

图4、5（实验证明$S0$相对于$K$的影响）

$S0=36$（低于$K$），多路径呈现不同聚集与扩散度，敏感度$\eta$调节路径分布宽度。
$S0=44$（高于$K$），路径整体偏移更显著，反映股价触及行权价上方时的价差影响。
[page::12-13]

图6（GBM模型路径对比）

显示GBM路径平滑，且波动范围较PDifMP集中的跳跃路径窄，体现PDifMP对市场非连续波动的捕捉能力明显优于传统GBM。
[page::14]

图7（PDifMP模型代表路径示例）

用典型参数$\lambda0=0.6, \eta=0, \alpha=0.01$模拟，路径跳跃适中，符合实际多数股票偶发跳跃但不频繁的特性。
[page::15]


---

4. 估值分析

报告采用三种方法对美国期权进行估值：

• 传统Longstaff-Schwartz算法（LS），基于GBM模拟路径及回归估计持有价值，决定最优行权时机。

- LS+PDifMP算法，即在LS框架下以PDifMP模拟的资产路径替代GBM，更真实反映跳跃市场。

• 直接利用PDifMP跳跃时间作为潜在行权时机，计算各跳跃点内在价值的折现最大值，路径平均即期权价值，省去LS的回归求解。

估值方法中，跳跃率函数$\lambda(Ut)$的参数$\lambda0$和$\eta$决定模拟路径跳跃频率和敏感度，影响潜在早期行权机会数量，从而影响期权价值。
PDifMP直接估价算法可看作是对LS的简化，省去回归步骤，但依赖合适的跳跃率设定以保证行权时机充分覆盖。 [page::19,20]

---

5. 风险因素与参数敏感性

• 不同$\delta$（基准价格）设置影响跳跃率函数行为，$\delta=K$场景关注价内外期权动作，$\delta=S0$捕捉起点偏离度。

- 跳跃敏感度$\eta$和基础跳跃率$\lambda0$对价格路径波动、跳跃频率影响显著，过低值可能导致缺少有效跳跃行权时机，过高则过于频繁跳跃。

• 参数$\alpha$调整漂移与价格偏离的关联度，影响跳跃后漂移期望，微小调整即可改变定价表现。

- 各实验表明，在合理范围内PDifMP与传统LS算法定价较为接近，个别高跳跃高敏感度参数设定下PDifMP能体现更高估值。

• 模拟中注意避免价格过度飙升（如超过初始三倍），否则模拟不现实，需适当限制参数。 [page::21-27]

---

6. 风险因素评估

报告未设专门风险章节，但结合内容推断：

• 参数不确定性：跳跃率$\lambda0$、敏感度$\eta$和漂移调整$\alpha$的估计难度较大，需未来统计推断精准 calibrate。

- 模型假设风险：拉普拉斯分布及跳跃机制理论契合性需与市场实际验证，模型可能忽略其他影响因素（如波动率本身的随机性等）。

• 计算复杂性：LS+PDifMP对计算资源需求较高，可能限制实时应用，参数范围与计算效率权衡需考虑。

- 时间离散化与路径依赖可能导致估值偏差。
报告指出，未来工作集中在参数估计与模型应用优化，缓解上述风险。 [page::33]

---

7. 批判性视角与细微差别

• 报告多次强调PDifMP模型较传统模型的优势，但数值结果显示不同方法间定价差异有限，说明提出方法在实际提升上适度，需明晰其独特贡献及应用边界。

- 参数设定对模型表现影响较大，但缺乏详细参数估计方法及实际数据拟合验证，存在潜在过拟合风险。

• 计算效率对比显示PDifMP方案更优，但部分情形LS+PDifMP计算时间显著最长，应用时需权衡。

- 跳跃机制和时间离散设计对期权价格关键，模型对跳跃时间依赖度较高，可能削弱模型对连续时间早期行权策略的精细捕捉能力。

• 报告未深度探索波动率随机性及其他市场微观结构因素整合，未来可拓展。

- 简化假设（如跳跃率仅依赖价格偏离）可能忽略市场多因子驱动力，限制泛化能力。

---

8. 结论性综合

本研究创新性地引入分段扩散马尔可夫过程（PDifMP）模型，将金融市场价格的连续扩散和跳跃过程统一建模，提出新的美国期权定价模型框架。

• PDifMP框架借助时间变漂移及跳跃率函数动态捕捉资产价格路径的复杂性，克服传统GBM假设的局限。

- 分析明确了跳跃率和漂移变化系数对资产价格路径及跳跃时点布局的影响，跳跃时点对应美国期权潜在行权时机。

• 模拟表明，PDifMP路径表现出更频繁且不规则的跳跃，贴近真实市场行为；相比之下传统GBM路径更趋平滑。

- 三种定价方法（经典LS，LS+PDifMP，直接PDifMP）总体估值结果相近，均能有效计算期权价值，PDifMP方法提供计算简便性及效率优势。

• PDifMP方法对跳跃率参数极为敏感，参数校准是实现准确定价的关键。

- 计算效率分析显示直接PDifMP定价在多多数值实验中比LS更高效，尤其适用于高频跳跃场景。

• 对Call和Put期权均有良好估值性能，特别在高波动和跳跃显著的市场尤为有用。

综上，报告展示了PDifMP作为一种强大随机混合建模工具，在完善美国期权定价理论和实践中的潜力，特别是在捕捉市场突发跳跃风险上更具优势。未来研究重点应放在参数估计、模型校验以及结合更复杂市场现象的拓展上，以实现更广泛应用。 [page::33-32]

---

附录: 主要图表索引

| 图编号 | 内容说明 | 所在页码 |
|-------|----------|---------|
| 图1 | 实验A：不同跳跃敏感度$\eta$下资产价格路径与跳跃点 | 10 |
| 图2 | 实验B：不同基础跳跃率$\lambda0$下资产价格路径 | 11 |
| 图3 | 实验C：$\lambda0$及$\eta$不同组合的价格路径表现 | 11 |
| 图4 | 初始价格低于行权价，\不同$\lambda0,\eta$组合五条路径 | 12 |
| 图5 | 初始价格高于行权价，\不同$\lambda0,\eta$组合五条路径 | 13 |
| 图6 | 传统GBM模型路径对比，显示路径平滑度对比 | 14 |
| 图7 | PDifMP模型典型路径示例 | 15 |

---

术语解释

• 美国期权：持有人可在到期日前任何时间行使的期权，更灵活，但定价更复杂。

- 漂移率$\mu$：资产价格的期望增长率，传统模型为常数，本报告中视为跳跃过程。

• 波动率$\sigma$：资产价格不确定性程度。

- 分段扩散马尔可夫过程（PDifMP）：结合连续扩散与离散跳跃的随机过程，适合描述带跳跃的金融资产动态。

• 跳跃率函数$\lambda(Ut)$：决定跳跃发生频率的函数，依赖当前状态。

- 转移核$\mathcal{Q}$：跳跃后状态的概率分布，本文用拉普拉斯分布模拟。

• 跳跃时间序列$T_i$：PDifMP内跳跃发生的随机时点，等同于美国期权潜在行权时间点。

- Longstaff-Schwartz算法：一种回归蒙特卡洛法，通过模拟价格路径与回归估计未来价值确定最优行权策略。

---

参考文献

详见报告末尾，涵盖期权定价经典文献（Black-Scholes、Merton、Longstaff-Schwartz等），跳跃模型（Kou等），随机混合系统理论发展，及相关金融及数学文献。

---

结语

本报告系统阐述了PDifMP在美国期权定价中的应用创新，完整解析了理论模型、数值模拟、包括图表数据解读及多方法比较实验，展示该模型在表现市场跳跃性和动态早期行权决策中的优势。报告科学严谨，适合金融工程及数理金融研究人员深度学习及拓展。


[全文引用页码：0-35]

报告