• 研究背景与问题定义 [page::1][page::2][page::7][page::8]：

- 探讨在风险分担市场中，不同风险偏好的代理如何通过风险度量（尤其是异质扭曲风险度量）进行最优风险分配。
- 重点关注风险寻求代理的反单调风险分担结构，与风险规避代理的共单调分担形成对比。

• 扭曲风险度量属性及其对风险分担的影响 [page::4][page::5][page::6]：

- 扭曲风险度量涵盖VaR、ES等，特性包括法则不变性、正齐次、翻译不变性、共单调可加性等，是否凸性和严格单调性影响风险度量性质。

• 三类Inf-convolution的关系及特殊案例 [page::11][page::12][page::13][page::14][page::15]：

- 定义无约束、共单调、反单调三种inf-convolution。
- 证明无约束inf-convolution总是最小。
- 举例VaR和ES的inf-convolution特性，证实风险规避代理中共单调allocations优先。
- 定理2及推论1给出异质代理共单调inf-convolution的充分条件及其闭式解。

• 风险寻求代理的反单调风险分担显式结构与性质 [page::15][page::16][page::17][page::18][page::19][page::20][page::21][page::22][page::23][page::24][page::25][page::26][page::27]：

- 对风险寻求代理，inf-convolution容易发散到负无穷，故约束随机变量空间为非负或非正函数集。
- 引入inf-convolution和sup-convolution函数的框架，将风险分担问题转化为函数域上的最优化。
- 定理3给出风险寻求代理反单调inf-convolution等于用sup-convolution定义的代表函数的风险度量表达。
- 具体案例分析（幂函数扭曲函数）：更风险寻求代理将承担更高承担概率，表现出“赌博”行为。
- 数值示例验证两代理情形下，不完全单调的风险承担概率分配。

• 投资组合管理者问题及策略分析 [page::27][page::28][page::29][page::30][page::31][page::32][page::33][page::34][page::35]：

- 管理者选择投资比例 λ ，并通过最优风险分担策略最小化整个群体的风险度量。
- 风险规避代理群体中，λ与扭曲函数相关的代表风险度量的逆函数有关，群体更风险规避则 λ 更小。
- 风险寻求代理群体中，λ与sup-convolution定义的函数密切相关。
- 提出在风险寻求群体中，尽管个体更偏好风险，整体不一定增加风险投资比例，存在反直觉现象。
- 通过多个数值案例（包括图表1、2、3和4）验证了风险态度变化对最优投资比例的影响与理论吻合。

• 量化因子与策略总结 [page::16][page::17][page::27][page::29][page::30][page::31]：

- 量化因子体现为每个代理基于其扭曲风险函数的对应函数处理（如幂函数形式）。
- 投资策略核心为管理者根据sup-convolution代表风险度量计算风险承担比例 λ，并执行无短卖限制下的反单调最优风险分配。
- 策略适用范围为异质风险寻求与风险规避代理群体，在满足无短售与独立均匀随机变量假设的市场环境。
- 回测覆盖了策略对群体投资行为的指导意义及非单调风险偏好的影响。

• 主要结论总结 [page::34][page::35]：

- 异质风险偏好代理的风险分担，传统共单调最优分配不再适用，对风险寻求代理，反单调分配更优。
- 获得扭曲风险度量inf-convolution的显式表达及对应风险度量与风险度量(扭曲风险metric)的转换关系。
- 投资比例决策中存在群体层面非单调风险态度对风险偏好的“中和效应”，导致反直觉的投资比例分配。
- 提出未来研究方向：全面理解风险寻求群体风险偏好变动对整体风险承担及投资行为的影响。

• 关键图表和表格嵌入：

- 投资组合管理者最优 λ 随风险参数 α 变化趋势图（图1和图2）：


- sup-convolution函数对比与规范化差异示意图（图3和图4）：


- 不同代理风险函数与最优分配概率表（表2）：

| h1 | h2 | P(A1) | P(A2) | Inf-convolution值 |
|----------|---------|---------|---------|-------------------|
| α=1.2 | α=1.4 | 0.5129 | 0.4871 | 0.8141 |
| α=1.2 | α=5 | 0.3371 | 0.6629 | 0.3992 |

金融研究报告详尽分析报告

报告元数据与概览

• 文献标题：《Counter-monotonic Risk Sharing with Heterogeneous Distortion Risk Measures》

- 作者：Mario Ghossoub, Qinghua Ren, Ruodu Wang

• 发布日期：2024年12月3日

- 主题：本报告主要研究基于异质扭曲风险测度（distortion risk measures）的风险分摊问题，聚焦于不一定风险厌恶、具有多样风险偏好的代理人群体，尤其关注对偶相依（counter-monotonic）风险分摊结构及其在投资组合管理中的应用。

核心论点：

• 报告拓展了基于扭曲风险测度的风险分摊理论，特别是在代理人风险偏好具有异质性且可能风险寻求的前提下。

- 通过引入不同的inf-convolution（无约束、对偶相依和共单调）概念，分别刻画了不同依赖结构下的最优分配。

• 呈现了对偶相依inf-convolution及其泛化扭曲风险测度的显式表达公式，揭示了风险寻求代理人群下的风险分摊特征。

- 在投资组合管理问题中，发现了一种反直觉的比较静态性质：即使代理人群的风险寻求程度整体提升，投资组合经理不一定会增加对风险资产的投资比例，这与风险厌恶情形形成鲜明对照。

逐章深度解读

1. 引言

报告通过梳理既往基于期望效用理论的风险分摊研究，指出风险厌恶代理人的最优配置往往具备共单调性（comonotonic），即代理人的风险分摊依赖于总风险的非减函数，是风险池化的理论基础。随后，介绍风险测度文献中风险分摊的相关成果，尤其在凸风险测度与量化风险测度方面的研究。

但对于包含风险寻求代理人的异质性市场，最优分配的结构分析尚不足够，且传统共单调结构不再适用，新引入了对偶相依（counter-monotonic）结构，适用于风险寻求者的风险分摊。

报告明确本研究限定群体内部全为风险寻求或风险厌恶，不考虑混合群体，针对此类异质但单一风险取向的代理人群，展开了深入分析，提出了多项新的理论贡献。

2. 预备知识

2.1 风险测度基础

• 使用扭曲风险测度模型代理人风险偏好，定义为取决于原始损失分布被扭曲后的加权积分。

- 扭曲函数 \(h\) 可能非单调，满足函数空间 \(\mathcal{H}^{\mathrm{BV}}\)。

• 当 \(h\) 单调且满足边界条件，\(\rhoh\) 为经典扭曲风险测度。

- 重要性质如法则不变性、正齐次性、平移不变性、共单调加法性和次加性等被详细阐释，不同性质对应扭曲函数的不同特征（如单调性对应风险偏好顺序）。

报告特别强调，较广义的扭曲风险“度量”（riskmetrics）有助于表示更复杂的风险偏好，包括风险寻求等非传统态度。

2.2 风险分摊与inf-convolution

• 风险分摊定义为将总风险 \(X\) 分配为各代理人份额 \((X1,...,Xn)\) 满足总和约束。

- inf-convolution 是所有合法分配风险测度值之和的最小值，代表最优总风险暴露。

• 报告定义了不同依赖结构下风险分摊的inf-convolution：无约束（最大集合）、共单调（\(\mathbb{A}n^{+}\)）和对偶相依（\(\mathbb{A}n^{-}\)）两种限制。

- 重要性质是对于均匀空间上的扭曲风险测度，无约束下的inf-convolution与帕累托最优性等价，但在约束情形（如正负值限制）则不一定。

3. 共单调与对偶相依风险分摊

• 共单调性定义为任意观察值对之间变量同时单调变化，对风险厌恶代理人为最优结构基础，表现为对风险的非减函数形式。

- 对偶相依性则为变量在观察值对上呈现相反单调，适用于风险寻求代理人，其在多维情况下表现更为复杂且强烈限制边际分布。

• 报告引入对偶相依分配的“jackpot allocation”（赢家通吃）和“scapegoat allocation”（负担全责）结构，深入展示了对偶相依配置的随机分割形式。

- 理论中引入了对偶相依提升定理（counter-monotonic improvement theorem），可保证任何分配有对应的对偶相依分配在凸序上一致优越。

4. 三类inf-convolution关系分析

• 在均质风险偏好情境下，无约束inf-convolution ≤ 对偶相依inf-convolution ≤ 共单调inf-convolution，其中无约束inf-convolution最优。

- 在风险偏好异质时，共单调和对偶相依inf-convolution大小不确定，需结合对应扭曲函数性质具体判断。

• 通过举例（VaR和ES风险测度）表明，VaR具有对偶相依边界的明确inf-convolution表达，ES则在三个版本inf-convolution相等时表现稳定。

- 通过定理2，给出扭曲函数满足对偶次可加性（dually subadditive）和其他条件下的inf-convolution不等式链及等价条件，揭示风险厌恶场景中 inf-convolution 性质和结构。

5. 风险寻求代理人

• 构建在之前部分基础上，报告指出若代理人使用的是凸且非恒等的扭曲函数（即风险寻求），则若空间为所有有界随机变量，inf-convolution趋于负无穷，意义丧失。

- 因此限制空间为非负（\(L^{+}\)）或非正（\(L^{-}\)）的随机变量，对偶相依inf-convolution才有实际意义，且表示赌博环境下风险寻求者的限制场景。

• 介绍定理3，明确表达了风险寻求代理人在对偶相依分配下的inf-convolution为基于各自扭曲函数的函数组合（inf/sup卷积的推广）：

- \(\chi=L^+\)时，对偶相依inf-convolution为各个convex扭曲函数的inf-convolution形式组合。
- \(\chi=L^-\)时，使用扭曲函数的对偶函数的相应组合形式。

• 通过数值实例（表1）验证理论结果。

- 进一步分析确定当总风险为确定值1时，最优分配具有概率划分特征，风险更高的代理人承担更大概率责任（Proposition 3）。

• 在两代理人情形下，风险倾向差异较小时概率分配不一定单调，而更多风险偏好者更可能承担更大份额；

- 典型原因是两人系统自由度低，导致分配需折中均衡（数值列示于表2）。

6. 投资组合经理问题

• 研究投资管理问题：组合经理在代表代理人群体管理固定初始财富 \(W\) 的条件下，决定投资比例 \(\lambda\) 与具体风险资产分配，目标是最小化整体风险测度。

- 成本函数 \(c(\lambda)\) 递增且凸，对投资比例有约束。

• 代理人风险偏好异质且均限制为非负收益。

- Proposition 4提出两类情况：
- 风险厌恶代理人群，投资比例通过扭曲函数的inf-convolution对应的风险测度确定；
- 风险寻求代理人群，投资比例通过sup-convolution对应的风险测度确定。

• 反直觉地，投资比例不必随风险寻求程度全面上涨。

- 在风险厌恶全体变得更厌恶的情形下，投资比例单调减少，符合经济直觉（Proposition 5），附图显示投资比例随风险厌恶参数加深递减（图1）。

• 对风险寻求者群体，此种单调性关系被数值模拟验证，但存在反例（Example 8，图4），揭示内部风险赌博机制、外部风险资产暴露存在代替效应，可能导致投资比例非单调变化。

- 这个发现提示投资策略存在更复杂的风险偏好交互行为，传统直觉在风险寻求异质群体中局限。

7. 结论

• 报告总结了基于异质扭曲风险测度的对偶相依风险分摊理论框架，拓展了风险寻求型代理人的风险分享结构和理论。

- 风险厌恶时表现出共单调最优，inf-convolution表现稳定且易处理。

• 风险寻求时对偶相依则为主导结构，inf-convolution为一般扭曲风险度量的推广，即风险度量“测度”的概念。

- 投资管理中风险寻求整体提升不必导致风险暴露增加，强调内在风险依赖结构需被重视。

• 未来工作方向包括深入研究风险寻求群体的比较静态分析及对应投资决策的优化条件。

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图表深度解读

表1：三类inf-convolution的数值比较

| 分布类型 | 空间 | 无约束inf-convolution | 对偶相依inf-convolution |
|---|---|---|---|
| Uniform(0,1) | \(L^+\) | 0.3692 | 0.2074 |
| Uniform(0,1) | \(L^-\) | -0.7667 | -1.0435 |
| Pareto(3,2) | \(L^+\) | 2.7291 | 1.3828 |
| Pareto(3,2) | \(L^-\) | -9.4262 | -11.0881 |
| lognormal(0,1) | \(L^+\) | 1.0825 | 0.5849 |
| lognormal(0,1) | \(L^-\) | -5.5828 | -6.4773 |

• 解读：表中数据显示，无约束inf-convolution通常高于对偶相依inf-convolution，支持对偶相依的风险分担具有更大风险容忍度/风险寻求特征；同时 \(L^-\) 空间（代表收益非正）inf-convolution数值偏负，反映风险收益的定义和空间限制。

- 数值扶持理论中对偶相依inf-convolution对风险寻求代理人风险测度的适配性和区分性。

表2：两个风险寻求代理人最优概率分配

| \(h1\) | \(h2\) | \(\mathbb{P}(A1)\) \(\mathbb{P}(A2)\) | \(\sum \rho{hi}(1)\) |
|------------------|------------------|------------------------|-------------------|
| \(x^{1.2}\) | \(x^{1.4}\) | 0.5129 0.4871 | 0.8141 |
| \(x^{1.2}\) | \(x^{5}\) | 0.3371 0.6629 | 0.3992 |

• 解读：当两代理人风险寻求程度差异不大时，分配趋向较均衡（第1行），差异大时风险更高者承担更大损失概率（第2行），显示出不同风险度量函数参数对风险“赌博”策略的影响。

图1：风险厌恶代理人群投资比例 \(\lambda^\) 随风险厌恶参数 \(\alpha\) 变化

• 图示 \(\lambda^\) 随 \(\alpha\) 单调下降，符合风险厌恶增强导致风险资产持仓减少的理论预期。

图2 & 图3：(风险寻求代理人群)投资比例与sup-convolution比较

• 图2显示投资比例 \(\lambda^*\) 随风险寻求程度下降而增加，符合预期。

- 图3a对比sup-convolution结果，3b显示归一化后风险度量函数满足单调关系 \(fh \leqslant fg\) 。

• 反映sup-convolution运算在风险寻求群体整体风险度量中的作用。

图4：风险寻求代理人群归一化sup-convolution函数差异的出现，显示单调性破裂。

• 图4a显示两组sup-convolution的差异，4b突显某区间 \(fh > f_g\) ，表明风险寻求更强不一定对应更高风险暴露，说明了内外部风险互动复杂性。

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估值分析

本报告核心并非传统企业估值，而是理论风险测度与风险分摊方法的数学构造。其估值“分析”主要体现在：

• 不同风险偏好下inf-convolution的风险测度值为风险分担总量的“成本估值”。

- 通过函数inf/sup卷积映射风险偏好组合，构造一个代表风险传播的新测度。

• 应用到投资组合经理问题，即通过成本函数与风险测度共同确定最优投资比例，类似最优加权组合的资本成本优化。

报告对这些测度的数学性质和函数构造做了详尽分析，提供了闭式表达和数值验证。

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风险因素评估

• 代理人风险偏好的异质性本身即为风险源，推导出最优分配依赖复杂的偏好组合。

- 不同代理人风险等级差异会导致风险分散协议和投资策略非简单直觉。

• 对偶相依分配结构存在局限性，现实市场中混合风险态度可能更复杂尚未纳入。

- 投资组合经理面临内部分配和外部投资风险优化的双重挑战。

• 定理与命题基于特定数学假设（如偏好函数连续、凸性等），违背时结果或失效。

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批判性视角与细微差别

• 报告明确排除了包含混合风险态度（风险厌恶与风险寻求共存）群体的情境，未讨论这类更复杂配置的影响。

- 投资组合经理投资比例非单调性结果反映了模型对内部赌博机制的较强依赖，现实应用可能受限。

• 对偶相依改造风险测度为风险度量（riskmetric）拓宽了模型视野，但同时也增加了分析复杂性和缺乏传统风险测度易于理解的直观解释。

- 对inf/sup-卷积的数学构造虽完备，但在经济学上的实证对应和操作性解读较少。

• 本文多数推导基于理论概率空间和规范假设，与实际金融市场可能存在程度上的差距。

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结论性综合

本报告深入研究了基于异质扭曲风险测度的风险分摊问题，重点突破在风险寻求代理人及其对偶相依风险分配结构的表达。

• 对于风险厌恶代理人，风险分摊偏好共单调分配，inf-convolution的三种版本（无约束、对偶相依、共单调）趋于一致，最优配置较为直接。

- 对于风险寻求代理人，最优分配呈对偶相依结构，inf-convolution成为扭曲风险度量的推广，其具体表达依赖于扭曲函数的inf/sup-卷积，体现代理人内部“赌博”行为的风险共享特征。

• 投资组合经理问题的应用揭示了风险寻求群体下的复杂投资策略：不保证随着群体整体风险寻求程度提升而增加风险资产投资，有时反而因内部风险赌博的替代效应而减少外部风险暴露。

- 数值实验充分支持理论推导，图表清晰展示了关键不等式和风险结构的变化。

• 该报告为多代理人风险分配、风险管理和投资优化提供了新的数学工具和经济学视角，特别适用于研究非传统风险偏好及其经济行为的学术前沿领域。

综上，作者的总体立场是：异质风险偏好环境下，风险寻求者的风险分散和投资行为显著不同于风险厌恶者，传统共单调风险分摊框架不足以描述全部，需采用对偶相依及其引申的风险度量结构，以准确捕捉风险共享的经济本质。[page::0,page::1,page::2,page::3,page::4,page::5,page::6,page::7,page::8,page::9,page::10,page::11,page::12,page::13,page::14,page::15,page::16,page::17,page::18,page::19,page::20,page::21,page::22,page::23,page::24,page::25,page::26,page::27,page::28,page::29,page::30,page::31,page::32,page::33,page::34,page::35]

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注：本分析严格依据报告原文内容，结合数学金融专业知识，兼顾理论逻辑与经济含义，保证内容详尽且客观。

报告