• 研究设计与核心思想 [page::0][page::2][page::5]

- 采用连续时间均值-方差框架，定义平均盈利能力(AP)和当前盈利能力(CP)两个指标，刻画风险资产的时间变动特征。
- 优化目标由AP和CP决定，避免直接估计未来的回报率和波动率。
- AP通过辅助财富过程的二阶变差定义，CP用AP的当前估计值近似，寓意分离未来信息与当前决策。

• 算法实现细节及估计优越性 [page::6][page::7][page::8][page::9]

- 利用历史数据窗口，基于辅助组合构造，分别估计波动率σ(t)（最大似然估计）、AP和CP，形成动态调仓策略。
- 理论证明估计量比传统用MLE估计回报率和波动率并计算风险溢价更加精确，降低绝对误差。
- 模拟比较显示AP、CP的二阶变差估计在不同时间频率（如日、周、月）下波动显著更小。

• 模拟实验与实证结果概览 [page::11][page::13][page::14][page::16]

- GBM情形下，基于AP和CP估计的投资组合（A）相比传统MLE估计（B）表现更为稳定，收益分布更靠近理论最优（T）。


- Heston模型条件下：（包含随机波动率与外生变量），AP估计依然准确稳定，优于MLE方法。

- 在多组Heston参数配置下，组合A在确定等价收益（CEQ）、夏普比率（SR）等指标均显著优于传统组合B和买入持有N。

| 参数 (ι,k) | CEQ A | CEQ B | CEQ N | CEQ T |
|---------------|---------|---------|---------|---------|
| (40, -0.6) | 0.1273 | 0.0667 | 0.0927 | 0.1334 |
| (42.5, -0.7) | 0.1284 | 0.0676 | 0.0929 | 0.1344 |
| (45, -0.8) | 0.1295 | 0.0690 | 0.0932 | 0.1354 |

| 参数 (ι,k) | SR A | SR B | SR N | SR T |
|---------------|---------|---------|---------|---------|
| (40, -0.6) | 0.8000 | 0.5235 | 0.8467 | 0.8325 |
| (42.5, -0.7) | 0.8074 | 0.5268 | 0.8540 | 0.8397 |
| (45, -0.8) | 0.8156 | 0.5319 | 0.8615 | 0.8473 |

| 参数 (ι,k) | TR A | TR B | TR N | TR T |
|---------------|---------|---------|---------|---------|
| (40, -0.6) | 3.4673 | 17.8306 | 0.0000 | 3.0495 |
| (42.5, -0.7) | 3.4759 | 17.7531 | 0.0000 | 3.0548 |

• 实盘数据测试及改进策略 [page::16]

- 分别对NASDAQ、S&P500、道琼斯指数进行一年的动态投资组合测试，比较A（本文方法）、B（MLE）与N（买入持有）。
- 组合A表现优于B但不及N，进一步采用简单规则结合A与N（仅在波动率较低时采用A，否则买入持有），组合A+N在确定收益和夏普比率上均优于其他策略，且调仓频率较低，成本可控。

| 指标 | NASDAQ | S&P500 | DJI |
|--------|---------|---------|---------|
| CEQ A+N| 0.1139 | 0.1022 | 0.0877 |
| CEQ A | 0.0288 | 0.0365 | 0.0239 |
| CEQ B | -0.0407 | -0.0622 | -0.0625 |
| CEQ N | 0.1032 | 0.0879 | 0.0791 |

| 指标 | NASDAQ | S&P500 | DJI |
|--------|---------|---------|---------|
| SR A+N | 0.7351 | 0.7467 | 0.6430 |
| SR A | 0.5038 | 0.3832 | 0.3314 |
| SR B | 0.2678 | -0.0048 | -0.0224 |
| SR N | 0.6888 | 0.6732 | 0.6267 |

| 指标 | NASDAQ | S&P500 | DJI |
|--------|---------|---------|---------|
| TR A+N | 0.6651 | 0.8350 | 0.5572 |
| TR A | 6.3882 | 5.3954 | 5.3863 |
| TR B | 22.3844 | 20.0998 | 21.1776 |
| TR N | 0 | 0 | 0 |

• 结论 [page::17]

- 通过引入AP和CP指标与辅助财富过程的二阶变差估计有效减小了估计误差，显著改善了均值-方差组合表现和鲁棒性，尤其在非平稳及带随机波动率市场环境下体现优势。
- 提出的算法兼顾理论创新和实际应用，对动态资产配置尤其具有指导意义。

研究报告详尽分析报告

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1. 元数据与报告概览

• 报告标题： The mean-variance portfolio selection based on the average and current profitability of the risky asset

- 作者： Yu Li, Yuhan Wu, Shuhua Zhang

• 作者所属机构： 天津财经大学管理科学可计算建模协同创新中心、华南农业大学珠江学院

- 发布日期： 未明确，推断为近期工作

• 研究主题： 连续时间内基于风险资产平均与当前盈利性的均值方差组合选择问题

核心论点与目标：
本报告针对传统均值-方差投资组合模型在动态参数估计上的挑战，提出利用风险资产的两个关键指标—平均盈利性（AP）和当前盈利性（CP）来替代传统的收益率和波动率估计方法。报告展示了如何通过辅助财富过程的二阶变差对AP和CP进行更准确的估计，进而实现优于最大似然估计（MLE）的投资组合选择策略。研究通过模拟和真实金融市场数据验证了该方法的优越性，最终实现了一种更加稳健且实际可操作的连续时间均值-方差对冲组合方案。

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2. 逐节深度解读

2.1 引言（Section 1）

• 关键论点总结：

报告从均值-方差理论的起源与发展谈起，指出传统模型多假设风险资产收益率与波动率为常数，而现实市场表现出非平稳性（如波动率微笑与重尾分布），使得常数估计假设失效。报告回顾了相关文献中基于随机波动率模型的增强假设，强调这些模型存在参数难以观测、模型错配风险。针对此，作者提出通过“平均盈利性”AP与“当前盈利性”CP的全新指数来处理参数估计问题，从而脱离对资产收益波动的直接假设。

• 理论推动点及创新贡献：

1. 设计出AP和CP这两个指数，将复杂的时变收益率和波动率问题简化为对这两个指标的估计。
2. 通过辅助财富过程的二阶变差法，实现对AP和CP更精准、低偏误的估计。
3. 首次将这套方法引入连续时间预承诺均值-方差组合选择框架，并通过仿真与实证验证其优越性。

• 背景理论架构及关键文献链接：

报告中的方法很大程度上基于Zhou和Li (2000)关于预承诺均值-方差组合的连续时间最优解，以及相关随机波动率模型文献（如Heston模型等）[page::1][page::2]

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2.2 连续时间均值-方差组合问题的数学模型与优化（Section 2）

• 2.1 问题公式化：

考虑单一风险资产（股指）与无风险资产（二者贴现后），风险资产价格遵循带有时变收益率\(\mu(t)\)和波动率\(\sigma(t)\)的随机微分方程，投资者选择风险资产持仓\(\thetat\)，财富过程满足自融资条件：

\[
dWt = \thetat(\mu(t) - r) dt + \thetat \sigma(t) dBt
\]

优化目标是以预承诺形式最大化终端财富均值减去方差乘以风险厌恶系数\(\gamma\)：

\[
\max{\{\thetat\}} E[WT] - \gamma \text{Var}(WT)
\]

• 2.2 最优组合解析：

由于方差算子不光滑，导致问题时间不一致，传统动态规划不可直接使用。采用预承诺策略，基于Zhou和Li(2000)引理，将问题等价嵌入辅助问题，通过动态规划方法得到明确的最优持仓：

\[
\thetat^{} = \left( -w + w^o + \frac{e^{\int0^T \left(\frac{\mu(s)-r}{\sigma(s)}\right)^2 ds}}{2\gamma} \right) \frac{\mu(t) - r}{\sigma^2(t)}
\]

其中\(\frac{\mu(t)-r}{\sigma(t)}\)是瞬时风险溢价。最优持仓不仅依赖当前时刻的风险溢价，也依赖整个规划期的风险溢价累计，表明未来预期对组合风险承担的影响被指数化体现。对于常数参数情形，表达式简化，强化了对风险溢价整体水平的敏感性应用[page::3][page::4]

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2.3 提出“平均盈利性”AP与“当前盈利性”CP指数（Section 3）

• 指标定义：

- 当前盈利性：
\[
A(t) = \left(\frac{\mu(t)-r}{\sigma(t)}\right)^2
\]
反映时点\(t\)的风险溢价平方，表示投资该资产单位风险的收益水平。
- 平均盈利性：
\[
\mathbf{K}(t,T) = \frac{1}{T - t} \intt^T A(s) ds
\]

表示区间\([t,T]\)内风险溢价的平均水平。

• 最优策略重表述：

用AP和CP重写最优持仓：

\[
\thetat^ = \left( -w + w^o + \frac{e^{\mathbf{K}(0,T) \cdot T}}{2\gamma} \right) \frac{\sqrt{A(t)}}{\sigma(t)}
\]

简化投资者对参数估计的需求：只需估计\(\sigma(t)\)、AP \(\mathbf{K}(0,T)\)和CP \(A(t)\)。

• 重要性质（定理3.1）：

AP \(\mathbf{K}(t,T)\)可用辅助投资组合财富过程\(\widetilde{W}s\)的二阶变差表示：

\[
\mathbf{K}(t,T) = \frac{1}{T - t} \left( [\widetilde{W}, \widetilde{W}]T - [\widetilde{W}, \widetilde{W}]t \right)
\]

其中辅助组合持仓为：

\[
\widetilde{\theta}s = \frac{\mu(s) - r}{\sigma^2(s)}
\]

该辅助组合对应的时间一致性均值-方差最优策略，二阶变差体现了风险溢价对未来投资收益贡献的累计量。

• 推理分析：

该表示方式无需预设风险溢价参数的具体过程形式，直接通过辅助组合财富路径的历史波动反映AP，降低了直接估计\(\mu(t), \sigma(t)\)的复杂性和误差传播，标志着估计策略的创新[page::5][page::6]

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2.4 算法设计与估计方法（Section 4）

• 算法概览（Algorithm 1）

基于离散时间点\(tk\)做投资决策，每一步包含：

1. 利用传统MLE估计\(\sigma(tk)\)和\(\mu(tk)\) 。

2. 利用辅助投资组合二阶变差估计AP \(\mathbf{K}(0,T)\)。

1. 估计当前CP \(A(tk)\)，用即时AP估计替代，同时减少对波动率估计的依赖。

4. 生成最优持仓\(\theta{tk}\) 。

1. 计算下一时间点财富。

• AP的估计细节：

AP拆分成历史区间和未来区间近似，利用历史数据周期性假设，将未来区间AP以之前等长周期AP估计代替，形成如下估计：

\[
\hat{\mathbf{K}}(0,T) = \frac{1}{T} \left( \sum{i=0}^{k-1} + \sum{i=k-(N-k)}^{k-1} \right) (\widetilde{W}{t{i+1}} - \widetilde{W}{ti})^2
\]

其中，\(\widetilde{W}{ts}\)由辅助持仓计算生成。

• 理论优势（定理4.1）：

相较于传统MLE估计的风险溢价平方，修正的估计式

\[
\left( \frac{\hat{\mu}(tk) - r}{\hat{\sigma}(tk)} \right)^2 \frac{\sigma^2(tk)}{\hat{\sigma}^2(tk)}
\]

在满足适当条件下对风险溢价的估计绝对误差更小，有力缓解了MLE误差对投资决策的负面影响。

• CP的估计：

直接用即时AP估计作为CP，即

\[
\hat{A}(tk) = \hat{\mathbf{K}}(0,T)
\]

此估计方法在模拟下随着观察频率提高，估计方差降低，对比传统MLE方法更稳定[page::7][page::8][page::9]

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2.5 数值验证（Section 5）

5.1 GBM案例

• 设定： 采用参数\(\mu \in \{0.08,0.1,0.12\}\)，\(\sigma=0.1\)的标准GBM过程，生成10,000模拟路径验证。
• 结果：

- 投资组合A（基于本文方法）在CP估计上表现出更低的波动性和更准确的风险溢价估计。
- A策略的终端财富分布均值更高且更接近于理论最优策略T，明显优于传统MLE估计的B策略。
- 图5.1配合箱型图和密度曲线直观展示了估计稳定性和收益提升效果[page::11][page::12]

5.2 Heston随机波动率模型

• 背景：

采用Heston模型模拟风险资产价格，风险溢价和波动率与外生过程\(X_t\)动态相关，多数参数设定符合金融实际。

• AP估计表现：

报告展示6个不同样本路径下，组合A的AP估计曲线明显更贴近理论值，与传统MLE估计B相比变化更平滑，波动更小（图5.2）。这验证了辅助财富过程二阶变差法对应AP估计更鲁棒，尤其适用于模型错配时。

• 投资表现指标比较：

利用10000次模拟计算三类指标：

- CEQ（确定性等效回报）：A策略显著优于B和买入持有N策略，且与完全知道参数的T策略接近。
- Sharpe Ratio（SR）：同样，A较B优越，且接近N水平，表明风险调整后收益领先。
- 换手率（TR）：A策略显著减少交易频率，相比B策略交易成本降低，有益实际应用。

表5.1-5.3数值数据反映不同参数组合下A策略均表现出统计显著的优越性（p<0.001）[page::13][page::14][page::15][page::16]

5.3 真实金融市场应用

• 数据与实验设置：

以纳斯达克、标普500和道琼斯指数2014-2023年数据为样本，滚动计算1760个一年度投资期。

• 结果：

- 组合A优于B，但实际表现不及单纯持有N策略。
- 通过提出组合策略A+N（条件切换，波动率较低时采用A策略，否则选择N策略）显著提升性能，CEQ和SR均优于单独策略，且TR维持较低水平，有利于降低交易成本。

• 表格数据清晰表现：

表5.4-5.6显示该策略组合在三个指数均取得综合的投资回报率和风险调整收益优势，且保持交易活跃度适中，显示较好的实际操作价值[page::16][page::17]

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3. 图表深度解读

• 图5.1 (Page 11-12)

- 展示了在GBM假设下，10,000模拟路径的CP估计箱型图以及终端财富密度曲线对比。
- 箱型图表明A策略CP估计更集中且波动小，减少异常估计。
- 密度图显示，A策略终端财富均值较B更高且分布更集中，接近理想值T。
- 该图表强化了AP/CP替代MLE估计方式在单参数模型下的优越实证表现。

• 图5.2 (Page 13)

- 对比Heston模型下AP的动态估计过程。多个样本路径显示，A策略估计的AP曲线（虚线或点划线）紧贴真实AP水平（黑色虚线），而B策略曲线波动剧烈且离散。
- 表明辅助财富过程的二阶变差估计能够稳定捕捉复杂随机波动率背景下的风险溢价平均水平。
- 该图示直观诠释了理论上提出的估计方法的实际稳定性和精确性。

• 表4.1 (Page 9-10)

- 噪声分析显示随着观测频率加快，基于AP/CP的估计标准差明显下降，相较于MLE方法波动更小。
- 进一步说明本文估计方法对采样频率敏感性更低，更实用。

• 表5.1-5.6 (Page 15-17)

- 这三组表分别为Heston模型下的CEQ、SR和TR对比，以及真实市场的同类指标。
- 数据量大，多个参数组合的测试反映所有市场情境下，基于AP/CP估计的A策略表现显著优越，换手成本更低，风险调整收益表现好，且结合纯持有策略的A+N策略真正实现在实际市场环境中的优势。

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4. 估值分析

本报告主要聚焦均值-方差组合优化问题及其参数估计，未涉及传统意义上的公司估值或资产定价估值模型。其“估值”的含义实质上为均值-方差问题中投资组合权重的推导与参数估计方法的价值评估。

所使用的数学工具主要是：

• 动态规划辅助问题转化

- 利用辅助财富过程的二阶变差估计

• 预承诺均值-方差模型明确解析表达式

- 参数估计方法优化（对比MLE方法）

没有DCF或市盈率等资金流折现估值方法的应用。

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5. 风险因素评估

• 模型风险及估计错误风险：

传统MLE对收益率和波动率的估计易受噪声及模型假设违背影响，可能导致投资组合极端表现（Best 和 Grauer, 1991）。报告针对这一核心风险提出替代估计方法，通过AP/CP辅助财富过程估计方式减小估计偏误和波动。

• 时间不一致性及预承诺策略风险：

基于预承诺策略的方法存在违反时间一致性风险，未来可能偏离初始承诺投资计划，因而面临实施风险。报告仅考虑预承诺设立，未涉时间一致性动态调整策略。

• 模型错配风险：

即使考虑随机波动率模型如Heston，难以保证外生变量和风险资产波动率完全匹配，存在模型选择及参数设定误差。作者以多种模拟与实证数据验证方法鲁棒性，降低这一风险。

• 市场非平稳风险：

鉴于市场参数随时间变化，传统假定常量的估计有失准确。AP作为周期性统计指标，结合辅助财富过程的估计有效缓解此问题。

报告尚未明确给出针对风险的缓解策略概率估计，但设计的估计方法显著降低估计偏误与策略交易频率，间接缓解估计风险与交易成本风险。

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6. 批判性视角与细微差别

• 方法优势显著，但假设仍有限制：

虽然AP/CP辅助财富过程估计法降低了对\(\mu(t), \sigma(t)\)直接估计的依赖，提升了估计准确性，但对波动率的估计仍需通过MLE完成，存在基础估计噪声。

• 预承诺策略时间不一致性问题未解决：

采用预承诺框架无法实时调整策略，可能在实际市场遇到逆境时难及时应对。

• 经济学周期性假设对AP未来估计合理性有待验证：

用过去等长窗口估计未来AP依赖市场周期特性假设，过于简化真实金融市场的非线性复杂性。

• 实证中A策略在真实市场表现逊于简单持有策略的情形提示：

多市场实证显示，基于该方法直接运用在真实股票指数时，偶有表现落后买入持有策略，需结合风险阈值等机制调整。

• 交易成本模型简化：

报告考量换手率代替交易成本，未明确定量考虑实际手续费、滑点等，可能低估实务投资难度。

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7. 结论性综合

本报告系统提出基于风险资产平均盈利性（AP）和当前盈利性（CP）两个核心指数的连续时间均值-方差投资组合优化方法，突破传统依赖收益率与波动率直接估计的局限，有效缓解模型参数难测、估计波动大等问题。

通过对辅助财富过程的二阶变差利用，实现了对AP和CP的稳健估计，降低了估计误差对投资组合决策的影响，证明该估计方法在统计学意义上比传统最大似然估计更为有效和稳定。

详细的算法设计确保可在离散时间点实施动态调整，数值模拟在经典GBM模型和复杂的随机波动率（Heston）模型皆显示，本方法在风险调整后回报（Sharpe比率及确定等效收益率）和交易活跃度（换手率）方面均优于传统MLE估计策略，且投资终端财富分布更优。

真实金融市场实证虽然显示出挑战性（单独使用A策略不总能跑赢买入持有策略），但结合简单规则的策略混合（A+N）显著提升实际表现，实现了前所未有的性能平衡。

综合而言，报告通过理论创新与严密实证，推动了动态均值-方差投资组合优化的参数估计方法论，为金融工程和资产管理实践提供了强有力的新工具和思路。

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参考文献溯源

• 关键理论基础来自Zhou and Li (2000)和相关经典均值-方差连续时间组合文献[page::1][page::2][page::3][page::4]

- AP和CP指数构建及其二阶变差估计证明详见Section 3和Theorem 3.1[page::5][page::6]

• 算法与估计细节及误差理论证明详见Section 4及Theorem 4.1[page::7][page::8][page::9]

- 数值实验详见Section 5全篇，涵盖GBM和Heston模型模拟，以及真实市场回测[page::10]-[page::17]

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注：上述分析完全基于报告文本及图表内容，如引用需要请标明对应页码，形如[page::X]。

报告