• 理论基础与SRR定义 [page::2][page::3][page::4]：

- SRR为状态价格折现因子漂移的负值，资产价格服从由N-1个布朗运动驱动的N支相关几何布朗运动。
- SRR解通过求解线性方程组$\Phi x = \mu$获得，$\Phi$矩阵含有单位向量与资产波动矩阵$\Sigma$。
- 总波动率$\sigma{\pi}$由状态价格折现因子标准差分量计算得出，反映市场风险结构。

• 历史数据校准和PCA应用 [page::4][page::5]：

- 利用日对数收益率矩阵，通过PCA识别N-1个主要布朗运动轨迹，估计波动率矩阵$\Sigma$。
- 采用两种方法分别为直接计算和回归拟合估计$\sigma{jk}$，保证数值稳定性。

• SRR时间序列计算与数值不稳定性 [page::5][page::6]：

- 通过滑动窗口计算历史SRR，发现$\Phit$条件数剧烈变化导致SRR产生尖峰和基线漂移。
- 图1展示不同指数（DJ28, EU28, RS28）SRR时间序列的尖峰特征。

• 奇异值分解与正则化方法 [page::7][page::8][page::9]：

- 利用奇异值分解分解$\Phit$，识别最小奇异值$dn^{(t)}$主导条件数变化。
- 设计基于最小奇异值的动态正则化$\bar{d}n^{(t,\epsilon)}$，控制其变化率实现平滑，优化条件数。
- 图4显示不同正则化参数$\epsilon$对奇异值和条件数的平滑效果比较。

• SRR正则化效果与参数选择 [page::10][page::11]：

- 正则化后SRR波动显著减小，$\epsilon=0.005$作统一参数，二次正则化进一步平滑SRR。
- 不同计算$\Sigma$方法下的SRR曲线高度一致，二次正则化保证长期稳定性。

• 总波动率$\sigma{\pi,t}$估计及平滑 [page::12][page::13]：

- 通过正则化得到波动率时间序列$\hat{\sigma}{\pi,t}^{(\epsilon,\delta_\sigma)}$，平滑参数设定为$10^{-3}$。
- 波动率与SRR时序呈复杂关系，包含周期性和跳变特征。

• 不同资产组合实证结果 [page::14][page::15]：

- 五个28资产组合（DJ28、SP28、RS28、EU28、ETF28）和一个1252资产组合(从Russell 3000选取)被考察。
- DJ28组合SRR整体优于其他组合，75%时间段均呈正回报。

- 条件数越大，计算稳定性越差，1252资产组合条件数远大于28资产组合。

• 状态价格折现因子行为分析 [page::16][page::17][page::18][page::19]：

- 通过SRR和总波动率的联合轨迹分析，识别市场波动和风险变化的不同阶段。
- 以DJ28为例，能捕捉到2018年波动尖峰及其对基线的影响及后续平滑过程。

• 研究展望 [page::17][page::19]：

- 建议扩展SRR计算至其他资产类型及各国金融市场，提升模型普适性。
- 探索结合ARMA-GARCH模型的SRR预测能力及其风险价值回测。
- 考虑更复杂资产价格模型（跳跃扩散、局部波动率、分数布朗运动）以反映真实资产行为。
- 提出通过PCA组合资产构建最小方差投资组合作为目标无风险率的第二种定义方式。

报告深度解析 ——《An Empirical Implementation of the Shadow Riskless Rate》

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1. 元数据与概览

报告标题：An Empirical Implementation of the Shadow Riskless Rate
作者：Davide Lauria，Jiho Park，Yuan Hu，W. Brent Lindquist，Svetlozar T. Rachev，Frank J. Fabozzi
作者机构：涵盖意大利卡拉布里亚大学、美国花旗集团、独立研究员、德克萨斯理工大学及约翰霍普金斯大学
发布日期：2024年11月13日
主题：提出并实现“影子无风险利率”（Shadow Riskless Rate, SRR）的计算方法，重点研究只有风险资产市场中如何定义及估计无风险利率，利用相关几何布朗运动模型开发计算方法并应用到实证数据上。

核心论点：
报告基于之前理论模型，将风险市场中无风险资产定义转化为状态价格折现因子的漂移项（风险价格折现过程的负漂移即为SRR）。针对资产价格由相关几何布朗运动描述的假设下，设计实证计算过程，通过PCA提取驱动资产价格的布朗运动，利用奇异值分解(SVD)捕捉线性系统病态程度变化，并通过正则化克服数值计算稳定性问题。最终得出时间序列SRR及状态价格折现因子的总波动率，展示了SRR作为资产类别投资判别器的潜力。作者还对不同资产组合、资产类型和标的众数组合规模进行了实证分析。

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2. 逐节深度解读

2.1 影子无风险利率的推导

• 关键论点：

基于Rachev等（2017）提出的理论，资产组合由$N$个资产组成，价格动态服从由$N-1$个Brownian运动驱动的相关几何布朗运动（GBM）模型，定义了状态价格折现因子（state-price deflator）$\pit$的Itô过程，且使$\{S{jt}\pit\}$为$\mathbb{P}$-鞅，保证市场无套利且完备。

• 数学表达式：

资产价格动态（式1）：

$$
d S{j t}=\mu{j}S{j t} d t + S{j t} \sum{k=1}^{N-1} \sigma{j k} d W{k t}
$$

状态价格折现因子动态（式2）：

$$
d \pi{t} = \mu{\pi} \pi{t} d t + \pi{t} \sum{k=1}^{N-1} \sigma{\pi k} d W{k t}
$$

推导条件为线性系统（式3）：

$$
\mu{j} + \mu{\pi} + \sum{k=1}^{N-1} \sigma{j k} \sigma{\pi k} = 0, \quad j=1,\ldots,N
$$

矩阵表达（式4）：

$$
\Phi x = \mu, \quad \Phi = [\mathbb{1}N, -\Sigma], \quad x = [-\mu{\pi}, \sigma{\pi 1}, \ldots, \sigma{\pi (N-1)}]^T
$$

• 结论：

影子无风险利率$\nu = -\mu{\pi}$是上述线性系统的唯一解，且可以用行列式表示（式5）：

$$
\nu = \frac{\det \Phi{\mu}}{\det \Phi}
$$

其中$\Phi{\mu} = [\mu, -\Sigma]$。状态价格折现因子的总波动率计算如下（式7）：

$$
\sigma{\pi} = \sqrt{\sum{k=1}^{N-1} \sigma{\pi k}^2}
$$

体现出SRR是基于折现因子漂移的定义，且其反映的“无风险资产”可用一个永久欧式衍生品的价格过程$\boldsymbol{B}t$来表示，满足

$$
d Bt = \nu Bt dt
$$

实质上构造了无风险利率对应的衍生品资产。通过此理论框架实现无风险利率的定义突破了传统需直接存在无风险资产的限制。

• 案例解读：

$N=2$时简化解体现（式11）：

$$
\nu = \frac{\mu1 \sigma2 - \mu2 \sigma1}{\sigma2 - \sigma1}, \quad \sigma\pi = \frac{\mu1 - \mu2}{\sigma2 - \sigma1}
$$

该表达验证了$\nu$如无风险利率的合理性，同时解析了SRR的符号及其依赖资产参数差异的复杂性。

2.2 历史数据的标定

• 关键问题：

实际应用中需估计均值$\muj$与波动矩阵$\sigma{jk}$。因布朗运动不可直接观测，利用PCA方法降维、提取主要驱动成分。

• 主要方法：

设$R$为$M \times N$历史对数收益矩阵，均值中心化后应用PCA。前$N-1$个主成分近似对应$N-1$个布朗运动驱动。具体两种估计$\sigma{jk}$的方法：

1. 直接计算（式14）：

$$
\sigma{j k} = \sqrt{\lambdak} w{j k}
$$

其中$\lambdak$及$w{jk}$分别为第$k$特征值与特征向量。

1. 通过回归拟合（式15）：

$$
r{m j} - \mathbb{E}[r{m j}] = \sum{k=1}^{N-1} \sigma{j k} \bar{P}{i k}
$$

其中$\bar{P}{ik}$为标准化后的主成分收益，$\sigma{jk}$通过线性回归计算得到。

• PCA的目标：谱分解资产收益协方差矩阵，利用解释最大方差的几个主成分逼近实际多维布朗运动。

2.3 SRR时间序列计算

• 构造流程：

利用滑动窗口法生成历史$M$日窗口的收益数据，依次计算每个窗口内的$\nut$值，组成时间序列。

• 步骤包括：

1. 计算并均值中心化收益矩阵$Rt$

2. 估计均值向量$\mut$

1. PCA并获得特征值与特征向量

4. 计算$\Sigmat$矩阵（方法前述）

1. 构造线性系统矩阵$\Phit$

6. 数值求解$ \nut $（通过LU分解等）

• 数值稳定性问题：

$\Phit$矩阵的条件数$\kappat$波动大时，解的稳定性严重受影响，出现时间序列的尖峰和基准漂移。

• 图1（第6页）说明了在不同股票组合（DJ28，EU28，RS28）中出现明显的尖峰与基线漂移，特别是重大事件前后。这提示需要正则化处理。

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2.4 矩阵$\Phit$的正则化

• 问题：

$\Phit$条件数变化过快导致解不稳定。

• 方法探讨：

作者提出正则化为带惩罚项的最小二乘问题，通过$\Gammat$矩阵控制解的变化率和总波动，初期尝试了多参数正则化模型，参数调整复杂。

• 奇异值分解(SVD)方法：

$$
\Phit = Ut Dt Vt^{\mathrm{T}}
$$

$Dt$对角元素（奇异值）决定系统的病态程度，最小奇异值$dn^{(t)}$的变化控制条件数峰值。

• 图3（第8页）显示了$\Phit$的奇异值时序，呈现最大奇异值，多个中间奇异值与最小奇异值三类分布，且最小奇异值随市场时间变化波动显著。
• 正则化方案（式23）针对最小奇异值采用缓慢变化约束：

$$
\bar{d}n^{(t,\epsilon)} = \begin{cases}
\min\left(dn^{(t)}, (1+\epsilon) \bar{d}n^{(t-1,\epsilon)}\right), & dn^{(t)} \ge \bar{d}n^{(t-1,\epsilon)} \\
\max\left(dn^{(t)}, (1-\epsilon) \bar{d}n^{(t-1,\epsilon)}\right), & dn^{(t)} < \bar{d}n^{(t-1,\epsilon)}
\end{cases}
$$

通过控制$\epsilon$调整正则化的强度。图4展示了不同$\epsilon$下的正则化效果。

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2.5 SRR的二次正则化

• 进一步平滑：

对时间序列$\bar{\nu}t^{(\epsilon)}$应用类似正则化：

$$
\hat{\nu}t^{(\epsilon, \delta\nu)} = \begin{cases}
\min(\bar{\nu}t^{(\epsilon)}, (1+\delta\nu) \hat{\nu}{t-1}^{(\epsilon, \delta\nu)}), & \bar{\nu}t^{(\epsilon)} \ge \hat{\nu}{t-1}^{(\epsilon, \delta\nu)} \\
\max(\bar{\nu}t^{(\epsilon)}, (1-\delta\nu) \hat{\nu}{t-1}^{(\epsilon, \delta\nu)}), & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

通过调节微小的$\delta\nu$，平滑出具时间相关性的SRR路径，防止过度抖动而丢失细节。图6给出两种参数设置的效果。

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2.6 两种系数矩阵估计方法比较

• 对比PCA法（式14）与回归法（式15）：

两者在保持正则化后均能稳定估计SRR，数据集不同表现略有差异。图7展示了两种方法在EU28数据上的拟合精度及正则化效果，二次正则化后曲线接近，选择任一方法均可。

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2.7 状态价格折现因子的总波动率估计及正则化

• 估计步骤：

与SRR估计类似，采用SVD正则化后求解$\sigma{\pi k,t}$再合成：

$$
\bar{\sigma}{\pi,t}^{(\epsilon)} = \sqrt{\sum{k=1}^{N-1} (\bar{\sigma}{\pi k,t}^{(\epsilon)})^2}
$$

对各时间序列再应用类似的正则化方法，参数$\delta\sigma$略大于$\delta\nu$以匹配量级差异。图8展示了波动率估计及正则化结果。

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3. 图表深度解析

图1（第6页）：SRR时间序列的尖峰示例

• 描述：展示三组28只股票（DJ28、EU28、RS28）通过基础数值方法计算SRR$\nut$，窗口期$M=2500$日。
• 解读：

明显尖峰对应矩阵$\Phit$条件数的急剧变化，提示数值不稳定。DJ28在2018年9月底出现很高的脉冲，迫使后续方法必须通过正则化处理。

• 联系文本：该图支持章节对数值不稳定问题风险的论述。[page::6]

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图2（第7页）：DJ28 2018年SRR尖峰详细放大

• 通过放大图，可以观察到尖峰从~0提升到近0.2，幅度远大于正常水平，验证尖峰非随机波动，是条件数恶化直接导致。
• 该尖峰跨越数个交易日，直接印证了简单近似法失效，需采取正则方案。[page::7]

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图3（第8页）：矩阵奇异值时序

• 描述：展示矩阵$\Phit$与其子矩阵$\Sigmat$的奇异值在时间上的变化。
• 解读：

最大奇异值和中间一群奇异值稳定（约$10^{-2}$水平），但最小奇异值出现明显波动，尤其2020年疫情期间急剧下降。该最小奇异值的剧烈变化导致条件数爆炸，引发现有SRR尖峰。

• 联系文本：说明条件数的剧烈变化主要由最小奇异值控制，提出针对最小奇异值的正则化方案合理性。[page::8]

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图4（第9页）：正则化参数对奇异值与条件数的影响

• 描述：对不同正则化强度$\epsilon$下，最小奇异值$\bar{d}n^{(t;\epsilon)}$及条件数$\bar{\kappa}t^{(\epsilon)}$的比较。
• 解读：

$\epsilon$太小导致过强平滑，过大无法消除尖峰。适度$\epsilon\in[0.005,0.009]$效果良好，既避免极端峰值又不掩盖有效信息。

• 联系文本：为后续选择$\epsilon=0.005$提供经验支持和理论依据。[page::9]

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图5（第10页）：不同正则化参数下SRR时间序列对比

• 描述：以EU28数据展示原始与不同正则化强度下$\nut$的平滑效果。
• 解读：

较小$\epsilon$使$\nut$无尖峰效果明显，但曲线偏移较大，较大$\epsilon$平滑合适。2020年新冠疫情期间尖峰被有效平滑，表明正则化保留重要波动信号但消除数值异常。

• 联系文本：确认$\epsilon=0.005$是折衷选取，兼顾抑制极端噪声与不丧失真实信号。[page::10]

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图6（第11页）：SRR二次正则化参数影响

• 描述：比较两种$\delta\nu$参数下，再次应用正则化后$\hat{\nu}t$的变化。
• 解读：

$\delta\nu$较小，时间序列更为平滑，丧失部分时间依赖特征。选择$\delta\nu=10^{-5}$保持动态细节与稳定性平衡。

• 联系文本：完成二次平滑，确保结果既稳定又具识别能力。[page::11]

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图7（第12页）：两种$\sigma{jk}$估计方法SRR时间序列对比

• 描述：分别用PCA直接法（式14）与回归法（式15）计算$\sigma{jk}$后的$\nut$与正则化$\hat{\nu}t$结果。
• 解读与联系：

二者二次正则化后的$\hat{\nu}t$高度一致，验证本方法对正则化后的结果稳定性。不同数据集可能偏好不同方法。[page::12]

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图8（第13页）：总波动率$\sigma{\pi,t}$估计与正则化对比

• 描述：反映状态价格折现因子总波动率的估计，应用两种$\sigma{jk}$估计方法比较。
• 解读：

正则化显著压制波动率尖峰，恢复平稳轨迹，体现出本方法在处理除漂移以外的关键风险指标方面的有效性。[page::13]

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图9（第14页）：不同资产组SRR时间序列对比

• 描述：展示5组28只资产（DJ28、SP28、RS28、EU28、ETF28）通过正则化估计的$\hat{\nu}t$。
• 解读：

DJ28整体呈现明显正值SRR，EU28略逊且波动低，其他三组多为负值。表明不同资产类别或市场对无风险利率估计影响显著，SRR可作为资产类别判别因子。[page::14]

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图10（第15页）：箱线图总结多组资产的条件数和SRR分布

• 描述：展示不同资产组合$\kappat$及$\nut$分布统计特征。
• 解读：

正则化极大降低条件数，DJ28条件数相对较低且SRR分布积极。特别为风险控制和资产组合优化提供量化依据。[page::15]

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图11（第16页）：1252只股票资产组$\Phit$奇异值序列

• 描述：极大规模资产组合$\Phit$奇异值分布，最大奇异值稳定，最小奇异值极易剧烈波动。
• 解读：

条件数极大（$10^7$级别）显示极致的数值不稳定风险，但正则化仍改善了SRR估计，证明方法具有高维适用性。[page::16]

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图12（第17页）：不同资产组的正则化总波动率及$\nut$轨迹

• 解释：

1252组资产波动率远高于28资产组，显示状态价格折现因子应对更广资产集波动性更强。各组SRR与波动率存在阶段性相关，暗示市场状态变迁会改变二者关系。[page::17]

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图13（第18页）：DJ28组$\nut$、$\sigma{\pi,t}$正则化与未正则化时序

• 描述：正则化平滑除去绝大部分噪声，但保留重要的结构性变化，如2015-2018年明显“凸起”。
• 解读：

正则化有效去除数值异常，如2018年9月尖峰，但保留市场长期趋势和重要事件指标，保证了分析的业务可信度。[page::18]

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图14（第19页）：DJ28组正则化与未正则化的$(\sigma{\pi,t}, \nut)$轨迹与关键点标注

• 描述：未正则化轨迹夹杂尖峰，正则化版本显著平滑，关键节点标明市场重要变动时期。
• 意义：

正则化提供了连续且合理的市场状态映射，有利于资产配置、风险管理等应用。[page::19]

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4. 估值分析

本报告估值核心在于数值求解线性方程组$\Phi x = \mu$，以获取影子无风险利率$\nu$。
算法涉及：

• 主成分分析（PCA）估计波动矩阵$\Sigma$，降维并逼近布朗运动驱动。

- 奇异值分解（SVD）+ 正则化处理计算中的矩阵病态问题，确保求解稳定性。

• 二次正则化平滑时间序列。

- 数值方法：LU分解带列主元，结合奇异值调整以控制误差和抖动。

估值具有高度依赖历史数据选择的性质，且对资产组规模敏感。大规模资产组合尽管条件数较差，但得益正则化，估值质量仍有保障。

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5. 风险因素评估

• 主要风险是线性系统矩阵$\Phi$的病态性，导致数值解不稳定，体现于SRR时间序列中的尖峰和基线漂移。

- 风险影响：无风险利率估计可能瞬间失真，影响对资产类别风险调整和相对价值判断。

• 缓解策略包括单参数奇异值正则化，紧密控制最小奇异值，避免条件数爆炸；多次应用时间序列平滑，减少异常波动。

- 风险残留：尽管正则化效果显著，但部分极端事件（如2018年尖峰）不可完全消除，且实际资产价格不完全服从GBM也会引入模型风险。

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6. 批判性视角与细微差别

• 报告依赖的基本假设为几何布朗运动，限制了SRR适用范围，毕竟市场回报真实分布通常存在跳跃、波动性簇聚等复杂现象。

- 虽然作者提及未来工作方向涵盖跳跃扩散、自适应波动模型等，但现有模型可能低估实际市场风险和系统性风险。

• 正则化参数选择表现出一定的主观性，需要针对不同资产组调整，可能限制模型的自动化程度和跨市场通用性。

- 大规模资产组条件数极大显示计算困难，尽管正则化有所缓解，但数值稳定性仍存隐患。

• 作者最后提出了基于最小均值-方差组合的替代定义，提高数值稳定性，显示研究尚处开拓阶段。

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7. 结论性综合

本报告全面实现了影子无风险利率（SRR）的实证计算方法，开创了仅含风险资产市场下“无风险利率”概念的实证途径。研究包含：

• 理论建构：SRR定义为状态价格折现因子漂移的负值，基于$N$个风险资产的$N-1$驱动布朗运动GBM模型，凝练为线性系统求解问题。

- 方法创新：结合PCA降维提取驱动布朗运动，采用奇异值分解（SVD）识别矩阵病态，提出针对最小奇异值的动态正则化方案，极大提升了数值稳定性和SRR时间序列的可用性。

• 实证分析：多组股票和ETF数据实证结果表明，SRR具有区分资产类别、反映市场状态的潜力。DJ28股票组表现出正向SRR，高于其他组别，验证SRR作为资产类别判别器的有效性。资产组合规模扩大，尽管带来更大计算难度，仍能获得稳定估计。

- 状态价格折现因子的总波动率和漂移轨迹揭示了市场风险动态，强调SRR与市场总体风险结构密切关联。

• 图表解析详尽揭示了关键数值特征与市场信息之间的关系，尤其尖峰、条件数演变、正则化参数调整等，为后续应用提供了技术保障。

- 未来研究展望涵盖更复杂价格过程模型、预测性研究及不同市场和资产类别拓展，旨在增强理论适用性及实证一致性。

总之，报告在理论与实践之间搭建了坚实桥梁，填补了无风险资产缺失情境下对无风险利率估计的空白，开启了以状态价格折现因子漂移为核心的无风险利率实证研究新路径。[page::0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]

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附录：金融术语与概念解释

• 状态价格折现因子（State-price deflator）：代表价格过程折现的随机因子，使得折现后资产价格成为鞅，是金融资产定价基础工具。

- 几何布朗运动（GBM）：资产价格的经典随机过程模型，包含连续对数收益，波动率和漂移参数，广泛用于股票价格建模。

• 主成分分析（PCA）：降维统计技术，提取协方差矩阵的特征向量与特征值，识别主要驱动因子。

- 奇异值分解（SVD）：将矩阵分解为奇异值及正交矩阵，用于分析矩阵的性质，特别是病态度（Condition Number）判定。

• 条件数（Condition Number）：衡量线性系统系数矩阵“接近奇异”的程度，数值计算稳定性关键指标；条件数越大，求解越不稳定。

- 正则化（Regularization）：对不适定或病态问题引入约束或惩罚，改善数值稳定性和平滑解的技术。

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综上，本文报告深入剖析了SRR的理论定义与实证计算路径，创新性地解决了数值病态问题，通过实证数据验证SRR变量在资产类别判别及市场状态分析中的效力，为金融资产定价学术研究及实际投资决策提供了新工具及思路。

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