研究背景与基准方法概述 [page::0][page::1]

• 经典风险中性方法对极长期（数十年）的股票指数看跌期权价格可能存在高估。

- 基准方法提出以成长最优投资组合(GOP)为计价单位，采用真实世界概率测度，得到理论上的最低可能价格。

• GOP也称Kelly投资组合，长期表现最优且满足弱无套利条件（NUPBR）。

市场模型与GOP定义 [page::2][page::3][page::4][page::5]

• 假设市场由若干主要证券账户组成，资产价格服从多维伊藤SDE。

- 定义自融资组合，介绍GOP为瞬时增长率最大化的严格正值自融资组合。

• GOP的存在等价于特定线性空间包含条件，表现为以GOP为单位计价后价格过程无漂移，为局部鞅。

- GOP具有长期增长率最大化性质。

扩展市场与局部无风险投资组合 [page::6][page::7]

• 扩展市场添加新证券条件及GOP的三基金分离定理。

- 若市场存在局部无风险投资组合，则其回报率等于GOP的风险调整收益率。

基准中性(BN)定价理论框架 [page::8][page::9][page::10][page::11]

• 简化市场下，选用股票GOP作为基准资产，定义BN价格测度。

- BN测度通过GOP与扩展市场GOP比值构造，确保为等价概率测度。

• BN定价公式为以股票GOP为单位的期权价格的条件期望。

- 给出对应的对偶鞅过程与Girsanov变换。

BN可复制申索及对冲策略 [page::11][page::12][page::13]

• 定义BN可复制的股票GOP计价期权，存在自融资策略复制对应期权价值。

- 在BN测度下申索价格为鞅，存在唯一的鞅表示定理保证对冲策略给定。

极端情形下的最小市场模型(MMM)建模 [page::14][page::15][page::16]

• 在活动时间标度下，采用4维平方贝塞尔过程刻画股票GOP动态。

- 活动时间以实际市场观测的二次变差线性拟合。

• MMM模型下BN测度Radon-Nikodym导数为鞅，符合严格的数学条件。

案例：极长期欧式看跌期权BN定价 [page::16][page::17][page::18]

• 利用MMM模型导出期权价格的半解析表达式，基于非中心卡方分布计算。

- 对比BN定价与经典风险中性定价，BN价格显著低于风险中性价，显示风险中性测度不等价，导致价格偏高。

• BN定价方式能长期有效对冲该极长期期权。

- 该方法对养老金和寿险金融产品有重要实际意义。

金融研究报告分析：《Pricing under the Benchmark Approach》

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1. 元数据与概览

• 报告标题：Pricing under the Benchmark Approach

- 作者：Eckhard Platen

• 发布日期：2025年6月23日

- 主题：基于标准投资组合（Growth Optimal Portfolio, GOP）的定价方法，具体聚焦于基准中性（Benchmark-Neutral，BN）定价在极限期限欧洲看跌期权上的应用。

• 关键词：benchmark approach, benchmark-neutral pricing, growth optimal portfolio, squared Bessel process, European put option

- JEL分类：G10（资产定价）、G11（投资组合定价）

• 数学分类：62P05、60G35、62P20

核心论点摘要：本文总结了基准方法中的重要成果，重点介绍了基准中性定价的概念，并利用该方法对一极限期限的欧洲看跌期权在多样化股票指数上的定价进行了建模和实证分析。基准中性定价被证明在理论上是该期权的最低可能价格，而传统的风险中性定价显著更昂贵。本文应用广义四维漂移时间变换平方贝谢过程（squared Bessel process）逼近股票的GOP。作者想传达的主要信息是：放宽传统风险中性定价的假设，利用基准方法能够获得更合理的价格结果，尤其针对超长期限衍生品和长期投资产品具有重要现实意义。

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2. 逐节深度解读

2.1 引言部分（第1页）

• 关键论点：作者最初通过风险中性方法对极长期股票指数看跌期权定价时发现该价格过高。这启发其开发“基准方法”，该方法放弃了传统风险中性定价中较强的假设，更广泛地使用真实世界概率测度和GOP作为计价基准。

- 基础逻辑：
- GOP是市场中回报率最大化的投资组合，也被称为Kelly投资组合。
- 基准方法仅需GDP存在及某些期望存在性等弱假设，广泛适用。
- 传统无套利条件（NFLVR）比该方法的无套利条件（NUPBR）更强，而基准方法建立在较弱无套利条件上。

• 假设与意义：基准方法允许采用真实世界测度对衍生品进行定价，从而避免了因为风险中性假设导致的价格高估问题，对极限期限债券和保险类产品尤其适用[page::1]

2.2 论文章节概述（第2页）

• 内容：论文结构介绍。

- 说明：该文先总结基准方法理论，然后应用Minimal Market Model（MMM，最小市场模型），在为股票GOP建模时采用维度为4的时间变换平方贝谢过程。基准中性价格明显低于风险中性价格。

2.3 市场模型设定（第2-7页）

• 原理总结：

- 基准方法假定市场拥有一组基本资产，资产价格服从适应过滤和Itô型SDE，用期望收益向量μ和波动率矩阵σ驱动（式2.1）。
- 组合投资策略权重π为定位向量，且总和为1。自融资组合定义和数学性质给出（2.2-2.6）。

• GOP定义（Def 2.2）及存在性条件（Theorem 2.3）：GOP是在任何时刻最大化瞬时增长率的自融资组合，其存在当且仅当某线性方程组有解（图2.10矩阵条件），表现为特殊风险调整收益和风险价格。

- 长期增长率优势（Theorem 2.4）：GOP的长期几乎确定性增长率不低于任何其他组合，体现其最优性。

• 局部无风险组合(LRP)及其存在性（Theorem 2.5）：对波动率矩阵的核空间做限制，若存在满足条件的向量权重，则市场存局部无风险资产，且无风险利率与GOP的风险调整回报一致。

- 市场扩展和三基金分离（Theorem 2.6）：当市场新增资产时，根据条件(i)或(ii)，决定扩展后是否存在新的GOP，以及GOP的构成策略。特别是(ii)条件下，新增资产可被原市场的一组合约近似复制，GOP由原GOP和新增资产的调配组成。

• 总结：该部分系统建立基准方法下的资产市场模型，明确GOP的定义、存在条件与性质，并考虑市场扩展的理论框架[page::2][page::3][page::4][page::5][page::6][page::7]

2.4 基准中性定价的提出（第8-12页）

• 简化设定：市场仅含一只非负风险资产（股票GOP），与储蓄账户分开建模（3.1节）。

- 实证假设：股票GOP在储蓄账户计价下满足特定SDE，且扩展市场的GOP满足另一SDE（式3.1-3.4）。

• 真实世界定价（Real-World Pricing）（3.2节）：定义以GOP为计价基准的价格为“公平价格”，对应真实概率测度下以GOP折现期望。此价格为可复制标的的最低可能价格。

- 基准中性（BN）定价及测度变换（3.3节）：
- 因为真实GOP通常是杠杆组合，难以实际交易，BN定价以股票GOP为计价基准，定义相应的BN测度。
- 该BN定价测度与真实世界测度等价且给出等价概率测度下的期望定价公式，融合了经典定价的换基数方法但放宽风险中性假设限制。

• 相关数学工具：Radon-Nikodym导数给出变换密度，Girsanov定理在BN测度下成立（定理3.4），体现BN测度下的布朗运动结构。

- 自融资与可复制策略（3.4-3.6节）：定义关联资产的可行投资策略及可复制的GOP计价标的，满足积分条件。证明了存在最优复制策略并能进行敏感度分析，给出具体的自融资复制组合构造公式。

• 重要思想：BN定价能提供理论上最小的公允价值，并提供对冲策略。传统风险中性定价依赖的测度可能不存在，而基准中性定价则在更弱假设下成立，结构更为灵活且实用[page::8][page::9][page::10][page::11][page::12][page::13]

2.5 Minimal Market Model（MMM）与BN定价实例（第14-18页）

• MMM介绍（4.1节）：

- 假设GOP以某种"activity time"（活动时间）演进，活动时间的导数at为正。
- GOP被建模为时间变换的4维平方贝谢过程，具有强杠杆效应和3/2幂的波动率结构（Cox, Heston等模型的特例）。

• 活动时间观测（4.2节）：利用GOP的平方根的二次变差进行观测，拟合出线性趋势活动时间。实际用美国市场数据（MCI指数）拟合，显示活动时间从1984年到2014年基本线性上涨，斜率为0.053。

- 图4.1（第16页）显示MCI指数对数价格曲线，体现市场实际走势。

• BN定价测度性质（4.3节）：

- 利用拟合的活动时间趋势，推导出BN测度的Radon-Nikodym导数是严格鞅，BN测度与真实世界测度等价，满足BN定价假设。

• 看跌期权BN定价解析（4.4节）：

- 给出基于非中心卡方分布函数的欧洲看跌期权BN定价显式公式，参数与活动时间和GOP当前水平相关。
- 以标的MCI和行权价为100的极限期限欧式看跌期权为例，价格曲线如图4.2（第18页），用红色标示BN（公平价格）与蓝色标示风险中性价格。BN价格显著低于风险中性价格。
- 风险中性价格高估是因为MMM模型下风险中性测度不是等价概率测度。
- 反映两个不同自融资组合均能复制相同行权权利，经典数学金融“价格唯一性定理”不再适用，但基准方法允许运行此情况。

• 图表解读：

- 图4.2显示1984-2014年间看跌期权价格轨迹，风险中性价格起始远高于BN价格，后期趋于一致，说明传统风险中性估价显著高估极限期限期权价值。

• 应用价值：该模型定价更合理，特别对养老及保险产品的极限期限债券定价意义重大[page::14][page::15][page::16][page::17][page::18]

2.6 结论（第18页末）

• 总结：

- 文章系统阐述并应用了基准中性定价方法。
- GOP作为计价基准，股票组合建模为维度四平方贝谢过程。
- 结果显示基准中性价格低于风险中性价格，尤其适合极限期限期权。
- 预计该方法可拓展应用于养老金和寿险合同相关衍生品的定价。

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3. 关键图表深度解读

3.1 图4.1（第16页）：美国市场MCI指数走势（对数）

• 描述：对1984-2014年美国股票市场加权总收益指数（MCI，近似股票GOP）的对数价格时间序列，基于现实市场数据。

- 趋势：指数整体呈现长期增长趋势，期间多次剧烈震荡对应市场危机（如2000年科技股泡沫破裂，2008年全球金融危机）。

• 作用：为MMM中的活动时间拟合提供基础数据，通过其平方根的二次变差拟合出活动时间的平稳增长趋势。

- 意义：验证了基准方法中GOP作为市场投资组合的现实合理性，也为后续模型参数设定和期权定价提供了坚实的现实基础。

3.2 图4.2（第18页）：看跌期权价格比较（基准中性 红 vs 风险中性 蓝）

• 描述：显示1984年至2014年间以MCI为标的、行权价100的极限期限欧洲看跌期权的价格变化。红线为基准中性（公平）价格，蓝线为传统风险中性价格。

- 数据解读：
- 起始阶段两者价格差距巨大，风险中性价格远高于基准价格。
- 随时间推移（临近到期），价格逐渐趋近，表明长期定价差异显著。
- 说明风险中性定价模型过度高估了长期看跌期权价值。

• 联系文本：支持基准方法的假设，即风险中性测度可能不存在或不等价，导致传统风险中性价格偏高。基准定价提供理论最低合理价，解决长期资产价格扭曲问题。

- 限制：风险中性价格曲线更为稳定但不现实，基准价格虽更低但更依赖于模型参数拟合和对GOP的准确估计。



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4. 估值分析

• 估值方法：

- 基准中性定价（BN Pricing）：以股票GOP为计价基准，利用对应的等价概率测度 $Q{S^*}$ 下计算期望折现，符合真实世界概率测度要求。
- 风险中性定价：依托不存在套利的经典理论，假设存在风险中性测度 $Q$ ，计算期权价值。但该测度不一定为等价测度，并且模型设定中NUPBR和NFLVR无套利假设层次不同。

• 关键输入：

- MMM参数：活动时间的拟合趋势线 $\bar{\tau}t = \bar{\tau}0 + \bar{a}t$ ，波动率和风险调整回报比例 $\bar{\lambda}$ ，股票GOP当前价格。
- 权利金计算依赖非中心卡方分布累积分布函数，考虑维度4和非中心参数。

• 估值结果：

- BN价格为理论最低可能价格，确保无套利且更贴近实际。
- 风险中性价格因测度不等价及测度本身缺失存在定价偏高问题。

• 敏感性：价格依赖于活动时间拟合及股票GOP的估算准确性，参数误差可能导致估值波动。

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5. 风险因素评估

• 模型假设风险：

- GOP存在性（虽理论支持，但实际构建挑战大，且高度杠杆风险）
- 活动时间线性拟合及平方贝谢过程模型有效性

• 测度等价性风险：传统风险中性测度不存在或非等价，基准中性测度替代，但仍是模型假设之一

- 估值偏差风险：实际市场偏离模型，极端事件下模型无效

• 对冲风险：BN策略假设标的资产可以连续交易及复制，实际中操作性有限

- 缓解策略：强调采用更弱无套利前提（NUPBR），理论确认GOP存在，为模型提供基础；活动时间和GOP估计使用大量历史数据，提高模型拟合质量。

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6. 批判性视角与细节

• 创新与优势：

- 提出基准中性定价，理论严谨，覆盖传统风险中性定价盲区。
- 为极限期限期权和保险类长期产品提供更合理定价。

• 潜在局限：

- 对GOP的实际构造难度大，尤其是其极度杠杆性质导致交易风险。
- MMM模型虽然提供了数学优雅且便于计算的形式表述，但依赖活动时间的合理拟合和市场稳定性假设，实际市场活跃度和波动结构更复杂。
- 风险中性定价的高估可能在特定市场环境下部分存在合理解释，如跳跃风险、流动性风险未纳入BN框架。

• 矛盾点：

- 本报告中BN定价与风险中性定价的矛盾体现了两种不同无套利框架的冲突，要求投资者根据应用场景选择适用模型。
- BN定价虽然理论上最优，但不等于市场实际接受的价格，模型实际应用仍需结合市场微观结构。

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7. 结论性综合

本文系统且深入地阐述了基准方法在金融定价上的应用，特别是基准中性定价在极限期限欧洲看跌期权上的定价优势。结构上，从市场建模、GOP定义、测度变换及BN定价理论，到最小市场模型（MMM）的活动时间刻画，再到具体的期权定价及对比风险中性定价，整篇报告逻辑清晰，理论与实证紧密结合。

• 理论贡献：

- 将GOP置于核心，引入较弱无套利假设（NUPBR）拓展传统资产定价理论。
- 证明基准中性价格理论上为可复制权利金的最低界限。

• 实证亮点：

- 利用30年美国股市数据拟合GOP走势和活动时间。
- BN定价的极限期限看跌期权价格显著低于风险中性价格，反映风险中性测度的非等价特性。

• 图表解读洞察：

- 图4.1展示GDP价格的实际走势，支持模型参数拟合。
- 图4.2直观对比了两大定价方法对极限期限期权价格的差异，突出基准方法的现实合理性。

• 结论评价：

- 基准方法弥补了风险中性定价的不足，适合长期养老金、保险等极限期限产品的定价。
- BN定价的理论深度和实用前景提示了金融资产定价方法的未来发展方向，同时对传统学派提出重要挑战和拓展可能。

综上，本文不仅为学术界提供了坚实的数学金融新工具，也为长周期金融产品定价提供了有力方法论支撑，具有较高的理论价值与实际应用潜力。

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参考文献（部分）

报告引用大量经典文献，为报告理论基础提供坚实支撑，包括Platen本人许多重要工作、数学金融权威著作（Karatzas & Shreve，Delbaen & Schachermayer等）、以及数学统计基础文献（Abramowitz & Stegun，Revuz & Yor等），确保学术的严谨与创新的结合。[page::19][page::21]

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总体评价

本文是一篇结构完备、理论与实证兼备的高水平金融研究报告。其提出并落实的基准中性定价框架，不仅挑战传统风险中性预设，更为长期复杂衍生品（如极限期限看跌期权）提供了更低价格且更加现实的定价方案。详尽的数学陈述、条件验证、实际数据拟合和图表呈现均非常出色，堪称数学金融领域经典文献的补充和创新。未来该方法若得到更广泛的数据支持和应用扩展，将有望成为金融衍生产品定价的重要方法之一。

报告