供应链市场模型构建与消费者分类 [page::0][page::1]

• 供应链包含单一供应商与两个制造商，消费者分为忠诚客户与非忠诚理性客户（NDLP），后者采用均场博弈模型决策。

- 消费者对价格敏感，价格差异影响忠诚度转换，影响制造商需求分配。

制造商定价博弈的理论分析与纳什均衡存在性 [page::2][page::3][page::4]

• 制造商价格选择为离散集合，纳什均衡（NE）可能存在多个，涵盖对称和非对称均衡。

- 存在“完全扼制”区间，供应商报价过高导致制造商均选择不运营，即唯一NE为不运营策略。

• 低面额的价格粒度（$\delta$）导致无有效NE，且存在边沃斯价格周期。

- 离散价格与运营成本导致博弈均衡正利润存在，区别于传统边际成本价格下的Bertrand均衡。

数值模拟验证与供应商定价策略 [page::5][page::6]

• 随供应商价格$q$提升，制造商的对称NE数量减少，小面额$\delta$下NE消失，市场不稳定性加剧。

- 供应商最优定价倾向于部分扼制制造商以获取最大效用，平衡价格与市场参与度。

• 价格动态最佳响应显示面额大时博弈收敛NE，面额小则产生边沃斯循环。

主要结论与未来研究方向 [page::5]

• 供应链中忠诚与理性消费者混合以及离散价格和运营成本共同塑造制造商正利润NE的存在。

- 小面额导致均衡消失和价格周期出现，表明需要更通用的离散定价理论。

• 未来工作拟扩展为一般离散价格集合、分析不对称代理影响及更复杂动态博弈。

研究报告详尽分析报告

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1. 元数据与报告概览

• 报告标题： Price equilibria with positive margins in loyal-strategic markets with discrete prices

- 作者： Gurkirat Wadhwa, Akansh Verma, Veeraruna Kavitha, Priyank Sinha

• 发布机构： 未明，但作者团队具备学术及研究背景，论文似乎面向学术期刊或会议

- 日期： 未明确提及，参考文献中最新年份为2025年，表示研究较为前沿

• 主题： 供应链定价游戏，尤其聚焦于单一供应商、两厂家结构中的价格博弈，客户购买行为中既考虑品牌忠诚度，又考虑战略性（mean field game）客户选择，同时研究离散价格区间对纳什均衡的影响

- 核心论点：
1. 传统供应链（SC）竞价模型多假设价格为连续变量，但现实价格通常为离散计价；
2. 市场客户存在忠诚顾客与战略性顾客，二者对报价敏感度不同，且忠诚度会随价格调整而动态变化；
3. 在这样的忠诚-战略混合市场中，采纳离散价格机制，厂商间的纳什均衡不唯一，且可能存在多个均衡；
4. 运营成本、客户行为模型及离散价格刻度共同作用，使得厂商均衡价格呈现正利润率（非边际定价），并带来复杂的市场动态，包括均衡消失及价格周期性效应；
5. 供应商会择优定价，有时会采取可部分限制下游厂商运营的策略，利用其领导地位最大化自身利润。

• 评级/目标价： 报告无股票推荐或目标价，但有详细的理论和数值分析，指向供应链经济学和博弈论模型研究的深入贡献。[page::0,1,2]

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2. 逐章节深度解读

2.1 引言与背景（Introduction）

• 章节关键点：

- 单供应商、两厂家供应链中的价格博弈，客户分类为忠诚客户和战略客户；
- 忠诚客户会基于品牌持续购买，战略客户基于价格和服务质量等理性选择；
- 离散价格设置真实反映货币单位限制，代替传统的连续价格假设；
- 供应链建模为三阶段游戏：客户（底层）、厂家（中层）、供应商（顶层），本篇主要分析厂家与客户层面的博弈，供应商层在线性数值仿真探讨；
- 研究证明厂商可获得正利润的纳什均衡，多元均衡存在且对离散价格刻度敏感，价格间隔变化对市场份额和竞争格局影响显著。

• 推理依据：

- 忠诚度随价格上下浮动，客户行为复杂非线性，采用均场博弈（mean field game）理论刻画战略客户决策；
- 离散价格容许价格间隙产生，避免经典Bertrand模型边际成本定价的零利润悖论；
- 操作成本（fixed cost及单位成本）纳入，反映现实厂商经营压力。

• 重要假设：

- 忠诚客户基数可用线性价格敏感函数表达；
- 对战略客户采用均场纳什均衡模型捕获非合作行为；
- 供应商价格设定先行（Stackelberg leader），厂家价格随后响应。[page::0]

2.2 文献综述（Literature Survey）

• 关键点：

- 现有文献多忽视非忠诚客户的战略性，简单假设客户在价格变化下即时全体转移；
- 离散价格的动态博弈虽有研究（如Maskin & Tirole 1988年），但忽视运营成本和客户多样性；
- 本文贡献在于结合客户忠诚度分段、策略性客户均场选择和离散价格设计，构建更现实的供应链竞价模型。[page::1]

2.3 系统模型（System Model）

2.3.1 市场划分（Market Segmentation）

• 关键点及数据公式解读：

- 每个制造商$i$拥有最大忠诚客户比例$\bar{d}$；实际留存忠诚客户比例随价格线性减少为$\bar{d}-\alpha pi$，$\alpha$为敏感参数；
- 客户存在非忠诚但产品需求（NLDP）群体，其规模为$\varepsilon \alpha(pi + pj)$，$\varepsilon$为产品重要性系数；
- NLDP客户在两厂商间通过均场博弈分配，均衡比例公式推导如下（式(2)）：
\[
\mui^* = \begin{cases}
0 & \text{if } (pi - pj)(1 - \alpha \omega) > (pi + pj)\alpha \omega \varepsilon \\
1 & \text{if } (pi - pj)(1 - \alpha \omega) < -(pi + pj)\alpha \omega \varepsilon \\
\frac{1}{2} - \frac{(pi - pj)(1 - \alpha \omega)}{2 \alpha \omega \varepsilon (pi + pj)} & \text{else}
\end{cases}
\]
其中$\omega$代表价格与服务质量的权衡系数，$\eta(\mu)$为QoS递减函数，设定为线性形式$h - \mu$。
- 该模型精确刻画了价格敏感忠诚客户流失，以及非忠诚客户在两家间的战略选择，是较大创新点。

• 效用函数定义：

- 厂商效用为产销数量乘以利润率减去固定运营成本；
- 客户效用将价格与QoS延迟成本考虑为联合成本。
- 供应商也纳入了价格-成本结构。

• 交互与博弈结构：

- 供应商先行设定原材料价格$q$，两厂家随后非合作确定最终产品价格$pi, pj$。
- 形成Stackelberg博弈（供应商为领导者），厂商价格博弈为Nash非合作游戏，底层均衡影响上层策略选择。

• 模型重要假设：

- 离散价格集$\mathbb{P}\delta$定义为$ \{0, \delta, 2\delta, \ldots\}$，货币单位决定$\delta$大小；
- 厂商可选“不经营”策略$no$，对应效用为零。
- 运营成本$C\mathbb{M}$和$O\mathbb{M}$统一，供应商成本$C\mathfrak{s}$和$O\mathfrak{s}$也统一。

• 此章节设置了博弈模型运行的数学基础和实际经济合理性，支持后续均衡分析的理论构建。[page::1,2]

2.4 博弈分析（Analysis）

2.4.1 厂商层游戏（Manufacturers' Game）

• 核心发现及定义：

- 廉价制造商可获得忠诚和NLDP客户的不同份额，效用分段式定义（$W1$至$W4$）；
- 定义“完全勒紧完全挤压（complete choking）”区间，即供应商$q$报价过高，导致厂商利润负面，不愿运营，成为$(no,no)$唯一纳什均衡；
- 该完全勒紧价格$\bar{q}m$明确定义为：
\[
\bar{q}m = \frac{\bar{d}(1+\varepsilon) - \alpha(1-\varepsilon)C\mathbb{M} - 2\sqrt{\alpha(1-\varepsilon)O\mathbb{M}}}{\alpha(1-\varepsilon)}
\]
- 供应商报价$q \geq \bar{q}m$时，厂家均趋于停止营业。

• 操作性纳什均衡存在性：

- 对于$q < \bar{q}m$，有运营的厂商均衡存在，分为“二寡头（duopoly）”对称及非对称均衡；
- 为数学可解性，引入价格离散间隔$\delta$，定义优化函数$\Delta(f,\delta)$取得离散段最佳价格；
- 存在对称均衡$(l\delta, l\delta)$，两家厂商均以相同价格盈利，且分别推导了该$l$的取值范围（区间$[s\delta(q), e\delta(q)]$）；
- 也存在非对称均衡，例如$(\bar{l}d \delta, (\bar{l}d -1)\delta)$及其对称情形，两家利润不均，但均为均衡，源自离散价格限制无法达到连续均衡状态。
- 这是理论上重要突破，说明离散化导致多重均衡产生，且价格不再是边际成本，制造商可实现正利润。

• 无均衡存在的情况：

- 当价格单位间隔$\delta$过小，理论上趋近连续价域，均衡反而消失，厂商面临无法平衡的定价压力，与经典Bertrand模型零利润悖论类似。
- 该结论表明离散价格粒度存在一个阈值，下限值$\underline{\delta}$以下无操作性纳什均衡。

• 总结： 与传统Bertrand模型相比，本模型通过引入忠诚-战略客户分布、运营成本和离散价格，引发更丰富的市场均衡结构，打破边际成本定价悖论并解释现实价格正利润现象。[page::3,4]

2.5 数值分析及供应商视角（Numerical Analysis and Supplier’s Perspective）

• 设定参数：

- 典型参数如$\bar{d}=8, CM=2, OM=2, Cs=0.01, Os=0.01, \alpha=0.5, \varepsilon=0.8$。

• 均衡与价格间隔关系：

- 图2显示，离散单位$\delta$越大，存在的纳什均衡个数越多且覆盖范围更广；$\delta$越小，均衡数量急剧减少甚至消失（$\delta=0.02$时无均衡）。
- 供应商定价$q$增大时，厂商面临更高成本，导致纳什均衡逐渐减少，市场稳定性降低。

• 供应商策略：

- 供应商趋向选择一个能够部分勒紧厂商的价格区间，在该区间内厂商的反应是订出相等的最终价格（焦点均衡），防止价格战。
- 图3反映供应商利润随价格变化呈现峰值，在部分勒紧阈值附近达到最大，实现利润最大化。

• 动态博弈中的收敛性：

- 采用最佳响应动态模拟，发现对于较大的$\delta$，价格策略迭代收敛至均衡（图4）；
- 对于较小$\delta$，则呈现典型Edgeworth周期循环（图5），对应无均衡存在的理论结果；
- 这表明离散度对市场价格动态稳定性发挥关键作用，验证论文理论成果。

• 综合说明：

- 供应商与厂商的互动博弈结构下，价格粒度、运营成本、客户行为综合决定市场博弈结构和稳定性；
- 数值仿真直观展示理论结论的实际应用，有助供应商制定合理定价策略。[page::5,6]

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3. 图表深度解读

图1（第1页）

• 描述：展示三层博弈结构——供应商（顶层）向两家制造商报价，制造商向市场客户报价；客户细分为忠诚客户与非忠诚但希望产品的策略客户（NLDP），后者通过均场博弈比例选择厂家。

- 含义：图示清晰表征了博弈层级结构及客户行为机制，是后续分析各种均衡的理论基础视觉化。

• 支持文本：辅助市场划分模块对模型的理解，突显忠诚及NLDP客户对需求分布的作用。[page::1]

图2（第6页）

• 描述：供应商价格$q$增大时，对称纳什均衡价格点$np$的分布以及数量变化，三组曲线分别对应$\delta=5,0.8,0.02$的离散价格单位。

- 解读：
- 大$\delta=5$时，均衡点多且分布广；
- 中$\delta=0.8$均衡点数量减少且集中于低价区域；
- 极小$\delta=0.02$时均衡点几乎消失，反映作者理论中均衡消失阈值。

• 联系文本：直接对应定理3，对比不同离散价阶的稳定性差异，增强理论说服力。

[page::6]

图3（第6页）

• 描述：供应商效用随其价格$q$变化曲线，分别对应两种$\delta$值。

- 解读：
- 曲线有明显峰值，随$q$先增后减；
- 供应商优化价格位于可允许厂商对称均衡的区间且部分勒紧制造商（限制其价格上涨空间）；
- 小价格区域供应商效用较低，过高价格导致厂商退出，供应商收益也归零。

• 关联文本：验证供应商定价策略有效性，说明博弈领导者如何利用价格杠杆平衡市场。

[page::6]

图4（第6页）

• 描述：在较大$\delta$（$\delta=5,0.8$）下，两个厂商价格随迭代次数收敛至稳定的纳什均衡值。

- 解读：
- 收敛轨迹平稳，价格稳定不变，表明系统存在且能达到纯策略纳什均衡；
- 反映大粒度离散价格下系统稳定性明显；

• 联系文本：对应供货商价与离散性对市场均衡的影响，证实竞争策略有效及市场动态可控。

[page::6]

图5（第6页）

• 描述：极小$\delta=0.02$下，最佳响应动态陷入价格循环，即Edgeworth循环。

- 解读：
- 厂商价格并不收敛，而是在区间内循环波动；
- 缺乏纯策略均衡，表现供应商及市场价格不稳定；

• 关联文本：对应理论无纳什均衡区间的假设，表现真实市场离散价步细致影响价格行为的非平稳性。

[page::6]

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4. 估值分析

本研究非财务估值类报告，无企业估值、现金流折现等内容，不涉及传统金融估值法。其“估值”分析对应“价格均衡”分析，即通过博弈论框架确定厂商及供应商在价格空间中的纳什均衡解及Stackelberg均衡解。主要依托工具为：

• 离散型纳什均衡求解，聚焦定价策略的最优选择；

- Stackelberg游戏结构，供应商作为价格领导者优化价格以最大化自身利润；

• 引入运营成本和客户行为模型，调整均衡解的位置及存在性。

因此，本质是博弈均衡定价分析，非资产估价。[page::3,4,5]

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5. 风险因素评估

报告中主要潜在风险及其影响体现在：

• 价格离散度过小风险：

- 小$\delta$导致无纳什均衡，厂商价格策略出现周期性循环，市场不稳定；
- 供应商选择的合理定价区间极为有限，影响利润最大化及长期市场均衡。

• 高供应商价格风险（勒紧风险）：

- 过高供应商价格导致下游厂商停止运营，整个供应链潜在瘫痪；
- 供应商需谨慎平衡价格以防失去全部销售。

• 客户行为模型假设风险：

- 忠诚和策略客户比例及其价格敏感度假设影响整体模型准确性；
- 均场博弈假设客户行为均匀分布可能与实际异质市场有偏差。

• 模型简化风险：

- 仅考虑两个厂商，现实中多厂家市场可能带来复杂交互效应；
- 固定成本和生产成本对结果依赖强，变化可能重塑均衡。

• 缓解策略与概率：

- 论文暂无详细风险缓解策略，拟通过未来模型扩展和更泛化的价格机制来加强理论稳健性；
- 基于理论及数值分析，供应商可避开不稳定$→$无均衡区间价格，优选焦点均衡区间定价。

[page::4,5]

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6. 审慎评估与潜在局限

• 模型创新点与局限性双刃剑：

- 离散定价与客户分段行为强化了理论的现实适用性，但同时导致部分参数区间无均衡，存在理论上的“空白”区；
- 现有模型对价格区间$\mathbb{P}_\delta$限制较严格，尚未支持更加复杂或非均匀的离散价格集合，未来工作需关注此点；
- 均场博弈虽合理，但对小规模市场可能不适用，客户行为的个体差异未充分捕获；

• 可能的不稳定来源：

- 小离散单位引发周期性价格战，实证模型暗示市场高频波动风险；
- 敏感度参数$\alpha,\varepsilon,\omega$对均衡影响巨大，参数标定及数据支持尚需完善；

• 理论与数值可能的矛盾：

- 数值仿真强调某些价格区间均衡消失，但现实市场中仍能存在各种价格分层，提示模型可能忽略部分外部市场力量（品牌效应、信息不对称等）；

• 总体观感： 报告基于坚实理论推导与仿真，设想层次清晰；但部分假设限制及对扩展场景的探讨不足，留待后续研究完善。

[page::4,5,7]

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7. 结论性综合

本报告以供应链博弈论视角出发，结合客户忠诚度与策略性购买行为，建立了一种含有离散价格区间的双厂家单供应商三阶博弈模型。主要发现和贡献包括：

• 离散价格引发的均衡多样性与正利润存在：

- 与传统Bertrand无利润均衡不同，离散价格粒度使得厂商可实现非零毛利均衡，反映现实市场定价结构；
- 存在对称及非对称均衡，价格阶梯的细腻设定决定市场竞争结构与利润分配；

• 价格粒度敏感性及市场稳定性影响：

- 小的价格间隔抹平利润空间，导致均衡消失，出现Edgeworth价格周期，市场表现出价格震荡；
- 较粗离散价格促进均衡稳定，价格收敛，适合均衡市场运作；

• 供应商领导地位优化定价策略：

- 供应商倾向选择能部分勒紧制造商的价格区间，最大化自身利润同时稳定市场；
- 选择焦点均衡（focal NE）保证厂商利润均衡，避免价格战，提升供应链整体效率；

• 客户分类模型创新：

- 融合忠诚度客户与策略客户区分，且策略客户群体行为用均场纳什均衡刻画，动态反映价格敏感客户群迁移；
- 模型具有可扩展性，可推广至多厂家及复杂市场场景，具有广泛适用价值；

• 关键图表支持结论：

- 图2显示不同$\delta$下均衡点变动，映证理论中均衡的存在与消失；
- 图3供应商效用峰值表明定价策略需避开勒紧过度区间；
- 图4和图5分别展现大、小离散价格下市场价格收敛与循环动态，验证理论预测。

• 前景与挑战：

- 需研究更泛化的离散价格机制、多厂家异质性、客户异质性与动态博弈的综合影响；
- 建立更稳健理论解释市场非平稳行为，指导实际供应链定价和竞争策略。

综上，报告呈现了复杂且现实贴合的供应链定价博弈新视角，从理论与数值兼备的角度，揭示了离散价格与客户行为对均衡价格与利润结构的深远影响，体现了游戏理论在供应链管理中的重要应用价值。[page::0-7]

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如需进一步细化某章节内容或提供模型具体公式推导，请告知。

报告