PRICING AMERICAN OPTIONS TIME-CAPPED BY A DRAWDOWN EVENT IN A LÉVY MARKET

创建于 2025-08-29T09:40:31.118096+08:00 更新于 2025-08-29T10:13:17.938583+08:00

摘要

本文推导了由首次超越预定回撤水平的时间限制的永久美式看跌期权的显式定价公式，假设资产价格遵循含下跌指数跳跃的几何Lévy过程。研究了最优行权时机，并证明其为资产价格首次跌破某最优阈值时，给出相关数值分析，为包括跳跃风险在内的复杂期权定价提供理论基础 [page::0][page::1][page::2][page::21][page::22].

速读内容

关键模型设定与主结果 [page::1][page::2]

资产价格模型为几何Lévy过程，包含布朗运动与具有参数$\lambda,\rho$的负跳跃。

- 期权为永久美式看跌期权，行权时间被首次超过相对回撤阈值$\tauD$限制。

最优行权规则为停止时间$\tau^$，等于资产价格$Xt$首次低于最优阈值$a^{}$。

- 定义并利用尺度函数$W^{(r)}$和$Z^{(r)}$，构造价值函数精确表达式。

价值函数与最优阈值显式表达 [page::6][page::7][page::8][page::12][page::13][page::14][page::16][page::17][page::18]

价值函数$V_a(x,\overline{x})$分区间定义，结合尺度函数与相关概率期望表达。

- 利用Gerber-Shiu理论处理跳跃下的事件分解，明确了各期望项对应计算公式。

最优阈值$a^{*}$满足光滑粘贴条件，即满足偏导数条件；证明唯一性且存在，满足关键方程（40）。

- 验证价值函数满足HJB变分不等式的边界和平滑条件，确认解的最优性。

数值分析与敏感性展示 [page::21][page::22][page::23][page::24][page::25][page::26]

图1验证了价值函数与即时支付的光滑粘贴条件，确认理论推导的正确性。

期权价格三维曲面揭示对$x$和$\overline{x}$的敏感结构，特别在$\overline{x}=\log(K)+c$处呈现非平滑行为。

敏感度分析显示，最优阻断界随利率增加及波动率降低而上移，期权价格对波动和利率的影响受参数耦合制约。

跳跃参数敏感度体现，跳跃强度$\lambda$增大或平均跳跃幅度$\rho$减小时，最优阈值下降，期权价值提升。

期权价格对跳跃参数呈指数和线性增长特征，反映跳跃大小和频率对期权价值的不同影响。

深度阅读

金融数学研究报告详尽分析

报告标题："Pricing American Options Time-Capped by a Drawdown Event in a Lévy Market"
作者：Paweł Stȩpniak 和 Zbigniew Palmowski
发布机构：无直接说明，推测为Wrocław University of Science and Technology
发布日期：文档中未直接体现，文献引用最多至2024年，可推测为2024年前后发布
主题：定价基于Lévy过程且以第一次超过一定跌幅(drawdown)作为时间上限的永久美式看跌期权

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一、报告概览与核心论点

该报告研究一种特别的美式看跌期权，其特点是“时间上限由资产价格首次跌幅超过预设阈值时刻确定”，即期权提前因跌幅事件而终止。资产价格模型假设为几何Lévy过程，其中包含带有指数负跳跃的跳跃扩散模型，该模型比经典Black-Scholes模型更加贴近实际市场数据的重尾与偏态特征。报告的核心成果是明确找到该期权的解析定价公式和最优行使界限（即股票价格达到某阈值即行权），结合鞅理论和Lévy过程的波动理论进行证明，并附加数值分析验证。

关键结论与贡献点：

明确给出在Lévy市场假设下，该类长期（perpetual）美式看跌期权被首次跌幅触发的随机终止时间限制下的定价公式。

- 识别出最优停时策略是资产价格首次跌破某一阈值。阈值的计算涉及特定的方程（方程(40)），保证滑顺贴合条件。

使用鞅与Lévy过程涨落理论推导期权价值函数及阈值，涵盖跳跃和无跳跃（Black-Scholes）两种极端情况的统一数学框架。

- 进行多参数敏感性数值分析，展示波动率(risk-free rate)、跳跃尺度和频率对最优界限及期权价格的影响。

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二、章节逐步深入解析

1. 引言与主要结果概述

引入了带时间限制的永久美式看跌期权，限制由股票相对于其历史最高价的相对跌幅控制，首次跌幅超阈，期权终止。此类期权兼具风险控制和降低期权持有者责任的优势。

- 资产价格模型设定为几何Lévy过程，表达式为：
\[
St = e^{Xt}, \quad Xt = x + \mu t + \sigma Bt - \sum{k=1}^{Nt} Uk,
\]
其中，$Bt$为布朗运动，$Nt$为Poisson过程，$Uk$为指数分布负跳跃。风险中性测度$\mathbb{Q}$下资产贴现价格为鞅。

设定首次相对跌幅触发时间为

\[
\tauD = \inf\{t \geq 0 : \frac{\overline{S}t}{St} \geq e^c \},
\]
$\overline{S}t$为至今最大价格，$c>0$为相对跌幅的对数门槛。

价格函数定义为最优期望：

\[
V(x, \overline{x}) = \sup{\tau \in \mathcal{T}} \mathbb{E}{x, \overline{x}}\left[e^{-r(\tau \wedge \tauD)} (K - S{\tau \wedge \tauD})^+ \right].
\]

证明最优停时为首次价格跌破阈值 $\tau^ = \inf \{ t \geq 0: Xt \leq a^\}$，其中 $a^$由方程(40)唯一确定。

- 提出相对于简化Black-Scholes模型引入跳跃的适应市场实际波动的必要性，为价格建模增加真实市场非对称及重尾效应。

2. 优化停时及验证引理

证明最优停时区域为停时区域 $D = \{(x, \overline{x}): V(x, \overline{x}) = (K - e^x)^+\}$，且由价格过程$Xt$从上向下达到某函数$b(\overline{x})$确定。

- 反证给出停时区不能从下方进入，确保停时边界为单边界问题。
定义生成算子 $\mathcal{L}$ 涵盖扩散、漂移和跳跃积分项。

- 给出验证引理（Lemma 1），包含生成算子方程条件、边界平滑粘合条件、优越性条件。该引理用于验证构造值函数的最优性。

3. 值函数与尺度函数表达式推导

定义Laplace指数 $\Psi(\theta) = \mu \theta + \frac{\sigma^2 \theta^2}{2} - \frac{\lambda \theta}{\theta + \rho}$，满足风险中性条件 $\Psi(1) = r$。

- 介绍对应鞅状过程的尺度函数 $W^{(r)}$ 和关联的辅助函数 $Z^{(r)}$，尺度函数表示为三个指数函数的线性组合，系数及指数根据方程参数确定，这些是跳跃扩散过程横跨界限的核心工具。
值函数 $Va(x, \overline{x})$ 整体表达为分段组合形式，按 $\overline{x}$ 与关键阈值 $a+c, \log(K)+c$ 划分：

- $\overline{x} < a+c$ 时，值函数表示为 $V1 + V2 (V3 + V4(V5 + V6 V7))$。
- $a+c < \overline{x} < \log(K) + c$ 时，形式为 $V{10} + V{11}(V{12} + V{13} V7)$。
- $\overline{x} > \log(K) + c$ 时，值函数简化为 $V{14} + V{15} V{16}$。
- $x \leq a$ 或 $\overline{x} - x \geq c$ 则为立即行权价值 $(K - e^x)^+$。

各项$Vi$均由鞅理论、尺度函数、跳跃过程性质和Gerber-Shiu理论给出明确积分及级数表达，涵盖不同走势概率的条件期望。

4. 最优停时阈值的确定

最优阈值 $a^$ 由满足边缘平滑条件的方程确定：

\[
\frac{\partial}{\partial x} Va(x, \overline{x}) |{x = a^} = - e^{a^}.
\]
即停时点处值函数导数与支付函数导数吻合。

详细推导该方程（见方程(40)），结合尺度函数及相关积分量$\eta^\mathbb{Q}, \Delta^\mathbb{Q}, \Gamma_\mathbb{Q}$等参数，使用中值定理证明唯一解存在。

- 证明该选择保证值函数满足鞅性质，且满足验证引理中所有条件。

5. 数值分析与灵敏度测试

通过多幅图像验证理论推导的平滑粘合条件（图1）；图中期权价值与支付函数在阈值$a^$处满足平滑贴合，蓝线（估价曲线）与黑线（行权支付）粘合。

- 图2和图3展示价值函数$V(x, \overline{x})$三维分布及局部放大，暴露非光滑点为 $\overline{x} = \log(K) + c$，体现价格结构因触发机制不同的跳跃和扩散间不连续转变。
观察到高 $\overline{x}$ 时，当 $x < \overline{x} - c$，期权价值几乎为零，期权即刻终止；当 $x > \overline{x} - c$ 时，价格随 $x$ 增加增加，解释为高价格延迟触发缩水机会，增加潜在价值。

- 图4展示停时界限 $e^{a^}$ 随风险自由利率$r$和波动率$\sigma$变化：
- $r$升高使界限上升（鼓励晚些行权）。
- $\sigma$降低界限更高，解释为低波动降低价值提前实现压力。

图5反映期权价格关于$r$、$\sigma$的敏感性，低$r$、低$\sigma$时期权价格最高，$r$高时$\sigma$对价格影响变复杂。

- 图6与图7针对跳跃分布的参数（跳跃强度$\lambda$、跳跃尺度$\rho$）探讨：
- 跳跃频率$\lambda$上升与停时界限降低（反映市场风险增加）。
- 跳跃尺度减少（跳跃幅度变大）使期权价格显著上升。

图8、图9更细致地呈现价格对$\lambda, \rho$的指数与线性响应关系。

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三、图表深度解读

图1 (page::22)

展示了期权价格函数与行权支付的平滑粘合，蓝色为价值函数，黑色为支付函数，红星点为最优停时界限$a^$。

- 该图表视觉佐证理论上的停时界限选择及平滑粘合条件(公式7,8)的正确性。

图2-3 (page::23)

图2绘制了期权价值随初始价格$x$和最高价$\overline{x}$二维变量的三维曲面，明确值函数仅在定义域$x \leq \overline{x}$内有效。

- 图3对图2中位于 $\overline{x} = \log(K) + c$ 附近区域放大，凸显非光滑点，解释为资产价格跳跃与扩散导致价值函数性质切换。

图4 (page::24)

显示停时界限$e^{a^}$随风险利率$r$和波动率$\sigma$的变化趋势表面，呈现风险利率升高推高界限，波动率降则界限提升。

图5 (page::24)

描绘价值函数对$r, \sigma$的敏感性，其中低参数值对应更高期权估价。高利率时波动的影响变得复杂，或增或减。

图6 (page::25)

说明跳跃参数$\rho, \lambda$对停时界限的影响：更高跳跃频率、更小跳跃尺度均使界限下降，表征更频繁和更大跳跃促使提前停时。

图7-9 (page::25-26)

展现期权价格对跳跃强度和尺度的敏感性，价格随跳跃频率线性增长，随跳跃尺度指数变化，直观反映跳跃规模对下跌风险的加剧影响。

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四、估值方法与数学工具

本文采用鞅方法和随机过程最优停时理论，结合规模函数（scale functions）精确刻画资产价格的跳跃扩散过程。

- 利用Laplace指数$\Psi$描述Lévy过程的特征，确定风险中性测度下漂移参数。

规模函数$W^{(r)}$定义为满足拉普拉斯变换逆函数关系的连续函数，捕捉跳跃过程首过时间的统计特性。

- 通过尺度函数构造价值函数解决HJB（Hamilton–Jacobi–Bellman）方程，利用验证引理检验最优性。

价函数分段结构反映不同市场状态下行权与非行权区域的复杂交界。

- 方程(40)/(41)界定最优行权界限$a^*$的根问题，涉及值函数一阶导数匹配支付导数的平滑粘合条件。

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五、风险因素和模型假设考察

负跳跃假设意在描述市场突发风险事件，提供比传统Black-Scholes更贴合市场非对称风险的建模。

- 该模型假设跳跃过程强度$\lambda$、跳跃幅度$\rho$均为常数，实际可能时变，模型灵活度受限。

停时规则基于相对跌幅，当市场连续剧烈波动但未达到阈值时的估价表现和实际执行行为未直接涵盖。

- 期权支付假设不考虑股息，实际市场中股息影响需考虑。

风险中性测度非唯一，文章建议选择熵最小测度，但测度选择可能影响结果，存在模型偏好风险。

- 跳跃分布假设指数衰减，适用范围同样有限制，某些市场跳跃可能呈现更重尾的非指数特性。

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六、批判性视角与细微差别

文章在建立价值函数时分三大区间，表达式复杂，数值计算及实际参数估计存在挑战，未直接讨论数值稳定性与计算复杂度。

- 跳跃模型中尺度函数的解析系数及根的求解较为繁琐，模型推广性与普适性尚需实际检验。

非唯一风险中性测度意味着估价结果具有一定非唯一性，应关注实际选取测度的经济合理性。

- 数字示例固定部分参数，缺少跨市场数据的实证检验，建议进一步探讨实际数据拟合质量。

部分公式推导中存在符号复杂，读者理解和复现难度较大，提示理论推导后应加大应用层面的说明与指导。

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七、总结

这篇论文深入研究了在带有跳跃风险的Lévy市场里，赋予跌幅事件作为随机终止时间的永久美式看跌期权定价问题。通过严格的鞅技术和跳跃扩散尺度函数理论，作者获得了明确且具有实用价值的价格表达式和最优停时策略，解决了经典Black-Scholes框架难以捕捉的市场跳跃和风险动态。论文理论完备，包含严格验证引理和详细数值分析，揭示了期权价格和行权阈值受模型参数（风险利率、波动率、跳跃尺度和频率）影响的复杂关系。

关键洞见：