• 动态AMM权重变动引发套利机会，从而实现池子从初始权重到目标权重的重平衡，改进权重变化路径能减少套利成本提升收益[page::0][page::1]。

- 两步插值总比一步插值成本低，且线性插值（在区块级别平滑权重变化）是简单有效的执行管理策略[page::1]。

• 引入非线性权重插值优化问题，针对小幅权重变化，导出最优中间权重显式解涉及Lambert W函数，计算复杂，故提出用算术均值与几何均值的均值作为近似解[page::2][page::3]。

- 近似最优权重路径可通过算术线性插值与几何插值的平均值归一化得到，且与数值最优解高度一致（最大权重误差约0.003，比线性插值0.04小得多）[page::3][page::4][page::5]。

• 基于历史数据（2022年7月至2023年6月BTC-ETH-DAI）训练动量策略和通道跟踪策略，分别在不同手续费水平下测试，发现使用近似最优权重调整策略，收益平均提升约25%，且该提升在有手续费情况下依然稳健[page::5][page::6]。

• 本文还给出了最优权重变动的数学推导、边界分析及数值求解方法，亦详细证明两步法优于一步法，并将最优插值推导应用到多步权重变动场景[page::8][page::9][page::12][page::13]。

最优动态AMM重平衡研究报告深度分析

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一、元数据与报告概览

• 报告标题：Optimal Rebalancing in Dynamic AMMs

- 作者：Matthew Willetts 和 Christian Harrington

• 发布机构：QuantAMM.fi

- 发布时间：2024年3月

• 主题：动态AMM（自动做市商）中的优化资产权重重平衡方法，特别聚焦于Temporal Function Market Making（TFMM）框架下权重变化的最优路径设计

核心论点

本报告针对动态AMM中权重从初始分布到目标分布的重平衡问题，提出了一种优于线性插值的权重插值方法，能够在小权重变动范围内获得最优性能，并提供了一种计算简便且效果相近的近似方案。通过多种模拟回测（含交易费用），该方案在BTC-ETH-DAI三代币池中，带来了约25%的收益增长，提升了池子整体的表现和效率。

研究核心是减少由权重调整引起的滑点和交易成本（即减少支付给套利者的成本），从而提升流动性提供者（LP）收益并改善动态资产管理的效果。

总体来看，这是一篇技术数学结合金融市场机制的研究，兼具理论推导与实证模拟，关注DeFi领域自动做市商的资产管理效率提升[page::0,1,2,3,4,5,6]。

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二、逐节深度解读

2.1 报告导言与背景（第0页）

报告开篇指出，在传统固定函数AMM中，因资产价格比例变化而导致的“无常损失”（Impermanent Loss, IL）问题严重；而TFMM采用动态变化权重的几何均值做市商（G3M），实现时间序列的动态资产配置，利用套利交易实现权重重平衡。

核心在于设计这一路径，从初始权重\(\mathbf{w}(t0)\)变到目标权重\(\mathbf{w}(tf)\)，这一过程会在市场中引发套利机会。如何安排权重变化序列以最大限度减少给套利者支付的成本即重平衡成本，是研究目标。

研究假设市场价格在重平衡期间固定，通过对权重路径的设计，减少滑点和套利成本，提升流动性提供者资产价值[page::0]。

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2.2 权重插值与执行管理（第1页）

• 关键论点：权重更新导致套利机会，通过逐步、小幅度权重调整而非一次性大幅跳变，可以减少套利机会并节省成本，类似传统金融中的执行管理。
• 推理逻辑：当权重由\(\mathbf{w}(t0)\)变为\(\mathbf{w}(t^\prime)\)时，池子对价格的报价相应调整，资产买卖价差激励套利者进行重平衡。分阶段调整权重可减少给出套利的价格偏差，从而节省成本。
• 关键公式（Eq.2）表达了更新后的资产储备计算方式：

\[
\mathbf{R}(t') = \mathbf{R}(t0) \frac{\mathbf{w}(t')}{\mathbf{w}(t0)} \prod{i=1}^N \left(\frac{wi(t0)}{wi(t')}\right)^{wi(t')}
\]

• 家族插值策略（C.1节），证明了任意符合区间限制的中间权重\(\tilde{\mathbf{w}}\)均能降低套利成本，相比一次性调整更优。线性插值是简单有效的方案，且可通过递归二分法不断细化以进一步减少成本。
• 含义：平滑的权重调整轨迹减少池子与市场之间的价格扭曲，降低套利者获利空间，提升LP收益[page::1]。

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2.3 非线性权重插值及优化（第2页）

• 问题延伸：当权重变化已经按区块级别线性拆分，是否还有更优的权重变化路径？
• 优化目标：最大化池子最终价值（即最小化给套利者的成本），约束权重有效性（位置和和为1）。公式(4)表明为带有KKT条件的非线性优化问题。
• 难点：求解全局最优权重轨迹可数值计算，但较复杂且计算成本较大，适用于TVL高和计算成本较低的环境。
• 小权重变化极限下最优解（Eq.6）：通过局部一阶微分得到中间最优权重\(\tilde{w}i^\)，解与Lambert W函数有关，不易在线上环境计算。
• 补充：Lambert W函数是超越函数，解决形式为\(w e^{w} = x\)的方程。本部分给出其计算复杂性和应用限制[page::2]。

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2.4 近似最优插值方案（第3页）

• 上下界推导：中间权重\(\tilde{w}i^\)被证明夹在开始与结束权重的几何平均数和算术平均数之间：

\[
\sqrt{wi(t0) wi(tf)} < \tilde{w}i^* < \frac{wi(t0)+wi(tf)}{2}
\]

• 近似方案：将上、下界均值作为中间权重的近似，极大简化计算；无需调用复杂Lambert W函数。
• 多步骤近似方案（Eq.10）：对每个时间点的权重取线性和几何插值的平均并归一化，形成一个简单易用、多步进的近似轨迹，且在数值测试中与数值最优解极为接近。
• 仿真对比（第3页图1~3所示）显示，近似方案与数值最优解难以区分，且明显优于线性插值，能捕捉到约95%的性能提升，权重轨迹误差控制在0.003左右（线性插值误差较大约0.04）。

此方案兼具性能与实用性，易部署在线或链上智能合约环境[page::3]。

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2.5 实验验证（第4~6页）

• 数值例子：300个步长、三资产池，比较线性插值、近似最优插值和数值优解的权重变化和权重步长差异。近似方案的轨迹和变化趋势与数值最优极为接近。
• 策略训练：

- 利用QuantAMM轻文档中的方法，基于资产价格梯度，训练不同参数的资产管理策略（简单动量策略和通道跟踪策略）。

- 训练采用自动微分工具通过梯度提升性能指标，权重更新方案作为策略内嵌部分。

- 为避免偏差，线性插值与近似最优插值方案均单独训练策略，保证公平对比。

• 历史模拟：BTC-ETH-DAI池，2022年7月至2023年6月，160个策略变种组合，含不同训练起点、权重更新频率（小时和天）等。
• 结果（图4）：约25%的收益提升，且收益优势在引入交易费用（最高1%）后依旧明显，表现稳定且适应性强。
• 意义：验证了权重轨迹优化带来的实质经济效益，且优于简单双线性方案[page::4,5,6]。

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2.6 结论与展望（第6页）

• 动态权重的优化变更是DeFi资产管理关键技术。
• 通过减少套利机会交易成本，提高了池子市场效率和LP收益。
• 该研究提出即理论严谨又实践有效的最优或近似最优权重变化方案，支持复杂的多资产池平衡动态管理。
• 策略在交易费用环境下仍表现优异，适用性强并预示对未来链上资产管理协议的深远影响[page::6]。

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三、图表深度解读

图1（第4页）

• 内容：展示三资产池权重从初始\(\{0.05,0.55,0.4\}\)变到目标\(\{0.4,0.5,0.1\}\)的轨迹。
• 三种方法对比：线性插值（a）、近似最优插值（b）、数值最优（c）。
• 解读：子图(b)和(c)几乎重叠，表明近似方法对权重轨迹的捕捉极为准确；线性插值轨迹较为简单，权重变化更为直线性但未能抓住非线性细节。

图2（第4页）

• 内容：对应图1权重的逐块变化量，即 \(\mathbf{w}(t+1)-\mathbf{w}(t)\)。
• 对比：近似方法和数值最优方法的权重变化曲线相对平滑且曲线形态接近，线性插值变化幅度恒定。
• 解析：非线性的变化步长可以更有效分散套利成本，实现更加“平滑”和“成本敏感”的权重变动。

图3（第5页）

• 内容：对比线性插值与最优插值轨迹的偏差。
• 结果：线性插值与数值最优最大偏差高达0.04，近似插值仅0.003，近似插值明显更贴近最优轨迹。
• 意义：验证近似模型在实用性与性能之间的较优平衡，是实现链上应用的可行方案。

图4 & 图D.6（第5 & 14页）

• 内容：展示两策略（动量和通道跟踪）在不同权重更新方法和交易费率下的收益表现。
• 解读：

- 近似最优权重插值带来显著超越线性插值的收益（约+25%）。

- 该差距在交易费用0~1%范围内依然存在且稳定，大大增强方案的实用价值。

- 随着手续费上升，收益优势并未消失，说明成本优化带来的净效益充分抵消了额外费用。

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四、估值分析

报告虽未涉及传统意义上的企业估值，但从流动性池价值最大化的角度，权重调整路径的优化即为“增值”的本质。

• 目标函数明确为最大化最终池价值（\(\mathbf{p}\cdot\mathbf{R}(tf)\)），约束为权重和为1。
• 采用拉格朗日乘子法（KKT条件）处理约束优化。
• 优化目标涉及池内代币储备的非线性乘积形式，体现了复合效应与动态调整复杂性。
• 数值解与解析解（小变动下）两条路径并存，其中小变动极限下的解析解利用Lambert W函数。
• 近似估值插值轨迹方案为简化普适代替方案，促进实际使用的可行估值收益提升。

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五、风险因素评估

报告未单独章节详细讨论风险，但隐含风险及潜在限制包括：

• 价格假设风险：权重调整期间假设价格不变，现实中价格波动可能影响套利机会规模及成本计算。
• 计算复杂度风险：最优解受制于计算资源限制，过于复杂的最优权重路径难以实时链上计算。
• 费用与气费风险：虽然模拟显示手续费高时优势仍存，但实际链上复杂计算的gas费可能削弱净收益。
• 策略适应风险：不同策略对权重变动方案的敏感度不同，训练过程复杂，可能存在过拟合或策略失效风险。
• 市场结构风险：套利效率、市场深度变化或出现异常事件时，套利机会和成本可能波动加剧。

报告通过广泛训练、跨费率测试及策略多样化部分缓解上述风险，但未深入披露缓解策略概率评估[page::5,6]。

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六、批判性视角与细微差别

• 本文假设市场价格固定以简化模型，忽视了现实市场的价格波动对重平衡的影响，可能导致实际效果偏离理论预测。
• Lambert W函数计算复杂，虽然提供了近似方案，但其精度与边界条件适用性还有待更广泛验证。
• 模拟周期（2022年7月至2023年6月）和资产选择（BTC/ETH/DAI三资产）有一定局限，未覆盖极端市场环境和更多资产组合。
• 报告聚焦于零费用模型推动理论，虽辅以含费用模拟，但真实链上复杂手续费结构仍可能影响实际收益。
• 研究偏重技术层面，缺少对市场行为、参与者策略适应性的讨论，未来可融合博弈论等视角完善模型。
• 稍有排版和表达瑕疵（如第1页部分文本杂糅），需修订以便更清晰地传达复杂数学推导。

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七、结论性综合

本报告深入探究了动态权重自动做市商（TFMM框架下）中资产权重调整路径的最优选择问题。通过理论推导、数学优化方法，结合对特殊函数Lambert W的应用，揭示了权重插值的最优解决方案，以及基于权重变动极限的小变动近似方案。

模拟结果清晰显示，近似最优权重轨迹能显著提升资产池的价值，与传统线性插值相比，能节省大约25%的套利成本开销，收益提升明显且稳定。该效果在引入不同交易费用的多策略仿真中均得以维持，说明方法具备较强的鲁棒性。

报告中呈现的图表深入展示了不同权重插值策略的轨迹区别、单步变化差异及数值收益差异，直观体现了近似方案的卓越表现和实用意义。优化权重插值不仅降低了流动性提供者无常损失，还提高了整体资产管理效率和市场效率。

尽管现实应用环境中仍存在价格波动、链上计算资源受限等挑战，本文提供的数学模型和实证分析为未来DeFi链上资产管理的执行管理设计奠定了坚实基础，推动了动态AMM领域向更高效、更智能的目标演进。

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参考文献与附录

报告附录详尽提供了核心公式的数学推导（特别是权重变化对储备变化的影响，插值的两步优越性证明，Lambert W函数的界限和近似），为理解提出的最优解奠定理论基础。

此外，权重轨迹示意图（图1-3、附录A.5），以及策略收益箱线图（图4、D.6），均为理解核心观点提供数据支撑。

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结束语

本报告结合组合资产管理理论、数学优化及DeFi自动做市机制，系统性地提出并验证了动态AMM中最优权重调整路径设计，通过降低重平衡套利成本有效提升池子价值。研究对DeFi中链上资产管理技术发展与效率提升具有重要推动作用。

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注：上述分析严格依据报告内容，所有推论均注明页码，确保后续生成文本溯源清晰。

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