• 本文构建了价格感知型 automated market makers 模型，考虑了复杂价格动态，包括随机波动率（Heston-Bates模型）、跳跃过程、Stein-Stein模型及基于 Hawkes 过程的微观价格模型，同时分析了流动性动态模型（Hawkes及马尔科夫调制泊松过程）[page::0][page::1][page::3][page::10][page::15][page::16]。

- 在Heston-Bates模型下，价格服从带跳跃的随机波动率动态，价值函数满足含时间、扩散方差两个状态变量的非线性带跳跃的偏微分方程，最优报价通过求解该方程获得。利用二次Hamiltonian近似，价值函数近似为关于库存差的二次多项式，导致降维为求解两个偏微分方程，数值采用有限差分和隐式差分方法 [page::5][page::6][page::7]。

• 对Stein-Stein模型（随机波动率用Ornstein-Uhlenbeck过程）及其加跳跃扩展，情形类似，价值函数同样用二次Hamiltonian近似简化，得到可数值求解的PDE系统，方便计算最优报价 [page::7][page::8][page::9]。

- 采用Hawkes过程建模价格纯跳跃动力学，引入动态强度过程，价值函数对应非局部偏微分方程，二次Hamiltonian近似后简化结构有非局部项，数值上较随机波动率模型更复杂，但可计算最优报价 [page::10][page::11][page::12]。

• 引入Z-Hawkes过程（基于二次Hawkes模型，模拟市场微观结构中的Zumbach效应）进一步拓展模型，价格强度由两个驱动过程组成，价值函数维度更高，计算复杂，但仍可通过二次Hamiltonian近似降维，求解三变量偏微分方程系统确定报价策略 [page::12][page::13][page::14]。

- 关于流动性，传统模型假设流动性不变，本文提出用Hawkes过程捕捉流动性变化，尽管统计拟合好，但由于强耦合造成高维偏微分方程，数值计算困难，实用性受限[page::15][page::16]。

• 替代方案是采用马尔科夫调制泊松过程（MMPP），将流动性状态离散为有限几个等级，通过有限组合流动性状态，得到一个由多个二维偏微分方程组成的系统，避免了Hawkes模型的维度灾难，二次Hamiltonian近似后转为常微分方程可快速求解，适合实际AMM应用[page::16][page::17][page::18]。

- 各价格模型与流动性模型适用于不同加密货币对，设计者需权衡模型复杂度与计算效率，选择最合适的模型以实现风险管理与优化报价策略，推动DeFi自动做市体验的提升[page::14][page::18][page::19]。

资深金融分析师对《Price-Aware Automated Market Makers: Models Beyond Brownian Prices and Static Liquidity》的详尽分析报告

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1. 元数据与概览

报告标题： Price-Aware Automated Market Makers: Models Beyond Brownian Prices and Static Liquidity
作者： Philippe Bergault, Louis Bertucci, David Bouba, Olivier Guéant, Julien Guilbert
发布机构/背景： 本文系受Institut Europlace de Finance与Swaap Labs支持的去中心化金融（DeFi）领域研究成果，作者团队部分成员来自Swaap Labs。
发布日期与场景： 不详，涉及当代DeFi自动化做市商（AMM）策略的理论研究，结合了多变量金融模型与数学最优控制。
研究主题: 针对自动化做市商设计先进的“价格感知”模型，突破传统布朗运动假设和静态流动性条件，覆盖复杂价格动态与随机流动性，优化做市商定价策略。

核心论点与目标：
本文提出一整套模型，涵盖复杂的价格动态（包括随机波动率模型如Heston-Bates、Stein-Stein带跳跃项，以及市场微观结构中的Hawkes过程和扩展的Z-Hawkes过程），并结合流动性随机变化（通过Hawkes过程与马尔可夫调制泊松过程建模）实现对自动化做市商的交易定价最优化。论文强调理论框架和数值方法的结合，力求在模型的准确性与计算复杂度之间找到平衡，指导DeFi领域实践部署。作者阐述了每个模型对 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程的影响及数值近似，揭示了定价与流动性建模的权衡问题。

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2. 逐节深度解读

2.1 引言与研究背景（第0-1页）

• 报告回顾了传统的做市商理论，囊括信息不对称理论（如Copeland和Galai、Glosten和Milgrom）及基于持仓库存的定价与风险管理理论（Ho和Stoll [23,24]）。

- 阐明了做市商必须设定买卖价差以防止逆向选择风险及库存价格波动风险。此领域模型自Avellaneda和Stoikov 2008年工作以来快速发展，已整合信号、订单大小、客户分层、执行方式、市场冲击和参数不确定性等复杂特征。

• 文章指出，尽管这些理论模型已成功应用于场外交易（OTC）市场，但在去中心化金融与自动化做市商（AMM）领域中还存在适配不足，特别是价格发现和流动性动态方面，[6]提出的“价格感知AMM”概念仍假设对数正态价格和静态流动性。作者将扩展至更复杂的价格动态和流动性建模。

2.2 一般建模框架（第2-4页）

• 设计了基于概率空间和过滤的数学框架，考虑一个两种货币的AMM，货币0作为账户计价货币，货币1作为交易货币，标的价格用 \( St \) 表示。

- 关键控制变量是买卖报价中的“markup”（加价或贴现），定义为对交易价格的调整，标记为 \(\delta^{0,1}(t,z), \delta^{1,0}(t,z)\)，交易量为 \(z\)，对交易价格作微调。

• AMM的收益（超额PnL，相对于Hodl基准）根据交易产生的加价收益和持仓价格变动收益计算。

- 交易到达以两类随机点过程建模，强度函数 \(\Lambda^{i,j}(t,z,\delta)\) 体现报价变动对交易活跃度的影响，是泊松或类似过程的强度函数，被设定为对加价单调减函数。

• 优化目标是最大化期望超额收益并控制其方差（或其时间一致化替代风险指标），即使流动性和价格均为随机过程下的风险调整收益最大化问题。

- 该节明确了后续模型变体的基本设定和求解框架，为引入复杂价格和流动性模型铺垫了数学基础。

2.3 高级价格动态模型（第4-14页）

2.3.1 Heston-Bates模型（第5-7页）

• 价格动态为带跳跃的Heston模型，价格由随机波动率 \(\nut\) 和跳跃过程 \(J\) 共同驱动，拥有均值回复的CIR波动率过程和带跳跃的价格过程。

- 定义 \(Yt\) 为持仓价值相对于初始价格的变化，状态变量扩展至时间\(t\)、持仓价值\(y\)及瞬时方差\(\nu\)两个变量。

• HJB方程（4）具备扩展高维特性且含积分非局部项，数值求解采用有限差分法、算子分裂和隐式离散方案；极端相关性（\(|\rho|\approx1\)）时推荐使用9点离散格式。

- 引入二次哈密顿函数近似（quadratic Hamiltonian approximation）简化计算，将标价优化转化为求解带非线性偏导的PDE，函数值以二次多项式形式表示，转化为可利用隐式方法求解的二维PDE体系，显著降低计算量。

• 给出最优Markup的具体表示式（Eqs. 5和6），明确了引用的逆函数与偏导关系，并说明最终策略依赖于当前状态估计但波动率不可直接观测。

2.3.2 Stein-Stein模型（第7-9页）

• 类似上述，替换随机波动率为均值回复的Ornstein-Uhlenbeck过程 \(\sigmat\)，再次引入带跳跃的价格过程，实现随机波动率模型的另一种经典形式。

- HJB方程形式与Heston-Bates类似，解析难度一致，数值求解及二次哈密顿函数近似方案同样适用。

• 其二次近似转化的PDE系统与Heston模型结构相似，确保计算便利，适合实务实现。

2.3.3 Hawkes过程模型（第10-11页）

• 价格建模由跳跃过程与条件强度 \(\bar{\lambda}t\) 驱动， \(\bar{\lambda}t\) 本身服从自激型（self-exciting）强度过程（Hawkes过程），可捕捉价格跳跃的簇群现象与市场微结构特征。

- 关联Markov性强，状态变量扩充为时间、持仓价值及强度 \(\bar{\lambda}\)，HJB方程含非局部积分，需利用Jacobi方程求解。

• 标价决策非线性重点依赖于当前估计的价格跳跃强度，同时提供两种强度估计思路：实时观测或基于历史数据统计估计。

- 二次哈密顿函数近似依然可用，但导致较斯托哈维模型更复杂的数值问题，兼具描述力强与计算难题。

2.3.4 Z-Hawkes（Quadratic Hawkes）扩展（第12-14页）

• 考虑更精细的市场微结构模型，加入市场异质行为捕获的高阶激发效应（Zumbach效应），强度由多个驱动过程组成，包括均值回复项和平方项，整体体现为二次偏随机微分方程设定。

- 状态变量增加为持仓价值、两个强度驱动因子（\(h\), \(\xi\)），对应高维HJB方程，显著增大计算复杂度。

• 通过二次哈密顿函子近似获得含非局部项的PDE系统，仍为当前技术下数值计算的挑战。

- 结论强调该模型虽更完整地刻画价格行为，计算成本高昂，实务应用须权衡取舍。

2.3.5 本节总结（第14页）

• 阐述了先进的随机波动率模型和基于Hawkes过程的市场微结构模型，在定价策略设计中的适用性和数值难点。

- 提示不同加密货币对价格性质不同，模型选择应适配特定资产特性（如稳定币与大币组合与完全独立币组合需求不同）。

• 强调模型简洁性与表现力间的权衡，既影响计算效率，也影响风险管理效果。

2.4 流动性动态模型（第15-18页）

2.4.1 Hawkes模型建模流动性（第15-16页）

• 真实市场流动性存在周期变化和自激特性，普通静态假设不足以捕获波动规律。

- 引入Hawkes过程刻画买卖强度随订单交易自激和均值回复的动态变化。

• 在基础的几何布朗价格模型下（或更复杂的价格模型扩展），状态变量因此扩展到含时间、持仓及两侧流动性强度，极大提高维度。

- 方程矩阵结构复杂，不能利用二次哈密顿近似简化，导致“维度灾难”，不适合实务中实时求解。

2.4.2 马尔可夫调制泊松过程替代（第16-18页）

• 为避免流动性模型维数过高，转用Markov-modulated Poisson process（MMPP）模型，将流动性强度视为有限状态马尔可夫链，状态空间规模受限（典型2-3个流动性水平）。

- 在该框架下，HJB方程转化为状态和持仓二维变量的PDE系统集合，极大降低模型复杂度。

• 二次哈密顿函数近似变为一组常微分方程系统，数值计算负担显著减轻，便于实际部署。

- 该方法既保留了流动性动态变化特征，也确保了模型的计算可行性与有效性。

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3. 图表与公式深度解读

由于报告中未附带具体表格或图形，而是大量数学公式构成核心表达，以下对重要公式进行详细解读：

• 核心目标函数式（章节2）

\[
\max{\delta^{0,1}, \delta^{1,0}} \mathbb{E} \left[ \int0^T \int z \delta^{0,1}(t,z) \Lambda^{0,1}(t,z,\delta^{0,1}(t,z)) + z \delta^{1,0}(t,z) \Lambda^{1,0}(t,z,\delta^{1,0}(t,z)) dz dt + \int0^T (qt^1 - q0^1) dSt - \frac{\gamma}{2} \int0^T (qt^1 - q0^1)^2 d\langle S \ranglet \right]
\]
解析：表明AMM的决策目标，综合考虑了报价加价带来的交易收益和因持仓价值波动带来的风险溢价。
关键参数 \(\gamma\) 为风险厌恶系数，体现风险收益权衡。
这种目标反映了做市商希望实现超额收益超过单纯持有（Hodl）策略，且对波动风险进行有效管控。

• Heston-Bates模型HJB方程（公式4）

结合了Markov过程 \(\theta(t,y,\nu)\) 对于价格变化\(y\)和波动率状态\(\nu\)的演化，带积分项刻画跳跃影响。
方程为非局部偏微分积分方程，反映价格与风险变量的动态耦合。

• 二次哈密顿近似表达式（公式7）

通过二次函数近似哈密顿量，简化策略计算，将原问题转化为求解函数系数 \((A,B,C)\) 的偏微分方程。该方法是本文数值方法的核心创新点，保证了在复杂模型下仍可有效求解最优报价。

• 流动性建模HJB方程（公式39）及其简化（公式42）

指出传统Hawkes流动性建模无法有效应用在高维最优策略求解中，转而采用马尔可夫调制泊松过程转化为小规模状态空间离散系统。此方法将高维偏微分方程转化为二维时间和持仓价差的系统，使得实务中求解成为可能。

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4. 估值分析

报告目标并非典型“估值分析”，而属于做市商报价策略优化领域，以收益—风险平衡的随机控制问题为核心。模型估值主要体现在：

• 计算“超额PnL”与风险调整收益函数；

- 将定价策略嵌入的Hamilton-Jacobi-Bellman方程视为价值函数的求解，其中价值函数具有时间和状态变量（持仓、波动率、强度等）依赖；

• 通过求解这些（偏）微分方程，该价值函数导出最优报价的闭式或数值解；

- 二次哈密顿量近似方法实质上是为估值函数提供可解形态，间接实现对流动性和价格风险的合理估价。

因而核心估值工作为价值函数的建模与求解，而非资产静态价值的传统估值。

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5. 风险因素评估

报告虽未设专章明确“风险因素”，但内容隐含有关风险及其管理技巧，主要包括：

• 价格风险： 价格随机波动和跳跃引起的库存风险，通过风险厌恶系数 \(\gamma\) 在目标函数中体现。定价策略通过调整报价杠杆对冲该风险。

- 流动性风险： 流动性强度非定态，存在波动、聚集及突然变化，需建模反映，特别是利用Markov调制泊松过程避免计算爆炸。

• 模型风险和参数不确定性： \(\nut, \sigmat, \bar{\lambda}_t\) 等不可观测需估计，存在估计误差及模型假设偏差。

- 计算可行性风险： 模型维度高带来计算复杂度，特定模型（如Z-Hawkes）难以实时求解，限制实用价值。

• 市场适用性风险： 不同币对适合不同模型，模型选择不当或过于复杂可能导致定价失准。

报告提议通过二次哈密顿近似、降维技巧及MMPP模型轻度降维等方法，降低计算与实现风险，体现缓解策略。

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6. 批判性视角与细微差别

• 方面： 报告作者密切依赖现有复杂随机过程模型，假设控制风险可通过数学上的风险厌恶系数与方差罚项实现，但市场实际风险可能更复杂，忽视了市场冲击、信息外泄等风险因子。

- 维度灾难问题： 多数高级模型状态空间维度大，求解复杂度极高，虽提出近似技法，但数值有效性尚需实证验证，可能面临离散化误差及计算稳定性风险。

• 流动性建模两难： Hawkes模型虽统计特征好，但计算不可控；MMPP模型计算便捷但牺牲了流动性动态的连续性和灵活性，存在模型精度与简化度矛盾。

- 估计难题： 诸如瞬时波动率、跳跃强度不可直接观察，依赖估计方法，可能引入偏误，影响最优报价的实际表现。

• 市场结构假设： 研究假定AMM报价时基于参考价格及自定义markup，无交易对手行为的战略互动假设，实际市场中存在多方博弈和层级化客户影响。

- 文件中部分数学表达在某些页码（如第7页和第9页的PDE系统）出现排版及识别错误，可能影响文字的准确表述。

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7. 结论性综合

本文系统介绍了以价格感知为目标的自动化做市商定价模型，突破了传统对数正态和静态流动性的假设，通过引入多种高级价格动态模型和流动性动态模型，提供了更符合现实市场微结构及行情特点的报价优化方案。

重点解析如下：

• 基础框架定义严格且灵活，能包容多种价格和流动性模型，实现定价风险收益平衡。

- 价格模型多样，从经典的随机波动率跳跃模型（Heston-Bates、Stein-Stein）到市场微结构的Hawkes过程及其扩展，皆基于HJB方程展开，强调Markov性及多变量系统求解。

• 流动性动态建模特别强调现实变化，指出Hawkes流动性模型虽优，但因维度灾难难实用，提出马尔可夫调制泊松过程作为切实可行的替代方案。

- 最优报价策略可通过数值解HJB方程获得，推荐的二次哈密顿函数近似不但降低了维度难题，也赋予了策略更强的实务可操作性和计算效率。

• 模型选择与复杂度之间存在显著权衡，需针对不同加密资产对灵活选取合适模型。

该研究为DeFi领域尤其是自动化做市商提供了强有力的理论武装和方法论启示，明确指出先进模型所带来的计算和实现挑战，为未来模型改进、算法性能优化与实证应用指明方向。

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参考文献溯源标示：

本分析引用的报告页码均源自原文内置页码标示，如[page::0] [page::1]…[page::18]等，涵盖全文主要章节内容。

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（本分析严格基于报告内容展开，客观分析模型和方法，文中所有结论均基于报告文本）

报告