研究背景与问题描述 [page::0][page::1][page::2]

• 本文研究包含实际金融市场、家庭生产及商品留存的两阶段随机广义均衡问题，考虑金融市场不完全性带来的计算难题。

- 传统均衡计算方法如简单形、全局牛顿法、同伦法等依赖严格假设，难以有效处理非光滑、非凸及市场不完全问题。

• 本文提出基于Walrasian双函数的maxinf优化框架，将均衡价描述为maxinf点，减少了需计算金融合约价格的复杂度。

模型及方法论核心 [page::3][page::4][page::7][page::8][page::9]

• 经济模型扩展了以往模型，涵盖异质代理、多阶段商品与金融合约，明确了效用、持有及家庭生产的数学形式。

- 定义并纳入无套利（no-arbitrage）条件，通过引入状态价格向量σ，实现了价格体系变换，转换为辅助均衡问题。

• 代理问题转化为约束优化，商品市场与金融市场的需求供给以个体过剩供给函数表达，均衡定义为所有过剩供给非负且金融合约市场清算。

Walrasian双函数及算法框架 [page::11][page::12][page::13][page::14][page::15][page::16][page::17][page::18]

• 构建Walrasian双函数W(价格, 权重)来捕捉市场失衡，将均衡价定义为W的maxinf点。

- 提出非凸增强Walrasian方法，一族增强Walrasian函数渐近以lopsided收敛逼近原始函数，确保maxinf点存在及收敛。

• 设计基于该框架的两阶段算法：内层最小化问题通过二次规划解决，外层最大化以无导数BOBYQA算法求解，保证算法鲁棒性和稳定性。

关键数值实验及结果展示 [page::19][page::20][page::21][page::24][page::25][page::27]

• 经典Brown-DeMarzo-Eaves示例中算法以较高精度（~10^-2）收敛，获得合理利率约7.18%，图表显示价格和过剩供给随迭代稳定收敛。

• 对比不同方法体现本文算法数值稳定、免疫金融市场退化等困难，表1详列各代理配置、价格和过剩供给差异。

- 调整初始禀赋和代理同质性后，算法仍然收敛到理论预期均衡，切实应对各种经济环境。

• 更复杂的五代理、多商品、多金融合约模型实验中，算法在54次迭代内达到容忍度，价格和过剩供给轨迹清晰，展示高维度可扩展性。

理论贡献与应用意义 [page::0][page::10][page::11][page::16][page::17][page::18]

• 实现了含金融市场、家庭生产与持有的复杂经济体系均衡的计算框架，弱化传统严格条件。

- 通过maxinf与lopsided收敛理论，形式化均衡点的近似求解及算法稳定性。

• 算法利用现有优化软件（Pyomo、Ipopt、Gurobi）实现，适用于实际经济和金融的均衡模型。

金融市场、家庭生产与保留经济均衡问题求解方法研究详解

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1. 元数据与报告概览

报告标题： Solving equilibrium problems in economies with financial markets, home production, and retention
作者： Julio Deride（智利Adolfo Ibáñez大学工程与科学学院）
发布日期： 2025年6月23日
关键词： Walras均衡，随机均衡，斜向收敛，广义均衡理论，增强Walras方法，不完全市场，无套利
JEL分类： C680 (计算方法), D580 (一般均衡分析)，C620 (多阶段决策过程)

报告主题与核心论点摘要：
本文提出了一种求解带有真实金融市场、家庭生产和商品保留的交换经济广义均衡问题的新方法。核心思想是通过构造相关的maxinf优化问题，将均衡价格求解问题转化为一个优化层级问题，显著降低了计算复杂度，尤其是在金融市场不完全的条件下。同时，报告提出了Walrasian双函数的定义，论证了其maxinf点与均衡点的对应关系，采用斜向收敛理论证明了算法的收敛性。最后，作者设计了基于增强Walras方法的算法，并通过数值模拟验证了其实用性和高效性。该方法不仅理论涵盖面广泛，还为计算非完全市场下的均衡提供了实用方案。

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2. 逐节深度解读

2.1 引言（Section 1）

• 内容总结：

介绍广义均衡问题中引入真实金融资产市场、家庭生产与商品保留导致的计算挑战。强调现有方法（单纯形法、牛顿法、同伦法、优化方法等）存在的计算限制，如对可微性、约束条件的强假设。相较之下，本文提出一种基于maxinf型优化问题的算法，突破传统的固定点和同伦方法，适用于非凸、不光滑等实际复杂模型。

• 推理依据：

现有方法多依赖于差分几何等严格数学假设，限制了实际应用范围。本文借助maxinf优化理论与广义均衡函数双函数描述，拟通过优化方法直接求解，有望在理论稳健性与算法执行性间取得平衡。

• 核心数据点与逻辑：

没有具体数值，更多是方法论和研究背景的铺垫。
介绍了多种经典求解策略及其文献引用，反映学术技术发展脉络。

2.2 经济模型描述（Section 2）

• 经济结构及符号定义：

经济有有限个异质代理人（索引\(i=1,\dots ,I\)），两阶段交易，存在不确定性（第二阶段可能出现\(\Xi\)多状态）。
商品可腐烂或耐用，总商品数为\(L+1\)。代理拥有原始禀赋\(e^{i}\in \mathbb{R}+^{(1+L)\times(1+\Xi)}\)，消费\(c^{i}\)及保留\(w^{i}\)同样定义在该空间内。
家庭生产技术及其对应输入输出矩阵\(T0^i, T\xi^i\)，保留对第二阶段消费的影响通过矩阵\(A\xi\)表示。

• 效用函数和约束：

效用函数\(U^i(c,w)=u^i(c0,w0)+\mathbb{E}[u^i(c\pm,w\pm)]\)，表示阶段消费与保留对效用的影响。
家庭生产选项为输入产出活动锥\(Y^i\)，其中允许不行动（零矢量）。
金融市场：有\(J+1\)个真实金融合约，单份合同在第二阶段不同状态下的商品回报为\(D{j,\xi}\)，合同发行伴随交易成本\(D0\)。

• 均衡价格与市场参与假设：

商品价格\(\boldsymbol{p}=(p0,p1,...,p\Xi)\)，合同价格\(q\)。
设有不可套利条件保证市场无套利组合，定义状态价格向量\(\sigma\)。
引入保留的场景示例（如葡萄酒升值贬值、艺术品价值变化），直观说明保留对收益不确定性影响。

• 关键假设：

- 必需品存在，且所有代理都至少有一个必需品，方便选取基准商品做numéraire（假设2.1）。
- 生存假设（2.2），确保代理总能找到使其可行的消费保留方案，支持优化问题的存在性。

• 代理选择问题公式化：

代理人在给定价格\((p,q)\)下优化效用，受制于预算与交易成本约束，目标函数及约束以数学表达形式明确给出。
定义个体过剩供给\(s\xi^i\)用于构造总市场过剩供给。

2.3 无套利条件及替代价格体系（Section 2.2-2.3）

• 无套利条件的数学描述：

无套利条件等价于不存在任一投资组合\(z\)满足：支出低于零且回报严格正向。矩阵\(M(p,q)\)表达了金融资产回报的线性组合。
通过对偶分离平面\(\sigma\)引入状态价格向量，满足价格\(\boldsymbol{q}=\sum\xi \sigma\xi D\xi^\top p\xi\)。

• 替代价格\(\tilde{p}\)的定义：

以无套利向量\(\sigma\)调整第二阶段价格\(p\xi\)，定义 \(\tilde{p}0=p0, \tilde{p}\xi = \sigma\xi p\xi\)。
代理问题以\(\tilde{p}\)为价格输入，剔除合同价格q依赖，显著降低问题维度和复杂性，并保证消费空间紧致性。

• 经济均衡计算转化：

在新价格体系\(\tilde{p}\)下解析代理优化与市场过剩供给，符合Walras法则，市场可清条件转化为一组不等式。
可以通过逆变换关系（式(5)(6)）将\(\tilde{p}\)映射回原价\((p,q)\)体系，实现原问题的均衡解恢复。

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3. 均衡条件与优化表述（Section 3）

• 定义修改后的经济\(\tilde{\mathcal{E}}\)的均衡：

价格空间定义为\(\Gamma\)，代理按上述替代价格做优化，且满足预算约束、市场清算条件。

• Walrasian双函数构造：

定义双函数 \(W(\tilde{p}, \tilde{g})=\langle \tilde{g}, \tilde{ES}(\tilde{p})\rangle - \rho \|\sumi (z^{+,i} - z^{-,i})\|^2\)，
其中\(\rho>0\)为惩罚系数，第二项确保金融市场配平。

• maxinf点与均衡点的等价性（Lemma 3.2）：

证明任何满足 \(\infg W(\tilde{p},g) \ge 0\) 的maxinf点 \(\tilde{p}\) 是均衡点，满足商品过剩非负及金融市场净头寸为零，且 numéraire商品供需平衡。

• 斜向收敛与增广Walrasian函数族：

构造增广函数族 \(W^\nu\) 通过凸-非凸混合增强技术，定义域逐步放大，参数\(r^\nu \to \infty\)，保证 \(W^\nu \to W\) 的斜向收敛（ancillary-tight lop-convergence）。
斜向收敛保证了极大极小点的极限点为原函数的maxinf点，理论保证算法稳定收敛。

• 连续性与Ky-Fan性质证明：

证明Walrasian函数在第一个变量是上半连续的（Theorem 3.4），增广函数族具备Ky-Fan函数性质（连续性和凸性），确认maxinf点存在（Lemma 3.5，Corollary 3.7）。

• 算法构建：

基于增广Walrasian函数，分两阶段迭代求解：
- Phase I（内层最小化）： 对定价\(\tilde{p}^\nu\)固定，求\(\tilde{g}^{\nu+1} = \arg \ming W^{\nu+1}(\tilde{p}^\nu, g)\)，该问题为凸优化，常取二次或范数增强。
- Phase II（外层最大化）： 在更新的\(\tilde{g}^{\nu+1}\)下，求\(\tilde{p}^{\nu+1} = \arg \maxp W^{\nu+1}(p, \tilde{g}^{\nu+1})\)，因目标函数非凸，采用基于信赖域方法的BOBYQA算法。

• 算法收敛性：

通过斜向收敛理论和参数序列\(r^\nu\)、约束域\(\Gamma^\nu\)增长，保证序列\(\tilde{p}^\nu\)极限为均衡价系。

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4. 数值实验与软件实现（Section 4）

• 软件实现：

基于Python与Pyomo框架，使用Gurobi求解Phase I中的二次规划，BOBYQA算法完成Phase II的最大化。代理效用最大化问题采用Ipopt内点法数值解决。

• 实验1: Brown-DeMarzo-Eaves Example (4.1)

- 设有两类代理\(I=3\)（1类A，2类B），2种商品，3种第二阶段状态。效用函数为平方型非线性函数。金融市场包含两个证券（带有回报矩阵）和交易成本。
- 关键参数包括权重\(\lambda\)、效用参数\(K, \alpha\)、个体禀赋\(e\)、证券回报矩阵\(D\)。
- 计算得到辅助经济的均衡价格\(\tilde{p}^\)，根据变换恢复原价格\(p^, q^*\)，计算出年化利率约7.18%。
- 图2所示，算法迭代中价格趋于稳态，过剩供给趋近零，证明算法在较复杂经济结构下有效稳定。

• 实验2: BDE的两个修改例子（4.2）

1. 禀赋变动： 调整代理A的初始禀赋，保持其他参数不变。算法计算出新的均衡价格及合约价格，利率明显下降至0.73%。迭代过程显示算法避免了同伦法可能的数值不稳定性（图3）。
2. 均质代理，无金融交易： 两代理，禀赋总量固定，按对称性预期均衡价格一致。算法结果与原文“坏价格”相符，展示收敛性和算法鲁棒性（图4）。

• 实验3: 异质代理，含保留与金融交易（4.3）

- 5个代理，6种商品，3种状态，5个金融合约，效用函数同时涉及消费和保留的非线性组合。
- 代理禀赋包含随机扰动，金融产品为无交易成本的远期合约。
- 模型规模共计294个变量，显示该方法在较大规模模型中仍保持可计算性。
- 经过54轮迭代，参数容差0.1，算法终止并给出均衡价格及金融合约价格，收敛过程见图5。

• 表格分析（表1-3）：

- 表1比较了不同文献与本文实现的配给、合同持有量、过剩及价格。各项结果相近，体现本文算法与经典方法的优越稳定性及精确度。
- 表2与表3详细列出了实验3中代理的效用参数及基本禀赋，为数值实验提供具体模型细节。

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3. 图表深度解读

• 图1（第5页）：

描述两阶段经济金融与商品市场结构，图中方框关联第一阶段决策变量\((c0,w0,y,z)\)及其对应交易成本、保留转化和家庭生产输入，连接到第二阶段多个系统状态下的变量。
此图形象表达了模型中决策的时序展开和不确定性分支，支持后续数学模型中状态空间展开。

• 图2（第21页）：

迭代过程中辅助价格向量\(\tilde{p}\)（上图）和过剩供给ES（下图）变化轨迹。价格曲线由多条彩色线组成，对应不同商品及状态分量。过剩供给逐渐逼近零。
说明算法在迭代过程中，价格逐步稳定，市场趋于清算状态，数值符合理论预测。

• 图3（第24页）、图4（第25页）、图5（第27页）：

分别对应不同型号的数值案例迭代价格与过剩变化曲线，表现均为价格稳定提升，过剩供给聚拢到零附近，表明算法通用且收敛良好。

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4. 估值分析

本报告所讨论的均衡价格较少涉及直接的企业估值，而着重于经济中商品与金融合约的均衡价格形成，方法论类似于多阶段均衡的价格发现，估值的核心是均衡价格向量\((p,q)\)及其状态价格\(\sigma\)推导。

• 采用的“估值”方法实际上是：

- 利用无套利条件约束金融合约价格，使价格属于无套利价格空间。
- 采用基于Walrasian maxinf双函数的非凸优化方法求取市场出清价格。
- 迭代过程中通过增广Walrasian函数引入正则项，保障计算稳定与收敛。

• 此方法相比原始金融均衡模型显著减少了合同价格空间的计算难度，使得即使金融市场不完全（金融回报矩阵不满秩）时也能有效获得均衡价格，实质上是对均衡价格的一种“计算估值”。

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5. 风险因素评估

• 建模假设及其限制风险：

- 代理效用函数假设连续且满足一定的唯一最优解条件（强凸或负定Hessian），不符合真实情况时可能失效。
- 无套利假设依赖市场结构满足一定的完整性，若市场极端不完全，状态价格\(\sigma\)难以存在。
- 保留和家庭生产被抽象为线性或凸锥结构，若存在非线性或市场摩擦未纳入，模型精度下降。

• 数值计算风险：

- Phase II最大化步骤无梯度信息，仅依赖BOBYQA，可能陷入局部极值或效率降低。
- 参数\(r^\nu\)的增长策略需谨慎，增长过快影响稳定，过慢降低效率。
- 离散状态数与商品数量增多，计算资源需求显著攀升。

• 缓解策略：

- 理论上通过斜向收敛保证极限maxinf点为均衡点，提供稳定性保障。
- 算法设计中引入增广函数，避免跳跃过大，提高数值抗噪声能力。
- 在数值实例中，合理初始化和参数调节缓解计算难题。

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6. 批判性视角与细微差别

• 本文方案创新点在于将无套利条件内嵌到价格定义中，规避了对合同价格\(q\)的直接求解，简化计算，且采用了从进展性增广优化函数族的斜向收敛角度保证算法稳定性，是近期较新的数学优化理论与均衡理论的融合。
• 但算法对代理效用函数的连续性与唯一最优解假设较强，实际经济中代理偏好可能复杂且多重最优；此外，BOBYQA等无导方法的全局性能可能有限。
• 增广Walrasian函数的构造及参数调整策略对算法性能至关重要，理论虽涵盖收敛性，但实现中细节较敏感，未在本文中给出系统调节指南。
• 报告针对不完全市场的传统难题提供新视角，但与已有多种Homotopy方法和Variational方法比较尚缺乏更广泛的数值实验验证，值得后续深入探索。

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7. 结论性综合

本文构建了一个兼具理论深度与实际可操作性的广义均衡数值求解框架，涵盖了金融市场、家庭生产和商品保留等复杂经济现象。通过引入改良的价格体系与Walrasian maxinf型双函数，成功将均衡求解问题转化为一系列凸非凸混合的增广优化问题，利用斜向收敛理论证明了算法稳定收敛性。

数值实验覆盖了经典的Brown-DeMarzo-Eaves模型与其扩展，以及更复杂的异质代理、包含保留行为的大规模模型，展示了该方法在不同设定下的适用性、稳定性和精度。

尤其值得关注的是：

• 价格转化框架：通过状态价格矢量\(\sigma\)嵌入无套利条件，实现市场均衡价格计算的显著简化，便于处理不完全市场的非标情形。
• Walrasian双函数与maxinf点方法：理论证明了均衡点可由maxinf点表征，使均衡问题可用优化算法求解，突破传统附加条件依赖。
• 数值算法设计：采用增广Walrasian函数族，PhaseI内层凸优化与PhaseII无导优化相结合，平衡收敛性与计算效率。
• 图表数据：多重迭代价格走势图示与过剩供给曲线清晰反映了算法逐步逼近市场均衡的动态过程。

- 对比分析表：展示了本文结果与既有文献方法的高度一致性和精度，验证方法性能优良。

总体而言，本报告为不完全金融市场条件下考虑家庭生产和商品保留的复杂经济体系均衡状态的数值求解提供了创新且实用的工具和理论支持，具有重要的学术贡献与应用潜力。

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附：关键图表示例展示

图1：市场结构图（页5）

图2：Brown-DeMarzo-Eaves模型算法迭代（页21）

图3：禀赋变化模型迭代（页24）

图4：均质代理无金融交易模型迭代（页25）

图5：异质代理含保留金融交易模型迭代（页27）

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（以上分析均基于报告原文内容，[page::0-27]）

报告