研究背景与模型设定 [page::0][page::1]

• 考虑带有内线信息的永续美式标准和回望期权，资产价格服从带股息及波动率的几何布朗运动。

- 内线信息建模为以资产价格全局最大或最小值的时刻渐进扩充的滤波族，导致非标准的随机时刻行权权利。

优化停止问题转化与三维Markov过程构造 [page::3][page::5]

• 原本的最优停止问题通过引入标记资产价格是否达到全局极值的指示过程，构建包含运行最值和“违约”指标的三维Markov过程。

- 该三维过程促使最优停止边界成为资产价格的上下随机边界函数，依赖当前最大值或最小值及指示状态。

最优行权边界结构与自由边界问题描述 [page::7][page::10]

• 证明最优行权时间为资产价格首次达到某状态相关动态边界。

- 对应的值函数满足非线性边界问题，边界满足一阶非线性ODE和超越方程，且在边界处满足平滑粘合和法向反射/入口条件。

• 计算显示存在最大解与最小解，分别对应最大/最小允许的边界曲线。

解析求解与边界闭式表达 [page::15][page::20]

• 在不同指示状态下，值函数分解为基本幂函数或超几何函数组成，满足ODE与边界条件。

- 边界函数在无全局极值知情时满足非线性微分方程，有全局极值时满足超越方程。

• 经典参数$\betal$和$\gammal$控制幂函数形状，解析表达式为最优边界和价值函数提供闭合形式。

主要结论与理论验证 [page::20][page::22]

• 给出最优价值函数表达式及最优边界的构造方式，证明交易时机的最优性来自平滑粘合与法向条件。

- 利用局部时间变换公式和鞅性质，验证构造解为原始最优停止问题的真正解。

• 该框架揭示内线信息导致的滤波扩充对期权定价及行权阻界形态的影响。

关键图表展示 [page::11][page::12][page::13][page::14]

• 图1展示无全局极值状态下某类期权的最优行权下边界示意，区分行权区与继续持有区。

• 图3显示无全局极值状态下另一案例的边界函数随运行最大值增大呈线性趋势。

金融研究报告详尽解读分析报告

报告标题： Perpetual American Standard and Lookback Options in Insider Models with Progressively Enlarged Filtrations
作者： Pavel V. Gapeev, Libo Li
发布日期： 2025年7月8日
研究主题：
本报告围绕在“逐渐扩充滤波”（progressively enlarged filtrations）框架下，利用扩展的布朗运动模型对永续美式标准期权和回望看跌/看涨期权的定价及其最优执行问题进行研究。特别地，研究了当具有“内部信息”的投资者能够在资产历史极值发生的随机时间点执行期权时的最优停止问题。

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1. 元数据与报告概览

本报告旨在解决扩展的Black-Merton-Scholes模型内，考虑“内部信息”即包含资产价格全局最大值或最小值出现时间的扩充滤波下，永续美式标准期权和回望期权的定价和最优行权策略。报告提供了这些问题的解析闭式解，揭示了最优停止时间由资产价格首次达到与其运行最大或最小值相关的随机边界决定。

报告核心贡献包含：

• 资产价格信息由基础滤波$\mathbb{F}$扩展至包含全局极值时刻$\theta$或$\eta$的滤波序列$\mathbb{G}^1$和$\mathbb{G}^2$；

- 将原始最优停止问题嵌入三维马尔可夫过程问题，对应状态空间为$(X,S,\Xi^1)$和$(X,Q,\Xi^2)$，其中$\Xi^k$为指示全局最大/最小出现时间的过程；

• 利用自由边界问题（free-boundary problem）和非线性微分方程的最大或最小解刻画最优边界函数；

- 证明应用了平滑贴合(smooth-fit)、正常反射(normal-reflection)和正常进入(normal-entrance)条件；

• 理论结果涵盖实际金融市场中带有内幕信息的投资者最优行权策略的合理数学模型。

经本文分析，投资者因获取全局极值的额外信息，能够于更优的时机执行期权，提升期权价值。本文强调，这并非预知未来价格走势，而是获得对资产极值时间的观察或接口信息，反映现实市场中内幕交易的规律性发现。

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2. 逐节深度解读

2.1 报告引言与模型基础（第0-1页）

报告从基准模型入手，应用经典Black-Scholes重复几何布朗运动模型:

$$
Xt = x \exp\left( (r-\delta - \frac{\sigma^2}{2})t + \sigma Bt \right),
$$

其中参数含义分别为利率$r$，股息率$\delta$，波动率$\sigma$。随机过程$X$描述标的资产价格。

重点定义了三个类型的期权支付函数$Gi$和$Fi$（标准和回望期权，浮动和固定执行价），以及过程$St$和$Qt$分别为$Xt$的运行最大和最小过程。

提出的核心优化问题是计算：

$$
Vi = \sup{\tau \in \mathbb{G}^1} \mathbb{E}[e^{-r\tau} Gi(X{\tau}, S{\tau})], \quad
Ui = \sup{\zeta \in \mathbb{G}^2} \mathbb{E}[e^{-r\zeta} Fi(X{\zeta}, Q{\zeta})],
$$

其中$\tau$、$\zeta$为$\mathbb{G}^k$滤波下的可停止时刻，$\mathbb{G}^1$和$\mathbb{G}^2$是对基础信息$\mathbb{F}$逐步扩充，分别加入全局最大$\theta$和全局最小$\eta$的观测时间。

该扩充滤波为典型的“内幕信息”模型，$\theta$，$\eta$并非传统停止时刻，却为“诚实时刻”(honest time)，揭示内部投资者信息的数学建模。

该部分明确了本研究不同于已有永续期权模型的创新点，即允许期权持有者利用包含资产历史极值时间信息的滤波进行最优行权[page::0,1]。

2.2 文献回顾与研究动机（第2-3页）

本报告进入文献回顾，指出此前标准和回望期权的永续美式定价多基于自然滤波$\mathbb{F}$解决，现阶段少有涉及内部信息逐渐扩充滤波的模型。

作者回顾了经典扩充滤波理论及相关工作，指出大多数研究依赖初始扩充滤波与强假设(如密度假设、强假设$H$、伪停止时间假设等)，而本研究中$\theta$与$\eta$不满足这些假设，增加数学上的难度。

本报告方法创新地将问题转化为三维Markov过程$(X,S,\Xi^1)$或$(X,Q,\Xi^2)$的最优停止问题，引入“正常反射”和“正常进入”等边界条件新概念，解决当前难题。

这种三维状态空间的嵌入，体现了全局极值时间的加入如何根本改变优化问题结构及解法，反映数据的“非Markov”特征被数学上扩容为Markov过程解决方案[page::2,3]。

2.3 模型设定及核心最优停止问题（第4-7页）

定义Azéma超鞅过程$Zt = P(\theta > t | \mathcal{F}t), Yt = P(\eta > t | \mathcal{F}t)$，利用全局极值的分布特性，表达$Zt, Yt$为$(St/Xt)^\alpha$或$(Qt/Xt)^\alpha$（$\alpha=2(r-\delta)/\sigma^2 - 1$），这基于经典布朗运动极值的指数分布性质。

建立新的布朗运动$\widetilde{B}^1, \widetilde{B}^2$，在扩充滤波下保持标准布朗性质，为后续确定扩充滤波下过程动态提供工具。

基于此，原始过程$Xt$满足带状态依赖附加漂移项的随机微分方程，吸收内部信息对价格动态的影响。

以三维过程$(X,S,\Xi^1)$和$(X,Q,\Xi^2)$建立优化问题，终止时间分别在$\mathbb{G}^1$和$\mathbb{G}^2$中。

定义对应价值函数$V{i,j}^(x,s), U{i,j}^(x,q)$，其中$j=0,1$指当前是否已触发极值时刻。

通过Itô公式验证相关鞅性质，进而描述价值函数满足的前向方程及边界条件，为后续自由边界问题建立基础。

并证明对于不同支付函数和滤波结构，停止区域与区域边界均有规范的单调连续结构。

最优行权策略终止时间是资产价格首次达到对应状态依赖突变边界的时间（下界或上界）[page::4-7]。

2.4 自由边界问题及边界构造（第8-10页）

基于所有上述状态过程和支付函数，构造对应的半鞅最小超调和与微分算子$\mathbb{L}$，建立自由边界问题：价值函数满足席勒-薛里耶夫条件，即在继续区满足偏微分方程，在行权边界满足值匹配和平滑贴合条件。

平滑贴合条件保证价值函数和其导数在边界连续，正常反射和正常进入分别对边界平面内的边界行为做规范，结合运行最大或最小变动机制，解释了为什么扩充滤波下不同状态对应不同的边界条件。

这种三维自由边界问题的建立是本报告技术难点，同时指出通过变分不等式及最优停止问题的既有理论可以验证解的唯一性和存在性。

页面展示了8张重要的计算机模拟图，显示各种情况下最优行权边界在$(x,s)$或$(x,q)$平面上的形状，直观反映了运用本报告理论能得出的边界结构形态[page::8-10,11-14图]。

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3. 估值分析（第15-20页）

3.1 候选价值函数构造（$j=0$情形）

价值函数可表示为$x$的两项幂函数的线性组合，幂指数$\beta1>1$和$\beta2<0$为二次特征方程根，反映了经典Black-Scholes中不贴现金融资产溢价模型中的对称涨跌速率。

利用行权边界的值匹配和导数匹配条件，函数系数通过边界函数$a{i,0}(s), b{i,0}(q)$隐式确定。

对应边界函数满足非线性常微分方程，其解析形式及存在唯一性，关键性地保证了该模型下价值函数的确定性。

具体对i=1(标准期权)给出了简化封闭解表达，对i=2,3则为依赖解的存在性讨论和方程特性分析。

3.2 候选边界函数方程及极值解

对于i=2,3两类较复杂支付，边界函数$a{i,0}(s)$和$b{i,0}(q)$满足更复杂的非线性微分方程，报告详细给出其表达式及边界条件。

提出通过构造极大和极小解，对边界函数进行筛选，保证边界函数满足行权条件且对未来价格演变敏感。

微分方程的连续性和局部Lipschitz条件确保唯一解存在，利用皮卡德迭代等数值方法具有收敛性。

3.3 $j=1$ 情形的候选价值函数及边界

当已知全局极值时间已发生($j=1$)，价值函数解形态不同，需要引入超几何函数表达式，满足对应带参常微分方程。

自由边界满足相应的代数-超几何方程组，需通过数值方法求解，报告中给出该参数设置的重要定义和性质分析。

边界函数在此情形得到的封闭形式更为复杂，反映了此时价值函数因“信息真实揭示”带来的更紧密耦合。

3.4 价值函数与边界的选择与匹配

报告详细探讨候选解的连续性、光滑性，及其满足自由边界问题的必要边界和贴合条件。

通过极大或极小解原则与超调解唯一性保证，报告为最优行权边界提供了数学上严格的特征定义和存在证明。

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4. 风险因素评估

报告中未显式列出风险因素章节，但基于模型结构可推断风险主要包括：

• 市场风险：价格过程动态的假设如几何布朗运动存在偏差或波动率动态异常，将影响边界函数与价值函数的准确性。

- 信息风险：对内幕信息的观察时间假设为全局极值的结束时间，实际操作信息误差或影响程度不同，可能导致模型失真。

• 数学建模风险：扩充滤波中技术条件（如进程的准鞅性、停时性质）未满足将使理论结果失效。

- 模型假设：风险无套利假设以及贴合条件假设在真实市场中可能受限，需谨慎应用。

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5. 图表深度解读

图1-8（第11-14页）：

这些图形直观展示了不同参数与状态下，价值函数对应的继续区与停区的边界形态。

• 图1：$a{1,0}^$边界，表现为版本1期权的执行边界，下方区域为执行区域。

- 图2：$b{1,0}^$边界，与图1对应的买入执行边界。

• 图3-4及图5-6：分别对应更复杂期权情况（i=2），展示边界为线性或曲线形式。

- 图7-8：$i=3$情形边界显示边界的非线性形状，体现行权边界更复杂曲线操作特点。

这些图结合文本中的边界函数定义，表明作者成功将复杂动态和信息扩展的期权定价映射到二维状态空间中的明确边界问题。

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6. 批判性视角与细微差别

• 本文数学模型建立在理想化的布朗运动市场模型之上，对于实际存在跳跃风险或市场微结构噪音未考虑；

- 对内部信息的假设比较理想化，认为投资者拥有完全且即时的全局极值时间信息；现实中获得此类信息存在时滞和错误；

• 复杂的超几何函数表达推导增加了计算和实现的难度，实际操作依赖数值方法稳定性和精度，可能影响估值可靠性；

- 报告虽然指出了模型不满足强假设$H$等，但未详述这些理论限制对应用的可行性影响。

• 图表多为计算机模拟结果，缺乏与真实市场数据的对比验证，后续研究需补充实证回测。

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7. 结论性综合

本报告深入探讨了在扩充滤波下带内幕信息的永续美式标准与回望期权的最优停止定价问题。通过构造三维Markov过程和应用自由边界问题理论，实现了带有全局极值时间知识的复杂期权的闭式解析解。

核心结论包括：

• 内幕信息使得资产价格动态中引入额外状态变量，要求对状态空间扩展并解析三维停止问题；

- 最优行权边界构成为一族依赖在运行最大/最小过程及是否发生极值时间的分段边界函数，这些界面满足非线性微分/超几何方程；

• 相关价值函数满足平滑贴合及正常反射/进入条件，保证了数学结构的严密性和金融合理性；

- 边界函数图形显示不同行权策略区域形状，反映了内幕信息影响下更加复杂和动态的最优停止区域。

该研究拓展了经典Black-Scholes期权定价理论，为深入理解内幕交易信息如何影响期权价值和行权策略提供了理论基础，具有较高的学术贡献与应用潜力。

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参考溯源

本分析严格基于报告内容结构，引用页码如下：
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