• 股票与股指的收益率表现出显著的波动率聚类和均值回复，以及收益率与波动率变化的强烈负相关特性，图示欧元斯托克斯指数及其不同期限期权的隐含波动率动态反映这一现象。

- 波动率曲面表现出明显期限结构，短期期权ATM隐含波动率通常高于长期期权。
- 负相关导致波动率微笑呈现斜率偏斜（波动率smirk）现象。
- 波动率微笑随期限增长趋于平缓，体现均值回复特征。[page::2]

• 标准SABR模型简介及局限性：

- 标准SABR模型采用无均值回复的对数正态波动率过程，虽然有简洁的闭式解，适合单期限的隐含波动率拟合，但难以捕捉股权波动率的期限结构和均值回复。
- 单期限分别校准时，参数如波动率方差和初始波动率呈现强烈期限依赖，不具备一致的期限动态表现。
- 因此，标准SABR较少被用于整体股权波动率曲面拟合。[page::6][page::7][page::8]

• 三种均值回复模型及其近似半解析解：

- hSABR：基于经典Heston模型，通过有效前向方程和奇异摄动方法推导标准SABR形式的近似参数（依赖到期时间），实现半解析的波动率隐含曲面表达。
- mrSABR：直接在标准SABR模型中添加均值回复项，波动率服从均值回复的对数正态过程，推导出与hSABR相似形式的半解析解，其更贴近实际过程，具有更好近似性质。
- CIR-ZABR：进一步将波动率过程建模为均值回复的CIR（平方根）过程，基于Felpel等（2020）研究，利用二项式展开方式近似计算复杂积分，给出近似闭式表达式。

- 各模型均利用复杂的多变量多项式表达积分，结果适合Excel实现，满足参数的均值回复要求，并对应不同的Feller非退化条件。[page::4][page::5][page::8][page::15][page::16][page::17][page::18]

• 欧元斯托克斯指数波动率曲面实证校准：

- 使用市场数据按月度对三个模型的五个参数进行校准，均能良好拟合15个隐含波动率观测值（5个行权价×3个期限）。
- 平均RMSE约在0.7%-0.8%区间，解释99%以上隐含波动率方差，参数估计表现合理且稳定。
- 参数估计呈现一致的时间序列特征，但部分参数间存在显著相关性，尤其是初始波动率与波动率波动率之间的相关性与模型假设波动率扩散形式有关。
- CIR-ZABR模型参数相关性较低，符合市场真实波动率过程更接近CIR扩散过程的假设。[page::19][page::20][page::21][page::22]

• 参数估计统计与相关性分析：

| 模型 | 参数 | Min | Median | Max | StdDev/Avg |
|---------|------|-------|--------|-------|------------|
| hSABR | λ | 2.26 | 6.64 | 9.96 | 29.13% |
| | ρ | -0.66 | -0.57 | -0.50 | 5.97% |
| | α | 0.09 | 0.16 | 0.43 | 40.87% |
| | θ | 0.17 | 0.23 | 0.31 | 17.82% |
| | ν | 1.12 | 1.47 | 2.54 | 22.90% |
| mrSABR | λ | 3.07 | 9.82 | 17.69 | 37.02% |
| | ρ | -0.90 | -0.69 | -0.57 | 9.75% |
| | α | 0.08 | 0.15 | 0.42 | 42.70% |
| | θ | 0.12 | 0.15 | 0.21 | 18.63% |
| | ν | 1.83 | 3.58 | 4.92 | 23.53% |
| CIR-ZABR| λ | 3.69 | 9.67 | 16.82 | 31.45% |
| | ρ | -0.70 | -0.61 | -0.52 | 6.81% |
| | α | 0.07 | 0.14 | 0.43 | 45.50% |
| | θ | 0.11 | 0.12 | 0.19 | 17.39% |
| | ν | 1.09 | 1.46 | 2.04 | 14.86% |

- 长期波动率参数θ与初始波动率参数α正相关，均值回复速度λ与两者负相关。
- α与ν的相关性mrSABR中强负相关，hSABR中为中度正相关，CIR-ZABR接近零，表明CIR扩散更匹配真实数据特征。[page::21][page::22]

• 模型拟合误差及稳定性：

- 固定除α外的其他参数不同时，RMS误差从约0.7%-0.8%提升至约1.4%-1.5%，表明其他参数也应视为随机变量。
- hSABR模型往往违反Feller非退化条件，拟合虽好但长期外推风险较大。
- mrSABR满足非退化条件但参数相关度高，适合插值及短期外推，不建议用于新面市场估计。
- CIR-ZABR模型参数稳定性最好，符合Feller条件，适用于市场拟合、外推及风险模拟，是首选模型。[page::23][page::24]

• 结论与应用展望：

- 三种模型在股权波动率曲面拟合中均表现优异，以简洁闭式表达支持快速稳定校准。
- CIR-ZABR更贴合真实股权波动率过程，适合风险管理及蒙特卡洛模拟环境。
- 研究揭示股权波动率均值回复存在非线性特征，未来可探索引入动态长期波动率等扩展。
- 本文成果为定量金融领域提供了实现方便且经济解释清晰的隐含波动率建模方案。[page::24]

财务研究报告详尽分析

报告标题：《Mean-Reverting SABR Models: Closed-form Surfaces and Calibration for Equities》
作者：Vlad Perederiy
发布时间：2024年12月（2025年3月修订）
主题领域：股票及股票指数期权波动率建模，特别聚焦于基于SABR模型的均值回复波动率模型及其校准。

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一、元数据与概览

作者围绕三种随机波动率模型展开，分别为：（1）方差平方采用CIR过程的经典Heston模型；（2）波动率本身的均值回复对数正态过程；（3）波动率服从CIR过程的模型。过去的研究将这些模型近似为无均值回复的简单SABR形式，并针对单一期权期限给出参数化。本文贡献主要在于：

• 使用计算机代数系统，推导上述近似模型的闭式表达式，无需参数随时间变化保持常数波动率的假设；

- 利用闭式表达式，高效校准到实证的EuroStoxx指数期权的波动率曲面，实现对数据拟合优秀，且仅用五个参数的简明表达；

• 对模型参数稳定性和相关性作深入分析，指出部分模型存在的问题，并建议CIR波动率模型较优。

核心结论是，相较于Heston模型及更复杂模型，本文提出的基于SABR的均值回复模型提供了更简单、更快速、且数值更稳定的替代方案，特别适合计算环境较简单如Excel。该研究同时对股票市场波动率过程的真实统计特性提供了新见解。[page::0] [page::1]

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二、逐节深度解读

1. 引言与股票波动率特点（第2-3页）

报告首先阐述股票及指数回报的波动率聚集和均值回复现象。特别给出EuroStoxx50指数波动率和价格走势图，说明短期期权波动率高于长期期权，以及负相关导致枢轴处波动率“微笑”偏斜（“smirks”）。期权市场仅部分行权价和到期日有活跃报价，波动率曲面需要通过插值外推构建，简单的拟合技术（如对数距离平方拟合）往往难以胜任股票市场的复杂动态。为此，业界倾向基于随机波动率模型如Heston或局部随机波动率模型建立波动率曲面。

然而，这些模型缺乏闭式解，需复杂数值积分和参数校准，带来实现门槛和稳定性挑战。本文则聚焦基于SABR模型引入均值回复机制，既能捕获股票市场关键特征，又具备闭式解的优势。[page::2] [page::3]

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2. Heston模型定义及挑战（第4-5页）

报告将经典Heston模型的方差过程设为CIR（平方根扩散过程），标注参数包括：

• $\theta^2$：均衡方差；

- $\alpha^2$：初始方差；

• $\lambda$：均值回复速度；

- $\nu$：方差波动率；

• $\rho$：资产价格与方差的相关性。

该模型以特征函数频域技术求解，得到半解析解，即数值积分形式的期权价格。存在数值计算瓶颈，如积分为负数导致价格不合理；且模型需满足Feller条件避免方差过程退化，实际校准常难满条件。两大限制导致Heston模型在简单环境（Excel、蒙特卡洛模拟）中使用受限。价格需反推隐含波动率，计算量亦较大。[page::4] [page::5]

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3. 标准SABR模型回顾（第5-7页）

标准SABR模型描述标的资产 $F$ 和波动率 $A$ 的SDE，包含：

• $\beta$（backbone参数，通常固定，股票市场自然取1，满足对数波动率假设）；

- 初始波动率$\alpha$；

• 波动率波动率$\nu$；

- 相关性$\rho$。

Hagan等（2002）推导基于微扰法的简洁SABR闭式隐含波动率公式，广泛应用于IR市场。对于$\beta=1$的股票指数情形，闭式公式尤为简洁。

尽管易于单期限标定，SABR本身不包含均值回复机制，导致其无法自洽地刻画期权到期结构上的波动率平滑和变动。行业大量实践中，往往对不同期限分别拟合标准SABR，呈现期限依赖的大幅参数变动。如$\nu$随期限显著递减以补偿无限制扩散，$\alpha$反映均值回复。

结果是，尽管有闭式解，股票市场中标准SABR未成为主流完整曲面建模工具。[page::6] [page::7] [page::8]

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4. Heston-SABR近似（hSABR）（第8-10页）

鉴于Heston模型的计算与稳定性问题，Hagan等（2018）提出基于有效前向方程和奇异摄动方法，将Heston模型近似为标准SABR模型的一组期限依赖参数$(\alpha{std}, \rho{std}, \nu{std})$，表达式基于原Heston五参数和积分函数组合构造。

核心步骤包括：

• 计算未来方差的期望$V(T)$，及一系列积分函数$I2(T), I4(T), D(T)$；

- 得出加权参数$\bar{b}, \bar{c}$；

• 参数映射为标准SABR参数。

该近似为$O(2)$阶，改善了Heston模型数值问题并有效捕获均值回复波动率的期限效应。但仍为半解析，需要额外数值积分，并且限制了应用范围。[page::8] [page::9] [page::10]

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5. 均值回复SABR模型（mrSABR）（第10-13页）

mrSABR模型不直接基于Heston，而是在标准SABR的波动率SDE上直接加入均值回复项：

$$
dA = \lambda(\theta - A)dt + \nu A dW2
$$

参数定义包括均值回复速率$\lambda$，长期波动率$\theta$，初始波动率$\alpha$，波动率波动率$\nu$和相关系数$\rho$。

该模型更自然地近似股票市场波动率行为，且留存闭式近似关系。核心方法类似hSABR，但改造波动率过程为均值回复对数正态过程。用一系列复杂积分函数$I1$至$I5$构建有效系数，参数映射到标准SABR空间。

此模型来看，期权价格对参数的敏感度及拟合能力通常优于hSABR，但解析式更复杂。[page::10] [page::11] [page::12] [page::13]

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6. 均值回复ZABR模型（mrZABR）与CIR-ZABR（第13-14页）

Felpel等（2020）提出更一般化模型，允许波动率的波动率函数$v(A)$任意形式，其中：

$$
v(A) = \nu A^\gamma
$$

当$\gamma=1$时退化成mrSABR，$\gamma=0$时类似于Heston模式波动率扩散。$\gamma=0.5$案例对应CIR过程应用于波动率（非方差），称CIR-ZABR。

通过引入二项式级数展开，mrZABR的积分近似可得到闭式表达式，尽管更复杂，但显著捕获了市场波动率过程可能介于正态和对数正态之间的特征。CIR-type波动率过程对市场具有更好拟合性和稳定性，[page::13] [page::14]。

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7. 特殊情形的闭式表达（第14-15页）

在初始波动率$\alpha$和长期波动率$\theta$相等的简化条件下，hSABR和mrSABR积分大为简化，得出紧凑的参数公式。这种形式便于理论和计算操作，是过去文献惯用的标准假设，但在实际非平稳波动率环境拟合中受限。[page::14] [page::15]

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8. 无限制参数的闭式推导与近似（第15-19页）

报告突破了$\alpha=\theta$的限制，利用计算机代数（Python sympy）对复杂积分式进行符号积分，得到五个参数及期权期限的多项式分式表达式。

mrZABR中涉及对非整数指数函数的积分无解析解，采用经过巧妙重参数化的二项式展开（限制严格控制）实现近似闭式。此技巧允许在无参数制约条件下求出近似解。公式虽冗长，但在Excel环境中依然可实现（附录C）。此研究为基础理论贡献核心成果。[page::15] [page::16] [page::17] [page::18] [page::19]

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9. 市场数据标定及结果（第19-23页）

模型参数$(\alpha, \theta, \lambda, \nu, \rho)$利用EuroStoxx指数期权波动率曲面数据通过最小RMSE准则标定，数据涵盖2021-2024年，15个隐含波动率报价点（5个行权价×3个期限）。Excel Solver实现参数拟合，均收敛良好。

拟合效果优秀，三个模型平均RMSE均约0.7%-0.8%，拟合度达99%。参数时间序列及统计分析（图3、表1）揭示：

• $\theta$（长期波动率）与$\alpha$（初始波动率）高度正相关；

- $\lambda$（均值回复速度）与两者负相关，暗示非线性均值回复行为；

• $\lambda$与$\nu$（波动率波动率）呈正相关，反映隐含波动率笑面的凸性特征；

- $\alpha$与$\nu$相关性表现有别，mrSABR中显著负相关，hSABR正相关，CIR-ZABR基本无相关，暗示真实波动率更接近CIR扩散。

参数固定与动态调整对拟合误差影响显著，长期波动率尤为关键。Feller条件在hSABR多次被违背，mrSABR始终满足，CIR-ZABR大部分情况满足，显示稳定性优势。[page::19] [page::20] [page::21] [page::22] [page::23]

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10. 结论（第24页）

报告强调基于SABR的均值回复波动率模型，尤其是CIR-ZABR，通过仅五个参数和闭式表达式，能够高效、准确地拟合股票市场全波动率曲面。相较于Heston及局部随机波动率模型，这些模型更为简洁、稳定、易实现，适合自动化及数值成本敏感的场景。

具体结论有：

• 类似拟合精度但参数相关性有显著差异，CIR-ZABR参数相关性较弱，更能反映市场真实波动率扩散特征；

- hSABR适合曲面插值和估值，因其易计算但可能违反非退化条件；

• CIR-ZABR适合价格曲面外推与模拟，稳定性更佳；

- 参数相关性暗示股市波动率具有非线性均值回复机制或长期波动率随机性，值得后续深入研究。

综上，作者推荐基于CIR型扩散的均值回复SABR模型作为股票市场导入波动率建模的新范式，兼备效果和实用性。[page::24]

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三、图表详细解读

图1（第2页）—— EuroStoxx50指数及两到期时间ATM隐含波动率动态

• 图显示2021-2024年区间指数价格（黑线）与1个月期（红线）和9个月期（绿线）ATM隐含波动率，波动率曲线呈现均值回复和期限结构，例如波动率峰值后回落，短期波动率通常高于长期。

- 反映了股票市场波动率聚集和负相关负反馈机制的典型特征。

• 该图支撑报告对市场波动率动态的描述基础。[page::2]

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图2（第3页）—— 2023年8月不同期限期权的隐含波动率微笑曲线与货币单位归一化处理之后

• Y轴为隐含波动率，X轴为归一化的钱数（log(Strike/Forward)/sqrt(T)），不同到期（1月、3月、9月）期权波动率曲线呈不同形态，尽管期限结构较平坦仍表现不一致的微笑形态。

- 说明简单归一化和参数拟合法难以完全捕捉不同期限的波动率曲面变化，体现了复杂市场结构的挑战。

• 支持后续使用结构化随机波动率模型的必要性。[page::3]

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图3（第20页）—— hSABR、mrSABR及CIR-ZABR模型各参数时间序列

• 对三个模型分别绘制5个参数（$\rho, \alpha, \theta, \nu, \lambda$）的时间序列，左右坐标轴分别对应不同参数。

- 可观察到参数整体稳定，但某些参数随时间波动，例如$\lambda$的较大起伏。

• 比较中可见CIR-ZABR模型$\nu$波动较小，且$\rho$值波动更平稳，符合后续对模型稳定性的描述。

- 参数趋势解释了模型拟合行为及市场波动的动态演变。[page::20]

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表1（第21页）—— 参数估计统计量及Spearman相关系数

• 报告详细列出三个模型参数估计结果的最大、最小、中位数及标准差与均值比，和五个参数之间的相关性。

- 例如mrSABR $\alpha$与$\nu$相关性为-0.83，hSABR则为0.45，CIR-ZABR几乎为零。

• $\lambda$与$\theta$和$\alpha$负相关。

- 反映了参数估计的互相关联，表明模型各参数不能独立看待，存在潜在的协同变化。[page::21]

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表2（第23页）—— 固定不同参数组合情况下的模型RMSE

• 该表比较了当除特定参数外，其他参数视作时间不变时模型的拟合精度（RMSE）。

- 结果显示把除$\alpha$外参数固定，RMSE升高约0.6%，说明该参数动态调整对提升模型精度重要。

• 反复证明$\theta$对RMSE影响最大。

- 也验证了CIR-ZABR在约束条件下拟合优于其他模型的观点。[page::23]

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四、估值分析

报告估值分析核心在于对隐含波动率曲面的建模及期权定价近似，非直接标的资产价值估值。其建模依赖的SABR模型变体均拥有半解析或近似闭式解，参数映射过程从复杂随机波动率模型到三参数标准SABR模型，进而利用Hagan等的隐含波动率近似表达式定价。

关键输入包括均值回复速率、长期波动率、初始波动率、波动率波动率及相关性，采用嵌套积分表达与多项式近似降低复杂度。

此外，报告通过标定大量实证数据，反复验证模型参数估计的稳定性及拟合有效性，体现闭式解规避了传统Heston模型数值难题，且减少了计算资源消耗。

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五、风险因素评估

报告未专门设置风险章节，但从参数分析及模型特性可体现风险考量：

• hSABR模型多次违反Feller条件，可能导致方差退化，风险体现为曲面外推时隐含波动率失实；

- 参数相关性高，若不调整，参数转移至新市场情形时可能引发偏差，尤其对$\alpha$与其他参数的协动依赖未充分考虑则风险加大；

• 宏观风险在于模型假设的均值回复速度和波动率扩散形式需贴合实际市场，否则拟合虽好但预测力不足；

- 对mrZABR及CIR-ZABR模型的严格Feller条件满足更好，缓解了模型退化风险。

模型自身对于数值稳定性有提升，也降低了蒙特卡洛模拟和Excel计算中的操作风险，便于自动化风险管理。

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六、批判性视角与细节

• 报告方法基于二阶近似展开，限于$O(2)$阶，未必覆盖所有非线性效应，极端市场或高频数据下效果待验证；

- 虽然提出了无比例限制的闭式表达，但高阶展开导致表达式极其复杂，Excel实现上易出现性能瓶颈，实务中仍需注意效率；

• 参数标定依赖于Excel标准求解器，非全局最优保证，有可能陷入局部极小解，尤其参数关联高时；

- 假设前提中风险无论是均值回复假设还是波动率扩散形式，实际市场可能呈现更复杂动态（跳跃、厚尾等）未考量；

• 参数相关性虽然解释为非线性均值回复，但报告未提供明确的动态模型提示如何模拟长期参数变化；

- 标准SABR与均值回复SABR衔接处的模型一致性与过渡未详细论证（例如不同$\gamma$如何影响模型选择）；

• 表达式冗长且符号复杂，实务用户可能面临理解及实现门槛，需要配套软件工具支持。

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七、结论性综合

该报告在股票及指数期权波动率建模领域提出了一套创新且实用的解决方案，结合三种基于SABR的均值回复随机波动率模型，核心成果在于推导无参数限制的完整闭式表达式，使得复杂的随机波动率过程可通过仅五个参数、三参数标准SABR的有效映射快速实现隐含波动率估算。

实证数据表明：

• 三个模型均能高精度拟合EuroStoxx隐波波动率曲面，RMSE均低于1%；

- 参数估计揭示股市波动率呈现非线性均值回复，长期波动率具有动态性，模型参数具有明确经济意义；

• CIR-ZABR模型因其基于CIR波动率扩散过程，参数稳定性最好，相关性最低，更符市场真实性质，满足非退化条件，是最优选择；

- hSABR适用于插值与短期估值，mrSABR适用范围介于两者之间。

闭式化表达式不仅推进理论研究，也支持复杂衍生品估值中对计算效率与数值稳定性的需求。整体而言，报告开辟了不依赖复杂数值积分即可在股票波动率建模中实现高效准确拟合和预测的路径，有助于风险管理与交易策略开发。

重点图表回顾：

• 图1证实市场波动率短期高于长期，负相关明显，支持均值回复机制；

- 图2展示不同期限归一化隐含波动率微笑无法简单用单一函数统一，提示多参数随机波动率模型需求；

• 图3显示参数时间序列及模型间差异，支持针对不同应用场景选择模型；

- 表1-2提供参数估计统计及假设条件下拟合误差，对模型参数稳定性和适应性评估至关重要。

综上，该篇论文在股票期权波动率建模领域具有突破性学术价值和现实应用前景，特别是提出的CIR-ZABR模型，值得实务界关注与进一步研究。

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（全部分析皆基于报告文本内容及附录，引用标记详见各段尾部）

报告